2018年江苏省镇江市高考数学一模试卷
2018年江苏省镇江市高考数学一模试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 已知集合A ={?1,?1}，B ={?3,?0,?1}，则集合A ∩B =________．
2. 已知复数z 满足z ?i =3?4i （i 为虚数单位），则|z|=________．
3. 双曲线
x 24
?
y 23
=1的渐进线方程是________．
4. 某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =________．
5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为________．
6. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．
7. 若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为8cm 2，则它的体积为________cm 3．
8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2+a 4=2，S 2+S 4=1，则a 10=________．
9. 已知a >0，b >0，且2
a +3
b =√ab ，则ab 的最小值是________．
10. 设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tanA
tanB =3c?b b
，则
cosA =________．
11. 已知函数f(x)={a ?e x ,x <1,
x +4x ,x ≥1, 若y =f(x)的最小值是4，则实数的取值范围为________．
12. 在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP →
|=√3，|CA →
|=4，∠ACB =
2π
3
，则CP →
?
CA →
=________．
13. 已知直线l:x ?y +2=0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x ?2)2+y 2=2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．
14. 若二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)在区间[1,?2]上有两个不同的零点，则
f(1)a
的
取值范围为________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知向量a →
=(√2sinα,1)，b →
=(1,sin(α+π4
))．
(1)若角α的终边过点(3,?4)，求a →
?b →
的值；
(2)若a →?//?b →
，求锐角α的大小．
如图，正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1的高为√6，其底面边长为2．已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：
(1)B 1M?//?平面A 1BN ；
(2)AD ⊥平面A 1BN ．
已知椭圆C:
x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)经过点(√3,1
2)，(1,√
3
2)，点A 是椭圆的下顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点A 且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y =x 分别相交于E ，F 两点，已知OE =OF ，求直线l 1的斜率．
如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB ．在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC =
2π3
．计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB =θ(0<
θ<π
2)．
(1)当θ=π
3时，求∠OPQ 的大小；
(2)当∠OPQ 越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，g(x)=lnx ．
(1)若a =0，b =?2，且f(x)≥g(x)恒成立，求实数c 的取值范围；
(2)若b =?3，且函数y =f(x)在区间(?1,?1)上是单调递减函数． ①求实数a 的值；
②当c =2时，求函数?(x)={f(x),f(x)≥g(x),
g(x),f(x) 的值域． 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=3，且2S n =a n+1?3(n ∈N ?)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)对于正整数i ，j ，k(i (3)设数列{b n }前n 项和是T n ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式a 1b n +a 2b n?1+ a 3 b n?2+?+a n b 1=3n+1?3n ?3成立．求满足等式T n a n =1 3的所有正整数n ． 【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲] 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA =DC ． (1)求证：AB =2BC ； (2)若AB =2，求线段CD 的长． [选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵A =[4001]，B =[12 05]，列向量X =[a b ]． (1)求矩阵AB ； (2)若B ?1A ?1X =[5 1]，求a ，b 的值． [选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2√2,π 4)，圆心为直线ρsin(θ?π 3)=?√3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲] 已知x ，y 都是正数，且xy =1，求证：(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9． 【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图，在四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，PD =AD =2AB ，点Q 为线段PA （不含端点）上一点． (1)当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； (2)已知二面角Q ?BD ?P 的正弦值为2 3，求PQ PA 的值． 在含有n 个元素的集合A n ={1,?2,?...,?n}中，若这n 个元素的一个排列(a 1,?a 2,…,a n )满足a i ≠i(i =1,?2,…,n)，则称这个排列为集合A n 的一个错位排列（例如：对于集合A 3={1,?2,?3}，排列(2,?3,?1)是A 3的一个错位排列；排列(1,?3,?2)不是A 3的一个错位排列）．记集合A n 的所有错位排列的个数为D n ． (1)直接写出D 1，D 2，D 3，D 4的值； (2)当n ≥3时，试用D n?2 ，D n?1表示D n ，并说明理由； (3)试用数学归纳法证明：D2n(n∈N?)为奇数． 参考答案与试题解析 2018年江苏省镇江市高考数学一模试卷 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 【答案】 {1} 【考点】 交集及其运算 【解析】 根据交集的定义写出集合A∩B． 【解答】 解：集合A={?1,?1}，B={?3,?0,?1}， 则集合A∩B={1}． 故答案为：{1}. 2. 【答案】 5 【考点】 复数的模 复数代数形式的乘除运算 【解析】 z?i=3?4i（i为虚数单位），可得z?i?(?i)=?i(3?4i)，化简利用模的计算公式即可得出． 【解答】 解：∵z?i=3?4i（i为虚数单位）， ∴z?i?(?i)=?i(3?4i)， 则z=?4?3i， 则|z|=√(?4)2+(?3)2=5． 故答案为：5. 3. 【答案】 √3x±2y=0 【考点】 双曲线的渐近线 【解析】 由x2 4?y2 3 =0，可得双曲线x2 4 ?y2 3 =1的渐近线方程 【解答】 解：由x2 4?y2 3 =1， 可得a=2，b=√3， 双曲线x2 4?y2 3 =1的渐近线方程为y=±b a x=±√3 2 x， 即√3x±2y=0． 故答案为：√3x±2y=0． 4. 【答案】 63 【考点】 分层抽样方法 【解析】 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】 解：∵高二年级被抽取的人数为21， ∴21 600=n 1800 ，得n=63， 故答案为：63. 5. 【答案】 3 16 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 古典概型及其概率计算公式 【解析】 基本事件总数n=4×4=16，利用列举法求出两次数字之和等于6包含的基本事件个数，由此能求出两次数字之和等于6的概率． 【解答】 解：将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次， 观察其朝下一面的数字， 基本事件总数n=4×4=16． 则两次数字之和等于6包含的基本事件有(2,?4)，(4,?2)，(3,?3)，共3个， ∴两次数字之和等于6的概率为p=3 16 ． 故答案为：3 16 . 6. 【答案】 25 【考点】 程序框图 【解析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】 解：当n=1时，满足进行循环的条件，S=1，n=3； 当n=3时，满足进行循环的条件，S=4，n=5； 当n=5时，满足进行循环的条件，S=9，n=7； 当n=7时，满足进行循环的条件，S=16，n=9； 当n=9时，满足进行循环的条件，S=25，n=11； 当n=11时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为25. 故答案为：25. 7. 【答案】 4√3 3 【考点】 柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 根据侧面积计算出棱锥的斜高，利用勾股定理计算棱锥的高． 【解答】 解：设四棱锥为P?ABCD，底面ABCD的中心为O，取CD中点E，连结PE，OE，如图所示， 则PE⊥CD，OE=1 2 BC=1cm， ∵S 侧面=4S△PCD=4×1 2 ×CD×PE=8cm2， ∴PE=2cm． ∴PO=√PE2?OE2=√3cm，∴正四棱锥体积为 V=1 3 ×S 正方形ABCD ×PO =1 3×22×√3=4√3 3 cm3． 故答案为：4√3 3 . 8. 【答案】 8 【考点】 等差数列的前n项和 等差数列的通项公式 【解析】 设等差数列{a n}的公差为d，由a2+a4=2，S2+S4=1，可得2a1+4d=2，6a1+ d+4×3 2 d=1，联立解出利用通项公式即可得出． 【解答】 解：设等差数列{a n}的公差为d， ∵a2+a4=2，S2+S4=1， ∴2a1+4d=2，6a1+d+4×3 2 d=1， 解得：a1=?1，d=1， 则a10=?1+9=8． 故答案为：8. 9. 【答案】 2√6 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 根据a>0，b>0，即可得出2 a +3 b ≥√6 √ab ，从而得出√ab≥√6 √ab ，从而可求出ab的最小 值． 【解答】 解：a>0，b>0； ∴√ab=2 a +3 b ≥√6 √ab ， 即√ab≥√6 √ab ， ∴ab≥2√6， ∴ab的最小值是2√6． 故答案为：2√6． 10. 【答案】 1 3 【考点】 余弦定理 正弦定理 同角三角函数间的基本关系【解析】 先化切为弦，再由正弦定理及余弦定理求解． 【解答】 解：由tanA tanB =3c?b b ，得sinAcosB cosAsinB = 3c?b b ， 则acosB bcosA = 3c?b b ，即acosB =(3 c ?b)cosA ， 3ccosA =acosB +bcosA =a × a 2+c 2? b 2 2ac +b × b 2+ c 2?a 2 2bc =c ， ∴ cosA =1 3． 故答案为：1 3. 11. 【答案】 [e +4,?+∞) 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 分段函数的应用 指数函数单调性的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】 考虑x <1的函数的单调性，可得f(x)的范围；由基本不等式可得x ≥1时f(x)的最小值，即可得到所求a 的范围． 【解答】 解：函数f(x)={ a ?e x ,x <1, x +4x ,x ≥1, 当x <1时，f(x)=a ?e x 递减，可得f(x)>a ?e ， 由x ≥1时，f(x)=x +4 x ≥2√x ?4 x =4， 当且仅当x =2时，取得最小值4， 由题意可得a ?e ≥4， 即a ≥e +4． 故答案为：[e +4,?+∞). 12. 【答案】 6 【考点】 平面向量数量积的性质及其运算律 向量的三角形法则 【解析】 用CA → ,CB → 表示出CP → ，根据CP =√3计算CB ，再计算CP → ?CA → 的值． 【解答】 解：∵ 点P 是边AB 的中点， ∴ CP → =12 CA → +12 CB → ， ∴ CP →2=14 CA →2+12 CA →×CB →+14 CB → 2， ∴ 3=4+12 ×4×|CB →|×cos 2π3 +14 ×|CB → |2， ∴ |CB → |=2， ∴ CA → ×CB → =4×2×cos 2π3 =?4， ∴ CP →?CA →=(12 CA →+12 CB →)×CA → =12 CA →2+12 CB → ×CA → =6． 故答案为：6. 13. 【答案】 {13 ,5} 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 直线与圆的位置关系 【解析】 由题意得A(?2,?0)，以AP 为直径的圆与圆C 相切．设P(m,?m +2)，则以AP 为直径的圆的圆心为( m?22 , m+22 )，半径为√22 |m +2|，由外切和内切两种情况进行讨论，能求出m ． 【解答】 解：由题意得A(?2,?0)，以AP 为直径的圆与圆C 相切， 设P(m,?m +2)，则以AP 为直径的圆的圆心为(m?22 , m+22 )，半径为√22 |m +2|， 外切时，√2 2|m +2|+√2=√( m?62)2 +(m+22 )2 ，解得m =1 3， 内切时，√22|m +2|?√2=√( m?62 )2+( m+22 )2 ，解得m =5． 综上，点P 的横坐标的取值集合为{1 3,?5}． 故答案为：{1 3,?5}． 14. 【答案】 [0,?1) 【考点】 由函数零点求参数的取值范围 二次函数的性质 求线性目标函数的最值 简单线性规划 【解析】 首先利用二次函数的性质建立不等量关系，进一步利用线性规划问题求出结果． 【解答】 解：二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)在区间[1,?2]上有两个不同的零点， 则： { 1 2a <2,f(1)≥0, f(2)≥0, f(?b 2a )<0, 即：{ 1 2a <2,a +b +c ≥0,4a +2b +c ≥0,4ac?b 2 4a <0, 设：b a =x,c a =y ， 即有：{?4 4+2x +y ≥0,4y ?x 2<0, 画出可行域，如图， 由A ，B ，C 组成的图形(包括线段AB ，AC ，不包括曲线BC )， 由 f(1)a =1+b a +c a =1+x +y ， 可得：1+x +y 的最小值为0， 当1+x +y 经过点(?4,?4)， 可得：1+x +y =1， 则：1+x +y ∈[0,?1) 故： f(1)a 的取值范围是：[0,?1)． 故答案为：[0,?1)． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】 解：(1)角α的终边过点(3,?4)， ∴r=√32+42=5， ∴sinα=y r =4 5 ，cosα=x r =3 5 ， ∴a→?b→=√2sinα+sin(α+π 4 ) =√2sinα+sinαcos π 4 +cosαsin π 4 =√2×4 5 + 4 5 × √2 2 + 3 5 × √2 2 =3√2 2 . (2)若a→?//?b→，则√2sinαsin(α+π 4 )=1， 即√2sinα(sinαcosπ 4+cosαsinπ 4 )=1， ∴sin2α+sinαcosα=1， ∴sinαcosα=1?sin2α=cos2α， 对锐角α有cosα≠0， ∴tanα=1， ∴锐角α=π 4 ． 【考点】 两角和与差的正弦公式 任意角的三角函数 平面向量数量积的性质及其运算律 平面向量共线（平行）的坐标表示 平行向量的性质 同角三角函数间的基本关系 【解析】 （1）由三角函数的定义求出sinα、cosα，再根据平面向量数量积的定义计算a→?b→的值；（2）根据a→?//?b→，列方程求出α的三角函数值以及锐角α的值． 【解答】 解：(1)角α的终边过点(3,?4)， ∴r=√32+42=5， ∴sinα=y r =4 5 ，cosα=x r =3 5 ， ∴a→?b→=√2sinα+sin(α+π 4 ) =√2sinα+sinαcos π 4 +cosαsin π 4 =√2×4 + 4 × √2 + 3 × √2 =3√2 2 . (2)若a→?//?b→，则√2sinαsin(α+π 4 )=1， 即√2sinα(sinαcosπ 4+cosαsinπ 4 )=1， ∴sin2α+sinαcosα=1， ∴sinαcosα=1?sin2α=cos2α， 对锐角α有cosα≠0， ∴tanα=1， ∴锐角α=π 4 ． 【答案】 证明：(1)连结MN，正三棱柱ABC?A1B1C1中，如图， AA1?//?CC1且AA1=CC1，则四边形AA1C1C是平行四边形， 因为点M、N分别是棱A1C1，AC的中点， 所以MN?//?AA1且MN=AA1， 又正三棱柱ABC?A1B1C1中AA1?//?BB1且AA1=BB1， 所以MN?//?BB1且MN=BB1， 所以四边形MNBB1是平行四边形， 所以B1M?//?BN，又B1M平面A1BN，BN?平面A1BN， 所以B1M?//?平面A1BN. (2)正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC，所以BN⊥AA1， 正△ABC中，N是AC的中点， 所以BN⊥AC，又AA1、AC?平面AA1C1C，AA1∩AC=A， 所以BN⊥平面AA1C1C，又AD?平面AA1C1C， 所以AD⊥BN， 由题意，AA1=√6，AC=2，AN=1，CD=√6 3 ， 所以AA1 AC =AN CD =√3 2 ， 又∠A1AN=∠ACD=π 2 ， 所以△A1AN与△ACD相似，则∠AA1N=∠CAD， 所以∠ANA1+∠CAD=∠ANA1+∠AA1N=π 2 ， 则AD⊥A1N，又BN∩A1N=N，BN，A1N?平面A1BN， 所以AD⊥平面A1BN． 【考点】 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 【解析】 （1）证明四边形MNBB1是平行四边形得出B1M?//?BN，故而B1M?//?平面A1BN；（2）根据BN⊥平面ACC1A1可得BN⊥AD，根据三角形相似可得AD⊥A1N，故而AD⊥平面A1BN． 【解答】 证明：(1)连结MN，正三棱柱ABC?A1B1C1中，如图， AA1?//?CC1且AA1=CC1，则四边形AA1C1C是平行四边形， 因为点M、N分别是棱A1C1，AC的中点， 所以MN?//?AA1且MN=AA1， 又正三棱柱ABC?A1B1C1中AA1?//?BB1且AA1=BB1， 所以MN?//?BB1且MN=BB1， 所以四边形MNBB1是平行四边形， 所以B1M?//?BN，又B1M平面A1BN，BN?平面A1BN， 所以B1M?//?平面A1BN. (2)正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC， 所以BN⊥AA1， 正△ABC中，N是AC的中点， 所以BN⊥AC，又AA1、AC?平面AA1C1C，AA1∩AC=A， 所以BN⊥平面AA1C1C，又AD?平面AA1C1C， 所以AD⊥BN， 由题意，AA1=√6，AC=2，AN=1，CD=√6 3 ， 所以AA1 AC =AN CD =√3 2 ， 又∠A1AN=∠ACD=π 2 ， 所以△A1AN与△ACD相似，则∠AA1N=∠CAD， 所以∠ANA1+∠CAD=∠ANA1+∠AA1N=π 2 ， 则AD⊥A1N，又BN∩A1N=N，BN，A1N?平面A1BN， 所以AD ⊥平面A 1BN ． 【答案】 解：(1)根据题意，椭圆C: x 2a 2+ y 2b 2 =1(a >b >0)经过点(√3,1 2)，(1,√3 2 )， 则有{3a 2+ 14b 2=1,1a 2+3 4b 2=1, 解得{1a 2=1 4 , 1b 2=1, 所以椭圆C 的标准方程为 x 24 +y 2=1. (2)由题意知A(0,??1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零， 设直线l 1:y =k 1x ?1，与直线y =x 联立方程有{ y =k 1x ?1 y =x ， 得E(1 k 1?1 , 1 k 1?1 )， 设直线l 2:y =?1 k 1 x ?1，同理F(1 ?1k 1 ?1,1 ?1k 1 ?1)， 因为OE =OF ， 所以|1k 1?1|=|1 ?1k 1 ?1|， ①1k 1?1=1 ?1k 1 ?1，k 1+1 k 1 =0无实数解； ②1k 1?1=?1 ?1k 1 ?1，k 1?1 k 1 =2，k 12?2k 1?1=0， 解得k 1=1±√2， 综上可得，直线l 1的斜率为1±√2． 【考点】 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【解析】 （1）根据题意，将两点的坐标代入椭圆的方程有{3 a 2+ 14b 2 =1 1a 2 +3 4b 2=1 ，解可得1a 2、1 b 2的值， 即可得椭圆的方程； （2）设直线l 1:y =k 1x ?1，与直线y =x 联立方程有{ y =k 1x ?1 y =x ，可得E 的坐标，设直线l 2:y =?1 k 1 x ?1，同理可得F 的坐标，又由OE =OF ，所以|1k 1?1|=|1 ?1k 1 ?1|， 解可得k 的值，即可得答案． 【解答】 解：(1)根据题意，椭圆C: x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√3,1 2)，(1,√3 2 )， 则有{3 a +1 4b =1,1a 2+34b 2=1, 解得{1 a =1 4,1 b 2=1, 所以椭圆C 的标准方程为 x 24 +y 2=1. (2)由题意知A(0,??1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零， 设直线l 1:y =k 1x ?1，与直线y =x 联立方程有{ y =k 1x ?1 y =x ， 得E(1 k 1?1 , 1 k 1?1 )， 设直线l 2:y =?1 k 1 x ?1，同理F(1?1k 1 ?1,1 ?1k 1 ?1)， 因为OE =OF ， 所以|1 k 1?1|=|1 ?1k 1 ?1|， ①1k 1?1=1 ?1k 1 ?1，k 1+1 k 1 =0无实数解； ②1k 1?1=?1 ?1k 1 ?1，k 1?1 k 1 =2，k 12?2k 1?1=0， 解得k 1=1±√2， 综上可得，直线l 1的斜率为1±√2． 【答案】 解：(1)设∠OPQ =α，由题，Rt △OAQ 中，OA =3， ∠AQO =π?∠AQC =π? 2π3 =π 3 ， 所以OQ =√3，在△OPQ 中，OP =3， ∠POQ =π2?θ=π2?π3=π 6， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ， 即√3sinα=3 sin(π?α?π6 )， 所以√3sinα=sin(π?α?π6)=sin(5π 6?α)， 则√3sinα=sin 5π6 cosα?cos 5π6 sinα =1 2cosα+ √3 2 sinα， 所以√3sinα=cosα， 因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=√3 3 ，得α=π 6. (2)设∠OPQ =α，在△OPQ 中，OP =3，∠POQ =π 2?θ， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ， 即√3sinα=3 sin(π?α?(π2 ?θ))， 所以√3sinα=sin(π?α?(π 2?θ)) =sin(π 2?(α?θ))， 从而(√3?sinθ)sinα=cosαcosθ，其中√3?sinθ≠0，cosα≠0， 所以tanα=√3?sinθ ， 记f(θ)= √ 3?sinθ ，f ′(θ)=√3sinθ(√3?sinθ) 2， θ∈(0,π 2)， 令f ′(θ)=0，sinθ=√33 ，存在唯一θ0∈(0,π 2)使得sinθ0=√3 3 ， 当θ∈(0,?θ0)时f ′(θ)>0，f(θ)单调增，当θ∈(θ0,π 2)时f ′(θ)<0，f(θ)单调减， 所以当θ=θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ 最大， 又∠OPQ 为锐角，从而∠OPQ 最大，此时sinθ=√3 3 ． 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为√3 3 ． 【考点】 利用导数研究函数的最值 两角和与差的正弦公式 利用导数研究函数的单调性 正弦定理 【解析】 （1）根据题意，设∠OPQ =α，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ，变形可得√3sinα=sin 5π6 cosα?cos 5π6 sinα=1 2cosα+ √3 2 sinα，所以√3sinα=cosα，由同角三角函数基 本关系式分析可得答案； （2）设∠OPQ =α，在△OPQ 中，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ，变形可得(√3?sinθ)sinα=cosαcosθ，即tanα= √ 3?sinθ ，记f(θ)=√ 3?sinθ ，求导可得f ′ (θ)=√3sinθ(√3?sinθ)2 ，由导数与函数的单调性的关系分析可得答案． 【解答】 解：(1)设∠OPQ =α，由题，Rt △OAQ 中，OA =3， ∠AQO =π?∠AQC =π? 2π3 =π 3， 所以OQ =√3，在△OPQ 中，OP =3， ∠POQ =π2?θ=π2?π3=π 6， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ， 即√3sinα=3 sin(π?α?π6 )， 所以√3sinα=sin(π?α?π6)=sin(5π 6?α)， 则√3sinα=sin 5π6 cosα?cos 5π6 sinα =1 2cosα+ √3 2 sinα， 所以√3sinα=cosα， 因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=√3 3 ，得α=π 6. (2)设∠OPQ =α，在△OPQ 中，OP =3，∠POQ =π 2?θ， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ， 即√3sinα=3 sin(π?α?(π2 ?θ))， 所以√3sinα=sin(π?α?(π 2?θ)) =sin(π 2?(α?θ))， 从而(√3?sinθ)sinα=cosαcosθ，其中√3?sinθ≠0，cosα≠0， 所以tanα=3?sinθ ， 记f(θ)= √ 3?sinθ ，f ′(θ)=√3sinθ(√3?sinθ) 2， θ∈(0,π 2)， 令f ′(θ)=0，sinθ=√33 ，存在唯一θ0∈(0,π 2)使得sinθ0=√3 3 ， 当θ∈(0,?θ0)时f ′(θ)>0，f(θ)单调增，当θ∈(θ0,π 2)时f ′(θ)<0，f(θ)单调减， 所以当θ=θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ 最大， 又∠OPQ 为锐角，从而∠OPQ 最大，此时sinθ=√3 3． 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为√3 3 ． 【答案】 解：(1)根据题意，函数g(x)=lnx ，其定义域为(0,?+∞)． 当a =0，b =?2，f(x)=x 3?2x +c ， ∵ f(x)≥g(x)恒成立， ∴ x 3?2x +c ≥lnx 恒成立，即c ≥lnx ?x 3+2x ． 令φ(x)=lnx ?x 3+2x ， 则φ′(x)=1 x ?3x 2+2 = 1+2x?3x 3 x = (1?x)(1+3x+3x 2) x ， 令φ′(x)≥0，得x ≤1，∴ φ(x)在(0,?1]上单调递增， 令φ′(x)≤0，得x ≥1，∴ φ(x)在[1,?+∞)上单调递减， ∴ 当x =1时，[φ(x)]max =φ(1)=1． ∴ c ≥1． (2)①当b =?3时，f(x)=x 3+ax 2?3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax ?3， 由题意，f ′(x)=3x 2+2ax ?3≤0对x ∈(?1,?1)恒成立， ∴ {f ′(1)=3+2a ?3≤0,f ′(?1)=3?2a ?3≤0, ∴ a =0，即实数a 的值为0， ②函数y =?(x)的定义域为(0,?+∞)， 对于g(x)=lnx ， 当x ∈(0,?1)时，g(x)<0，当x =1时，g(x)=0，当x ∈(1,?+∞)时，g(x)>0， ∴ 当x ∈(0,?1)时，?(x)=f(x)>0，当x =1时，?(x)=0，当x ∈(1,?+∞)时，?(x)>0． 故函数y =?(x)的值域为[0,?+∞)． 【考点】 利用导数研究函数的最值 利用导数研究不等式恒成立问题 分段函数的应用 【解析】 （1）根据题意，f(x)≥g(x)恒成立，即x 3?2x +c ≥lnx 恒成立，变形可得c ≥ lnx ?x 3+2x ，令φ(x)=lnx ?x 3+2x ，对其求导，利用函数的导数与函数的单调性分析可得[φ(x)]max =φ(1)=1，分析可得c 的范围； （2）①，当b =?3时，f(x)=x 3+ax 2?3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax ?3．利用函数的导数与函数的单调性分析可得f ′(x)=3x 2+2ax ?3≤0对x ∈(?1,?1)恒成立，即可得{f ′(1)=3+2a ?3≤0 f ′ (?1)=3?2a ?3≤0 ，解可得a 的值，即可得答案； ②，由①的结论，当a =0，b =?3，c =2时，f(x)=x 3?3x +2，利用函数的导数与函数的单调性分析可得当x ∈(0,?1)时，f(x)>0，当x =1时，f(x)=0，当x ∈(1,?+∞)时，f(x)>0，g(x)=lnx ，当x ∈(0,?1)时，g(x)<0，当x =1时，g(x)=0，当x ∈(1,?+∞)时，g(x)>0，结合函数?(x)的解析式，分析可得答案． 【解答】 解：(1)根据题意，函数g(x)=lnx ，其定义域为(0,?+∞)． 当a =0，b =?2，f(x)=x 3?2x +c ， ∵ f(x)≥g(x)恒成立， ∴ x 3?2x +c ≥lnx 恒成立，即c ≥lnx ?x 3+2x ． 令φ(x)=lnx ?x 3+2x ， 则φ′(x)=1 x ?3x 2+2 = 1+2x?3x 3 x = (1?x)(1+3x+3x 2) x ， 令φ′(x)≥0，得x ≤1，∴ φ(x)在(0,?1]上单调递增， 令φ′(x)≤0，得x ≥1，∴ φ(x)在[1,?+∞)上单调递减， ∴ 当x =1时，[φ(x)]max =φ(1)=1． ∴ c ≥1． (2)①当b =?3时，f(x)=x 3+ax 2?3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax ?3， 由题意，f ′(x)=3x 2+2ax ?3≤0对x ∈(?1,?1)恒成立， ∴ {f ′(1)=3+2a ?3≤0,f ′(?1)=3?2a ?3≤0, ∴ a =0，即实数a 的值为0， ②函数y =?(x)的定义域为(0,?+∞)， 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否 2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上， cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值； 2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( ) A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题 17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点 数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页） 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式： 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效---------------- 2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ） 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+ 2018年数学高考全国卷3答案 参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方 程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m = （ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +== 2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B 2018年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为． 4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为． 5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为． 6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为． 8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上， f（x）=，则f（f（15））的值为． 10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为． 11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为． 12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为． 13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1⊥平面A1BC． 2018年高考江苏卷 地理试题 一、选择题（共60分） （一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共计36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 公元399年～412年，僧人法显西行求法，游历三十余国，其旅行见闻《佛国记》是现存最早关于中国与南亚陆海交通的地理文献。图1为“法显求法路线示意图”。读图回答下列小题。 1. 《佛国记》中有“无冬夏之异，草木常茂，田种随人，无有时节”的记载，其描述的区域是 A. 印度河上游谷地 B. 帕米尔高原 C. 斯里兰卡沿海平原 D. 塔里木盆地 2. 法显从耶婆提国乘船返回中国最适合的时间是 A. 1月～5月 B. 5月～9月 C. 9月～12月 D. 11月～次年3月 【答案】1. C 2. B 【解析】 1. 根据题干所述“无冬夏之异”，说明该地区全年气温差异不大，再结合该地区“草木常茂，田种随人， 无有时节”可以推断，该地区全年气温较高，且降水丰富。印度河上游谷地位于喜马拉雅山区，海拔较高，不会草木常茂，A项错误；帕米尔高原深居内陆，且海拔较高，冬季漫长，气温较低，B项错误；斯里兰卡沿海平原地势平坦，且为季风气候，全年高温，降水丰富，符合《佛国记》的叙述，故C项正确；塔里木盆地降水少，且气温年变化大，不可能草木常茂。 2. 古代船只主要是帆船，其航行的动力来自于盛行风，从耶婆提返回中国，一路向东北前行，最适合的是遇到西南风，可以顺风而行，东南亚地区吹西南风的季节是每年的夏半年，即5～9月这段时间，故B项正确，A、C、D项错误。 图2为“某地二分二至日太阳视运动示意图”。读图回答下列小题。 3. 线①所示太阳视运动轨迹出现时的节气为 A. 春分 B. 夏至 C. 秋分 D. 冬至 4. 该地所属省级行政区可能是 A. 琼 B. 新 C. 苏 D. 赣 【答案】3. D 4. B 【解析】 3. 根据太阳视运动图，二分二至，太阳高度角最高的时候，太阳方位都位于该地的正南方向，所以该地区位于北回归线以北，①所示节气，日出东南方向，日落西南方向，此时太阳直射南半球，所以其太阳视运动轨迹出现的节气为冬至。故D项正确，A、B、C项错误。 4. 根据①所示太阳视运动图和第1问可知，该地冬至日的正午太阳高度角约为23°，又因为该地位于北回归线以北，可以假设当地纬度为α，则冬至日该地的正午太阳高度角公式为：23°=90°-（α+23.5°），该地纬度约为43.5°N，琼、新、苏、赣四个省级行政区，琼、苏、赣三省的纬度均低于40°N，43.5°N 横穿新。故B选项正确，A、C、D项错误。 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在 是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB 2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙 种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． （4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______． 【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题． （5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______． 【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________． 【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 姓名： 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（） A．0 B．C．D． 2．已知集合，则（） A．B． C．D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（） A．B．C．D．12 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为， 则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点， 则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成 的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一 点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（） A．B．C．D． 11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（） A．B．3 C．D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A．B．C．D． 2018年普通高等学校招生全国统一考试（III卷） 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A．B．C．D． 2． A．B．C．D． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若，则 A．B．C．D． 5．的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线分别与轴，轴交于、两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A．B．C．D． 7．函数的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．B．C．D． 9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A．B．C．D． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D． 11．设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A．B．2 C．D． 12．设，，则 A．B．C．D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，，．若，则________． 14．曲线在点处的切线的斜率为，则________． 15．函数在的零点个数为________． 16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若 ，则________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 等比数列中，． 2018年江苏高考数学真题及答案 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 锥体的体积1 3 V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．题卡相应位置上．．．．．．． ． 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()2 2 y x ??π π=+-<<的图象关于直线3 x π = 对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c 到一 3 ，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2 ()1||,20,2 x x f x x x π?<≤??=? ?+<≤??-则((15))f f 的值为 ▲ ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ． 2018年全国高考I I 卷理科数学试题及答案 https://www.360docs.net/doc/e45157662.html,work Information Technology Company.2020YEAR 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案解析 一、选择题 1.【答案】C 【解析】()()() 2 1i 2i 2i 2i i 1i 1i 2z --=+=+=+-,则1z =,选C . 2.【答案】B 【解析】2{|20}R C A x x x =--≤={|12}x x -≤≤,故选B . 3.【答案】A 【解析】经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,所以建设前与建设后在比例相同的情况下,建设后的经济收入是原来的2倍,所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%,故选A . 4.【答案】B 【解析】令{}n a 的公差为d ,由3243S S S =+,12a =得113(33)67a d a d +=+3d ?=-,则51410a a d =+=-,故选B . 5.【答案】D 【解析】x R ∈,3232()()(1)(1)f x f x x a x ax x a x ax -+=-+--++-+2 2(1)a x =-0=,则1a =,则3()f x x x =+,2()31f x x '=+,所以(0)1f '=,在点(0,0)处的切线方程为 y x =,故选D . 6.【答案】A 【解析】1111113()()()2222444BE BA BD BA BC BA AC AB AC AB =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 则3144 EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,故选A . 7.【答案】B 【解析】将三视图还原成直观图,并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形,从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短,长度为 故选B . 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 温馨提示：全屏查看效果更佳。 绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 I 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含非选择题（第 1 题 ~ 第 20 题，共 20 题） .本卷满分为 160 分，考试时 间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效。 5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 小分，共计70 分。请把答案填写在答题卡相应 位置上。 1.已知集合 A{0,1,2,8}, B { 1,1,6,8},那么 A B __________. 2.若复数 z 满足i z 1 2i, 其中i是虚数单位 , 则 z z的实部为 __________. 3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示, 那么这 5 位裁判打出的分数的平 均数为 __________. 4.一个算法的伪代码如图所示 , 执行此算法 , 最后输出的S的值为 __________. 5. 函数f x log 2 1 的定义域为__________. 6. 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 , 现从中任选 2 名学生去参加活动, 则恰好选中 2 名女生的概率是 __________. 7. 已知函数y sin(2 x)( 2 )的图像关于直线x对称,则的值是 __________. 23 8. 在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2y21(a0, b0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐a2b2 近线的距离为 3 c ,则其离心率的值是__________. 2 9. 函数f (x)满足f ( x4) f ( x)( x R) ,且在区间 (2,2)上 cos x ,0x2 f ( x)2, 则f ( f (15))的值为 __________. 1 |, | x2x 0 2 10. 如图所示 , 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________. 11.若函数 f (x)2x3ax 21(a R) 在 (0,) 内有且只有一个零点,则 f ( x) 在 [1,1]上的最大值与最小值的和为__________. 12.在平面直角坐标系 xOy 中, A 为直线 l : y2x 上在第一象限内的点, B5,0以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ,若 AB CD 0, 则点A的横坐标为 __________. 13.在 ABC 中,角A, B, C所对应的边分别为a,b, c,ABC120o , ABC 的平分线交 AC 于点D,且BD 1,则 4a c 的最小值为__________. 14.已知集合 A x | x2n 1,n N* , B x | x2n , n N*,将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列a n, 记S n为数列的前n项和 , 则使得S n12a n 1成立的 n 的最小值为 __________. 二、解答题 15.在平行四边形ABCD A1B1C1D1中, AA1AB, AB1B1C12018年高考理科数学试题及答案-全国卷2
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