高中数学复习 数列与数学归纳法

数列与数学归纳法

要求层次

重难点

数列的概念和表示法 B ⑴数列的概念和简单表示法

①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．

②了解数列是自变量为正整数的一类函数． ⑵等差数列、等比数列

①理解等差数列、等比数列的概念． ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n

项和公式．

③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．

⑶了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

等差数列的概念 B 等比数列的概念

B 等差数列的通项公式与前

n 项和公式

C

等比数列的通项公式与前

n 项和公式

C

数学归纳法

B

板块一：数列的通项公式

（一）主要方法：

常见的已知递推式求通项公式的常用方法：

⑴1()n n x x f n -=+（其中()0f n ≠），则12()n

n k x x f k ==+∑；

⑵1()n n x f n x -=（其中()0f n ≠），则1()(1)(2)n x f n f n f x =?-??；

⑶1()n n x a x f n -=?+（其中0a ≠，1a ≠，()f n 是关于n 的多项式函数），

可设1()((1))n n x g n a x g n -+=+-，其中()g n 为与()f n 的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，

高考要求

第七讲 数列与数学归纳法

知识精讲

通过比较(1)()ag n g n --与()f n 的各项系数可以确定待定系数； ⑷1n n n x a x c b -=?+?，其中0a ≠，1a ≠，b 0≠，1b ≠，0c ≠．

若a b =，则1

1

n n n n x x c b b --=+；

若a b ≠，则可以设1

1()n

n n n x b x b αβα--+?=?+?；也可两边同时除以n

a ：11n

n n n n x x b c a a a --??=+ ???

； 也可两边同时除以n b ：1

1

n n n n x x a c b b b --=?+．

（二）典例分析：

【例1】 （2018新课标江苏10）

将全体正整数排成一个三角形数阵：

12

345

67

8

9

10

，

按照以上排列的规律，数阵中第n 行(3)n ≥从左至右的第3个数为 ．

【例2】 如图，一粒子在区域{}()|00x y x y ，≥，≥上运动，在第一秒内它从原点运动到点1(01)B ，，

接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．

设粒子从原点到达点n A 、n B 、n C 时，所经过的时间分别为n a 、n b 、n c ， ⑴试写出{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式．

⑵求粒子从原点运动到点(1543)P ，时所需的时间； ⑶粒子从原点开始运动，求经过2009秒后，它所处的坐标．

【例3】 ⑴（2017全国Ⅰ）已知数列{}n a 中12a =

，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．

求{}n a 的通项公式；

⑵已知数列{}n a 满足11a =，134

n

n n a a a +=

+，则n a =______．

⑶（2018全国Ⅰ）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．求数列{}n a 的通项公式．

【例4】 （2019湖南15）

将正ABC ?分割成2n （2n ≥，n *∈N ）个全等的小正三角形（下图分别给出了23n =，的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC ?的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n ，则有(2)2f =，(3)f =_______，…，()f n =________．

【例5】 （2019江西8）

数列{}n a 的通项222ππcos sin 33n n n a n ?

?=- ???

，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ） A ．470 B ．490 C ．495 D ．510

【例6】 （2019重庆14）

设12a =，12

1

n n a a +=

+，21n n n a b a +=-，*n ∈N ，则数列{}n b 的通项n b = ．

【例7】 （2019湖北15）

已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1231n

n n n

n a a a a a +??=??+?，当为偶数时，当为奇数时，若61a =，则m 所有可能的取值为__________．

【例8】 （2008北京理14）

某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点

()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?????=+--? ? ??????

?????--?????=+- ? ???????

，

n=3

n=2

A

B

C

C B

A

()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．

【例9】 （2019江西22）

各项均为正数的数列{}n a ，1a a =，2a b =，且对满足m n p q +=+的正整数m ，n ，p ，q 都有

(1)(1)(1)(1)

p q m n

m n p q a a a a a a a a ++=++++．

⑴当12

a =

，4

5b =时，求3a ；

⑵在⑴的条件下，将n a 用1n a -表示出来（其中n *∈N ）． ⑶在⑴的条件下证明11n n a a ??-??+?

?为等比数列，并求通项n a ．

⑷证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有

1

n a λλ

≤≤．

板块二：新定义数学与数学归纳法 （一） 知识内容

数学归纳法：专门用来证明与正整数相关的命题的一种证明方法． 数学归纳法的步骤：

一个与正整数n 相关的命题，如果 ①n 取第一个值0n 时命题成立；

②在假设当(n k k +=∈N ，且0k n ≥)时命题成立的前提下，推出当1n k =+时命题也成立； 那么可以断定，这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立．

（二）典例分析：

【例10】 （2019海淀一模8）

对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n ∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记：

{}n a M ?，那么下列命题正确的是（ ）

A ．若{}

n a M ?，则数列{}n a 的各项均大于或等于M B ．若{}

n a M ?，{}n b M ?，则{}2n n a b M +? C ．若{}n a M ?，则{}

22n a M ?

D ．若{}

n a M ?，则{}2121n a M ++?

已知函数()f x 由下表给出

其中k 01234

则4a = ；0123a a a a +++= ．

【例12】 （2019北京理科20）

已知数集{}12n a a a =，

，，()1212n a a a n <<<≤，≥具有性质:P 对任意的

i j ，()1i j n ≤≤≤，i j a a 与

j i

a a 两数中至少有一个属于A ．

⑴分别判断数集{}134，

，与{}1236，，，是否具有性质P ，并说明理由； ⑵证明：11a =，且

12111

12n

n n

a a a a a a a ---+++=+++； ⑶证明：当5n =时，1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列．

【例13】 （2019陕西22）

已知数列{}n x 满足，11

2

x =

，111n n x x +=+，*n ∈N ．

⑴猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论． ⑵证明：1

11265n n n x x -+??

- ?

??

≤．

设数列{}n a 满足3

*1101n n a a ca c c +==+-∈N ，

，，其中c 为实数， ⑴证明：[01]n a ∈，对任意*n ∈N 成立的充分必要条件是[01]c ∈，；

⑵设1

03c <<，证明：1*1(3)n n a c n --∈N ≥，

． ⑶设103c <<，证明：222

*122113n a a a n n c

++>+-∈-N ，．

【例15】 （2019西城一模）

设3m >，对于有穷数列{}n a ()12n m =，，，，令k b 为1a ，2a ，…，k a 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”．例如数列21375，，，，的创新数列为22377，

，，，，创新阶数为3． 考察自然数()123m m >，，，的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c ． ⑴若5m =，写出创新数列为34455，，，，的所有数列{}n c ；

⑵是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由．

⑶在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，求它们的首项的和．

【例16】 （2019湖南21）对于数列{}n u ，

若存在常数0M >， 对任意的n *∈N ， 恒有1121||||||n n n n u u u u u u M +--+-+

+-≤，

则称数列{}n u 为B -数列．

⑴首项为1， 公比为(||1)q q <的等比数列是否为B -数列？请说明理由；

⑵设n S 是数列{}n x 的前n 项和． 给出下列两组论断：

A 组：①数列{}n x 是

B -数列，②数列{}n x 不是B -数列；

B 组：③数列{}n S 是B -数列，④数列{}n S 不是B -数列．

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题． 判断所给命题的真假，并证明你的结论；

⑶若数列{}n a ，{}n b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列．

习题1. 黑白两种颜色的正六

边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中白色地面与黑色地砖的相差的块数是_________．

习题2. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a = _____．

习题3. 已知数列{}n a 满足10a =，13()31

n n n a a n a *+-=

∈+N ，则2009a 的值为 ．

习题4. 如图，在面积为1的正111A B C ?内作正222A B C ?，使12212A A A B =，

12212B B B C =，12212C C C A =，依此类推， 在正222A B C ?内再作正

333C B A ?，……．记正i i i C B A ?的面积为(12)i a i n =，，，，则

12n a a a ++

+= ．

家庭作业

B 3

C 3

C 2

B 2A 3

A 2C 1

B 1

A 1

第3个第2个第1个

习题5. 设关于x 的一元二次方程2110n n a x a x +-+=（n *∈N ）有两根α和β，满足2αβαβ+-=，且

11a =，

⑴试n a 用表示1n a +；⑵求证：求n a ；⑶记n n b na =，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．

习题1. 数列{}n a 满足143n n a a -=+，且10a =，则此数列的第5项是（ ）

A ．15

B ．255

C ．16

D ．36

习题2. 数列{}n a 中，12a =，26a =，且当n *∈N 时，2n a +等于1n n a a +的个位数，则2009a =______．

习题3. 数列{}n a 满足11a =，

111

1()22n n

n a a *+=+∈N ． ⑴求证1n a ??

????

是等差数列；⑵若1223116

33

n n a a a a a a +++

+>

，求n 的取值范围．

月测备选