第三章傅里叶分析
第3章 傅里叶分析
3.1 傅里叶变换概述
一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT ）
其傅里叶变换公式为： 正变换 ?
∞
∞
-Ω-=
Ωdt e t x j X t j )()(
反变换 ?
∞
∞
-ΩΩΩ=
d e j X t x t j )(21
)(π
时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。 二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS ）
周期为T 的周期性连续时间函数x (t )可展开成傅里叶级数，其系数为X (jk Ω0)，X (jk Ω0)是离散频率的非周期函数。x (t )和X (jk Ω0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 ?-Ω-=
Ω2/2/00)(1)(T T t
jk dt e t x T
jk X 反变换 ∑∞
-∞
=ΩΩ
=
k t jk e jk X t x 0)()(0
式中，k ——谐波序号；
Ω0=2π/T ——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；
时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。 三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT ） 1. DTFT 的定义
序列的傅里叶变换公式为： 正变换 ∑
∞
-∞
=-=
n n
j j e n x e
X ωω
)()( 反变换 ?-
=
π
π
ωωωπ
d e e X n x n j j )(21)(
注意：序列．．x(n)．．．．只有当．．．n ．为整数时才有意义，否则没有定义。．．．．．．．．．．．．．．．．
由于存在关系
ωωj e z j z X e X n x DTFT ===)()()]([
因此，序列的傅里叶变换也就是单位圆上的Z 变换。
时域的离散化造成频谱函数的周期性延拓，而时域的非周期性造成频域的连续性。 2. DTFT 的性质 （1） 线性定理
)()()]()([2121ωωj j e bX e aX n bx n ax DTFT +=+
（2） 时移定理
)()]([00ωωj n j e X e n n x DTFT -=-
（3） 频移定理
)(])([)(00ωωω-=j n j e X e n x DTFT
（4） 卷积定理
注意：此处的卷积又称为线性卷积。．．．．．．．．．．．．．
I. 时域卷积定理
若)()()(n h n x n y *=，则)()()(ωωω
j j j e H e X e Y =
复习：序列的运算
序列的运算包括翻褶、移位、和、积等。 （a ） 翻褶
如果序列为x (n )，则x (-n )是以n =0的纵轴为对称轴将序列x (n )加以翻褶。 （b ） 移位
如果序列为x (n )，当m 为正时，则序列x (n+m )是指将序列x (n )依次逐项左移m 位；当m 为负时，则右移m 位。 （c ） 和
两序列的和是指同序号（n ）的序列值逐项对应相加。 （d ） 积
两序列的积是指同序号（n ）的序列值逐项对应相乘。 线性卷积的几何意义．．．．．．．．．
： 若两序列x (n )和h (n )的卷积和定义为
∑∞
-∞
=-=
*=m m n h m x n h n x n y )()()()()(
则卷积的运算过程包含以下四步：
○
1翻褶：先在坐标系上作出h (m )，将h (m )以m =0的纵轴为对称轴翻褶成h (-m )； ○
2移位：将h (-m )移位n ，即得h (n-m )； 注意： h ．(．-．m ．) ．与．h ．(．m ．)．的移位规律恰好相反，当．．．．．．．．．．．n ．为正时，则右．．．．．．移．n ．位；当．．．n ．为负时，则左．．．．．．
移．n ．位。．．
○
3相乘：再将相同m 值所对应的h (n-m )和x (m )值相乘； ○
4相加：将上述所有对应点的乘积叠加，即得y (n )值； 依次取n =…，-2，-1，0，1，2，…，即可得到全部的y (n )值。
II. 频域卷积定理
若)()()(n h n x n y =，则
?-
-=
*=π
πθωθ
ωωω
θπ
πd e H e
X e H e X e Y j j j j j )()(21
)()(21)()(
上述两个定理表明：离散时间序列的时域卷积对应频域相乘，而时域相乘则对应其频域卷积。
（5） Parseval （帕塞瓦）定理
?∑-
∞
-∞
==π
π
ω
ωπd e X n x j n 2
2
)(21
)(
Parseval 定理表明：信号在时域的总能量就等于其频域的总能量。
四、 时间离散、频率离散的傅里叶变换——离散傅里叶变换（DFT ）
结论：一个域（时域或频域）的离散化必然造成另一个域的周期延拓．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
。 3.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS ）
一、 DFS 的定义 1. 周期序列的概念
设)(~
n x 是周期为N 的一个周期序列，即 )(~)(~rN n x n x +=， r 为任意整数
因为在任何z 值下，周期序列z 变换的和式都不收敛，也就是说，周期序列不是绝对可
和的，所以不能用z 变换表示。
但是，和连续时间周期信号一样，周期序列可以用离散傅里叶级数来表示，也就是用周期为N 的复指数序列来表示。
2. 周期序列的离散傅里叶级数变换对
（1） 数学推导（略，参见教材P98~99） （2） 结论
通过推导可见，周期序列)(~n x 与其离散傅里叶级数的系数)(~
k X 组成一个变换对，且
)(~
k X 也是一个周期为N 的周期序列。
一般，采用符号
N
j
N e
W π2-=，kn N
j
kn N
e
W
π2-=
则周期序列的离散傅里叶级数变换公式为：
正变换 ∑-===1
)(~)](~[)(~N n kn N W n x n x DFS k X
反变换 ∑-=-==1
)(~
1)](~
[)(~
N k kn N
W
k X N
k X IDFS n x
3. kn
N W 的性质
（1） 周期性
)()(N n k N n N k N kn N W W W ++==
（2） 对称性
)
()()(n N k N n k N N kn N kn N W W W W --*-===
（3） 正交性（重点强调）
???==-=∑-=为其他值
为任意整数，
，，k m mN k mN k W N N n kn
N
01)(110δ
二、 DFS 的性质
设)(~n x 和)(~n y 均是周期为N 的周期序列，且有
)](~[)(~n x DFS k X =，)](~[)(~
n y DFS k Y =
1. 线性性质
)(~)(~)](~)(~[k Y b k X a n y b n x a DFS +=+
2. 移位性质
)(~)](~[k X W m n x DFS mk N -=+ （时移）
)(~)](~[l k X n x W DFS nl N += （频移，又称调制特性）
3. 周期卷积
（1） 时域卷积
若)(~n f =△)(~n y ○*)(~n x ∑=∑-==--=--=1
10
)(~)(~
)(~)(~
N m k m n N m m n x m y m n y m x 换元
令，则 )(~)(~)](~[)(~k Y k X n f DFS k F ?==
注意：此处的卷积为周期卷积。它和前面所介绍的非周期序列的线性卷积的区别在于：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．○．1．参．
与周期卷积运算的两个序列都是周期为．．．．．．．．．．．．．．．．．N ．的周期序列，则其卷积．．．．．．．．．．结果仍是一个以．．．．．．．N ．为周期．．．
的周期序列；．．．．．．○．2．求和运算只在一个周期（．．．．．．．．．．．m=0~N ．．．．．-．1．）的范围内进行。．．．．．．．．
周期卷积的运算过程（参见图3.2.2）：
运算在m =0~N-1区间内进行，先计算出n =0，1，…，N-1的卷积结果，然后将所得的结果进行周期延拓，即可得到所求的整个周期序列。
注意：计算过程中，一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
序列值就移入计算区间。．．．．．．．．．．．
（2） 频域卷积
由于DFS 和IDFS 的对称性，同样可以证明：时域周期序列的乘积对应频域周期序列的周期卷积，即：
若)(~)(~
)(~
n y n x n f =，则 )(~)(~K X k F =○
*)(~
K Y ∑-=-=1
)(~)(~1N l l k Y l X N
∑-=-=
1
)(~
)(~1
N l l k X l Y N
3.3 离散傅里叶变换（DFT ）
一、 DFT 的定义
1. 有限长序列和周期序列的关系
有限长序列x (n )和周期序列)(~n x 之间的关系可表示为
?
?
?-≤≤=n N n n x n x 其他，，010)(~
)( 通常，我们将周期序列)(~n x 的第一个周期（n =0~N-1）定义为“主值区间”，故x(n)是)(~n x 的“主值序列”，且上述关系式可简写为
N n x n x ))(()(~= ???
? ??延拓，可得到周期序列对有限长序列进行周期 （3.3.1）
式中，((n ))N 表示“n 对N 求余数”，或称“n 对N 取模值”；
利用长度为N 的矩形序列符号R N (n )，即
??
?-≤≤=n
N n n R N 其他，
，
01
01)(
则（3.3.1）式又可写成
)()(~)(n R n x n x N = ???
? ??可得到有限长序列序列对周期序列进行截取， 同理，频域周期序列)(~
k X 也可看成是对有限长序列X (k )的周期延拓，而有限长序列X (k )则可看成是周期序列)(~
k X 的主值序列，即
)()(~
)())(()(~
k R k X k X k X k X N N
==或
2. 有限长序列的离散傅里叶变换对
有限长序列的离散傅里叶变换公式为： 正变换 10)()]([)(1
-≤≤=
=∑-=N k W
n x n x DFT k X N n kn N
，
反变换 10)(1
)]([)(10
-≤≤=
=∑-=-N n W
k X N
k X IDFT n x N k kn N
，
二、 DFT 的性质 1. 线性性质
设x 1(n )和x 2(n )均是长度为N 的有限长序列，且有
)]([)(11n x DFT k X =，)]([)(22n x DFT k X =
则 )()()]()([2121k bX k aX n bx n ax DFT +=+
说明：
（1） 若x 1(n )和x 2(n )的长度均为N ，则ax 1(n )+bx 2(n )的长度也为N ；
（2） 若x 1(n )和x 2(n )的长度不等，设分别为N 1和N 2，则ax 1(n )+bx 2(n )的长度应为二者中的最大值，即N = max[N 1, N 2]；
例如，当N 1 有限长序列x (n )左移m （m 为正整数）位的循环移位定义为 )())(()(n R m n x n x N N m += 可见，上式的循环移位表示将序列x(n)周期延拓成周期序列N n x n x ))(()(~ =后，再左移m 位并取其主值序列而得到的。注意：序列的循环移位始终限定在主值区间内进行。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 如图所示，有限长序列循环移位的过程中，在主值区间（n =0~N-1）内，当某序列值从 区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入，因而，此过程可以看成是将序列x (n )按逆时针方向排列在一个N 等分的圆周上，则序列循环左移m 位就相当于将该序列在圆周上顺时针旋转m 位。 （2） 时域移位特性 )()]())(([)]([)(k X W n R m n x DFT n x DFT k X mk N N N m m -=+== （3） 频域移位特性 )()]())(([n x W k R l k X IDFT nl N N N =+ 3. 循环卷积（又称圆周卷积） （1） 循环卷积的定义 长度均为N 的有限长序列x (n )和h (n )的循环卷积定义为 )()(n x n y =○N N n x n h ))(([)(=○*)(]))((n R n h N N )())(()()())(()(1 010n R m n x m h n R m n h m x N N m N N N m N ?? ? ???-=??? ???-=∑∑-=-= （3.3.5） 可见，循环卷积就是周期卷积在主值区间（n =0~N-1）内的值 （2） 循环卷积的运算方法 ○ 1利用求和定义式（3.3.5）直接求解； ○ 2利用与周期卷积的关系求解； ○ 3根据循环卷积的特点，利用图解法求解，其步骤如下： I. 将序列x (n )按逆时针方向均匀地（N 等分）分布在一个圆周（内圆）上，而将序 列h (n )按顺时针方向均匀地（N 等分）分布在另一个圆周（外圆）上，如图（a ）所示； II. 求两个圆上相应序列的乘积，并叠加N 项乘积作为n =0时循环卷积值y (0)； III. 若求n =1时循环卷积值y (1)，则将外圆h (n )固定，把内圆上的序列x (n )顺时针旋 转一个单位（或将内圆x (n )固定，把外圆上的序列h (n )逆时针旋转一个单位，即内、外圆相对旋转一个单位），并将对应项的乘积叠加，即为所求的y (1) 值，如图（b ）所示； IV. 类似地，依次取n =2~N-1，重复步骤Ⅲ，直到将内圆序列循环移位一周，便可以 求得所有的y (n )值； （3） 时域和频域循环卷积定理 I. 时域循环卷积定理 若)()(n x n y =○ N )(n h ，则)()()(k H k X k Y = 这表明：两序列循环卷积的离散傅里叶变换等于其傅里叶变换的乘积。 II. 频域循环卷积定理 若)()()(n h n x n y =，则)(1 )(k X N k Y = ○ N )(k H 这表明：两序列乘积的离散傅里叶变换等于其傅里叶变换的循环卷积乘以1/N 。 （4） 循环卷积、周期卷积和线性卷积的关系 ○ 1利用周期卷积计算循环卷积 先计算两序列的周期卷积（列表法，参见例 3.2.3），再对卷积结果取其主值区间（n =0~N-1）内的值即可。 ○ 2利用循环卷积计算线性卷积 I. 用循环卷积代替线性卷积的条件 设两个有限长序列x (n )、h (n )的点数分别为N 和M ，其循环卷积的长度为L ，则要用循环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．L ．必须不小于线性卷积的长度．．．．．．．．．．．．N ．+．M ．-．1．，即 L ≥N +M-1 否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。 II. 用循环卷积实现线性卷积的具体步骤 i) 根据上述条件，取L =N +M-1，分别将序列x (n )、h (n )补零扩展为L 点序列，即 ?? ?-≤≤-≤≤=1010)()(L n N N n n x n x ，，，? ??-≤≤-≤≤=101 0)()(L n M M n n h n h ，， ii) 分别计算序列x(n)、h(n)的L 点离散傅里叶变换，即 )]([)(n x DFT k X =，)]([)(n h DFT k H = iii) 利用时域循环卷积定理计算序列x (n )、h (n )的L 点循环卷积，且它就等于其线 性卷积，即 )()()()(n x n h n x n y =*=○ L )]()([)(k H k X IDFT n h = 用循环卷积实现线性卷积的过程如图所示。 4. Parseval （帕塞瓦）定理 ∑∑-=-==1 * 1 * )()(1 )()(N k N n k Y k X N n y n x 证： 由DFT 的逆变换和正变换的定义，可得 ∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=--===?? ??? ?=1 * 10 1 * * 1 01 010* ) ()(1)()(1 )(1)()()(N k kn N N n N k N n N k kn N N n k X k Y N W n x k Y N W k Y N n x n y n x 如果令y (n ) = x (n )，则上式变为 ∑∑-=-==1 * 1 * )()(1 )()(N k N n k X k X N n x n x 即 ∑∑ -=-== 1 2 1 2 ) (1 )(N k N n k X N n x 这表明：序列在时域的能量与在频域的能量是相等的。 三、 DFT 与DTFT 及Z 变换的关系 1. Z 变换与DTFT 的关系 DTFT 与Z 变换之间存在关系 ωωj e z j z X e X n x DTFT ===)()()]([ 即：若Z 变换的收敛域包含单位圆，则序列的DTFT 也就是单位圆上的Z 变换。 2. Z 变换与DFT 的关系 有限长序列x (n )的DFT 为 110)()(1 0-==∑-=N k W n x k X N n kn N ，，，，Λ 其Z 变换为 ∑∞ -∞ =-= n n z n x z X )()( 对照上述公式，可知 110)()()(2-=====-N k z X z X k X k N j k N e z W z ，，，，Λπ 这表明：序列的DFT 也就是其Z 变换在单位圆上的等间隔采样，其角度间隔为ω=2π/N ， 即将单位圆N 等分，各序列的DFT 值均匀分布在单位圆上。 3. DTFT 与DFT 的关系 由于Z 变换在单位圆上的取值就等于序列的傅里叶变换 X (e j ω )，则 1 10) ( ) () ()(222-======N k e X e X z X k X k N j k N j e z k N j ，，，，Λπωω ππ 这表明：序列的DFT 也就是其DTFT 的等间距采样，其采样间距为ω=2π/N 。 序列的Z 变换、DFT 以及DTFT 的关系如图所示（P68图3.2.5）。 四、 频域采样 频域采样定理：．．．．．．． 对于长度为．．．．．M ．的有限长序列，频域采样不失真的条件是：频域采样点数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．N ．不小于序列．．．．．长度．．M ．，即．． M N ≥ 五、 DFT 在实际应用中的问题 1. 混叠失真现象 2. 栅栏效应 因为DFT 计算信号频谱，只给出了基频整数倍处的离散谱，而不是连续频谱，这就象通过一个“栅栏”观看景象一样，只能在离散点上看到真实景象，这种现象称为“栅栏效应．．．．”。 减小栅栏效应的一个方法就是要使频域采样更密，即增加频域采样点数，这样必然使各谱线间的距离更近，从而使原来被“栅栏”挡住的频谱分量显露出来，为此，我们可以在不改变原有数据记录的基础上，采用在时域数据的末尾补零的方法来实现。补零的好处在于．．．．．．．：○1．使频域采样更密，减小栅栏效应；．．．．．．．．．．．．．．．○2．使采样点数．．．．．N ．变为．．2．的整数次幂，便于利用．．．．．．．．．．计算机实．．．．现快速傅里叶变换（．．．．．．．．．FFT ．．．）。．．（．P209．．．．）． 3. 频谱泄漏 在进行谱分析时，通常需要用矩形窗将长序列信号截取成若干段有限长序列信号，这种过程相当于原序列与矩形窗函数相乘，而时域相乘则对应于频域中的原序列频谱与矩形窗函 数频谱的卷积过程，从而造成卷积后的频谱拓宽，即：在频谱图中的主瓣以外，又出现了多个旁瓣，这种失真现象就称为“频谱泄漏．．．． ”现象。 为了减少泄漏带来的影响，截取信号时应根据具体情况，选择合适的窗函数．．．．．．．．，如哈明窗或汉宁窗等。那么，窗函数的选择依据如下： 1. 窗函数的评价指标（P207~208） （1） 最大旁瓣用最大旁瓣值与主瓣峰值之比的对数来表示，即20lg(A 旁max /A 峰)； （2） 旁瓣衰减率以10个相邻旁瓣峰值的衰减比的对数来表示，即20lg(A 旁10/A 旁1)； （3） 主瓣峰值可能最大误差%1001??? ? ? ??-=峰读 G G ε； （4） 主瓣宽 主瓣的宽窄对频率分辨率有影响，若主瓣宽越窄，则分辨率越高。 2. 窗函数的长度 窗的长度越长，其分辨率越高。 3. 窗函数的位置 对于周期信号尽量保证整周期采样。 3.4 快速傅里叶变换（FFT ） 1965年，库利（J.W.Cooley ）和图基（J.W.Tukey ）在《计算数学》杂志上发表了著名的“机器计算傅里叶级数的一种算法”的文章，提出了DFT 的一种快速算法。 一、 直接计算DFT 的问题及改进途径 N 点有限长序列x (n )的离散傅里叶变换公式为： 正变换 110)()]([)(1 -== =∑-=N k W n x n x DFT k X N n kn N ，，，，Λ 反变换 110)(1 )]([)(10 -== =∑-=-N n W k X N k X IDFT n x N k kn N ，，， ，Λ 傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5） 傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 Heinrich · 6 个月前 作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生 上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ——————————————以上是定场诗—————————————— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。 一、什么是频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢？ 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 第一章 信号与系统的基本概念 1．信号、信息与消息的差别？ 信号：随时间变化的物理量； 消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等 信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。 2．什么是奇异信号？ 函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。例如： 单边指数信号 （在t =0点时，不连续）， 单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。 较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。 3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？ 冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。 它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。其重要特性是筛选性，即： ()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞ ∞ -∞ -∞ ==? ? 4．什么是单位阶跃信号？ 单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为： 10()00t u t t >?=? 12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时， 输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+； 且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。 其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性； 如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。 线性时不变系统是最基本的一类系统，是研究复杂系统，如非线性、时变系统的基础。 6．线性时不变系统的意义与应用？ 线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象，对线性时不变性进行推广，可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信号分别为()x t 和()y t ，则 当输入信号为 ()dx t dt 时，输出信号则为() dy t dt ； 或者当输入信号为()t x d ττ-∞ ?时，输出信号则为()t y d ττ-∞ ?。 另外，线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应）、系统函数或频率响应进行描述。而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：级联和并联。 假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为：1()h t 和2()h t ， 当两个系统级联后，整个系统的冲激响应为：12()()*()h t h t h t =； 当两个系统并联后，整个系统的冲激响应为：12()()()h t h t h t =+； 当0t <时，若()0h t =， 则此系统为因果系统； 若|()|h t dt ∞ -∞<∞?， 则此系统为稳定系统。 第二章 连续时间系统的时域分析 1．如何获得系统的数学模型？ 数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。 不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。对于线性时不变系统，其数学模型 1.课题综述 第一章中我们主要学习了信号、测试、测控、信号分析处理的概念、测试技术的应用情况、测试技术的发展动态及主要信号测试仪器生产厂商。信号是指那些代表一定意义的现象，比如声音、动作、旗语、标志、光线等，它们可以用来传递人们想表达的事情。从广泛意义上来说，信号是指事物运动变化的表现形式，它代表事物运动变化的特征。信号采集测量系统由传感器、中间变换装置和显示记录装置三部分组成，如今传感器技术越来越趋向于新型化和智能化。在工程领域，科学实验、产品开发、生产监督、质量控制等，都离不开测试技术。测试技术应用涉及到航天、机械、电力、石化和海洋运输等每一个工程领域。 第二章我们主要学习了信号分类方法、信号时域波形分析方法、信号时差域相关分析方法、信号频域频谱分析方法及其它信号分析方法。首先学习了信号的分类，其主要是依据信号波形特征来划分的，从信号描述上分可分为确定性信号与非确定性信号；从信号的幅值和能量上分可分为能量信号与功率信号；从分析域上分可分为时域与频域；从连续性上分可分为连续时间信号与离散时间信号；从可实现性上分可分为物理可实现信号与物理不可实现信号。 信号的时域波形分析，信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。可以求得信号的均值、均方值、方差以及概率密度函数等参数。信号的时差域相关分析，用相关函数来描述与时间有关的变量τ、x(t)和y(t)，三者之间的函数关系，相关函数表征了x、y之间的关联程度。信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，频域分析能明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。 第三章我们主要学习了传感器的分类、常用传感器测量原理及传感器测量电路。传感器是借助检测元件将一种形式的信息转换成另一种信息的装置。传感器由敏感器件与辅助器件组成。敏感器件的作用是感受被测物理量，并对信号进行转换输出。辅助器件则是对敏感器件输出的电信号进行放大、阻抗匹配，以便于后续仪表接入。主要有电阻式、电容式、电感式、磁电式、压电式传感器，磁敏、热敏和气敏元件传感器，以及超声波、光电及半导体敏感元件传感器，光纤传感器等。 第四章我们主要学习了自动化工程机械分类、工程机械控制器及发展趋势、 傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 φ1t,φ2t,…,φn t构成一个函数集，若这些函数在区间t1,t2上满足 φi tφj t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(1) 如果是复数集，那么正交条件是 φi tφj?t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(2) φj?t为函数φj t的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设φn t=cos nωt，φm t=cos mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt cos mωt dt t0+T t0 当n≠m时 =1 2 cos n+mωt+cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω +sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 再证两个都是正弦的情况 设φn t=sin nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=sin nωt sin mωt dt t0+T t0 当n≠m时 =1 2 cos n+mωt?cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω ?sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设φn t=cos nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt sin mωt dt t0+T t0 =1 2 sin n+mωt?sin n?mωt t0+T t0 dt =1 2 ?cos n+mωt (n+m)ω +cos n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设φn t=?jnωt，φm t=?jmωt,则φj?t=??jmωt把φn t，φj?t代入(2)得 φi tφj?t t0+T t0dt=?jnωt t0+T t0 ??jmωt dt =?j(n?m)ωt t0+T t0 dt 当n≠m时，根据欧拉公式 =cos n?mωt+j sin?(n?m)ωt t0+T t0 dt =sin n?mωt n?mω?j cos?(n?m)ωt n?mωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 实验二 用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析 一、实验目的 1．理解离散傅里叶变换的意义； 2．掌握时域采样率的确定方法； 3．掌握频域采样点数的确定方法； 4．掌握离散频率与模拟频率之间的关系； 5．掌握离散傅里叶变换进行频谱分析时，各参数的影响。 二、实验原理 序列的傅里叶变换结果为序列的频率响应，但是序列的傅里叶变换是频率的连续函数，而且在采用计算机计算时，序列的长度不能无限长，为了便于计算机处理，作如下要求：序列x (n )为有限长，n 从0～N －1，再对频率ω在0～2π范围内等间隔采样，采样点数为N ，采样间隔为2π/N 。第k 个采样点对应的频率值为2πk /N 。可得离散傅里叶变换及其逆变换的定义为 ∑-=-=1 02)()(N n n N k j e n x k X π (1) ∑-==1 02)(1)(N k k N n j e k X N n x π (2) 如果把一个有限长序列看作是周期序列的一个周期，则离散傅里叶变换就是傅里叶级数。离散傅里叶变换也是周期的，周期为N 。 数字频率与模拟频率之间的关系为 s f f /2πω=，即s s T f f πωπω22== (3) 则第k 个频率点对应的模拟频率为 N kf NT k T N k f s s s k ==?=ππ212 (4) 在用快速傅里叶变换进行频谱分析时，要确定两个重要参数：采样率和频域采样点数，采样率可按奈奎斯特采样定理来确定，采样点数可根据序列长度或频率分辨率△f 来确定 f N f s ?≤，则f f N s ?≥ (5) 用快速傅里叶变换分析连续信号的频谱其步骤可总结如下： （1）根据信号的最高频率，按照采样定理的要求确定合适的采样频率f s ； （2）根据频谱分辨率的要求确定频域采样点数N ，如没有明确要求频率分辨率，则根据实际需要确定频率分辨率； （3）进行N 点的快速傅里叶变换，最好将纵坐标根据帕塞瓦尔关系式用功率来表示， 脉搏、语音及图像信号的傅里叶分析 一、实验简介 任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号（谐波）的叠加。利用不同的方法，可以从周期信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。 二、实验目的 1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。 2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程 3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义 三、实验仪器 脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器 四、实验原理 1、周期信号傅里叶分析的数学基础 任意一个周期为T 的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数： 00010000 1 ()(cos sin ) 21()() 1 ()cos()()1 ()sin()()n n n n n f t a a n t b n t a f t d t a f t n t d t b f t n t d t π π π ππ πωωωωπ ωωωπ ωωωπ ∞ =-- - =++=== ∑??? 其中0ω为角频率，称为基频，0a 为常数，n a 和n b 称为第n 次谐波的幅值。任何 周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。 对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为: (0t<)2() (-t 0) 2 h f t h ππ? ≤??=? ?-≤ 实验二、应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析 一、 实验目的 1、 加深对DFT 算法原理和基本性质的理解，熟悉FFT 算法原理。 2、 掌握应用FFT 对信号进行频谱分析的方法。 3、 通过本实验进一步掌握频域采样定理。 4、 了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中 正确应用FFT 。 二、 实验原理 1、 一个连续时间信号()a x t 的频谱可以用它的傅里叶变换表示为： ()()j t a a X j x t e dt +∞ -Ω-∞ Ω=? 如果对信号进行理想采样，得： ()()a x n x nT =， 其中，T 为采样周期。对()x n 进行Z 变换，得： ()()n n X Z x n z +∞ -=-∞ = ∑ 当jwt z e -=时，我们便得到序列傅氏变换SFT ： ()()jw jwn n X e x n e +∞ -=-∞ = ∑ 其中w 称为数字角频率：/s w T F =Ω=Ω。 2、12()[()]jw a m w m X e X j T T T π+∞=-∞=-∑，序列的频谱是 原模拟信号频谱的周期延拓，这样，可以通过分析序列的频谱，得到相应连续信号的频谱。 3、离散傅里叶变换（DFT ）能更好的反映序列的频域特性。 当序列()x n 的长度为N 时，它的离散傅氏变换为： 1 0()[()]()N kn N n X k DFT X n x n W -===∑ 它的反变换为： 10 1()[()]()N kn N n x n IDFT X k X k W N --===∑ 比较Z 变换式和DFT 式，令k N z W -=，则 10 ()|()[()]k N N kn N z W n X z x n W DFT X n --====∑ 因此有 ()()|k N z W X k X z -== 即k N W -是z 平面单位圆上幅角为2/w k N π=的点，也即是将单位圆 N 等分后的第k 点。所以()X k 是()x n 的Z 变换在单位圆上的 等距采样，或者说是序列傅氏变换的等距采样。 三、 如何提高估计精度 增大做FFT 运算的点数 四、 幅频特性曲线及结果分析 周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间 (,)-∞∞ ，每隔一定时间 T ，按相同 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 t ()t f 1 1 -T 2 /T 0 周期信号的特点： （1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时 间范围为(,)-∞∞ （2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 ()f t 可以写成 0()() n f t f t nT ∞ =-∞ = -∑ （3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 ()()()a T b T T a b f t dt f t dt f t dt ++= =? ? ? 1. 三角形式的傅立叶级数 周期信号 f t () ，周期为1T ，角频率 11122T f π πω= = 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 []∑∞ =++ =++++++++=1 1 1 011121211110)sin()cos(...)sin()cos(... )2sin()2cos()sin()cos()(n n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 式中各正、余弦函数的系数 n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 傅里叶变换分析信号的缺点 基于傅里叶(Fourier)变换的信号频域表示,揭示了时间函数和频谱函数之间的内在联系,在传统的平稳信号分析和处理中发挥了极其重要的作用,很多理论研究和应用研究都把傅里叶变换当作最基本的经典工具来使用.但是傅里叶变换存在着严重的缺点:用傅里叶变换的方法提取信号频谱时,需要利用信号的全部时域信息,这是一种整体变换,缺少时域定位功能,因此必须对其加以改进. 傅里叶变换的特点及其局限性 设函数f(t)在(-,+)内有定义,且使广义积分 都收敛,则称(1)式定义的广义积分为函数f(t)的傅里叶变换,记为F{f(t)},(2)式定义的广义积分为逆傅里叶变换,记为{F()}。傅里叶变换可以完成从时域到频域的转换(正变换),也可以完成从频域到时域的转换(逆变换),但不能同时具有时域和频域信息。其核函数是,由于三角函数具有填满整个空间的特性,其在物理空间中是双向无限延伸的正弦波,在积分变换中体现为积分范围从+到-。因此,傅里叶变换是先天的非局限性,它对信号f(t)中体现任何局部信息处理都是相同的。而事实上,工程技术中的许多信号,如:语音信号、地震信号、心电图和各种电脉冲,他们的信号值只出现在一个短暂的时间间隔t内,以后快速减为零,t以外是未知的,可能为零,也可能是背景噪音,如果 用(1)式从信号中提取谱信号F(),就要取无限的时间量,使用过去的及将来的信号只为计算单个频谱,不能反映出随时间变化的频率,实际上我们需要的是确定的某个时间间隔内的频谱。这就使人们想到改进傅里叶变换使其能用来处理某个确定时间范围内的信号。Gabor提出的窗口傅里叶变换就是一个有效的方法。 另外,傅里叶变换之所得到广泛应用与透镜能实现傅里叶变换是分不开的。由公式 其中物平面为(,),焦平面为(),d0为物距,d1为象平面。要使=F{(,)},即准确实现傅里叶光学变换,只有在==f 时才能实现,否则将出现位相弯曲。并且,只有正透镜才能实现傅里叶变换,这些限制给工程技术中无疑增加了困难。这使得人们不得不寻求新得的方法,分数傅立叶变换不要求严频谱面,可根据需要在既包含空域信息也包括空频域信息的平面上进行处理,这使光学信息处理更具灵活性。 1傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能 傅里叶变换及其逆变换表示如下 这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。 一、嘛叫频域 关键词：从侧面看 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？ 这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的： 上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。 现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。 将以上两图简化： 时域： 频域： 在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。 你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。 傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正/余弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。 而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。 二、傅里叶级数(Fourier Series) 如果说能用余弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？但是看看下图： 第一幅图是一个郁闷的余弦波cos（x） 第二幅图是2个卖萌的余弦波的叠加cos(x)+a cos(3x) 第三幅图是4个发春的余弦波的叠加 第四幅图是10个便秘的余弦波的叠加 随着余弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？ 随着叠加的递增，所有余弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个余弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。 不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正/余弦波叠加起来的。 这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。 还是上图的余弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看： 傅里叶变换 对信号和系统的分析研究可以在时间域进行，也可以在频域进行。连续时间信号是时间变量t 的函数，连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述，也可以用冲激响应来描述。离散时间信号（序列）是序数n 的函数，这里n 可以看成时间参量，离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述，也可以用单位脉冲响应来描述。 在时间域对信号和系统进行分析研究，比较直观，物理概念清楚，但仅在时间域分析研究并不完善，有些问题研究比较困难。比如，有两个序列，从时间波形上看，一个变化快，一个变化慢，但都混有噪声，希望用滤波器将噪声滤除。从信号波形观察，时域波形变化快，意味着含有更高的频率成分，因此这两个信号的频谱结构不同，那么对滤波器的性能要求也不同。为了设计合适的滤波器，就需要将时域信号转换到频率域，得到其频谱结构，分析其特性，进而得到所要设计的滤波器的技术指标，然后才能进行滤波器的设计。 在连续时间信号与系统中，其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。在离散时间信号与系统中，频域分析采用z 变换与傅里叶变换作为数学工具。现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。 傅里叶变换的几种可能形式 对傅里叶变换的几种可能形式进行总结，再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。 一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换 在“信号与系统”课程中，这一变换对为 ?∞ ∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j a a )()( ΩΩ=?∞ ∞-Ωd e j X t x t j a a )(21 )(π 这一变换对的时频域示意图(只说明关系，不表示实际的变换对)如图所示。可以看出时域上是非周期连续信号，频域上是连续非周期的频谱。 二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示 非周期连续信号及其频谱 0Ω0 傅里叶分析应用于热传导问题 （物理系郭素梅指导教师陆立柱） 〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。 〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题 引言 1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。 1.傅里叶分析 1.1 傅里叶级数 傅里叶级数在应用上有以下优点[1]：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调 和分析。 若函数() f x以2l为周期，即 +=[2] (2)() f x l f x (1.1.1) 则可取三角函数族 1， cos x l π,cos 2x l π, … cos n x l π ，… sin x l π,sin 2x l π, (i) n x l π ， … (1.1.2) 作为基本函数族，将()f x 展开为级数[3] ()f x =0 a +1 (n n a ∞ =∑cos n x l π+ n b cos n x l π) (1.1.3) 可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的[4]。根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展 开系数为 1()cos 1()sin l n l n l n l n a f d l l n b f d l l πξξξδπξξξ--?=??? ?=?? ?? （1.1.4） 其中 2(0)1 (0) n n n δ?=?=? ≠?? (1.1.3)称为周期函数()f x 的傅里叶级数展开式，其中的展开系数 （1.1.4）称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题[2]，有Dirichlet 定理[4]。 若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，0a 及诸k a 均等于零，展开式(1.1.3)为 () f x = 1 sin n n n x b l π∞ =∑, 利用Excel进行FFT和Fourier分析的基本步骤 实例：杭州市2000人口分布密度[根据2000年人口普查的街道数据经环带(rings)平均计算得到的结果，数据由冯健博士处理]。下面的变换实质是一种空间自相关的分析过程。 第一步，录入数据 在Excel中录入数据不赘述（见表1）。 表1 原始数据序列表2 补充后的数据序列 第二步，补充数据 由于Fourier变换（FT）一般是借助快速Fourier变换（Fast Fourier Transformation, FFT）算法，而这种算法的技术过程涉及到对称处理，故数据序列的长度必须是2N（N=1,2,3,…，）。如果数据序列长度不是2N，就必须对数据进行补充或者裁减。现在数据长度是26，介于24=16到25=32之间，而26到32更近一些，如果裁减数据，就会损失许多信息。因此，采用补充数据的方式。 补充的方法非常简单，在数据序列后面加0，直到序列长度为32=25为止（表2）。当然，延续到64=26也可以，总之必须是2的整数倍。不过，补充的“虚拟数据”越多，变换结果的误差也就越大。 第三步，Fourier变换的选项设置 沿着工具（Tools）→数据分析（Data Analysis）的路径打开数据分析复选框（图1）。 图1 数据分析（Data Analysis）的路径 在数据分析选项框中选择傅立叶分析（Fourier Analysis）（图2）。 图2 数据分析（Data Analysis） 在Fourier分析对话框中进行如下设置：在输入区域中输入数据序列的单元格范围“$B$1:$B$33”；选中“标志位于第一行（L）”；将输出区域设为“$C$2”或者“$C$2:$C$33”（图3a）。 a 实验二傅里叶分析及应用 一、实验目的 （一）掌握使用Matlab进行周期信号傅里叶级数展开和频谱分析 1、学会使用Matlab分析傅里叶级数展开，深入理解傅里叶级数的物理含义 2、学会使用Matlab分析周期信号的频谱特性 （二）掌握使用Matlab求解信号的傅里叶变换并分析傅里叶变换的性质 1、学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶变换 2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图 3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质 （三）掌握使用Matlab完成信号抽样并验证抽样定理 1、学会运用MATLAB完成信号抽样以及对抽样信号的频谱进行分析 2、学会运用MATLAB改变抽样时间间隔，观察抽样后信号的频谱变化 3、学会运用MATLAB对抽样后的信号进行重建 二、实验条件 安装winXP系统的电脑一台、matlab 7.0软件 三、实验内容 1、已知周期三角信号如下图所示[注：图中时间单位为：毫秒(ms)]： （1）试求出该信号的傅里叶级数[自己求或参见课本P112或P394]，利用Matlab编程实现其各次谐波[如1、3、5、13、49]的叠加，并验证其收敛性； 解： 命令文件： clear all;close all;clc; t=-10:0.01:10; omega=pi; y=abs(sawtooth(pi*0.5*t,0.5)); plot(t,y),grid on; axis([-10,10,0,3]); n_max=[1,3,5,13,49]; N=length(n_max); for k=1:N n=1:2:n_max(k); b=4./((pi*n).^2); x=b*cos(omega*n'*t); figure; plot(t,y); hold on; x=x+1/2; plot(t,x); hold off; axis([-10,10,0,3]); title(['最大谐波数=',num2str(n_max(k))]); end 图像： 脉搏、语音 及图像信号的傅里叶分析 一、实验简介 任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号（谐波）的叠加。利用不同的方法，可以从周期信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。 二、实验目的 1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。 2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程 3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义 三、实验仪器 脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器 四、实验原理 1、周期信号傅里叶分析的数学基础 任意一个周期为T 的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数： 00010000 1 ()(cos sin ) 21()() 1 ()cos()()1 ()sin()()n n n n n f t a a n t b n t a f t d t a f t n t d t b f t n t d t π π π ππ πωωωωπ ωωωπ ωωωπ ∞ =-- - =++=== ∑??? 其中0ω为角频率，称为基频，0a 为常数，n a 和n b 称为第n 次谐波的幅值。任何 周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。 对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为: (0t<)2() (-t 0)2 h f t h ππ? ≤??=? ?-≤ 傅里叶分析之掐死教程（完整版） 投递人itwriter发布于2014-06-07 10:50 评论(24)有34667人阅读原文链接[收藏]?? 作者：韩昊 知乎：Heinrich 微博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章———— 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是 12 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此 对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… .本文无论是 cos 还是 sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。 一、什么是频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢 这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
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