数理金融学作业7：风险厌恶与效用函数(1)

风险厌恶与效用函数（1）

1、投资者有几种类型？他们的效用函数有什么特点？

解：根据投资者对风险的态度，投资者可以分为三种类型：风险厌恶型，风险中性型及风险爱好型。设()u ×为投资者的效用函数，[()]E u ×

为投资者的期望效用函数。 风险厌恶型投资者的效用函数满足：[()]()E u w u Ew ￡ 因而()u ×为凹函数；

风险爱好型投资者的效用函数满足：[()]()E u w u Ew 3 因而()u ×为凸函数；

风险中性型投资者的效用函数满足：[()]()E u w u Ew = 因而()u ×为线性函数

2. 设一投资者效用函数为双曲绝对风险厌恶函数1()(),01r r ax u x b b r r

-=+>-。其中,,a b x 为实数。求该效用函数的绝对风险厌恶函数，风险容忍函数和相对风险厌恶函数 解：因为122()(),()()11r r ax ax u x a b u x a b r r

--ⅱ =+=-+-- 所以1()()()()1u x ax A x a b u x r

-ⅱ=-=+￠-； 11()()()11ax x b T x b A x a r r a

==+=+--； 1()()()1ax R x x A x ax b r

-=?+-

3.设一投资者的效用函数为负指数效用函数()ax u x e -=-，求该效用函数的绝对风险厌恶函数、风险容忍函数和相对风险厌恶函数。

3.设一投资者的效用函数为负指数效用函数()ax u x e

-=-，求该效用函数的绝对风险厌恶函数、风险容忍函数和相对风险厌恶函数。

解：因为2()(),()ax ax ax u x e ae u x a e ---ⅱⅱ=-==-

所以()11(),(),()()()()u x A x a T x R x xA x ax u x A x a ⅱ=-

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