人教版高中数学必修一《函数及其表示》导学案

§1．2函数及其表示

1.2.1 函数的概念）

教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。

3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。

教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。 教学难点：函数概念的理解。 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程：

（Ⅰ）引入问题

问题1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数） 问题2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x 和y ，，如果给定了一个x 的值，相应地确定唯一的一个y 值，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量）。

（Ⅱ）函数感性认识

教材例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集{026}A x x =≤≤，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0845}B h h =≤≤，对应关系2

1305h t t =- （*）。从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。

例子（2）中数集{19792001}A t t =≤≤，{026}B S S =≤≤，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应。 例子（3）中数集{1991,1992,,2001},{53.8,52.9,,37.9(%)}A B ==L L ，且对于数集A 中的每一个时间（年份），按表格，在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。 （III ）归纳总结给函数“定性”

归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A 、B 间的一种对应关系：对数集A 中的每一个x ，按照某个对应关系，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作:f A B →。 （IV)理性认识函数的定义

设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作(),y f x x A =∈，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ），与x 的值相队对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合

{()}f x x A ∈叫做函数的值域(range)。

定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；

（1）对应法则f (x)是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；

y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f (x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；

自变量x 在其定义域内任取一个确定的值a 时，对应的函数值用符号f (a)来表示。如

函数f (x)=x 2+3x+1,当x=2时的函数值是：f (2)=22

+3×2+1=11。

注意：f (a)是常量，f (x)是变量，f (a)是函数f (x)中当自变量x=a 时的函数值。 （2）定义域是自变量x 的取值范围；

注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；

如：y=x 2

(x 与)R ∈y=x 2

(x>0)； y=1与y=x

②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的集合；在实际中，还必须考虑x 所代表的具体量的允许值范围；

如：一个矩形的宽为xm ，长是宽的2倍，其面积为y=2x 2

，此函数的定义域为x>0,而不是R x ∈。

（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。 (V)区间的概念

说明：① 对于[]b ,a ，()b ,a ，[)b a ，，(]b ,a 都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左

端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；

② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：

不等式表示法：3

7x 3x <<；区间表示法：()73，

； ③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实

心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；

④ 实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x

例1．已知函数1

()2

f x x =+，（教材第20页例1） （1）求函数的定义域； （2）求2(3),()3

f f -的值；

（3）当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式()y f x =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。（解略）

例2．求下列函数的定义域。

（1）1()(12)(1)

f x x x =-+；

(2)()f x =；(3) 分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定

义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。

从上例可以看出，当确定用解析式y=f (x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： （1）如果f (x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；

（2）如果f (x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f (x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合； （4）如果f (x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；

（5）如果f (x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。

由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。 例3．下列函数中，哪个与函数y=x 是同一函数？（书P 21例2）

(1) y=(x )2

; (2) y=x

x 2

; (3) y=33x ; (4)y=2x .

分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，

这两个函数才算相同。（解略） 课堂练习：课本P 22练习1、2、3。 课时小结：

本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视。 课后作业

1、书面作业：课本P 28习题1.2A 组题第1，2，3，4题；B 组第1、2题。

2、预习作业：

（1） 预习内容：课本P 22—P 23； （2） 预习提纲：

a.函数的表示方法分别有哪几种? c.回顾初中学过的做函数图象的方法步骤；

x

x x f -+

+=21

1)(

§1．2．2函数的表示法

一．教学目标

1．知识与技能

（1）明确函数的三种表示方法；

（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；

（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．

2．过程与方法：

学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．

3．情态与价值

让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。

二．教学重点和难点

教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．

教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．

三．学法及教学用具

1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．

2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．

四．教学思路

（一）创设情景，揭示课题．

我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．

（二）研探新知

1．函数有哪些表示方法呢？

（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）

2．明确三种方法各自的特点？

（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．

例1．某种笔记本的单价是5元，买

}

{

(1,2,3,4,5)

x x∈

个笔记本需要

y元，试用三种表示

法表示函数

() y f x =．

分析：注意本例的设问，此处“

()

y f x

=”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图

象，也可以是对应值表．

解：（略）

注意：

①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；

②解析法：必须注明函数的定义域；

③图象法：是否连线；

④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？

解：（略）

注意：

①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：

②本例能否用解析法？为什么？

例3．画出函数

||

y x

的图象

解：（略）

例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．

解：（略）

注意：

①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；

②象例3、例4中的函数，称为分段函数．

③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

（四）巩固深化，反馈矫正．

（1）课本P27 练习第1，2，3题

（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20

g，付邮资80分，超过20g而不超过40

g付邮资160分，每封xg（0＜x≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）

（五）归纳小结

理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。

（六）设置问题，留下悬念．

（1）课本P28习题（A组）1，2；

（2）如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为x，面积为

y，

y表示成x的函数．把