放缩法技巧及经典例题讲解
放缩法技巧及经典例题讲解 一.放缩技巧
所谓放缩的技巧:即欲证A B ≤,欲寻找一个(或多个)中间变量C ,使A C B ≤≤,
由A 到C 叫做“放”,由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 (1)若0,,t a t a a t a >+>-< (2
)
<
>
11>
n >=
(3)
21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-=<<=->++-- (
4
)=
<=<=
(5)若,,a b m R +
∈,则
,a a a a m
b b m b b
+><
+ (6)21111111
112!3!!222
n n -+
++???+<+++???+
(7)22211111111
11(1)()()
232231n n n
+
++???+<+-+-+???+--(因为211(1)n n n <-) (7)
1111111112321111
n
n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++
或
11111111
123222222
n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ (8
)1+???+>???+== (9)
)1(11)1(12-<<+k k k k k ,??
????--≤!!(!k k k 1)11211
(10) 1
211
2-+<
<++k k k k k
【经典回放】
例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,
21212
33
n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值;
(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有
12
11174
n a a a +++
<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,1212
213
3S a =-
--,又111S a ==,所以24a =; (Ⅱ) 当2n ≥时,3211223
3
n n S na n n n +=---
, ()()()()32
1122111133n n S n a n n n -=--
----- 两式相减得()()()2
112213312133
n n n a na n a n n n +=---
-+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即
111n n a a n n
+-=+,又21121a a
-=
故数列n a n ??
?
???
是首项为111a =,公差为1的等差数列,
所以
()111n
a n n n
=+-?=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,
11714a =<;当2n =时,12111571444
a a +=+=<; 当3n ≥时,
()21111111n a n n n n n =<=---,此时 22212
111111
1111111
111434
423341n a a a n n n ????
??+++
=+++++
<++-+-++- ? ? ?-????
??
11171714244
n n =+
+-=-< 综上,对一切正整数n ,有12
11174
n a a a +++<. 例2:
【经典例题】
例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n
(1) 求{}n a 的通项公式; (2) 若11111,1,1++-=-=
-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证:数列{}n n d b ?的前n 项和3
1
(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++ 即 B A An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-= B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又} {,211n a a n -∴=-是首项为2,公比为2的等比数列。 n a n a n n n n +==-∴2,2即. (3) 由(1)知 n n n n b n a 21 ,2= ∴+=. 当2≥n 时, .2122 1121 121...21211......1)(...)()(1 12121123121-----=-- =++++=++++=-++-+-+=n n n n n n n b b b c c c c c c c c 当n=1时,1 c =1也适合上式,所以 1 212-- =n n c ,故 )12)(22(1)21212121(211 11--=---= ++-n n n n n n n d b 方法一:n n 2221≥-+ ,3121 ≥-+n (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要 有执果索因的分析才可推测出.) 3 1)211(31211)21(161231...231231,2312<-?=--?=?++?+?≤∴?≤∴n n n n n n n S d b . 方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n ≥3时,我们看: 121)]221121(...)301151()14171[(31121 221 (1511417161617) 1 31)12()22(1 (151417613211) 11111-----++-+--=---++-+-+=--?-++?+?+?= ++++++n n n n n n n n n n S S S 我们可重新加括号得 这样由前二项会得到 . ..31 0121 ,02211211 1也易让学生接受步想法这样也实现了我们的初得证故显然 <>->---++n n n n s 易验证当n=1,2时 31< n s . 综上31 < n s 例2、已知正项数列{}n a 满足() () *2 1111 ,1N n a n a a a n n n ∈?++ ==+ (1) 判断数列{}n a 的单调性; (2) 求证: () 2 111 112111+<-<+-++n a a n n n n 分析:(1)n n n n a a n a a >>+= -++12 10)1(1 故 ,即n n a a >+1 故数列{ n a }为递增数列. (2) 不妨先证 21) 1(1 11+<-+n a a n n .) 1(1 )1(1)1(1 12 121 21 11 ++= += -=-+++++n a a n a a n a a a a a a a n n n n n n n n n n n 再证:1 1 12111+-<+-+n n a a n n 原解答中放缩技巧太强,下面给出另一种证法 1 11111...3121211).) 1(1 )1(1()1(1...321211)1(1...3121)11(...)11()11(1122 221 322111+- =+-++-+-=+<++++?+?<++++<-++-+-=-++n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n 这种常用的放缩手段用到了累差迭加法及 1 11 21 2 21111)1(1]) 1(1[)1(1 1++++++-=-∴ ++=∴++=++=+<∴n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n a a a n a a a n a a n a ])1(1[)1(1 )1(1)1(2 21 2 1 2++ += += += ++n a n a a n a a n a n n n n n n . ,)1 1)(1(1 也易让学生接受的这种证法还是比较自然++ ++= n a n n n . 当2≥n 时,11<<+n a n a n n 2 1 11)2)(1(1111+-+=++>-∴ +n n n n a a n n . 易验证当n=1时,上式也成立. 综上,故有2 1) 1(1 112111+<-<+-++n a a n n n n 成立. 经典方法归纳: 一.先求和后放缩 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a s ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为,n B ,求证:2 1 2 )1(4+=n n a S ,2≥n 时,211)1(4+=--n n a S ,作差得: 1 2 12224----+=n n n n n a a a a a ,所以 )2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为 {}n a 为正数数列,所 以 2 1=--n n a a ,即 {}n a 是公差为2的等差数列,由12 11+=a S ,得11=a ,所以12-=n a n (2) ) 121 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ,所以 21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-= n n n B n 注:一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和,则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列(这里所谓的差比数列,即指数列{} n a 满足条件 () n f a a n n =-+1)求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来 求和. 例2、已知* 21().n n a n N =-∈求证: *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明: 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+- 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。 由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传 递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -,从而是使和式得到化 二.先放缩再求和 1.放缩后成等差数列,再求和 例1.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n n as a a 22 =+. (1) 求证:4 2 21 ++< n a a S n n ; (2) 求证: 2 1 21 321-<+???+++<+n n n s s s s s s 解:(1)在条件中,令1=n ,得1112 122a S a a ==+,1011=∴>a a ,又由条件n n n S a a 22=+有1 12 12+++=+n n n S a a ,上述两式相减,注意到 n n n S S a -=++11得 0)1)((11=--+++n n n n a a a a 01>+∴>+n n n a a a ∴ 11 n n a a +-= 所以, n n a n =-?+=)1(11, (1) 2n n n S += 所以42)1(212)1(2 1 2 22++= ++?<+=n n n a a n n n n S (2)因为 1)1(+<+ 2)1(2 +<+< n n n n ,所以 2) 1(23222121++ +?+?= ++n n S S S n 212322++++ 12 2312-= += +n S n n ; 22 2)1(2222121n n S n n n S S S =+=+ ++> ++ 例2.已知数列{}n a 满足:()???=??? ?? + ==+3,2,121,111n a n a a n n n .求证:1 121 3-++-≥≥n n n n a a . 证明:因为 n n n a n a )21(1+ =+,所以1+n a 与n a 同号,又因为011>=a ,所以0>n a , 即 021>= -+n n n n a n a a ,即n n a a >+1.所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n , 即 n n n n n n a n a a 221≥= -+,累加得:121 212221--+++≥-n n n a a . 令 12212221--+++= n n n S ,所以n n n S 21 22212132-+++= ,两式相减得: n n n n S 212121212121132--++++=- ,所以 1212-+-=n n n S ,所以121 3-+-≥n n n a , 故得1121 3-++- ≥>n n n n a a . 2.放缩后成等比数列,再求和 例2.(1)设a ,n ∈N * ,a ≥2,证明:()()n n n a a a a 12+≥--; (2)等比数列{a n }中,211-=a ,前n 项的和为A n ,且A 7,A 9,A 8成等差数列.设n n n a a b -=12 , 数列{b n }前n 项的和为B n ,证明:3 1 < n B . 解:(1)当n 为奇数时,a n ≥a ,于是,n n n n n a a a a a a ?+≥+=--)1()1()(2. 当n 为偶数时,a -1≥1,且a n ≥a 2 ,于是 n n n n n n n a a a a a a a a a a a ?+≥?-+=?-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22. (2)∵9789A A a a -=+,899A A a -=-,899a a a +=-,∴公比 981 2 a q a = =-. ∴ n n a )21 (-=. n n n n n n b 231 )2(41)2 1(141 ?≤ --= --= . ∴n n b b b B ++=2131)211(31211) 211(213123123123122<-=--? =?++?+?≤n n . 3.放缩后为裂项相消,再求和 例5.在m (m ≥2)个不同数的排列P 1P 2…P n 中,若1≤i <j ≤m 时P i >P j (即前面某数大于后面某 数),则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列()()32111???-+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序数11=a ,排列321的逆序数 .63=a . (1)求a 4、a 5,并写出a n 的表达式; (2)令,1 1n n n n n a a a a b +++= ,证明,32221+<+???++ ,1054==a a , 2)1(12)1(+= +++-+=n n n n a n . (2)因为 ,2,1,22 222211==+?+>+++=+= ++n n n n n n n n n a a a a b n n n n n , 所以 n b b b n 221>+++ . 又因为 ,2,1,222222=+-+=+++= n n n n n n n b n , 所以 )] 21 1()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =3222 1232+<+-+- +n n n n . 综上, ,2,1,32221=+<++ 注:常用放缩的结论:(1)) 2(1 11)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k k k k k k k k k k (2).) 2)(11 1( 21 211 2)1 11( 2≥- -=-+< < ++= +- k k k k k k k k k k 三. 裂项放缩 1、若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例1. 已知n ∈N*,求n n 2131211<+???++ 。 证明:因为122 121n n n n n n n =++-=--<() ,则11213+++ …<()()…()<+ +-+-++--=-1122123221212n n n n n ,证毕。 例2、已知a n =n ,求证:∑n k=1 k a 2 k <3. 证明:∑ n k=1 2 k a =∑n k=1 <1+∑n k=2 1 (k -1)k (k +1) <1+∑n k=2 2 ( k -1)(k + 1) ( k +1 +k -1 ) =1n k =+ =1+ ∑n k=2 ( 1(k -1) - 1(k + 1) ) =1+1+ 2 -1(n +1) <2+2<3. 本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标. 例 3. 已知* N n ∈且)1(3221++???+?+?=n n a n ,求证: ()()2 1212 +<<+n a n n n 对所有正整数 n 都成立。 证明:因为 n n n n =>+2 )1(,所以 2) 1n (n n 21a n += +++> , 又 2)1()1(+< +n n n n , 所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2 n += ++++=++++++< ,综合知结论成立。 2、固定一部分项,放缩另外的项; 例4、求证: 2 222111 17123 4 n ++++ < 证明: 21111 (1)1n n n n n <=--- 222 221111********* 1()().123223 1424 n n n n ∴ ++++ <++-++ -=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。 例5、设++ =a n a 2 1 1.2,131≥++a n a a 求证:.2 n a a ++++≤++ 又2),1(2≥->?=k k k k k k (只将其中一个k 变成1-k ,进行部分放缩),k k k k k 1 11)1(112--=-<∴, 于是)111()3121()211(11312112 22n n n a n --++-+-+<++++≤ .21 2<-=n 例10 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 12 1,当31≥a 时证明对所有,1≥n 有 2)(+≥n a i n ;2 1 111111) (21≤++++++n a a a ii (02年全国高考题) 解析 )(i 用数学归纳法:当1=n 时显然成立,假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ,则当 1+=k n 时312)2(1)2(1)(1+>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ,成立。 )(ii 利用上述部分放缩的结论121+≥+k k a a 来放缩通项,可得 ?+≥++)1(211k k a a .2 1 11242)1(2111111++--≤+? =?≥+≥≥+k k k k k k a a a .212 11)21(14 12111 11 1 ≤--? =≤++==∑∑ n i n i i n i a 注:上述证明)(i 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: 31)2)(2(1+>+-++≥+k k k k a k ;证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121+≥+k k a a 。 3. 添减项放缩 例11 设N n n ∈>,1,求证) 2)(1(8 )32(++ 简析 观察n )3 2 (的结构,注意到n n )2 11()2 3(+=,展开得 86)2)(1(8)1(212 121211)211(33 221+++= -++≥+?+?+?+=+n n n n n C C C n n n n , 即8 )2)(1()2 11(++>+n n n ,得证. 四. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。 例6. 已知函数(),1212+-=x x x f 证明:对于*N n ∈且3≥n 都有()1 +>n n n f 。 证明:由题意知 )12)(1() 12(212211)111()1 221(112121)(+++-= +-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f 又因为*N n ∈且3≥n ,所以只须证122+>n n ,又因为 1n 21n 2 ) 1n (n n 1C C C C C )11(2n n 1 n n 2 n 1 n 0 n n n +>+++-+ +=+++++=+=- 所以 1)(+> n n n f 。 巩固练习: 1.设1n b n = (n N *∈),数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ,求证:34n T < 1.证:1 n b n = 21111 ()(2)22 n b b b n n n n += =-++ 1324352n n n T b b b b b b b b +=+++ 11111111111[()()()()()]2132435462 n n =-+-+-+-+ +-+ 11113(1)22124n n =+--<++ 2.设2 22111123 n S n =+ +++ (1)求证:当2n ≥时, 21 n n S n <<+; (2)试探究:当2n ≥时,是否有 65 (1)(21)3 n n S n n <<++说明理由. 2.解:(1)∵当2n ≥时, 21111(1)1n n n n n <=--- ∴22 21111111111[(1)()( )]23223 11 n n n ++++ <+-+-++--+=1 21n -+2< 又∵ 21111 (1)1 n n n n n >=-++ ∴11111(1)()()2 231 n S n n >-+-++-+1111n n n =-=++ ∴当2n ≥时, 21 n n S n <<+. (2)∵ 22144112()4(21)(21)2121 n n n n n n =<=--+-+ ∴2 22111111111 112[()()( )]23 3557 2121 n n n + +++ <+-+-++--+ = 52321n - +5 3 < 当2n ≥时,要6(1)(21)n n S n n > ++只需61(1)(21) n n n n n >+++ 即需216n +>,显然这在3n ≥时成立 而215144 S =+ =,当2n ≥时 6624(1)(21)(21)(41)5n n n ?==++++ 显然54 45> 即当2n ≥时6(1)(21) n n S n n > ++也成立 综上所述:当2n ≥时,有65 (1)(21)3 n n S n n <<++. 3.设135 21 246 2n n b n -=???? ,求证: (1) n b < (2)1231n b b b b ++++< 3.证法一:∵2 2 414,n n -<∴2 2 2 (21)(21)4(21)(21)4(21).n n n n n n n -+-+<- ∴ 21 2n n -< ∴ 1352135 21246 2357 2121 n n n n n --???? ??? = ++………………10分 证法二: 212n n -<=,下同证法一. …………10分 证法三:(利用对偶式)设135 21246 2n n A n -=??,246235721 n n B n =??+, 则121n n A B n =+.又22414n n -<,也即212221n n n n -<+,所以n n A B <,也即2 121 n n n A A B n <=+, 又因为0 n A >,所以n A < .即 13521246 2n n -???? < ………………10分 证法四:(数学归纳法)①当1n =时, 112x = <,命题成立 ; ②假设n k =时,命题成立,即 135 21246 2k k -??< 则当1n k = +时, 13521212124622(1)2(1)k k k k k k -++???<= ++ 2 2 22 2 22211(21)(23)4(1)4(1)234(23)(1)(483)(484)1 4(23)(1)4(23)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k +++- +-=++++ ++-++-= =<++++ 22114(1)23k k k + ∴ <++ 即22k < + 即 1352121246 2 2(1)k k k k -+ ???<+ 故当1n k =+时,命题成立. 综上可知,对一切非零自然数n ,不等式②成立. ………………10分 ②由于 << 所以 k b < <, 从而12(31)(53)(2121)1n b b b n n ++<-+-+ ++--=. 也即1221n b b b a + +<………………14分 4.设n a n =,21 2 ( )n n n b a a +=+ 求证(1) 12n n a a +< + (2)*123()1 n n b b b b n N n ++++< ∈+ 4. 证明:(法一) 111211232 2(1)211 ( ),9(1)(1) 111 1223(1) n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a n n b a a n n n n b b b n n +++++>?∴<= +?+∴<< +++∴+++ +< +++??+即分 b 11111111223111 n n n n n =-+-++-=-= +++ ………………12分 (法二)(1)当21241 1,(),21192 n b =====?+时右右,显然成立 …………5分 (2)假设n k =时, 2 1212()123 k k b b b k k +++ +< +++ ………………7分 22222222221()1232 (2)(23)4(1)(2)(1)(23)(1)(23)(2) (23)[(2)(1)]4(32)(1)(23)(2) k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++-++++++++-++=++?+++-++++= ++?+ 221211 (1)(23)(2)21()1232 11 112(1)1k k k k k k k k k k k b b b k k +-= <++?++∴+<+++++∴+++<= +++分 即当1n k =+时,不等式成立,由(1)(2)可得原不等成立。…………12分 5. 设2 (1)n b n =+,(1)n a n n =+, 求证: 11221115 12n n a b a b a b +++<+++… 5.证明: 当1n =时,11115 612 a b =<+. 当2n ≥时. (1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. 11111 ()2(1)21 n n a b n n n n <=-+++ 故 112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ?? +++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??= +-+-++- ?+?? (111111562216412) n ??=+-<+= ?+?? 综上,原不等式成立. 6.设n S 为数列}{ n a 的前n 项和,对任意的∈n N * ,都有()1n n S m ma =+-m (为常数,且0)m >. (1)求证:数列}{ n a 是等比数列; (2)设数列}{ n a 的公比()m f q =,数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥,∈n N * ), 求数列{}n b 的通项公式; (3)在满足(2)的条件下,求证:数列{} 2n b 的前n 项和89 18 n T < . 6.(1)证明:当1=n 时,()1111a S m ma ==+-,解得11=a . 当2n ≥时,11n n n n n a S S ma ma --=-=-. 即()11n n m a ma -+=. ∵m 为常数,且0m >,∴ 11n n a m a m -=+()2n ≥. ∴数列}{ n a 是首项为1,公比为 1m m +的等比数列. (2)解:由(1)得,()m f q =1m m =+,1122b a ==. ∵()1 11 1n n n n b b f b b ---== +, ∴ 1111n n b b -=+,即1111 =--n n b b ()2n ≥. ∴? ? ??? ?n b 1是首项为1 2,公差为1的等差数列. ∴ ()11211122n n n b -=+-?=,即221 n b n =-(∈n N * ). (3)证明:由(2)知221n b n = -,则() 22 421n b n =-.…所以222 2123n n T b b b b =++++ () 2 44 4 4925 21n =+++ +-, 当2n ≥时, () ()2 4 411 222121n n n n n < =----, 所以() 2 444 4925 21n T n =+ +++ - 411111 14923341n n ??????<++-+-++- ? ? ?-?????? 4011899218 n =+-<. 7.在单调递增数列{}n a 中,11a =,22a =,且21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,,n n n a a a ++成等比数列, 1,2,3, n =. (1)分别计算3a ,5a 和4a ,6a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式(将n a 用n 表示); (3)设数列1{}n a 的前n 项和为n S ,证明:42n n S n <+,n *∈N . 解:(1)由已知,得33a =,56a =,49 2 a = ,68a = . (2)(证法1)121222a ?==,362322a ?==,51234 22a ?==,……; 2222a =,2432a =,2 642 a =,……. ∴猜想21 (1) 2 n n n a -+= ,22(1)2n n a +=,*n N ∈, 以下用数学归纳法证明之. ①当1=n 时,21111a a ?-==,221 222 a ?==,猜想成立; ②假设(1,*)n k k k N =≥∈时,猜想成立,即21(1) 2 k k k a -+= ,22(1)2k k a +=, 那么 []22(1)121221 (1)(1)1(1)(1)22222 k k k k k k k k k a a a a +-+-+++++==-=?-=, [] []2 2 2 22 12(1)22 2 2(1)(2)(1)1(2)222 (1)2 k k k k k k k a k a a a k ++++++++=====+. ∴1+=k n 时,猜想也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的*n N ∈,猜想成立. ∴当n 为奇数时,8 ) 3)(1(212121++=??? ??+++=n n n n a n ; 当n 为偶数时,8 )2(21222 += ? ?? ??+=n n a n . 即数列}{n a 的通项公式为???????+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8 )2(,8 ) 3)(1(2 . (注:通项公式也可以写成16 )1(721 812n n n n a -+++=) (证法2)令1 21 2-+= n n n a a b ,*n N ∈,则 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 技巧积累:(1)2221441 124412121n n n n n ??=<=- ?--+?? (2) 12 11211 (1)(1)(1)(1) n n C C n n n n n n n +==-+--+ (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)25 )1(123112111)11(<-++?+?+ +<+n n n n (5) n n n n 21 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<< -+n n n n n 例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ. 请读者分析下面的证法: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 那么当n =k +1时,有: ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说,当n =k +1时,等式亦成立. 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步,当n =k +1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求. 正确方法是:当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 例2.是否存在一个等差数列{a n },使得对任何自然数n ,等式: a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立,并证明你的结论. 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n =1,2,3时找出来{a n },然后再证明一般性. 解:将n =1,2,3分别代入等式得方程组. ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6,a 2=9,a 3=12,则d =3. 故存在一个等差数列a n =3n +3,当n =1,2,3时,已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数,等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤. 假设n =k 时,等式成立,即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时, a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说,当n =k +1时,也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列a n =3n +3,对任何自然数n ,等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 例3.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一.先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二.先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: (1)用数学归纳法证明: (2),求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 用放缩法处理数列和不等问题(教师版) 一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理) 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:2 1 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+ 欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容: 高三复习专题:数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? (1 ??? (2()时命题成立,证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立,n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要具体问题具体分析。 ? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错。 ??? (2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了。 ??? (3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时,。 ,右边,左边 时等式成立,即有,则当时, 由①,②可知,对一切等式都成立。 的取值是否有关,由到时 (2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法,即 ,则这不是归纳假设,这是套用数学归纳法的一种伪证。 (3)在步骤②的证明过程中,突出了两个凑字,一“凑”假设,二“凑”结论,关键是明确 时证明的目标,充分考虑由到时,命题形式之间的区别和联系。 【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法( 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 当n =k +1时. 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ . 那么当n =k +1时, 这就是说,当n =k +1时,不等式成立. 由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立. 说明:这里要注意,当n =k +1时,要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证明: 1211 2+<++k k k . 认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标. 题型3.证明数列问题 例3 (x +1)n =a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+…+a n (x -1)n (n ≥2,n ∈N *). (1)当n =5时,求a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的值. (2)设b n = a 22n -3,T n = b 2+b 3+b 4+…+b n .试用数学归纳法证明:当n ≥2时,T n =n (n +1)(n -1)3 . 解: (1)当n =5时, 原等式变为(x +1)5=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+a 4(x -1)4+a 5(x -1)5 令x =2得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=35=243. (2)因为(x +1)n =[2+(x -1)]n ,所以a 2=C n 2·2n -2 b n =a 22 n -3=2C n 2=n (n -1)(n ≥2) ①当n =2时.左边=T 2=b 2=2, 右边=2(2+1)(2-1)3 =2,左边=右边,等式成立. ②假设当n =k (k ≥2,k ∈N *)时,等式成立, 即T k =k (k +1)(k -1)3 成立 那么,当n =k +1时, 左边=T k +b k +1=k (k +1)(k -1)3+(k +1)[(k +1)-1]=k (k +1)(k -1)3 +k (k +1) =k (k +1)?? ??k -13+1=k (k +1)(k +2)3 =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)-1]3 =右边. 故当n =k +1时,等式成立. 综上①②,当n ≥2时,T n =n (n +1)(n -1)3 . 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: a a >+12;n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+;2) 1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2 222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论: Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) : 2111(1)(1) k k k k k <<+-(程度大) Ⅲ. 21k 的放缩(2):22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+(程度小) Ⅳ. 2 1k 的放缩(3):221 4112()412121k k k k <=+--+(程度更小) Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=,222121n x x x +++=,求证:n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤+-++++=*n N n a n n a n x f x x x x 给定 求证:)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828 e ≈) 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容,如导数的定义,导数的几何意义、物理意义,用导数研究函数的单调性,求函数的最(极)值等等,考查的题型有客观题(选择题、填空题)、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且,导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ! 解法一 f '(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=(-1)(-2)…(-100)=100! ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0,则f '(0)= a 1,而a 1=(-1)(-2)…(-100)=100!. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解,函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ,n ∈N *,则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f '(2)+ f '(2)=3 f '(2), 又∵f '(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ, ∴f '(2)= 21(2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ)=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式,可以为正也可以为负,如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ,且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ,也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?(令Δx =x -x 0得到),本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题,连接交汇、自然,背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加,则圆半径R =10 cm 时,圆面积增加的速度是 . 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现,在高考试题中占有重要地位,在近几年的高考试题中,多个省份都有所考查,甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法,笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时,普遍感到困难,找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩,消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, (Ⅰ)求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析:(Ⅰ)数学归纳法。 (Ⅱ)本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积,可将其放缩为等差型两项之积,通过裂项求和。 (Ⅰ)略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+,. (Ⅱ)11115612 a b =<+.n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??,综上,原不等式成立. 点评: 数列和式不等式中,若数列的通项为分式型,可考虑对其分母进行放缩,构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外,熟悉一些常用的放缩方法, 如: ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 “放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证: *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明: 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的 值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -,从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 例2、函数f (x )= x x 414+,求证:f (1)+f (2)+…+f (n )>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明:由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f (1)+f (2)+…+f (n )>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1)?? ? ??+--=-<=121121 2144441222n n n n n (2) ) 1(1 )1(1)1()1(212 11 +--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)25 )1(123112111)11(< -++?+?++<+n n n n (5)n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (7)) 1(21)1(2--<< -+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+= ???? ??+-+- (9) ? ?? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1 !1!)1(+- =+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+ 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础,而对于初学者来讲,对于矩阵的理解是尤为的重要;许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难,这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候,我们才会发现,原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙!于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时,那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的定义 由m×n个数a ij(i 1,2, ,m; j 1,2, , n)组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵,记为 A (a ij )m n 2.特殊矩阵 (1)方阵:行数与列数相等的矩阵; (2)上(下)三角阵:主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下)三角阵; (3)对角阵:主对角线以外的元素全为零的方阵; (4)数量矩阵:主对角线上元素相同的对角阵; (5)单位矩阵:主对角线上元素全是 1 的对角阵,记为E; (6)零矩阵:元素全为零的矩阵。 3.矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n),则称 A 与B相等,记为A=B 2.1.2 矩阵的运算 1.加法 (1)定义:设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ,则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ; ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0, –A 是 A 的负矩阵 2.数与矩阵的乘法 (1)定义:设 A (a ij ) mn , k 为常数,则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3.矩阵的乘法 (1)定义:设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ;② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义:A (a ij ) n ,则 A k A K A ②运算规律: A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4.矩阵的转置 (1) 定义:设矩阵 A=(a ij )mn ,将 A 的行与列的元素位置交换,称为矩阵 A 的转置,记为 A T (a ji )nm , (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ; ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。 放缩技巧 (高考数学备考资料) 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累 : (1) ?? ? ??+--=-<=1211212144441222n n n n n (2) ) 1(1)1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-+ +?+?++<+n n n n (5) n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(1 2)12(12 13211 221 ?+-?+= ???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1!1!)1(+- =+n n n n (11) 2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+ 实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容: 高三复习专题:数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,在高等数学中有着重要的用途,因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题,不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论,而且加强了对于不完全归纳法应用的考查,既要求归纳发现结论,又要求能证明结论的正确性,因此,初步形成“观察—-归纳—-猜想—-证明”的思维模式,就显得特别重要。 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n = n0时命题成立; (2)(归纳递推)假设n= k()时命题成立, 证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法,这两步 实用文档 文案大全各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立,n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n =k+1时也成假设了,命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错。 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 奇巧积累:(1)?? ? ??+--=-<=121121 2144441222n n n n n (2) ) 1(1 )1(1)1()1(212 11 +--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)25 )1(123112111)11(< -++?+?++<+n n n n Λ (5)n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (7)) 1(21)1(2--<< -+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+= ???? ??+-+- (9)? ?? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1 !1!)1(+- =+n n n n (11) 2 12121 21222)1212(21 -++ = -++= --+高中数列放缩法技巧大全
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