高考数学理科导数大题目专项训练及答案
高一兴趣导数大题目专项训练
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1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其
中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||
x g x x =（
[,0)(0,]x e e ∈-），求证：当1a =-时，1|()|()2
f x
g x >+；
，
2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：
()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）．
(1)求()()()F x h x x ?=-的极值；
(2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
￥
3. 设关于x 的方程012
=--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1
2)(2+-=x m
x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),(
),(βμ
λμβ
λααf f f ++的大小；
②证明.|||)()(
|βαμ
λλβ
μαμλμβλα-<++-++f f
：
4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值.
（I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；
（II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -<
、
21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由．
5．若函数()()2
ln ,f x x g x x x
==-
（1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间；
（2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.
》
6、已知函数.2
3)32ln()(2
x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值；
（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围； （III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围
~
7.已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（Ⅲ）解不等式
ln 1ln 21?+-≤- ?
． (
8.已知函数2
1()ln 2
f x x x =
+. （1）求函数()f x 在[1,e]上的最大值、最小值；
（2）求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数3
2()3
g x x =的图象的下方； /
（3）求证：[()]()n n f x f x ''-≥22(n
n -∈N *）.
9.已知函数)0()(,ln )(<=
=a x
a
x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。 ，
（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2
1≤
k 恒成立，求实数a 的最小值。
（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)1
2(
2
-++=m x a g y 的图象与)1(2
x f y +=的图象恰好有四个不同的交点若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。
$
10.已知函数2
1()2,()log 2
a f x x x g x x =
=－（a ＞0，且a ≠1）
，其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）
． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1 021 ()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<． : 参考答案 1．解：（Ⅰ）当[,0)x e ∈-时，(0,]x e -∈，故有()ln()f x ax x -=-+-，由此及()f x 是奇函数得()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-?=--，因此，函数()f x 的解析式为 ln() (0) ()ln (0) ax x e x f x ax x x e ---≤ +<≤?； （Ⅱ）当[,0)x e ∈-时，11 ()ln()()ax f x ax x f x a x x -'=--?=-= ： ①若1 0a e -≤<，则11111 ()0f x a x e x e e '=- ≥--≥-+=?()f x 在区间[,0)e -上是增函数，故此时函数()f x 在区间[,0)e -上最小值为()()ln 3f e a e e -=--=，得4 a e =-，不符合 10a e -≤<，舍去。②若1a e <-，则令1()0(,0)f x x e a '=?=∈-，且()f x 在区间1,e a ? ?-??? ?上 是减函数，而在区间1,0a ??????上是增函数，故当1x a =时，min 11[()]1ln f x f a a ???? ==-- ? ????? ． ， 令21131ln 3f a e a a ???? =?--=?=- ? ????? ． 综上所述，当2a e =-时，函数()f x 在区间[,0)e -上的最小值是3． （Ⅲ）证明：令1 ()|()|()2 F x f x g x =-- 。当0x e <≤时，注意到ln x x >（设h(x)=x-lnx ，利用导数求h(x)在0x e <≤的最小值为1，从而证得x-lnx >1），故有 ln 1ln 1 ()|ln |ln 22 x x F x x x x x x x =-- -=---． ①当02x <<时，注意到1ln x x -≥，故 1111112()1ln 1(1)02222x F x x x x x x x x x -???? =-+->-+--=-=> ? ???? ?； ②当2x e ≤≤时，有2222 11ln 1ln 421ln 2 ()10x x x x F x x x x x ---+--+'=--=≥>，故函数()F x 在区间[2,]e 上是增函数，从而有 ln 213 ()2ln 2(1ln 2)0222F x ≥-- -=->。 因此，当0x e <≤时，有1 |()|()2 f x g x >+。 又因为()F x 是偶函数，故当0e x -≤<时，同样有()0F x >，即1|()|()2 f x g x >+． ￥ 综上所述，当1a =-时，有1 |()|()2 f x g x >+ ； 2. 【解】(Ⅰ) ()()()F x h x x ?=-=22ln (0)x e x x ->， 2 ()2e F x x x '∴=- = 当x =()0F x '=． 当0x <<()0F x '<，此时函数()F x 递减； 当x >()0F x '>，此时函数()F x 递增； ∴当x = ()F x 取极小值，其极小值为0． (Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数)(x h 和)(x ?的图象在e x = 处有公共点，因此若存在)(x h 和 )(x ?的隔离直线，则该直线过这个公共点． 设隔离直线的斜率为k ，则直线方程 为)(e x k e y -=-，即 e k e kx y -+=． 由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥，可 得02 ≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立． 2)2(e k -=? ， ∴由0≤?，得e k 2=． 下面证明e x e x -≤2)(?当0>x 时恒成 立． @ 令()()G x x e ?=-+e x e x e +-=2ln 2，则 2) ()e x G x x x -'= -=， 当x =()0G x '=． 当0x <<()0G x '>，此时函数()G x 递增； 当x >()0G x '<，此时函数()G x 递减； ∴当x = ()G x 取极大值，其极大值为0． 从而()2ln 0G x e x e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ?恒成立． ∴函数()h x 和()x ?存在唯一的隔离直线y e =-． 解法二： 由(Ⅰ)可知当0x >时，()()h x x ?≥ (当且当x = ) ．……7分 若存在()h x 和()x ?的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得 ()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ?≤+>恒成立， , 令x =e b ≥+且e b ≤+ b e ∴=，即e k e b -=． 后面解题步骤同解法一． 3. （I ）解：01,2 =--mx x 是方程βα 的两个实根， ?? ?-=?=+∴. 1, βαβαm .1 )()(212)(2 2αβααβααβ αβααααα=--=-+-=+-= ∴m f .1)(=∴ααf …………3分 （II ）1 2)(2 +-= x m x x f ， .) 1() 1(2)1(2)2()1(2)(2 2222+---=+?--+='∴x mx x x x m x x x f …………4分 当.0))((1,),(2 <--=--∈βαβαx x mx x x 时 …………5分 而0)(>'x f ， ： ),()(βα在x f ∴上为增函数。 …………7分 （III ）①βαμλ<>>且,0,0 . .0) ()(, 0) ()(βμ λμβλααμ λβαλμλβμλμβλαβμλμβλαμλαβμμλαμλμβλααμλμβλα<++<∴<+-=++-+=-++>+-=++-+=-++∴ …………9分 由（II ），可知).()( )(βμ λμβ λααf f f <++< …………10分 ②同理，可得).()( )(βμ λλβ μααf f f <++< ).()()()( )()(αβμ λλβ μαμλμβλαβαf f f f f f -<++-++<-∴ .|)()(||)()( |βαμ λλβμαμλμβλαf f f f -<++-++∴ …………12分 又由（I ），知.1,1 )(,1)(-=== αββ βα αf f .|||| |1 1 | |)()(|βααβ α ββ αβα-=-=- =-∴f f @ 所以.|||)()( |βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f …………14分 4. 解：（I ）22()[(2)]x f x x a x a b e -'=++++，由条件得：(1)0f '=. 230a b ∴++=，32b a ∴=--. （1分） 22()[(2)3]0x f x x a x a e -'=++-->得：(1)[(3)]0x x a ---->. 当4a =-时，1x =不是极值点，4a ∴≠-. （2分） 当4a >-时，得1x >或3x a <--；当4a <-时，得3x a >--或1x <. （4分） 综上得：当4a >-时，()f x 的单调递增区间为(,3)a -∞--及(1,)+∞ 单调递减区间为(3,1)a --. （5分） 当4a <-时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞及(3,)a --+∞ 单调递减区间为(1,3)a --. （6分） — （II ）(0,1)a ∈时，由(I)知()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增. ∴当[0,2]x ∈时，11min ()(1)(1)(2)f x f a b e a e --==++=--. 又2(0)(32)f a e -=--，(2)421f a b =++=，则(2)(0)f f >. ∴当[0,2]x ∈时，1()[(2),1]f x a e -∈--. （8分） ∴由条件有： 2112max min max [(2)]1()()()()m a m e f x f x f x f x -+++>-=-11(2)a e -=++. 2(2)2m a m a ++>+.即2(1)20m a m ++->对(0,1)a ∈恒成立. 令2 ()(1)2g a m a m =++-，则有：2 2 (0)20 .(10)(1)10g m g m m ?=-≥??=+-≥?? 分 解得：m 或m ≤ （14分） 5. 【解】:(1)由题意知: ()x ?的定义域为()0,+∞, , ()222 x kx x x ?++'= 令()2 2p x x kx =++ 28k ?=- 当2 80k ?=-≤时,即k -≤≤, ()0x ?'≥ 当2 80k ?=->时,即k k ><- 方程2 20x kx ++=有两个不等实根, 12,22 k k x x ---+== 若k >120x x <<,则在()0,+∞上()0x ?'> 若k <-则120x x <<, ()()()()()()11220,,0,,,0,,,0x x x x x x x x x x ???'''∈>∈<∈+∞>当当当 所以:综上可得: 》 当k <-时, ()x ?的单调递增区间为,?? +∞ ? ????? ,单调递减 区间为?? ; 当k >()x ?的单调递增区间为()0,+∞ (2)解法一：因为[),x e ∈+∞，所以ln ln 1 x x x x ax a a x ≥-?≤- 令()[)ln ,,1x x h x x e x = ∈+∞-，则()() 2 ln 1 1x x h x x --'=- 当[),x e ∈+∞时，()1 ln 110x x x '--=->，故ln 1ln 120x x e e e --≥--=-> 所以：()() ()()2 min ln 1 01 1x x e h x h x h e e x --'= >∴== -- 1 e a e ∴≤ - 解法二：()ln 0xf x ax a x x ax a ≥-?-+≥ 令()ln h x x x ax a =-+ 当[),x e ∈+∞时()min 0h x ≥ 《 ()()1ln 1,0a h x x a h x x e -''=+-==由得： ()()()()110,,0,,,0a a x e h x x e h x --''∈<∈+∞>当时当时 所以()h x ()10,a e -上单调递减，在() 1,a e -+∞单调递增 ①当2a ≤时，()1 ,a e e h x -≤在[),x e ∈+∞上单调递增，()()min 0h x h e e ae a ==-+≥ 1 e a e ∴≤ - ②当2a >时，()0h e e a ae ≥?+≥ 若2a e <<，则2e a e ae +<<；若a e ≥，则2e a a ae +≤< 故2a >不成立， 综上所得：1 e a e ≤ - 6.解：（I ）2 3) 13)(1(33323)(+-+-= -+= 'x x x x x x f ， ! 令13 1 0)(-== ='x x x f 或得（舍去） )(,0)(,3 1 0x f x f x >'<≤∴时当单调递增； 当)(,0)(,131 x f x f x <'≤<时单调递减. ]1,0[)(6 1 3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值 （II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得 x x a x x a 323 ln ln 323ln ln ++<+->或， …………① 设3 32ln 323ln ln )(2 x x x x x h +=+-=， x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]31 ,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立， 0)32(2 ) 32(33)32(3332)(2 >+=+?-+?+= 'x x x x x x x x g ， ] 03262)62(31323)(2 2>++=+?+= 'x x x x x x x h ， ]31 ,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立， 当且仅当.5 1 ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 （III ）由.022 3 )32ln(2)(2=-+-+?+-=b x x x b x x f 令x x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2 2+-=+-+='-+-+=??则， 当]3 7 ,0[)(,0)(,]37, 0[在于是时x x x ??>'∈上递增； 当]1,3 7[)(,0)(,]1,37[ 在于是时x x x ??<'∈上递减 而)1()3 7 (),0()37( ????>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ?恰有两个不同实根等价于 ?? ?? ?? ?? ? ≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3 7(02ln )0(b b b ??? , .3 7 267)72ln(215ln +-+<≤+ ∴b 7. 解：（1）()1a a b ax f x ax b ax b --'=-= ++. 0,0,0x a b >>≥, ()0f x '∴≤时，0a b -≤，即 a b ≤. 当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>--≥≤, 即()0f x '≤. ()f x ∴在[0,)+∞上是减函数的充要条件为b a ≥. ………（4分） （2）由（1）知，当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =； 当b a <时，()a b ax f x ax b --'=+，∴当0a b x a -<≤时，()0f x '>，当a b x a ->时()0f x '<， 即在[0, )a b a -上()f x 是增函数， 在[,)a b a -+∞上()f x 是减函数，a b x a -=时()f x 取最大值， 最大值为max ()()ln a b a b f x f a a a --==-， 即max ln (), ()ln ().b b a f x a b a b a a ?? =?-- ? ≥ ……（13分） （3）在（1）中取1a b ==，即()ln(1)f x x x =+-, 由（1）知()f x 在[0,)+∞上是减函数. 11 ln(1)ln 21x x x x +----≤，即1()(1)f x f x -≤， ] 1 1x x ∴-≥，解得 1502 x -<≤或15 2x +≥. 故所求不等式的解集为[1515 ,0)[,)22 -++∞ ……………（8分） 8.解：（1）∵f (x )=1 x x + ∴当x [1,e]时，f (x )>0， ∴()f x 在[1,e]上是增函数 故min 1()(1)2f x f ==，2max 1 ()(e)e 12 f x f ==+. ……………………4分 （2）设2312()ln 23 F x x x x =+-，则22 1(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=， ∵1x >时，∴()0F x '<，故()F x 在[1,)+∞上是减函数. 又1(1)06F =- <，故在[1,)+∞上，()0F x <，即2312 ln 23 x x x +<， ∴函数()f x 的图象在函数32 ()3 g x x =的图象的下方. ……………………8分 （3）∵x >0，∴11[()]()n n n n n f x f x x x x x ? ???''-=+-+ ? ?? ???，当1n =时，不等式显然成 立； 当n ≥2时，有11 221 21 111 [()]()n n n n n n n n n f x f x C x C x C x x x x ----''-=? +?++? } 12241 2 1224122421101111[()()()]2n n n n n n n n n n n n n n n n n C x C x C x C x C x C x x x x -----------=++ +?????????????=++++++分 ≥()1-n n 2n 1n 2C 2C 2C 21+++ 22n -= ∴[()]()n n f x f x ''-≥22(n n -∈N *） 9解.(Ⅰ) F 0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('2 2>-=-=x x a x x a x x F ）上单调递增。在（由+∞∴+∞∈?>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a 由）上单调递减在（a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈?<'。 ）），单调递增区间为（的单调递减区间为（+∞∴,,0)(a a x F （Ⅱ）恒成立)30(21)(),30()(02 002≤<≤-='=≤<-= 'x x a x x F k x x a x x F min 020)21(x x a +- ≥ 当21 2110200取得最大值时，x x x +-= 2 1 ,21=∴≥∴nmn a a …………………………………………4分 · （Ⅲ）若21 211)1 2( 22 -+=-++=m x m x a g y 的图象与 )1ln()1(22+=+=x x f y 的图象恰有四个不同交点， 即 )1ln(2 1 2122+=-+x m x 有四个不同的根，亦即 2 1 21)1ln(22+-+=x x m 有四个不同的根。 令2 1 21)1ln()(22+-+=x x x G ， 则1 ) 1)(1(1212)(2 232+-+-=+--=-+='x x x x x x x x x x x x G 。 当x 变化时)().(x G x G '的变化情况如下表： 由表格知：02ln )1()1()(,2 )0()(>=-=== =G G x G G x G 最大值最小值。 画出草图和验证212125ln )2()2(<+-=-=G G 可知，当)2ln ,2 1 (∈m 时， 恰有四个不同的交点，与m y x G y ==)( 的图象与时，当21 211)12()2ln ,21(22-+=-++=∈∴m x m x a g y m 交点。的图象恰有四个不同的)1ln()1(22+=+=x x f y ………………12分 10.解：（Ⅰ）因为2 1()2log 2 a h x x x x = -+(0)x >， 所以21ln 2ln 1 ()2ln ln x a x a h x x x a x a -+'=-+= ． …………………………………………3分 因为h （x ）在区间(0,)+∞上是增函数， 所以2ln 2ln 10ln x a x a x a -+≥在区间(0,)+∞上恒成立．