高考数列放缩法技巧全总结
高考数学备考之放缩技巧专题
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩 例1.(1)求
∑=-n
k k
1
2
142
的值; (2)求证:
3
51
1
2
<
∑=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=-
<1211212144
4
11
1
222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n
k Λ 奇巧积累:(1)??? ??+--=-<
=1211212144
4412
2
2n n n n
n
(2))
1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<-=?
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r
r r
n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-++?+
?++<+n n n n Λ (5)
n
n n n 21121)12(21-
-=- (6) n n n -+<+221
(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n
n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221?+-?+=???? ??+-+- (9)
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)
2
1
2121
21222)1212(21
-++
=
-++=
--+ (11) )2(1 21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211 12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(111 2 3 --+????? ??+- -=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1 11121 11111+--<-++? ??? ?? +--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(2221n n n n n n n n n <-? >-?>-?>?-=?=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112222222 2<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证:)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ 解析:(1)因为 ??? ??+--=+->-12112121)12)(12(1) 12(12 n n n n n ,所以 ) 1 2131(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i (2))111(41)1211(4141361161412 22n n n -+<+++=++++ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出1 212642)12(531+< ????-????n n n ΛΛ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后 就可以得到答案 (4)首先n n n n n ++= -+>12)1(21 ,所以容易经过裂项得到 n n 13 12 11)11(2+ ++ + <-+Λ 再证 2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立 的,所以)112(2131211-+<++++n n Λ 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面:因为??? ??+--=-=-<121121 2144 4 11 1 222 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 另一方面:1 111)1(143132111914112 +=+-=+++?+?+>++++n n n n n n ΛΛ 当3≥n 时,) 12)(1(61 ++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ, 当2=n 时, 21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++Λ,所以综上有 3 5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈,,整数11ln a b k a b -≥.证明:1k a b +>. 解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则 b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ 0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a 1 11 ln ln ,因为)ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=, 于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑ =++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 11111111111 1 11] )1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ 故只要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 1 1 ])1[()1(]) 1([,即等价于 m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= Λ212,求证:23321<++++n T T T T Λ. 解析:)21(2)14(3 421)21(241)41(4)222(444421321n n n n n n n T -+-=-----=+++-++++=ΛΛ 所以 123)2(222322342323 23422234342)21(2)14(3422111111+?-?? =+?-?=-+=-+-=-+-=++++++n n n n n n n n n n n n n n n n T ?? ? ??---=--??= +12112123)12)(122(2231n n n n n 从而2 31211217131311231321?? ??---++-+-=+++++n n n T T T T ΛΛ 例7.已知11=x ,???∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *))(11(21 1 1 4 1 224 544 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+Λ 证明: n n n n n n x x n n 222141 141 ) 12)(12(1 1 4 2 4 24 4 1 22= ?=> -= +-= +,因为 12++ 1(21 2 221 4 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *) )(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+Λ 二、函数放缩 例8.求证:)(6 65333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ. 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3 13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ΛΛ 因为?? ? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+ ++n n n n 3112121 9181716151413121313 1 21ΛΛΛ 6533323279189936365111n n n n n =??? ? ??+?++??? ??++??? ??++>---Λ 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n n Λ 例9.求证:(1))2() 1(212ln 33ln 22ln ,22 ≥+--<+++≥n n n n n n α ααααααΛ 例11.求证:e n <+??++)! 11()! 311)(! 211(Λ和e n <+??+ +)3 1 1()8111)(91 1(2Λ. 解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n Λ 解析: 1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4 ) 1(1ln 5 4 ln 43ln 32ln >∈-<++ +++n N n n n n n Λ 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--=--= x x x x f ,令 0)('>x f 有21< 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2 11 ln -≤ +n n n ,所以)1*,(4 )1(1ln 54ln 43ln 32 ln >∈-<+++++ n N n n n n n Λ 例14. 已知112 111,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++证明2n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21 )1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+, 然后两边取自然对数,可以得到 n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1++++ <+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路: ?+++ ≤+n n n a n n a )21 11(2 1?++++ ≤+n n n a n n a ln )2 1 11ln(ln 2 1 n n n n a 2 1 1ln 2 +++ ≤。于是 n n n n n a a 2 1 1ln ln 2 1++≤ -+, . 221122 11)21 (111ln ln )2 11()ln (ln 1 1211 11 1 <--=--+ -≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n <- 注:题目所给条件ln(1)x x +<(0x >)为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩: ?-+-+ ≤+)1(1 ))1(11(1n n a n n a n n ? +-+≤++)1)() 1(11(11n n a n n a . ) 1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n 11 1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112 <-<+-+?-<+-+?∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i , 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-+<+ 例15.已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证:函数 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数; (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时; (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立, 求证:). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 2 1 *22 222222 N n n n n n n ∈++>++++++ Λ 解析:(I)0)()(')('2 >-= x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212 111 2 1211 1x x f x x x x f x x x x f x x f +?+< ?++< )()()()(212 122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+++< 两式相加后可以得到)()()(2121x x f x f x f +<+ (3) )()()()(21211 1212111n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++<ΛΛΛΛ )()()()(212122212122n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++<ΛΛΛΛ…… )()()()(21212121n n n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++<ΛΛΛΛ 相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ΛΛ 所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ΛΛΛ 令 2 )1(1n x n += ,有 < ??? ? ??++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21 n n Λ ? ??? ??++++????? ??+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n ΛΛ ???? ? ?+++?+?????? ??++++ ? ? ??+-??? ??+- 所以). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 2 1 *22 222222 N n n n n n n ∈++>++++++ Λ (方法二)?? ? ??+-+=++≥+++>++2111 4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22 2 n n n n n n n n n 所以) 2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2 1 22222222 +=??? ??+->++++++ n n n n n Λ 又1 114ln +>>n ,所以 ). ()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++> ++++++Λ 例16.已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥ ++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k = +-> . 2 021,0)(,ln 1)ln(1ln )(. 0),ln()(ln )(, ln )(k x k x k k x x k x x g x k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <>--?>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令ΘΘ ∴函数k k x g ,2 [)(在)上单调递增,在 ]2 ,0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为 )2(k g ,即总有).2 ()(k g x g ≥ 而,2ln )()2ln (ln 2 ln )2 ()2 ()2 (k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1 21 1()5 11)(3 11)(11(+>-+ +++n n Λ和 1 21)21 1()611)(411)(211(+< +---n n Λ也可以表示成为 1 2) 12(5312642+>-???????n n n ΛΛ和1 212642)12(531+???-????n n n ΛΛ 解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??1225 63412n n Λ =+??n n 212674523Λ) 12(2126 54321+?-??n n n Λ ?12)1 225 63412(2 +>-??n n n Λ 即.12)1211()511)(311)(11(+>-+ +++n n Λ 例20.证明:.13)2 31 1()711)(411)(11(3+>-+++ +n n Λ 解析: 运用两次次分式放缩: 1 338956.232313784512-????>--????n n n n ΛΛ (加1) n n n n 3139 1067.342 3137 84512+????>--????ΛΛ (加2) 相乘,可以得到: )13(1323875421131381057.2423137 845122 +?--????=-+? ???>??? ??--????n n n n n n n ΛΛΛ 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ 四、分类放缩 例21.求证:2 1213 12 11n n >-+ +++Λ 解析: +++++++++>-++++ΛΛ)21212121()4141(211121312113 333n 2)2 11(221)212121( n n n n n n n >-+=-+++Λ 例22. 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线x y 2= (x ≥0) 上的点列{}n B 满足n OB OA n n 1==,直线 n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n . (1)证明n a >1+n a >4,*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0,使得对0n n >?都有n n n n b b b b b b b b 112312+-++++Λ<2008-n . 解析:(1) 依题设有:( ()10,,,0n n n n A B b b n ??> ??? ,由1n OB n =得: 2*212,1,n n n b b b n N n += ∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 ( )() 11000n n a b n n ??? -=--? ???? n a 2222 1210,2n n n n n b n b b n b =->+= Q 2 12n n n n a b n b ∴+ 1n a 显然,对于1 101 n n > >+,有*14,n n a a n N +>>∈ (2)证明:设 *1 1,n n n b c n N b +=- ∈,则 ( ) ()() 22222 11121121 2121n c n n n n n n n ?- +??? ?++ > ++ ?()()()2 *1 212210,,2 n n n n n c n N n ++-+=>∴> ∈+Q 设*12,n n S c c c n N =+++∈L ,则当() *221k n k N =->∈时, 23111111111113421234212212n k k k k S -??????>++++=+++++++ ? ? ?-++??????L L L 212311112222222 k k k -->? +?++?=L 。 所以,取4009022n =-,对0n n ?>都有: 200821 4017111012312=->>=???? ??-++???? ??-+???? ??-+n n n n S S b b b b b b Λ 故有n n n n b b b b b b b b 112312+-++++Λ<2008-n 成立。 例23.已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=,若)(x f 的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列}{n b 满足)()(*3 N n n n f b n ∈=,记数列}{n b 的前n 项和为n T ,问是否存在正常数A ,使得对于 任意正整数n 都有A T n <?并证明你的结论。 解析:首先求出x x x f 2)(2+=,∵n n n n n n f b n 12)(3 23>+== ∴n b b b b T n n 131211321++++>++++=ΛΛ,∵214124131=?>+,218148 1716151=?>+++, (212122122112) 111 1=?>++++ +---k k k k k Λ,故当k n 2>时,12 +>k T n , 因此,对任何常数A ,设m 是不小于A 的最小正整数, 则当222->m n 时,必有A m m T n >=+->12 22. 故不存在常数A 使A T n <对所有2≥n 的正整数恒成立. 例24.设不等式组?? ? ??+-≤>>n nx y y x 3, 0, 0表示的平面区域为n D ,设n D 内整数坐标点的个数为n a .设 n n n n a a a S 22 1 111+ ++ = ++Λ, 当2≥n 时,求证:3611711112321+≥++++n a a a a n Λ. 解析:容易得到n a n 3=,所以,要证 36 11711112321+≥++++n a a a a n Λ只要证12 11721312112+≥++++ =n S n n Λ, 因为n n n n S 2 1 2211 2 1( )81716151()4131(2111 1 2 ++++ ++++++++++=--ΛΛ 12 117)1(12723211121222+=-+≥+++++ =-n n T T T n Λ,所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25. 已知1,1411 =++= +x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑11 22|2| 解析:通过迭代的方法得到1 212-≤-n n x ,然后相加就可以得到结论 例26. 设n n n S 2 !sin 2 !2sin 2 !1sin 21+++=Λ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k -S n |<1 n 解析: |2)sin(2)!2sin(2)!1sin(| ||2 1k n n n n k n k n n n S S ++++++++++=-Λ k n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2 12 12 1|2 )sin(||2 )!2sin(||2 )!1sin(|2121ΛΛ n k n k n 2 1)2 11(2 1)2 12 12 1(2 12<-?=+++=Λ 又n C C C n n n n n n >+++=+=Λ10)11(2 所以n S S n n k n 121||< < -+ 六、借助数列递推关系 例27.求证:1222642)12(5316 425314 2312 1-+???-????++????+??+n n n ΛΛΛ 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????=ΛΛ则 n n n n n a na a n a n n a +=+?++= ++2)1(2) 1(21 211,从而 n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到 1 2 21)22(13 21)1(22)1(21121-+? +<-+? +<-+=++++n n n n a a n a a a n n Λ 所以1222642)12(5316 425314 2312 1-+???-????++????+??+n n n ΛΛΛ 例28. 求证:1122642)12(5316 425314 2312 1-+???-????++????+??+n n n ΛΛΛ 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????=ΛΛ则 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 技巧积累:(1)2221441 124412121n n n n n ??=<=- ?--+?? (2) 12 11211 (1)(1)(1)(1) n n C C n n n n n n n +==-+--+ (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)25 )1(123112111)11(<-++?+?+ +<+n n n n (5) n n n n 21 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<< -+n n n n n 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一.先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二.先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: (1)用数学归纳法证明: (2),求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+ 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: a a >+12;n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+;2) 1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2 222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论: Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) : 2111(1)(1) k k k k k <<+-(程度大) Ⅲ. 21k 的放缩(2):22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+(程度小) Ⅳ. 2 1k 的放缩(3):221 4112()412121k k k k <=+--+(程度更小) Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=,222121n x x x +++=,求证:n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤+-++++=*n N n a n n a n x f x x x x 给定 求证:)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828 e ≈) 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现,在高考试题中占有重要地位,在近几年的高考试题中,多个省份都有所考查,甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法,笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时,普遍感到困难,找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩,消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, (Ⅰ)求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析:(Ⅰ)数学归纳法。 (Ⅱ)本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积,可将其放缩为等差型两项之积,通过裂项求和。 (Ⅰ)略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+,. (Ⅱ)11115612 a b =<+.n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??,综上,原不等式成立. 点评: 数列和式不等式中,若数列的通项为分式型,可考虑对其分母进行放缩,构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外,熟悉一些常用的放缩方法, 如: ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1)?? ? ??+--=-<=121121 2144441222n n n n n (2) ) 1(1 )1(1)1()1(212 11 +--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)25 )1(123112111)11(< -++?+?++<+n n n n (5)n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (7)) 1(21)1(2--<< -+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+= ???? ??+-+- (9) ? ?? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1 !1!)1(+- =+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+ 放缩技巧 (高考数学备考资料) 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累 : (1) ?? ? ??+--=-<=1211212144441222n n n n n (2) ) 1(1)1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-+ +?+?++<+n n n n (5) n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(1 2)12(12 13211 221 ?+-?+= ???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1!1!)1(+- =+n n n n (11) 2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+ 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? 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(n 1) ! 2( 2n 1 2n 1) n 2n 1 2n 1 1 1 n n 2 2 (11) 2 n 2n 2 n 2n 1 1 1 (n 2 ) (2n 1)2 (2n 1)( 2n 1) (2 n 1)( 2 n 2) (2 n 1)(2n 1 1) 2n 1 1 2 n 1 (12) 1 1 1 1 1 1 n 3 n n 2 n (n 1)(n 1) n( n 1) n (n 1) n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 2 n n 1 n 1 (13) (14) 2 n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2 n 1) 2n 2n 1 2n 1 2 n 3 2n 1 3 k 2 1 1 (15) 1 n n 1(n 2) k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) ! n( n 1) (15) i 2 1 j 2 1 i 2 j 2 i j 1 i j (i j)( i 2 1 j 2 1) i 2 1 j 2 1 . .下载可编辑 . . 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1)?? ? ??+--=-<= 1211212144441 222 n n n n n (2) ) 1(1 )1(1)1()1(212 11 +--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)111 1 (1)1132132 (1) n n n n +<++ +++ ?- (5) n n n n 21 121)12(21- -=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<< -+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221 ?+-?+=???? ??+-+- (9)? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2 1 2121 21222)1212(21-++= -++=--+ 放缩法技巧全总结 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:35112 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1) ??? ??+--=-<=1211212144441222 n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)1111 (1)1132132(1) n n n n +<++++ + ?- (5)n n n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(1 2)12(12 13211221 ?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2 1 212121222)1212(21-++= -++=--+ 压轴题放缩法技巧全总结 本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.求的值; 求证:. 解析:因为,所以 因为,所以 技巧积累: 例2.求证: 求证: 求证: 求证: 解析:因为,所以 先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的, 所以 例3.求证: 解析: 一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,, 所以综上有 例4.设函数.数列满足.. 设,整数.证明:. 解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数,使,则, 若,则由知,, 因为,于是 例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证, 即等价于, 即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例7.已知,,求证: 证明: , 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证:. 解析:先构造函数有,从而 cause 所以 例9.求证: 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: “放缩法”技巧 例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是,高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题,例谈“放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 例1、已知*21().n n a n N =-∈求证:*12231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明: 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的 值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -,从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化,其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点,我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有: 1.“添舍”放缩:对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果; 2.分式放缩:分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果; 3.利用重要的不等式或结论放缩:把欲证不等式变形构造,然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩,例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩:挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数,利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。 二、常见的放缩控制 当我们选择了正确的放缩方法后,却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控,导致放缩的过大或过小,达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢? 例1.求证: 4 713121112222<++++n 分析1:不等式左边不能直接求和,我们希望通过合适的放缩后可以求和。 若采取“ )1(112-高中数列放缩法技巧大全
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