2019年上海初三数学二模18题专题讲解

杨浦区

18.如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D 与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．

18.【答案】√10-√5＜r＜√10+√5

【解析】

解：如图，连接EF，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC=90°，则EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，则点G是AF的中点，∴GF=AF=2，∴OG是△AEF的中位数，∴OG=AE=1，

∴OF==，OD==，

∵圆D与圆O有两个公共点，

∴-＜r＜+，

黄浦区

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin B=3

5

，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，

那么BD

B1C

=______．

18.【答案】3

5

1.解：∵∠ACB=90°，sinB==，∴设AC=3x，AB=5x，

∴BC==4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，

∵点E是A1B1的中点，∴CE=A1B1=2.5x=B1E，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠B=∠B1，∠CEB1=∠BED

∴△CEB1∽△DEB

∴=

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cos B＝，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是3﹣5 ．

【解答】解：由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵cos B＝＝，AB＝6，

∴BC＝4，AC＝＝2，

∵∠A′AH＝∠A′AC，∠AHA′＝∠ACA′＝90°，AA′＝AA′，

∴△AA′H≌△AA′C（AAS），

∴A′C＝A′H，AC＝AH＝2，设A′C＝A′H＝x，

在Rt△A′BH中，（4﹣x）2＝x2+（6﹣2）2，

∴x＝3﹣5，∴A′C＝3﹣5

18．如图，在△ABC中，AB = AC = 5，25

BC ，D为边AC上一点（点D与点A、C不重合）．将△ABC沿直线BD翻折，使点A落在点E处，联结CE．如果CE // AB，那么AD︰CD = ▲．

普陀区

18.如图7，AD是△的中线，点E在边AB上，且DE⊥AD，将△BDE绕着点D旋

转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，联结AF交BC于点G，如果5

2

AE

BE

，那么

GF AB 的值等于▲．

ABC

18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点C 旋转，点A、B的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于______．

18.【答案】14

5

【解析】

解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F，∵旋转

∴AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8

∵CF⊥AA'，∴AF=A'F

在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2，

在Rt△CFB'中，B'C2=B'F2+CF2，

∴B'C2-AC2=B'F2-AF2，

∴64-25=（8+AF）2-AF2，∴AF=∴AA'=

1

8 .

如图

4，在平面直角坐标系

x O y

A ( 2

3 ,

0 )，点Q 在直线AB 上，把BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，

联结PQ，如果直线PQ 与直线A B 所构成的夹角为

60°，那么点P 的坐标是

奉贤区

金山区

18.一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于______．

崇明区

18.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E．如果线段DE的长为√2，那么边AB的长为______．

18.【答案】√6+√2

【解析】

解：如图，作DF⊥BE于F，CH⊥AD于H，

∵将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为

点D，AD、BC的延长线相交于点E，

∴AD=AC=AB，∠CAD=∠BAC=30°，

∴∠ACB=∠ACD=∠ADC=75°，

∴∠DCE=30°，∠E=45°，

∵DE=，

∴DF=EF=1，CF=，

∴CE=+1，

∴CH=HE=，AH=，

∴AD=AH+HE-DE=，

∴AB=．

松江区

18.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．将△ABC绕点B 旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上．直线AC交DE于点F，那么CF的长为______．

18.【答案】3

【解析】

解：∵如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．

∴AB=，tan∠A=，

∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，点A的对应点D落

在射线BC上，直线AC交DE于点F，

∴BD=AB=10，∠D=∠A，

∴CD=BD-BC=10-6=4，

在Rt△FCD中，∠DCF=90°，

∴tanD=，即，

∴CF=3．

嘉定

宝山区

18.如图，点M的坐标为（3，2），动点P从点O出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，若点M关于l的对称点落在坐标轴上，设点P的移动时间为t，则t的值是______．

18.【答案】2或3

【解析】

解：如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M

在坐标轴上的对称点,过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．

由直线l：y=-x+b可知∠PDO=∠OPD=45°，

∴∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，

∴DE=MD=2，OE=OF=1，

∴E（1，0），F（0，-1）．∵M（3，2），F（0，-1），

∴线段MF中点坐标为（，）．

直线y=-x+b过点（，），则=-+b，解得：b=2，

∴t=2．

∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME中点坐标为（2，1）．

直线y=-x+b过点（2，1），则1=-2+b，解得：b=3，

∴t=3．

故点M关于l的对称点，当t=2时，落在y轴上，当t=3时，落在x轴上．

虹口区

青浦区

18．（3分）我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，动点P从点A开始沿射线AC方向以1个单位秒的速度向点C运动，动点Q从点C开始沿射线CB方向以2个单位/秒的速度向点运动，P、Q两点分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ的中点M运动的轨迹长为．

【解答】解：以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系：

依题意，可知0≤t≤6，当t＝0时，点M1的坐标为（4，0）；

当t＝6时，点M2的坐标为（1，6），

设直线M1M2的解析式为y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直线M1M2的解析式为y＝﹣2x+8．设动点运动的时间为t秒，

则有点Q（0，2t），P（8﹣t，0），

∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t），

把x＝代入y＝﹣2x+8，得y＝﹣2×+8＝t，

∴点M3在M1M2直线上，

过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝6，M1N＝3，

∴M1M2＝3，

∴线段PQ中点M所经过的路径长为3个单位长度．

浦东新区

解