放缩法技巧全总结材料
放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑
=-n
k k 121
42的值; (2)求证:
3
51
1
2
<
∑=n
k k
. 解析:(1)因为
121121)12)(12(2142
2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n
k (2)因为??? ??+--=-=-
<1211212144
4
111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n
k Λ 奇巧积累:(1)
??
? ??+--=-<=1211212144441222n n n n n (2)
)
1(1)1(1)1()1(212
11
+--=-+=+n n n n n n n C C n n
(3))2(111)1(1!11)!(!!11
≥--=-<-=?
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r
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n r (4)1111(1)1132132(1)
n n n n +<+++++?-L
(5)n
n n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+22
1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n
n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221?+-?+=???? ??+-+- (9)
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2
1
212121222)1212(21-++=-++=--+ 21 121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(1112 3 --+????? ??+--=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1 1112111111+--<-++? ?? ? ??+--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(222 1 n n n n n n n n n <-?>-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 2 2 22 2<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(21 67) 12(1513 112 2 2≥-->-+ +++n n n Λ (2)求证: n n 41 2141361161412- <++++Λ (3)求证: 1122642)12(531642531423121-+???-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证:)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n Λ 解析:(1)因为 ? ? ? ??+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )1 2131(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i (2))111(4 1)12 11(4 14136 116 14 12 22n n n -+<+++=++++ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出1 212642)12(531+< ????-????n n n ΛΛ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n ++= -+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 13 12 11)11(2+ ++ + <-+Λ 再证2 1 2121 2122 2)1212(21 -++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立的, 所以)112(213 12 11-+<+ ++ + n n Λ 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析: 一方面: 因为??? ??+--=-=- <12112121444 11122 2n n n n n ,所以35321121121513121112 =+?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 另一方面: 1 111)1(14313 21119 14 112 += +-=++ +?+?+>++++n n n n n n ΛΛ 当3≥n 时, ) 12)(1(61++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ, 当2=n 时,21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++Λ, 所以综上有 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1 ()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈, ,整数11ln a b k a b -≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1, 若)(k m b a m ≤<,则由10 1<<≤ 0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a 1 11ln ln , 因为)ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11 -+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证 1)1()1(11 -+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 11111111111 1 11] )1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ 故只要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 1 1 ])1[()1(]) 1([, 即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(, 即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= Λ212,求证:23321<++++n T T T T Λ. 解析:)21(2)14(3 42 1)21(24 1)41(4)222(444421321n n n n n n n T -+-=-----=+++-++++=ΛΛ 所以 123)2(222322342323 23422234342)21(2)14(3 422111 111+?-?? =+?-?=-+=-+-= -+-= ++++++n n n n n n n n n n n n n n n n T ?? ? ??---=--??=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而23 1211217131311231321?? ??---++-+-= +++++n n n T T T T ΛΛ 例7.已知11=x ,???∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *))(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+Λ 证明: n n n n n n x x n n 2221 41 1 41 ) 12)(12(1 14 2 4 2 4 4 1 22= ?= > -= +-= +, 因为 12++ ) 1(21 2 22 1 4 1 22n n n n n x x n n -+= ++ > > + 所以 *))(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+Λ 二、函数放缩 例8.求证:)(6 6 5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ. 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3 13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ΛΛ ??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212 1 9181716151413121313121ΛΛΛ 6533323279189936365111n n n n n =??? ? ??+?++??? ??++??? ??++>---Λ 所以6 6536 5133 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln +-=--<++++n n n n n n Λ 例9.求证:(1))2()1(21 2ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n αααααααΛ 解析:构造函数x x x f ln )(=,得到2 2ln ln n n n n ≤αα,再进行裂项)1(1 111ln 2 2 2 +- <- ≤n n n n n ,求和后可以得到答案 例10.1 -n 所以有n n 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有n n n 1 211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ 例11.求证:e n <+??++)!11()!311)(!211(Λ和e n <+??++)3 1 1()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n Λ 解析:1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到 答案 例13.证明: )1*,(4 ) 1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ 解析:构造函数 )1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--=--= x x x x f ,令0)('>x f 有21< 所以 2 11ln -≤ +n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ 例14. 已知112111,(1).2 n n n a a a n n +==+++证明2n a e < 解析: n n n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到n n n a n n a ln )21 )1(11ln(ln 1 ++++<+ 然后运用x x <+ )1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路:?+++ ≤+n n n a n n a )2 111(2 1?++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 n n n n a 2 1 1ln 2+++≤。于是n n n n n a a 21 1ln ln 21++≤ -+, . 221122 11)21(111ln ln )2 11()ln (ln 1 121 1 11 1<--=--+-≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即. 2ln ln 21e a a a n n <- 注:题目所给条件ln(1)x x +<(0x >)为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本 题还可用结论)2)(1(2 ≥->n n n n 来放缩: ?-+-+ ≤+)1(1 ))1(11(1n n a n n a n n ?+-+≤++)1)() 1(11(11n n a n n a .) 1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 11 2 <-<+-+?-<+-+? ∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i , 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-+<+ 例16.(2008年市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+-> ()ln ,()ln ()ln(), 0.()ln 1ln()1ln ,2()0,10.2 f x x x g x x x k x k x x x k g x x k x k x x x k k g x x k k x k x =∴=+--'∴<<=+---=--'>>?>?<<--Q Q 令则有 ∴函数k k x g ,2[)(在)上单调递增,在]2 ,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ,即总有).2()(k g x g ≥ 而,2ln )()2ln (ln 2 ln )2()2()2(k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 例15.(2008年市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >? 在0>x 上恒成立. (I)求证:函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数; (II)当)()()(:,0,0212121 x x f x f x f x x +<+>>证明时; (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立, 求证:).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 解析:(I)0)()(')('2>-=x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212 11 1212111x x f x x x x f x x x x f x x f +?+++< )()()()(212 12 2212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+++< 两式相加后可以得到)()()(2121x x f x f x f +<+ (3) )()()()(21211 121211 1n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++< ?++++++<ΛΛΛΛ )()()()(21212 2212122n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++<ΛΛΛΛ…… )()()()(21212121n n n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++<ΛΛΛΛ 相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ΛΛ 所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ΛΛΛ 令2 ) 1(1 n x n += ,有 ??? ??++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21n n Λ??? ? ??++++????? ??+++++ 2222222 )1(13121ln )1(1413121n n ΛΛ 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 技巧积累:(1)2221441 124412121n n n n n ??=<=- ?--+?? (2) 12 11211 (1)(1)(1)(1) n n C C n n n n n n n +==-+--+ (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)25 )1(123112111)11(<-++?+?+ +<+n n n n (5) n n n n 21 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<< -+n n n n n 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一.先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二.先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: (1)用数学归纳法证明: (2),求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+ 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: a a >+12;n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+;2) 1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2 222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论: Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) : 2111(1)(1) k k k k k <<+-(程度大) Ⅲ. 21k 的放缩(2):22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+(程度小) Ⅳ. 2 1k 的放缩(3):221 4112()412121k k k k <=+--+(程度更小) Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=,222121n x x x +++=,求证:n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤+-++++=*n N n a n n a n x f x x x x 给定 求证:)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828 e ≈) 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现,在高考试题中占有重要地位,在近几年的高考试题中,多个省份都有所考查,甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法,笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时,普遍感到困难,找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩,消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, (Ⅰ)求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析:(Ⅰ)数学归纳法。 (Ⅱ)本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积,可将其放缩为等差型两项之积,通过裂项求和。 (Ⅰ)略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+,. (Ⅱ)11115612 a b =<+.n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??,综上,原不等式成立. 点评: 数列和式不等式中,若数列的通项为分式型,可考虑对其分母进行放缩,构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外,熟悉一些常用的放缩方法, 如: ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1)?? ? ??+--=-<=121121 2144441222n n n n n (2) ) 1(1 )1(1)1()1(212 11 +--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)25 )1(123112111)11(< -++?+?++<+n n n n (5)n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (7)) 1(21)1(2--<< -+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+= ???? 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? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 奇巧积累:(1)?? ? ??+--=-<=121121 2144441222n n n n n (2) ) 1(1 )1(1)1()1(212 11 +--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)25 )1(123112111)11(< -++?+?++<+n n n n Λ (5)n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (7)) 1(21)1(2--<< -+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+= ???? ??+-+- (9)? ?? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1 !1!)1(+- =+n n n n (11) 2 12121 21222)1212(21 -++ = -++= --+ 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 1 42 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1) 1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? 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(n 1) ! 2( 2n 1 2n 1) n 2n 1 2n 1 1 1 n n 2 2 (11) 2 n 2n 2 n 2n 1 1 1 (n 2 ) (2n 1)2 (2n 1)( 2n 1) (2 n 1)( 2 n 2) (2 n 1)(2n 1 1) 2n 1 1 2 n 1 (12) 1 1 1 1 1 1 n 3 n n 2 n (n 1)(n 1) n( n 1) n (n 1) n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 2 n n 1 n 1 (13) (14) 2 n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2 n 1) 2n 2n 1 2n 1 2 n 3 2n 1 3 k 2 1 1 (15) 1 n n 1(n 2) k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) ! n( n 1) (15) i 2 1 j 2 1 i 2 j 2 i j 1 i j (i j)( i 2 1 j 2 1) i 2 1 j 2 1 . .下载可编辑 . . 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1)?? ? ??+--=-<= 1211212144441 222 n n n n n (2) ) 1(1 )1(1)1()1(212 11 +--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)111 1 (1)1132132 (1) n n n n +<++ +++ ?- (5) n n n n 21 121)12(21- -=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<< -+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221 ?+-?+=???? ??+-+- (9)? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2 1 2121 21222)1212(21-++= -++=--+ 放缩法技巧全总结 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:35112 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1) ??? ??+--=-<=1211212144441222 n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)1111 (1)1132132(1) n n n n +<++++ + ?- (5)n n n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(1 2)12(12 13211221 ?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2 1 212121222)1212(21-++= -++=--+ 压轴题放缩法技巧全总结 本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.求的值; 求证:. 解析:因为,所以 因为,所以 技巧积累: 例2.求证: 求证: 求证: 求证: 解析:因为,所以 先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的, 所以 例3.求证: 解析: 一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,, 所以综上有 例4.设函数.数列满足.. 设,整数.证明:. 解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数,使,则, 若,则由知,, 因为,于是 例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证, 即等价于, 即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例7.已知,,求证: 证明: , 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证:. 解析:先构造函数有,从而 cause 所以 例9.求证: 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: “放缩法”技巧 例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是,高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题,例谈“放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 例1、已知*21().n n a n N =-∈求证:*12231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明: 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的 值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -,从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化,其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点,我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有: 1.“添舍”放缩:对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果; 2.分式放缩:分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果; 3.利用重要的不等式或结论放缩:把欲证不等式变形构造,然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩,例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩:挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数,利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。 二、常见的放缩控制 当我们选择了正确的放缩方法后,却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控,导致放缩的过大或过小,达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢? 例1.求证: 4 713121112222<++++n 分析1:不等式左边不能直接求和,我们希望通过合适的放缩后可以求和。 若采取“ )1(112-高中数列放缩法技巧大全
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