《电路》邱关源第4版课后习题答案第1章

第一章电路模型和电路定律

电路理论主要研究电路中发生的电磁现象，用电流i、电压u和功率p等物理量来描述其中的过程。因为电路是由电路元件构成的，因而整个电路的表现如何既要看元件的联接方式，又要看每个元件的特性，这就决定了电路中各支路电流、电压要受到两种基本规律的约束，即：

（1）电路元件性质的约束。也称电路元件的伏安关系（VCR），它仅与元件性质有关，与元件在电路中的联接方式无关。

（2）电路联接方式的约束（亦称拓扑约束）。这种约束关系则与构成电路的元件性质无关。基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）是概括这种约束关系的基本定律。

掌握电路的基本规律是分析电路的基础。

1-1说明图（a）,（b）中,（1）,u i的参考方向是否关联？（2）ui乘积表示什么功率？（3）如果在图（a）中0

u i

<>，元件实际发出还是吸收功

>i

u；图（b）中0,0

,0<

率？

解：（1）当流过元件的电流的参考方向是从标示电压正极性的一端指向负极性的一端，即电流的参考方向与元件两端电压降落的方向一致，称电压和电流的参考方向关联。所以（a）图中i

u,的参考方向为非关联。

u,的参考方向是关联的；（b）图中i

（2）当取元件的i

u,参考方向为关联参考方向时，定义ui

p=为元件吸收的功率；当取元件的i

u,参考方向为非关联时，定义ui

p=为元件发出的功率。所以（a）图中的ui乘积表示元件吸收的功率；（b）图中的ui乘积表示元件发出的功率。

（3）在电压、电流参考方向关联的条件下，带入i

u,数值，经计算，若0

p，

>

=ui

表示元件确实吸收了功率；若0

p，表示元件吸收负功率，实际是发出功率。（a）图

<

中，若0,0<>i u ，则0<=ui p ，表示元件实际发出功率。

在i u ,参考方向非关联的条件下，带入i u ,数值，经计算，若0>=ui p ，为正值，表示元件确实发出功率；若0

>i u ，有0>=ui p ，表示元件实际发出功率。

1-2 若某元件端子上的电压和电流取关联参考方向，而170cos(100)u t V π=，7sin(100)i t A π=，求：（1）该元件吸收功率的最大值；（2）该元件发出功率的最大值。

解：()()()170cos(100)7sin(100)595sin(200)p t u t i t t t t W πππ==?=

（1）当0)200

sin(>t π时，0)(>t p ，元件吸收功率；当1)200sin(=t π时，元件吸收最大功率：max 595p W =

（2）当0)200

sin(

1-3 试校核图中电路所得解答是否满足功率平衡。（提示：求解电路以后，校核所得结果的方法之一是核对电路中所有元件的功率平衡，即元件发出的总功率应等于其他元件吸收的总功率）。

解：由题1-3图可知，元件A 的电压、电流为非关联参考方向，其余元件的电压电流均为关联参考方向。所以各元件的功率分别为：

6053000A p W =?=>，为发出功率

601600B p W =?=>，为吸收功率

60201200C p W =?=>，为吸收功率

402800D p W =?=>，为吸收功率

202400E p W =?=>，为吸收功率

电路吸收的总功率

601208040300B D C E p p p p p W =+++=+++=

即，元件A 发出的总功率等于其余元件吸收的总功率，满足功率平衡。

注：以上三题的解答说明，在电路中设电压、电流参考方向是非常必要的。在计算一段电路或一个元件的功率时，如果不设电流、电压的参考方向，就无法判断该段电路或元件是发出还是吸收功率。

此外还需指出：对一个完整的电路来说，它产生（或发出）的功率与吸收（或消耗）的功率总是相等的，这称为功率平衡。功率平衡可以做为检验算得的电路中的电压、电流值是否正确的一个判据。

1-4 在指定的电压u 和电流i 参考方向下，写出各元件u 和i 的约束方程（元件的组成关系）。

解：（a ）图为线性电阻，其电压、电流关系满足欧姆定律。需要明确的是：（1）欧姆定律只适用于线性电阻；（2）如果电阻R 上的电流、电压参考方向非关联，欧姆定律公式中应冠以负号，即)()(t Ri t u -=。由以上两点得（a ）图电阻元件u 和i 的约束方程为

i i R u 31010?-=-=

欧姆定律表明，在参数值不等于零、不等于无限大的电阻上，电流与电压是同时存在、同时消失的。即电阻是无记忆元件，也称即时元件。

（b 压、电流参考方向为非关联，上式中应冠以负号，所以（b ）图电感元件u 和i 的约束方程为

电感元件的电压、电流微分关系表明：（1）任何时刻，其电压与该时刻的电流变化率成正比，显然直流时，电感电压为零，电感相当于短路。因此，电感是一个动态元件。

（2）当电感上的电压为有限值时，电感中的电流不能跃变，应是时间的连续函数。

（c 压、电流的参考方向为非关联，上式中应冠以负号，即dt t du C

t i )()(-=。所以（b ）图电容元件u 和i 的约束方程为 dt

du dt du i 5

6101010--=?= 电容元件的电压。电流微分关系表明：（1）任何时刻，通过电容的电流与该时刻其上的电压变化率成正比，即电容是一个动态元件。显然直流时，电容电流为零，电容相当于开路。（2）当电容上的电流为有限值时，电容上的电压不能跃变，必须是时间的连续函数。

（d ）图是理想电压源。理想电压源的特点为：（1）其端电压与流经它的电流方向、大小无关。（2）其电压由它自身决定，与所接外电路无关，而流经它的电流由它及外电路所共同决定。由以上特点得（d ）图的约束方程为

V u 5-=

（e ）图是理想电流源。理想电流源的特点为：（1）其发出的电流)(t i 与其两端电压大小、方向无关。（2）其输出电流由它自身决定，与所接外电路无关，而它两端电压由它输出的电流和外部电路共同决定。由以上特点得（e ）图的约束方程为

A i 2=

注：以上五个理想元件是电路分析中常遇到的元件。元件电压、电流的约束方程，反映了每

一元件的特性和确定的电磁性质。不论元件接入怎样的电路，其特性是不变的，即它的,u i 约束方程是不变的。因而深刻地理解和掌握这些方程，就是掌握元件的特性，对电路分析是非常重要的。

1-5 图（a ）电容中电流i 的波形如图（b ）所示现已知0)0(=C u ，试求s t 1=时，s t 2=和s t 4=时的电容电压。

解：已知电容的电流)(t i 求电压)(t u 时，有

式中)(0t u 为电容电压的初始值。

本题中电容电流)(t i 的函数表示式为

?????>-<≤≤=2102

0500)(t t t t t i

根据,u i 积分关系，有

1t s =时 101(1)(0)()C C u u i t dt C

=+

? V t tdt 25.1)2

5(2152101

0210=?=+=? s t 2=时 ?+=20

)(1)0()2(dt t i C u u C C V t tdt 5)2

5(21521020220=?=+=? 4t s =时 ?+=42

)(1)2()4(dt t i C u u C C V t tdt 5)10(215102154

242-=-?+=-+=?

注：电路元件,u i 关系的积分形式表明，t 时刻的电压与t 时刻以前的电流的“全部历史”有关，即电容有“记忆”电流的作用，故电容是有记忆的元件。因此在计算电容电压时，要关注它的初始值()0c u t ，()0c u t 反映了电容在初始时刻的储能状况，也称为初始状态。电感元件也具有类似的性质，参见1-6题。

1-6 图（a ）中H L 4=，且i ，电压的波形如图（b ）所示。试求当 s t 1=，s t 2=，s t 3=和s t 4=时的电感电流i 。

解：电感元件i u ,关系的积分形式为

上式表明，电感元件有“记忆”电压的作用，也属于记忆元件。式中)(o t i 为电感电流的初始值，反映电感在初始时刻的储能状况。

本题中电感电压的函数表示式为

?????????<<<-<<<<<=t t t t t t t u 40

434010320

201000)( 应用i u ,积分关系式，有

s t 1=时，101(1)(0)()i i u t dt L

=+

? A t dt 5.2)10(4

1104101

010=?=+=? s t 2=时，?+=21)(1)1()2(dt t u L i i

2

1112.510 2.5(10)544dt t A =+=+?=

s t 3=时，?+=32

)(1)2()3(dt t u L i i A dt 5041532=+=? s t 4=时，?+=43)(1)3()4(dt t u L i i 4315(1040) 3.754

t dt A =+-=?

1-7 若已知显像管行偏转线圈中的周期性行扫描电流如图所示，现已知线圈电感为H 01.0，电阻略而不计，试求电感线圈所加电压的波形。

解：电流)(t i 的函数表达式为 ?????<<-??<

t t s t t t i μ6460)1064(103μ60010602.1)(656

根据电感元件i u ,的微分关系，得电压的函数表达式为 ???<

t s t t di t u μμ6460103600102)(01.0)(32 )(t u 的波形如题解1-7图，说明电感的电压可以是时间的间断函数。

1-8 F μ2电容上所加电压的波形如图所示。求：（1）电容电流i ；（2）电容电荷q ；（3）电容吸收的功率p 。

解：（1）电压)(t u 的函数表达式为

???????≤≤≤-≤≤≤=m s t m s t t m s t t t t u 4042104201000)(33

根据电容元件i u ,的微分关系，得电流)(t i 的函数表达式为：

=?=-dt t du t i )(102)(6???

????<<

（2）因为u q C =，所以有 ==)()(t Cu t q ???

????≤≤≤-?≤≤?≤--m s t m s

t t m s t t t 4042)104(1022010200363

（3）在电压电流参考方向关联时，电容元件吸收的功率为 ==)()()(t i t u t p ???

????≤<<-?-<≤≤-m s t m s t t m s t t t 4042)104(1022020033

)(),(),(t p t q t i 波形如题解1-8图所示。

注：在图（c ）所示的功率波形中，表示电容吸收功率，处于充电状态，其电压和电荷随时间增加；表示电容供出功率，处于放电状态，其电压和电荷随时间减小。和的两部分面积相等，说明电容元件不消耗功率，是一种储能元件。同时它也不会释放出多于它吸收的或储存的能量。所以，电容是一种无源元件，它只与外部电路进行能量交换。需要指出的是，电感元件也具有这一性质。

1-9 电路如图所示，其中,1,2H L R =Ω=0)0(,01.0==C u F C ，若电路的输入电流为：（1）

A t i )3

π2sin(2+=；（2）A e i t -=。试求两种情况下，当0>t 时的L R u u ,和C u 值。

解：根据L R ,和C 的i u ,关系有

（1）若A t i )3

π2sin(2+=，则有 V t t t Ri t u R )3

π2sin(4)3π2sin(22)()(+=+?== ()()12cos(2)24cos(2)33L di t u t L t t V dt ππ??==?+?=+???

? V t d d i C u t u t t C C )32cos(10050)32sin(201.010)(1)0()(00πξπξξξ+-=++=+

=?? （2）若A e i t -=，则有

V e t Ri t u t R -?==2)()(

()()1()t t L di t u t L

e e V dt

--==?-=- V e d e d i C u t u t t t C C )1(10001.01)(1)0()(00---==+=??ξξξξ

1-10 电路如图所示，设t αs m s Ie t i t ωU t u -==)(),cos()(，试求)()(2t i t u C L 和。

解：可以看出，流过电感的电流等于电流源的电流s i ，电容2C 上的电压为s u ，故由C L ,元件的i u ,约束方程可得 V e αLI αLIe dt t i d L

t u t αt αs L ---=-?==)()()( []V t U C t U C dt

t u d C

t i m m s C ) sin( ) sin()()(222ωωωω-=-== 1-11 电路如图所示，其中2,10s s i A u V ==。

（1）求2A 电流源和10V 电压源的功率；

（2）如果要求2A 电流源的功率为零，在AB 线段内应插入何种元件？分析此时各元件的功率；

（3）如果要求10V 电压源的功率为零，则应在BC 间并联何种元件？分析此时各元件的功率。

解：（1）电流源发出功率10220s s p u i W ==?=

电压源吸收功率10220s s p u i W ==?=

（2）若要2A 电流源的功率为零，则需使其端电压为零。在AB 间插入V u s 10='电压源，极性如题解图（a ）所示。此时，电流源的功率为00=?=s i p 。插入的电压源发出功率20W ，原来的电压源吸收功率20W 。

（3）若要0∞ 电压源的功率为零，则需使流经电压源的电流为零。可以采取在BC 间并联A i s 2='的电流源，如题解图（b ）所示，或并联Ω===52/10/s s i u R 的电阻，如题解图（c ）所示。

题解图（b ）中，因s

s i i '=，由KCL 可知，流经s u 的电路为零。所以s u 的功率为零。 原电流源发出功率 10220s s p u i W ==?=

并入的电流源吸收功率 10220s s

p u i W '==?= 题解图（c ）中，流经电阻的电流为 A R u i s R 25

10=== 由KCL 可知，流经s u 的电流为零，因此，s u 的功率为零。此时，电流源发出功率 10220s s p u i W ==?=

电阻消耗功率 W R u p s 205

1022=== 注：本题说明，计算理想电源的功率，需计算理想电流源的端电压值和流经理想电压源的电流值。而电流源的端电压可以有不同的极性，流经电压源的电流可以有不同的方向，它们的数值可以在0∞ 之间变化，这些变化取决于外接电路的情况。因此，理想电源可以对电路提供能量（起电源作用），也可以从外电路接收能量（充当其它电源的负载）。

1-12 试求图示电路中每个元件的功率。

解：（a ）图中，由于流经电阻和电压源的电流为0.5A ，所以电阻消耗功率 W RI P R 5.05.0222=?==

电压源吸收功率 W

I U P s s U 5.05.01=?== 由于电阻电压 V RI U R 15.02=?==

得电流源端电压 V U U U s R 211=+=+=

电流源发出功率 W U I P s I 125.0=?==

（b ）图中Ω2电阻的电压 V U R 112=-=

所以有 A U I R 5.02

121===

A I 1112== 由KCL 得 A I I I 5.015.0213-=-=-=

故V 2电压源发出功率 W I P 15.0221=?=?=

V 1电压源发出功率 W I P 5.05.01)(23=?=-?=

Ω2电阻消耗功率 W I P 5.05.022221=?=?=

Ω1电阻消耗功率 W I P 1111222=?=?=

1-13 试求图中各电路的电压U ，并讨论其功率平衡。

解：应用KCL 先计算电阻电流R I ，再根据欧姆定律计算电阻电压，从而得出端电压U ，最后计算功率。

（a ）图中 A I R 862=+=

V I U U R R 16822=?=?==

所以输入电路的功率为 W U P 322162=?=?=

电流源发出功率 W U P I 961666=?=?=

电阻消耗功率 W I P R R 12882222=?=?=

显然R I P P P =+，即输入电路的功率和电源发出的功率都被电阻消耗了。

（b ）图中 A I R 426=-=

V I U U R R 8422=?=?==

所以输入电路的功率为 W U P 16282-=?-=?-=

电流源发出功率 W U P I 484866=?=?=

电阻消耗功率 W I P R R 3242222=?=?=

显然仍满足 R I P P P =+

实际上电源发出的功率被电阻消耗了32W ，还有16W 输送给了外电路。

（c ）图中 A I R 242-=-=

V I U U R R 6)2(33-=-?=?==

所以输入电路的功率为 W U P 12262-=?-=?=

电流源发出功率 W P I 2464=?=

电阻消耗功率 W I P R R 12)2(3322=-?=?=

即满足 R I P P P =+

（d ）图中 A I R 235=-=

V I U U R R 8244=?=?==

各部分功率分别为 W U P 40585=?=?=

W U P I 24833-=?-=?-=

W I P R R 1624422=?=?=

仍满足 R I P P P =+

1-14 电路如图所示，试求：（1）电流1i 和ab u [图（a ）]；（2）电压cb u [图（b ）]。

解（a ）：受控电流源的电流为 A i i 25

109.01=== 所以 A i 222.29

.021≈= V i i i u ab ab 899.09

201.04)9.0(4411≈??=-?=?= 解（b ）：因为V u 10521=?=，故受控电流源的电流为

A u i 5.01005.005.01=?==

而 V i u ac 105.02020=?=?=

V u ab 3-=

所以 V u u u ab ac cb 13310-=--=+-=

注：本题中出现了受控源，对受控源需要明确以下几点：

（1）受控源是用来表征在电子器件中所发生的物理现象的一种模型，是大小和方向受电路中其它地方的电压或电流控制的电源。在电路中，受控源与独立源本质的区别在于受控源不是激励，它只是反映电路中某处的电压或电流控制另一处的电压或电流的关系。

（2）受控源分受控电压源和受控电流源两类，每一类又分电压控制和电流控制两类。计算分析有受控源的电路时，正确地识别受控源的类型是很重要的。

（3）求解含有受控源的电路问题时，从概念上应清楚，受控源亦是电源，因此在应用KCL,KVL 列写电路方程时，先把受控源当作独立源一样看待来写基本方程，然后注意受控源受控制的特点，再写出控制量与待求量之间的关系式。

1-15 对图示电路：

（1）已知图（a ）中，12,1R i A =Ω=，求电流i ；

（2）已知图（b ）中,Ω=Ω===1,5.4,2,10211R R A i V u s ,求2i 。

解（a ）：对图中右边的回路列KVL 方程（顺时针方向绕行）有

05101=--i Ri

则 A R i i 5.72

15105101=?+=+= 解（b ）：电阻1R 两端的电压为

V i R u R 925.4111=?==

对左边回路列KVL 方程有

011=+-u u u s R

则 V u u u R s 191011=-=-=

从图中右边回路的KVL 方程的

031122=-+R u u i R

11

22393161

R u u i A R --?=== 注：本题求解中主要应用了KVL 。KVL 是描述回路中各支路（或各元件）电压之间关系的，它反映了保守场中做功与路径无关的物理性质。应用KVL 列回路电压方程时 ，应注意：（1）首先要指出回路中各支路或元件上的电压参考方向，然后指定有关回路的绕行方向（顺时针或逆时针均可）；

（2）从回路中任一点开始，按所选绕行方向依次迭加各支路或元件上的电压，若电压参考方向与回路绕行方向一致，则该电压取正值，否则取负值。

1-16 对图示电路，若：（1）321,,R R R 值不定；（2）321R R R ==。

在以上两种情况下，尽可能多的确定其他各电阻中的未知电流。

解：设定各电阻中未知电流的参考方向如图所示。

（1）若321,,R R R 值不定，321,,i i i 不能确定。对图中所示闭合面列KCL 方程，根据 流进的电流等于流出的电流有

A i 16434=-+=

对A 点列KCL 方程，可以解得

A i i 131021)10(245=++=--+=

（2）若321R R R ==，对右边回路和B ，C 结点列KVL 和KCL 方程，有

??

???+=+==++4303221332211i i i i i R i R i R

把方程组整理，代入321R R R ==的条件，得

?????=-=-=++4303

221321i i i i i i i

应用行列式法解上面方程组

101

140131

10 31100111111=--=?=--=?

114

103110

11 114003110132-=-=?=-=?

所以 A i A i A i 311 , 31 ,310332211-=?

?==??==??= 45,i i 的值同（1）

。 注：从本题的求解过程中可以看出KCL 是描述支路电流之间关系的，而与支路上元件的性质无关。KCL 实质是反映电荷守恒定律，因此，它不仅适用于电路中的结点，对包围部分电路的闭合面也是适用的。应用 KCL 列写结点或闭曲面电流方程时应注意：（1）方程是依据电流的参考方向建立的，因此，列方程前首先要指定电路中各支路上电流的参考方向，然后选定结点或闭曲面；（2）依据电流参考方向是流入或流出写出代数方程（流出者取正号，流入者取负号，或者反之。也可以用流入等于流出表示）。

1-17 图示电路中，已知V u V u V u V u V u 1,3,5,3,26737252312=====，尽可能多地确定其他各元件的电压。

解：已知V u u V u u V u u V u u j c d b 1,5,3,267252312========，选取回路列KVL 方程。

对回路（①②⑤①）有 251215u u u u a +==

所以 V u a 752=+=

对回路（①②③①）有

V u u u u k 532231213=+=+==

对回路（②③④⑦⑥⑤②）有

025********=---+u u u u u

所以 V u u u u u u f 05133 25

67372356=--+=--+==

对回路（③④⑦⑥③）有

V u u u u e 213673736=-=-==

对回路（⑤⑥⑦⑤）有

V u u u u i 110675657=+=+==

1-18 对上题所示电路，指定个支路电流的参考方向，然后列出所有结点处的KCL 方程，并说明这些方程中有几个是独立的。

解：支路电流的参考方向如图所示，各结点的KCL 方程分别为（以流出结点的电流为正）

①0k b a =++i i i ②0d c b =++-i i i

③0k e g d =-++-i i i i ⑤0i f c a =++--i i i i

⑥0j f e =+--i i i ⑦0g i j =---i i i

把以上6个方程相加，得到00=的结果。说明6个方程不是相互独立的，但是其中任意5个方程是相互独立的。

注：一个有n 个结点的电路，依KCL 列结点电流方程，则n-1个方程将是相互独立的。这是因为任一条支路一定与电路中两个结点相连，它上面的电流必定从其中一个结点流出，又流入另一个结点，因此，在n 个KCL 方程中，每个支路电流一定出现2次，一次为正，另一次为负，若把n 个方程相加，必定得到等于零的恒等式。即n 个KCL 方程不是相互独立的，但从n 个方程中任意去掉一个结点电流方程，余下的n-1个方程是相互独立的。

1-19 电路如图所示，按指定的电流参考方向列出所有可能的回路的KVL 方程。这些方程都独立吗？

解：图示电路共有题解1-19图所示的7个回路，其KVL 方程分别为（取顺时针绕行方向）：

①015552211=+-++s s u u i R i R i R

②05556644=-++i R u i R i R s

③0111664422=++++i R u i R i R i R s

④011166333=+++-i R u i R u i R s s

⑤03224433=---s u i R i R i R

⑥011135554433=++--+-s s s u i R u u i R i R i R

⑦03225556633=---++s s u i R i R u i R i R

从以上方程不难发现有下列关系存在，即：

①+②=③

①+⑤=⑥

⑤+②=⑦

①+②+⑤=④

由此说明，从方程①，②，⑤可以导得方程③，④，⑥，⑦，同样从方程④，⑤，⑥可以导得方程①，②，③，⑦等等，这说明7个KVL 方程不是相互独立的，独立的方程只有三个。

注：对于一个有n 个结点，b 条支路的电路，可以证明，其独立的KVL 方程数为（b-(n-1)）个。把能列写独立方程的回路称为独立回路，本题有结点n=4，支路b=6，所以其独立的回路数为b-(n-1)=3。一般在列KVL 方程时，独立回路可以这样选取：（1）使所选各回路都包含一条其它回路所没有的新支路；（2）对平面电路，其网孔即为独立回路，如本题中方程①，②，⑤即为按网孔列出的KVL 方程，它们是相互独立的。

1-20 利用KCL 和KVL 求解图示电路中的电压u 。

解：在（a ）图中设电流i ，右边网孔的KVL 方程为

108822=+i i