2013年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)
2013年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年广东，理1，5分】设集合{}2
|20,M x x x x =+=∈R ，
{}2
|20,N x x x x =-=∈R ，则M N =（ ）
（A ）{}0 （B ）{}0,2 （C ）{}2,0- （D ）{}2,0,2- 【答案】D
【解析】易得{}2,0M =-，{}0,2N =，所以M N ={}2,0,2-，故选D ． （2）【2013年广东，理2，5分】定义域为R 的四个函数3
y x =，2x
y =，2
1y x =+，2sin y x =中，奇函数的个
数是（ ）
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【答案】C
【解析】3
y x =，2sin y x =为奇函数；2
1y x =+为偶函数；2x
y =为非奇非偶函数．∴共有2个奇函数，故选C ． （3）【2013年广东，理3，5分】若复数z 满足i 24i z =+，则在
复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）
（A ）()2,4 （B ）()2,4- （C ）()4,2- （D ）()4,2 【答案】C
【解析】由i 24i z =+，得24i (24i)
(i)
42i i i (i)
z ++?-===-?-，故z 对应点的坐标为(4)2-，，故选C ．
11OD C ODC
??∽，所以1
11
OD D C
OD DC
=
， 即
122
x x =+，解得
2
x =．1111
11111114
224112333
ABCD A B C D O A A B B C O D CD V
V V ---=???-???=-=
棱锥棱锥，故选B ．
（6）【2013年广东，理6，5分】设,m n 是两条不同的直线，
,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） （A ）若αβ⊥，m α?，n β?，则m n ⊥ （B ）若//αβ，m α?，n β?，则//m n
（C ）若m n ⊥，m α?，n β?，则αβ⊥ （D ）若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D
【解析】选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确；选项B 中，m 与n 还可能异面，故不正确；
选项C 中，α与β还可能平行或相交，故不正确；
选项D 中，∵m α⊥，//m n ，n α∴⊥．
又//n β，αβ∴⊥，故选D ．
（7）【2013年广东，理7，5分】已知中心在原点的双曲线
C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于3
2
，在双曲线C 的方程是（ ）
（A ）2
2
145x = （B ）2
2
145x y -= （C ）2
2
125x y -= （D ）
22
125
x -=
【答案】B
【解析】由曲线C 的右焦点为0(3)F ，，知3c =．由离心率3
2
e =，知32
c a =，则2a =，故2
22945
b
c a =-=-=，
所以双曲线C 的方程为
22
145
x y -=，故选B ．
（8）【2013年广东，理8，5分】设整数4n ≥，集合{}
1,2,3,,X n =．令
集合(){,,|,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<， ,y z x z x y
<<<<，}恰有一个成立，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选
项正确的是（ ）
（A ）(),,y z w S ∈，(),,x y w S ? （B ）(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈
（C ）(),,y z w S ?，(),,x y w S ∈ （D ）(),,y z w S ?，(),,x y w S ∈ 【答案】B
【解析】解法一：
特殊值法，不妨令2,3,4x y z ===，1w =，则()(),,3,4,1y z w S =∈，()(),,2,3,1x y w S =∈，故选B ． 解法二：
由()x y z S ∈，，，不妨取x y z <<，要使()z w x S ∈，，，则w x z <<或
x z w <<．当w x z <<时，
w x y z <<<，故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,．当x z w <<时，x y z w <<<，
故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,．
综上可知，()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,，故选B ．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~13） （9）【2013年广东，理9，5分】不等式2
20x x +-<的解集为 ． 【答案】()2,1-
【解析】2
20x x +-<即()()210x x +-<，解得21x -<<，故原不等式的解集为1{|}2x x -<<． （10）【2013年广东，理10，5分】若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处
的切线平行于x 轴，则k = ．
【答案】1- 【解析】1y x
k '=+．因为曲线在点(1)k ，处的切线平行于x
轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得1
0|x y ='=，故10k +=，即1k =-．
（11）【2013年广东，理11，5分】执行如图所示的
程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 ． 【答案】7
【解析】第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循
环后:7,5s i ==；故输出7．
（12）【2013年广东，理12，5分】在等差数列{}n
a 中，已知3810a a +=，则57
3a a += ． 【答案】20
【解析】依题意12910a d +=，所以()57111
334641820a a a d a d a d +=+++=+=． 或:()5738
3220a a a a +=+=．
（13）【2013年广东，理13，5分】给定区域D ：
44
40x y x y x +≥??
+≤??≥?
，令
点集()()0
{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 条不同的直线．
【答案】6
【解析】画出可行域如图所示，其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1，取得最大值时的整
点为()0,4，()1,3，()2,2，()3,1及()4,0共5个整点．故
可确定
516+=条不同的直线．
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
（14）【2013年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选
做题）已知曲线C 的参数方程为22x t
y t
?=??
=??(t 为参数)，C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ．
【答案】sin 24πρθ??
+= ???【解析】曲线C 的普通方程为2
2
2x y +=，其在点()1,1处的切
线l 的方程为2x y +=，对应的极坐标方程为
cos sin 2ρθρθ+=，即sin 24πρθ?
?+= ??
? （15）【2013年广东，理15，5分】（几何证明选讲选
做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，
延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若6AB =，2ED =，则BC = ． 【答案】23【解析】依题意易知ABC CDE ??，所以AB BC
CD DE =，又BC CD =，所以
2
12BC AB DE =?=，从而23BC =．
三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）【2013年广东，理16，12分】已知函数()212f x x π??
=- ??
?，x ∈R
．
（1）求6f π??
- ???
的值； （2）若3cos 5θ=，3,22πθπ??∈ ???，求23f πθ??+ ??
?． 解：（1）2221
661244f πππππ??
????
-=
--=-== ? ? ???
????
．
（2）22222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ
??
???
?+=
+-=+=- ? ? ??????
?，因为3
cos 5θ=，
3,22
πθπ??
∈
???
，