2020苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学

2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

．1．已知i 为虚数单位，复数11z i =+，则z =▲.

2．已知集合{}{}01,13A x x B x a x =≤≤=-≤≤，若A B ?中有且只有一个元素，则实数a 的值为▲.

3．已知一组数据1.61.822.22.4，

，，，，则该组数据的方差是▲.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22

21(0)4

x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x =，则a =▲.

5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13

，则乙不输的概率是▲.6．右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为▲.

7．“直线1:10l ax y ++=与直线2:430l x ay ++=平行”是“2a =”的▲条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）.

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，

95495S S -=-，则n a =▲.9．已知点M 是曲线22ln 3y x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，

该切线的方程为▲.

10．已知3cos 24sin(),(,)44ππαααπ=-∈，则sin 2α=▲.

11．如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，.2,1==BC AB 分别以D A ,为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为▲.

12．在ABC △中，()(1)AB AC BC λλ-⊥> ，若角A 的最大值为6

π，则实数λ的值是▲.

13．若函数()(01)x f x a a a =>≠且在定义域[,]m n 上的值域是22[,](1)m n m n <<，

则a 的取值范围是▲.

14.如图，在ABC △中，4,AB D =是AB 的中点，E 在边AC 上，2,AE EC CD =与BE 交于点O ，若

,OB =

则ABC △面积的最大值为▲

.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在ABC △中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，且满足cos sin 0b A B =．

（1）求A ；

（2）已知3a B π

==，求ABC △的面积．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，

,BD DC PCD ⊥△为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为

PC 的中点．

（1）证明：AP ∥平面EBD ；

（2）证明：BE PC ⊥．

17．（本小题满分14分）

某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道1l 和2l 通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），1l 和2l 所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线3l 平行于观光道且与2l 相距

1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于3l ，且交3l 于M ），在堤岸线3l 上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1（百米），且F 恰在B 的正对岸（即3l BF ⊥）.

（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；

（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角（EPF ∠）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：

)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为21．且经过点（1，2

3），A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若AEF △与BDF △的面积之比为1:7．求直线l

的方程.

19．（本小题满分16分）已知函数x m mx x x f 2233

2)(+-=（R ∈m ）的导函数为)(x f '．（1）若函数)()()(x f x f x g '-=存在极值，求m 的取值范围；

（2）设函数)(ln )e ()(x f f x h x

'+'=（其中e 为自然对数的底数），对任意R ∈m ，若关于x 的不等式22)(k m x h +≥在（0，∞+）上恒成立，求正整数k 的取值集合．

20．（本小满分16分）

已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足*N ∈???=n

n b n a c n

n n 为偶数，为奇数，

,,.

（1）若n a n =，n n b 2=，求数列{}n c 的前n 2项和n T 2；

（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意*N ∈n ，n n c c >+1恒成立．

①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；

②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．

2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A ???=21???13，B ???-=12??

?13，且二阶矩阵M 满足AM =B .求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.

B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为为参数）ααα(2cos 323cos 22??

???+=+=y x .以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=.

（1）求曲线C 的普通方程；

（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标.

C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知正数x ，y ，z 满足t z y x =++（t 为常数），且22294z y x ++的最小值为7

8，求实数t 的值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1,2,5），则获得一等奖，奖金40元；若摸出的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X 的概率分布和数学期望；

（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.

23.（本小题满分10分）

已知抛物线C ：py x 42

=（p 为大于2的质数）的焦点为F ，过点F 且斜率为k （k 0≠）的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点E ，抛物线C 在点A ，B 处的切线相交于点G .记四边形AEBG 的面积为S .

（1）求点G 的轨迹方程；

（2）当点G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S 的值；若不是，请说明理由.