一元二次方程根的判别式的意义及应

一元二次方程根的判别式的意义及应用

教学目标

（一）使学生更且元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；

（二）使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。 教学重点和难点

重点：一元二次方程的根的判别式的运用。

难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解。

教学过程设计

（一）复习

1、请同学们回想一下，我们用求根公式法想一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步？为什么要先写这两步？

例 用求根公式法解方程（教师把这个过程写在黑板上）

2x 2+10x －7=0.

解：因为a=2,b=10,c= -7, ①

b2=156＞0，

x 1

2.

答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下a,b,c 的取值，这是要先写①式的原因；

因为一元二次方程不一定有（实数）解，所以有必要先了解一下代数式b 2-4ac 的值，如果b 2-4ac 的值是负的，则方程无（实数）解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写②式的原因。

（二）新课

1．从上面的解释可见，在一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，代数b 2-4ac 起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即

△=b 2

-4ac (注意不是△=

ac b 42-) 2．教师紧接着提问学生：提的判别根的什么？

3．把课本P27黑体字（实际上就是定理）用三个定理来表示（我们通常把记号A ?B 表示为A 是命题的条件，B 是命题的结论）于是有：

定理1 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，△＞0?方程有两个不等实数根 定理2 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，△=0?方程有两个相等实数根

定理3 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，△＜0?方程没有实数根

注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，我信平炉处到三个定理，那就是

定理4 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，方程有两个不等实数根?△＞0

定理5 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，方程有两个相等实数根?△=0

定理6 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，方程没有实数根?△＜0

显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理，定理3与定理6，互为逆定理。

定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。

定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系

数中某些字母的值。

运用根的判别式解题举例

例1 不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）2x 2+3x-4=0; (2)16y 2+9=24y; (3)5(x 2+1)-7x=0

解：（1）因为△=32-4×2（-4）=9+32>0;所以原方程有两个不相等的实数根。 （注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式。②只要知道△>0，△=0，△<0就可以了，所以课本没有算出9+32=41）

（2）原方程变形为16y 2-24y+9=0，因为△=（-24）2-4×16×9=576-576=0，所以原方程有两个相等实数根。

（3）原方程变形为5x 2-7x+5=0,因为△=（-7）2-4×5×5=49-100<0,所以原方程没有实数根。

例2 已知方程2x 2+(k-9)x+(k 2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根。

解：因为方程有两个相等实数根，所以△=0，即（k-9）2-8(k 2+3k+4)=0,k 2-18k+81-8k 2-24k-32=0,化简，得k 2+6k-7=0,(k+7)(k-1)=0. 所以k 1=-7,k=1.

当k=-7时，原方程为２x 2-16x+32=0,得x 1=x 2=4;

当k=1时，原方程为２x 2-8x+8=0,得x 3=x 4=2.

（问：本题的算理是什么？答：是定理５）

例３ 若关于x 的方程x 2+2(a+1)x+(a 2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a 的值。 分析：要注意两个条件：①有实数根，②a 是正整数。

解：由方程有实根 △≥0，得[2(a+1)]2-4×1×（a 2+4a-5）≥0，不等式两边同除以正数4，不等号的方向不变，得a 2+2a+1-a 2-4a+5≥0,-2a+6≥0,所以a ≤3 因为a 是正整数，所以a=1,2,3

（注意：本题的算理是根据定理4，5，而不是定理1，2）

（三）课堂练习

1．关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是-______________.

2．当41

a2-1且k ≠0; 2.无实数根）

（四）小结

1．根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，是两个相等实根，还是不相等实根。

2．运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a,b,c 的值.

3.在解题时，应明确何时用定理1，2，3何时用定理4，5，6.

（五）作业

1．下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ ）

（A ）7x 2-x-1=0 (B)9x 2=4(3x-1)

(C)x 2+7x+15=0 (D)23x 2-22

x+1=0

3．若方程（k 2-1）x 2-6(3k-1)x+72=0 有两个不同的正整数根，则整数k 的值是（ ）。

4．若a,b,c 互不相等，则方程（a 2+b 2+c 2）x 2+2(a+b+c)x+3=0( )

（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根

（C ）没有实数根 （D ）根的情况不确定

5．不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x 2+4x+35=0; (2)4m(m-1)+1=0; (3)0.2x 2-5=23

x;

(4)4(y 2+0.09)=2.4y; (5) 21x 2-2=3x; (6)2t=5(t 2+51

)

6.已知关于x 的方程x 2+(2m+1)x+(m-2)2=0. m 取什么值时，

（1）方程有两个砂相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？

7．K 取什么值时，方程4x 2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。

8．求证：关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根。 作业的答案或提示

2．（B ）

3．（C ）.因为△=36(3k-1)2-288(k 2-1)=36(k-3),当k ≠3时，要使x1=112

+k , x2=16

-k 同时为正整数，只有k=2.

4．（C ）因为△=4（a+b+c ）2-12(a 2+b 2+c 2)=4(-2a 2-2b 2-2c 2+2sb+2ac+2bc)=-4[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]<0.

5.(1) △=42-4×2×35<0，原方程没有实数根；

（2）4m 2-4m+1=0, △=(-4m)2-16m 2=0,原方程有两个相等的实数根；

（3）0.4x 2-3x-10=0,△=9-4×0.4×(-10)>0,原方程有两个不相等的实数根；

（4）4y 2-2.4y+0.36=0, △=(-2.4)2-4×4×0.36=0，原方程有两个等的实数根；

（5）x 2-23x-22=0, △=(-23)2-4×(-22)>0,原方程有两个不相等的实数根；

（6）55t 2-10t+5=0, △=100-4×55×5=0,原方程有两个相等实数根；

6．△=（2m+1）2-4(m-2)2=5(4m-3)

(1)当4m-3>0,即m>43

时，原方程有两个不相等的实数根；

（2）当m=43时，原方程有两个相等的实数根；（3）当m<43

时，原方程没有实数根。

7．令△=（k+2）2-4×4(k-1)=0,k 2-12k+20=0,k 1=2,k 2=10.

当k=2时，原方程为4x 2-4x+1=0,x 1=x 2=21

;

当k=10时，原方程为4x 2-12x+9=0,x 1=x 2=23

.

8.因为△=（2k+1）2-4(k-1)=4k 2+4k+1-4k+4=4k 2+5>0,所以原方程有两个不相等的实数根.

课堂教学设计说明

1．为了很自然地引入新课的课题，在本节课开始请学生回忆上节课用求根公式法解一元二次方程的书写步骤，特别要问学生为什么在代入求根公式之前要先计

算一下b 2-4ac 的值。由此引入b 2-4ac 的名称和作用。

2．在新课中，提出一元二次方程ac 2+bx+c=0(a ≠0)中的b 2-4ac 叫做根的判别式后，提醒学生要注意两点：（1）根的判别式不是ac b 42 ；（2）判别根的什么性质。

3．教学设计中，把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件与结论划分得明确，使学生易于接受及记忆。

4．上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判定方程根的情况，为此教学设计中，安排了例1；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的值或求字母间的关系式，为此教学设计中，安排了例2，例

3。为了强化这两类问题的功能，在题目安排中，并提问了解题所依据的算理是什么。