高中数学复习课上法
浅谈高中数学复习课的上法
摘要：当前，在复习课中往往存在一些缺憾，如复习过程无系统性，只是一个个知识点的孤立累积，零打碎敲的现象较为普遍；有的教师在上复习课时，总是先进行一大段复习讲解，把前阶段的内容重新回放，结果是教师讲得口干舌燥，学生听得昏昏欲睡；学生的练习也往往是一些认知水平的简单无效的重复，复习效果可想而知。
关键词：课堂教学；复习；实效
中图分类号：g632 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2013）03-258-01
复习课应该针对知识的重点、学习的难点、学生的弱点，用整理归纳等方法，加深对知识的理解，使之系统化。因此，复习课应该放手让学生自己去梳理学过的知识，形成各异，互助评价，把复习的主动权交给学生，让学生主动参与。
一、要更新教学理念，优化教学结构，始终坚持以学生为主体
在课堂教学结构上，要始终坚持以学生为主体，以教师为主导的教学原则教育家苏霍姆林斯基曾经告诫我们：“希望你们要警惕，在课堂上不要总是教师在讲，这种做法不好……让学生通过自己的努力去理解的东西，才能成为自己的东西，才是他真正掌握的东西.”按我们的说法就是：师傅的任务在于度，徒弟的任务在于悟。数学课堂教学必须废除“注入式”“满堂灌”的教法.复习课也不能由教师包讲，更不能成为教师展示自己解题“高难动作”的“绝
(完整版)高二数学归纳法经典例题
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
高中数学解题基本方法 换元法
高中数学解题基本方法--换元法 高中数学解题基本方法--换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋
的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t 0和α∈[0,]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设 f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则 f x 的值域是_______________。 3.已知数列 a 中，a＝－1，a??a＝a－a，则数列通项a＝___________。 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程＝3的解是_______________。 6.不等式log 2－1 ??log 2－2 〈2的解集是_______________。 【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋； 2小题：设x＋1＝t t≥1 ，则f t ＝log[- t-1 ＋4]，所以值域为－∞,log4]；
高中数学课堂导入
浅谈高中数学课堂导入 【摘要】课堂导入是课堂开始的起始环节，是切入新旧知识的衔接点。成功的导入能立疑激趣，启迪智慧、诱发思维，振奋精神，从而使学生很快进入最佳的学习状态。本文阐述的是对数学课堂导入在新旧联系、情、趣、疑方面的一点体会 【关键词】数学教学课堂导入以旧拓新情趣疑 课堂导入是课堂教学中的重要环节，是课堂教学的前奏，犹如乐曲中的前奏，演讲的开场白必不可少。苏霍姆林斯基说：“如果老师不想办法使学生产生情绪高昂的智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而给不动感情的脑力劳动带来疲劳。”成功的导入，不仅能引发学生的兴趣，调适教学气氛，激活情感、启迪智慧、诱发思维，激起学生的求知欲，而且能有效地消除其它课程的延续思维，将学生课前分散的注意力即刻转移到课堂上，使学生很快进入新课学习的最佳心理状态，提高课堂教学效率，取得事半功倍的教学效果。反之，一段失败的课堂教学导入会使学生产生厌烦心理，学习不主动。因此能否在一开始上课便将学生课前分散的注意力即刻转移到课堂上，并使其处于积极状态，是上好这堂课的首要问题。下面是根据数学素质教育的要求，对高中数学课堂导入的一点体会。 一、以旧拓新、温故知新 要善于以旧拓新、温故知新。教育学家霍姆林斯基说：“教给学
生能借助已有知识去获取新知，这是最高的教学技巧．”当新旧知识联系较紧密时，由旧知识的复习迁移到新知识的学习上来导入新课，既可以复习巩固旧知识，又可把新知识由浅到深、由简单到复杂、由低层次到高层次地建立在旧知识的基础上，从而有利于用知识的联系来启发思维，促进新知识的理解和掌握。例如在讲双曲线时，复习椭圆的的定义，多媒体演示，如果把椭圆定义中的到两个定点的距离和改成距离差，这时的动点p点的轨迹会是什么图形呢，请同学们观察。很自然的由椭圆引进双曲线，也很容易得到双曲线的定义，由旧知识引入新知识并加以对比，这样的引入更容易让学生理解、记忆。 二、寓情于教学中 “人非草木，孰能无情”在数学教学中也莫不如此。“情”要求我们一方面要有“激情”，如果课堂伊始，教师就以饱满的热情、良好的情绪和真诚的导语来教学，可以很快把学生带入与教学内容相关的意境中去，从而激发学生的求知欲和好奇心，为接下来的教学作更好的铺垫。如：在讲椭圆时正赶上“神七”飞天，利用多媒体以一张浩瀚宇宙的影片入题，紧接着播放神七飞天的一瞬间视频，同时引入课题：我们身处的世界是浩瀚无边，神秘无边的宇宙，我们要用无边的知识去了解他、驾驭她。9月25日21时10分，凝聚着中华民族智慧和光荣的“神舟七号”跃上太空，首次实现了宇航员在太空行走的梦想。你可曾想过神七进入太空后的运行轨迹是
数学归纳法典型例习题
欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
高中数学解题方法-换元法
高中数学解题方法 2013年高考数学二轮复习 换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。例如解不等式：0224≥-+x x ，先变形为设)0(2>=t t x ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现[]1,0∈x ，设 α2sin =x ?? ????∈22,0α，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量y x ,适合条件 )0(222>=+r r y x 时，则可作三角代换θθsin ,cos r y r x ==化为三角问题。 均值换元，如遇到S y x =+形式时，设t S y t S x -=+=2 ,2等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 题型一：代数换元 例1：（1）方程1313 ++-x x ＝3的解是_______________ （2）x x x f --=2)(的值域是___________.
高中数学归纳法大全数列不等式精华版
§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．
5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n
谈谈数学课的几种导入方法
谈谈数学课的几种导入方法 人们都说：“万事开头难”。要想好好上一堂数学课，良好的开端是成功的一半。；这么多年来，我一直努力探索和试验，总结出了上好数学课的几种导入方法。 一、类比导入法 例如：在讲相似三角形性质时，可以从全等三角形性质为例类比。全等三角形的对应边、对应角、对应线段、对应周长等相等。那么相似三角形这几组量怎么样？这种方法使学生能从类推中促进知识的迁移，发现新知识。 二、温固知新导入法 温固知新的教学方法，可以将新旧知识有机的结合起来，使学生从旧知识的复习中自然获得新知识。例如：在讲切割定理时，先复习相交弦定理内容及证明，即“圆”内两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。然后移动两弦使其交点在圆外有三种情况。这样学生较易理解切割线定理、推论的数学表达式，在此基础上引导学生叙述定理内容，并总结圆幂定理的共同处是表示线段积相等。区别在于相交弦定理是交点内分线段，而切割线定理，推论是外分线段、切线上定理的两端点重合。这样导入，学生能从旧知识的复习中，发现一串新知识，并且掌握了证明线段积相等的方法。 三、亲手实践导入法 亲手实践导入法是组织学生进行实践操作，通过学生自己动手动脑去探索知识，发现真理。例如在讲三角形内角和为１８０°时，让学生将三角形的三个内角剪下拼在一起。从而从实践中总结出三角形内角和为１８０°，使学生享受到发现真理的快乐。 四、反馈导入法 根据信息论的反馈原理，一上课就给学生提出一些问题，由学生的反馈效果给予肯定或纠正后导入新课。如在上直角三角形习题课时，课前可以先拟一个有代表性的习题让学生讨论。 五、设疑式导入法 设疑式导入法是根据中学生追根求源的心理特点，一上课就给学生创设一些疑问，创设矛盾，设置悬念，引起思考，使学生产生迫切学习的浓厚兴趣，诱导学生由疑到思，由思到知的一种方法。例如：有一个同学想依照亲戚家的三角形玻璃板割一块三角形，他能不能把玻璃带回家就割出同样的一块三角形呢？同学们议论纷纷。然后，我向同学们说，要解决这个问题要用到三角形的判定。现在我们就解决这个问题——全等三角形的判定。 六、演示教具导入法
(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)
数学归纳法（2016.4.21） 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++ 【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进 行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立， 高中数学新课导入方法论 （四川省梓潼中学校梓潼 622150） 新课导入是课堂教学的序幕，也是高中数学教学的重要组成部分。有效的新课导入不仅能有 效地将学生的注意力从课下吸引到课上，还能让学生对新课充满强烈的兴趣和求知欲，激发 出学生的学习积极性和主动性。那对于高中数学课堂教学而言，怎样的新课导入才是有效的呢？ 一、基于认知起点，导入新课 学习就像建高楼，地基决定楼的高度，数学教学也是一样，一堂课能否成功的关键就在于新 课的导入。实践证明，人的认知总是建立在已有知识基础上的，因此，数学教学的新课导入 首先要贴近学生的已有知识，即认知起点。 加强联系，异中求同。例如：在教学内容“对数函数”时，由于对数函数处于函数教学的最后 阶段，学生都了解和具备了学习新函数的步骤和基础，因此，我将本节新课的导入设计如下： 师：前面一节我们学习了指数函数并掌握了指数函数的相关性质，今天我们要学习的对数函 数与指数函数非常相似，因此，在学习对数函数之前我们先回顾一下指数函数的相关性质。 生：指数函数的性质包括：值域和定义域、单调性和周期性、奇偶性。 师：那在我们学过的函数之中，具有这些性质的函数还有哪些呢？ 生：一次函数、二次函数、反比例函数…… 师：大家看，只要是函数，我们都会通过定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性五个性质 来学习。所以，今天我们要学习的对数函数也能通过这五个性质来学习。 生：我们已经知道怎样用性质来学习函数了，这堂课老师就教给我们吧，您只需在旁边看着 就可以了。 师：既然同学们这么有信心，那老师就等着看结果了。 通过这样的引入，不仅调动起学生的学习积极性和学习热情，更培养起学生自主探究学习的 能力，真正实现新课改关于“以生为主、以师为导”的要求。 加强类比，同中求异。数学是一个不可分割的整体，数学中的每个知识点都存在密切的联系，这种联系还体现在某些知识点的类似。而对于这些类似的知识点，我们完全可以用类比导入 的方法学习。例如：在教学内容“空间直角坐标系”时，由于前面已经学习过平面直角坐标系，而空间直角坐标系本身也是在平面直角坐标系的基础上延伸而来的。因此，我将新课导入设 计如下： 师：前面我们学习过平面直角坐标系，同学们回忆一下它的特征。 生：平面直角坐标系是由同一平面内的两条相互垂直的数轴及原点、坐标方向、单位长度组成，其中的任何一点可以用用一对有序实数(x，y)表示。 师：空间直角坐标系将原本的平面立体化了，这样的立体化就是在平面的基础上再增加一个面，也就是多一个坐标。同学们能想象出来吗？ 生：可以。就是原本的点的坐标由（x，y）变成了（x，y，z）…… 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 高二数学数学归纳法综 合测试题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 选修2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 3．设f (n )＝ 1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) ＋12n ＋2 －12n ＋2 [答案] D [解析] f (n ＋1)－f (n ) ＝???? ??1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －???? ??1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1 ＝12n ＋1－12n ＋2 . 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得 ( ) A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( ) A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立 浅谈高中数学课堂导入的方法与技巧 课堂导入是教师引导学生参与学习的过程和手段，它是课堂教学的必需环节，也是教师必备的一项教学技能；它既是学生主体地位的依托，也是教师主导作用的体现。恰当的导入利于营造良好的教学情境，集中学生的注意力，激发学习兴趣，启迪学生积极思维，唤起求知欲，为良好的教学效果的取得奠定基础。 瑞士心理学家皮亚杰(J. Piaget)认为：“一切有成效的工作必须以某种兴趣为先决条件”。浓厚的兴趣能调动学生的学习积极性，启迪智力潜能并使之处于最活跃的状态。教学中，由于教学内容的差异以及课的类型、教学目标各不相同，导入的方法也没有固定的章法可循。下面本人结合自己的教学实践对几种常用的课堂导入方法谈谈自己的粗浅认识。 ⑴直接导入法 直接导入法是教师直接从课本的课题中提出新课的学习重点、难点和教学目的，以引起学生的有意注意，诱发探求新知识的兴趣，使学生直接进入学习状态。它的设计思路：教师用简捷明快的讲述或设问，直接点题导入新课。 例如：在学习“弧度制”时，教师直接引入新课：“以前我们研究角的度量时，规定周角的为1度的角，这种度量角的制度叫做角度制。今天我们学习另外一种度量角的常用制度----弧度制。本节主要要求是：掌握1弧度角的概念；能够实现角度制与弧度制两种制度的换算；掌握弧度制下的弧长公式并能运用解题”。这种方法多用于相对能自成一体且与前后知识联系不十分紧密的新知识教学的导入。 ⑵复习导入法 复习导入法即所谓“温故而知新”，它利用数学知识之间的联系导入新课，淡化学生对新知识的陌生感，使学生迅速将新知识纳入原有的知识结构中，能有效降低学生对新知识的认知难度。它的设计思路：复习与新知识(新课内容)相关的旧知识(学生己学过的知识)，分析新旧知识的联系点，围绕新课主题设问，让学生思考，教师点题导入新课。 例如：在学习“反函数”时，预先复习提问一一对应、函数定义以及函数的定义域、值域等和本节有关的基础知识，进而用物理学中学生熟悉的匀速直线运动“”的关系自然导入反函数的学习。 运用此法要注意如下几点：一要找准新旧知识的联结点，而联结点的确定又建立在对教材认真分析和对学生深入了解的基础之上。二是搭桥铺路，巧设契机。复习、练习、提问等都只是手段，一方面要通过有针对性的复习为学习新知识作好铺垫，另一方面在复习的过程中又要通过各种巧妙的方式设置难点和疑问，使学生思维暂时出现困惑或受到阻碍，从而激发学生思维的积极性，创造教授新知识的契机。 *实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++ 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 (1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义：A (a ij ) n ，则 A k A K A ②运算规律： A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4．矩阵的转置 (1) 定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ， (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。数学归纳法经典例题及答案精品
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