专题：直角三角形存在性问题
直角三角形存在性问题
方法提炼：
●找点
已知“两个定点，求作直角三角形”，可借用“两线一圆法”找到第三个顶点的位置；
●直角三角形存在性问题探讨
1.先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论
2.方法一：画出具体图形，依托直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似列方程解
方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解；
例1：如图在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是菱形外部的一点，若以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形，则P、D两点间的最短距离为 .
例3.如图，二次函数?y＝x2＋bx＋c图像经过原点和点A（2，0），直线?AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．
（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；
（2）在直线?AB上是否存在点D，使得△BCD?为直角三角形．若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．
例4.（2017年.娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
●针对性演练：
1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．
2、如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。
（1）求点A的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向
匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理
答案：例1，PC的最小值为1
针对性演练
答案：1、（1）将顶点（1,2）代入c bx x y ++=2得()212--=x y ，得122--=x x y
（2）可证四边形ACBD 为菱形，所以PE 必过对称中心M ，P （0，-1），M （1,0），可求PE ：1-=x y ，与 122--=x x y 联立可求E 点坐标（3,2）
（3）
方法一：作FG⊥y轴于G，证△FGP≌△POM，OM=OP，可得PG=GF,即
X=0（舍去）,x=1，F（1，-2）
方法二：P（0，-1），E（3,2），F三点坐标，可表示出PE、PF、EF长，利用勾股定理可求
直角三角形存在性
直角三角形的存在性问题代数法 1.写出三边的平方 2.分类列方程 3.解方程 几何法 1.分类 2.画图——“两线一圆” 3.计算
例1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例 2.如图，在直角坐标系中，R t△O A B的直角顶点A在x轴上，O A=4，A B=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O 移动；同时点N从点O出发，以每秒 1.25个单位长度的速度，沿O B 向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0 例 3.(2015·益阳中考)已知抛物线E1：y=x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′. (1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式. (2)如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接O P并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比. 相似三角形的存在性（讲义） 知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图 结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例： 一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求 解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解． 精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使 点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为． 3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴 交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1． （1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）． （3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由． 专题16 函数动点问题中三角形存在性 模型一、等腰三角形存在性问题 以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解. 模型二、直角三角形存在性问题 以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”. 【例1】 （2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－3 2 x+c经过点A(－1,0),B(4,0)， 与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q. （1）求抛物线的解析式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x－4）， 将点（0，－2）代入上式，得：a=1 2 ， 即抛物线的解析式为：y=1 2 x2－ 3 2 x－2； （2）由y=1 2 x2－ 3 2 x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC 由C(0,－2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=1 2 x－2， 设P（m，1 2 m2－ 3 2 m－2），则Q(m， 1 2 m－2)， 过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB， ∴ CQ QM BC AB = ,4 m =， ∴CQ , PQ =－12m 2+2m , PC ①当CQ =PQ 时， =－1 2 m 2+2m ，解得：m =0（舍）或m =4； ②当CQ =PC 时， = m =0（舍）或m =2或m =4（舍）； ③当PQ =PC 时， －12m 2+2m = m =0（舍）或m =32； 综上所述，存在点P ，使△CPQ 是等腰三角形，点P 的横坐标为：42或3 2 . 【变式1－1】（2018·开封二模）如图，抛物线L ：y =ax 2+bx +3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，已知点B (3,0)，抛物线的对称轴为x =1. （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向下平移h 个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC 内部（包含△OBC 边界），求h 的取值范围； （3）设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x =－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P 的坐标，若不能，请说明理由. 【答案】见解析. 文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑,有帮助欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【关键字】条件、速度、方向 相似三角形存在性探究 如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ (2)要判断△ADB 与△(3)通过(1)(2)例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存 在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。 变式 如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ， 点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得 △AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 例2如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1)请问在x 轴上是 否存在点Q,使以P ,B,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标，若不存 在，请说明理由。 变式 如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1) (1)求过A 、B 、C 三点的抛物线解析式 (2)请问在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作M N ⊥x 轴于点N,使以A,M,N 为顶点的 三角形与△BCP 相似？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。 做一做 如图，抛物线 与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负 方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上 以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若 存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 B 42 3812+-=x x y O 中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个 动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+． 图1-2 图1-3 图1-4 【问题描述】 如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例： 【构造三垂直】 01问题与方法 C3、C4求法相同，以C3为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股 还剩下C1待求，不妨来求下C1： 【解析法】 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1， 可得：kAC=-2， 又直线AC1过点A（1,1）， 可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x轴交点坐标为（1.5,0）， 即C1坐标为（1.5,0）． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上 方法小结 几何法： （1）两线一圆作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法： （1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2； （4）代入列方程，求解． 02从等腰直角说起 再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 2019兰州中考删减 【等腰直角存在性——三垂直构造全等】 通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”． 推理过程如下： 【模型迁移】 二次函数y=ax2+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式； （2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标． 中考数学压轴题解题策略（2） 相似三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌 专题攻略 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6． 应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 例题解析 例? 如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)． 于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了． 在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ． 因此)BF t ==-． 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF ==．解得43t =（如图1-2）． 二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题 一、技巧提炼 1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式 （1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解； 2、二次函数y=ax2+bx+c 与 x 轴是否有交点，可以用方程ax2 +bx+c = 0是否有根的情况进行判定； 判别式 b 24ac二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△＞ 0与 x 轴交点方程有的实数根 △＜ 0与 x 轴交点实数根 △＝ 0与 x 轴交点方程有的实数根 3、抛物线上有两个点为A（x ， y）， B（ x ， y） 12 (1) 对称轴是直线x x 1 x2Q 2 (2) 两点之间距离公式： 已知两点 P x1 , y1,Q x2 ,y2 ，P G ( x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 2O 则由勾股定理可得：PQ 练一练：已知 A（ 0， 5）和 B（－ 2， 3），则 AB＝。 4、常见考察形式 1）已知 A（ 1,0 ）， B（ 0， 2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C，使△ ABC是等腰三角形； 总结：两圆一线 方法规律 :平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线； 2）已知 A（ -2,0 ）， B（ 1， 3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C，使△ ABC是直角三角形； 总结：两线一圆 方法规律 {平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积： （ 1）直接用面积公式计算；（ 2）割补法；（ 3）铅垂高法； 如图，过△ ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， A铅垂高 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽” （ a），中间的C h 这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高” （ h）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：B 水平宽1 S△ABC =2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。a 6、二次函数中三角形的存在性问题 解题思路：（ 1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3） 后计算 二次函数中直角三角形存在性问题 1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么 以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点 2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1 以已知线段为斜边时，利用K 型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解 例一：如图，抛物线()2 230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点. （1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由. 例二、如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式； （2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由． 练习： 2.如图，抛物线y=x2-2mx (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，-m)作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C． （1）若m=2，求点A和点C的坐标； （2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值； （3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)． 因动点产生得相似三角形问题 例1 ２015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第2４题 如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠０)与直线y=x+２都经过点A(2, m). (1)求ｋ与ｍ得值; (2)此双曲线又经过点B(ｎ, ２),过点B得直线BＣ与直线y=x＋2平行交ｙ轴于点C,联结AB、AＣ,求△ＡBC得面积; (３)在(2)得条件下,设直线y=ｘ+２与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点Ａ、C、Ｅ所组成得三角形与△AＣＤ相似,且相似比不为1,求点E得坐标、 图１ 动感体验 请打开几何画板文件名“１5宝山嘉定２4”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到, △ACE与△ACD相似,存在两种情况。 思路点拨 １、直线AD/／BＣ,与坐标轴得夹角为45°. 2.求△AＢC得面积,一般用割补法. ３。讨论△ACＥ与△ＡCD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程. 满分解答 (1)将点Ａ(２, m)代入ｙ＝ｘ＋２,得m=４.所以点Ａ得坐标为(２,4). 将点A(2, 4)代入,得k＝8。 (２)将点B(n, 2),代入,得n=４。 所以点Ｂ得坐标为(4, 2)、 设直线ＢＣ为y=x＋ｂ,代入点B(4, 2),得b=—2. 所以点C得坐标为(0,—2). 由A(2, ４) 、Ｂ(4, 2) 、Ｃ(0,-2),可知A、B两点间得水平距离 与竖直距离都就是２,B、C两点间得水平距离与竖直距离都就是4. 所以AＢ＝,BC＝,∠ＡBＣ＝９0°. 图２ 所以S△ＡBC＝＝=8、 (3)由Ａ(2, 4)、Ｄ(0, 2) 、C(0,—2),得AD＝,AC＝、 由于∠ＤAＣ+∠ACＤ=4５°,∠ＡCE＋∠ACＤ＝4５°,所以∠DAC＝∠ACE。 所以△ACE与△ＡCD相似,分两种情况: ①如图3,当时,CE＝AＤ=. 此时△ACD≌△CAE,相似比为1. ②如图４,当时,、解得CＥ＝.此时Ｃ、E两点间得水平距离与竖直距离都就是10,所以E(10, ８)、 图3 图4 考点伸展 第(2)题我们在计算△ＡBC得面积时,恰好△ＡBC就是直角三角形、 一般情况下,在坐标平面内计算图形得面积,用割补法、 如图5,作△AＢＣ得外接矩形ＨＣNＭ,MN/／y轴. 由S矩形HCNM=2４,S△AHC=6,S△ＡMB=2,S△BCN＝8,得S△ABC＝8. 图5 例２201４年武汉市中考第24题 如图1,Rt△ABC中,∠ＡCB＝９0°,ＡC=6 cm,BC＝８cm,动点Ｐ从点Ｂ出发,在BA边上以每秒５cｍ得速度向点Ａ匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 ｃm得速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0 直角三角形存在性问题 方法提炼： ●找点 已知“两个定点，求作直角三角形”，可借用“两线一圆法”找到第三个顶点的位置； ●直角三角形存在性问题探讨 1.先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论 2.方法一：画出具体图形，依托直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似列方程解 方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解； 例1：如图在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是菱形外部的一点，若以点P、A、C为顶点的三角形 （1）求点A、B的坐标； （2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 例3.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO ＝45°． （1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标； （2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD 为直角三角形．若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由． 例4.（2017年.娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t 秒． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ●针对性演练： 1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．（1）求此函数的关系式； （2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由． 2、如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。 （1）求点A的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 相似三角形的存在性问题 【考题研究】 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快． 【解题攻略】 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 【解题类型及其思路】 相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。 【典例指引】 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两 点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -． 直角三角形的存在性问题（教案） 学习目标： 1、经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。 2、体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。 一、课前准备 1.已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为 . 2.如图，A （0，4），C （4，0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为 . 【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、M 型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题. 二、我们一起来探究 如图，A （0，1），B （4，3）是直线12 1 += x y 上的两点，点P 是x 轴上一个动点. 问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标. y x B A O y x B A O y x B A O （备用图1） （备用图2） 提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 需要针对直角顶点进行分类. （2）一般会有几种情况？ 三种. （3）分类之后需要做什么？ 画图. （4）解题有哪些方法？ （5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点. 变式跟进：将上述直线向上平移a 个单位，A 、B 两点也同时向上平移到相应的位置，x 轴上存在唯一的点P ，使得∠APB=90°. 求a 的值. 【小结】直角三角形的存在性问题解题策略： . 【设计意图】通过这个环节，探究直角三角形存在性问题解题策略：分类——画图——解题，重在让学生了解这类题的的三种解法：几何法、解析法、代数法，从而为后面的练习做好铺垫. 三、反馈练习 1.如图，点O （0，0），A （1，2），若存在格点P ，使△APO 为直角三角形，则点P 的个数有 个. 中考数学压轴题 一、等腰三角形存在性 1 解题思想：分类讨论 2 解题技巧：坐标系内线段长度表示 （1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴 在x轴或平行于x轴：x右-x左 在y轴或平行于y轴：y上-y下 （2）线段为倾斜（斜线段）A（X A,Y A）B（X B,Y B）C（X C,Y C） 由勾股定理得：AB2= AC2= BC2= 3 解题方法 （1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方 （2）分三种情况列方程，解方程 （3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根） （2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点 （2）画图，作圆法，垂直平分线法 （3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。 例1. 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B 两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 代数法： 几何法： 例2 如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG． （1）试求△ABC 的面积； （2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设AD=x ，当△BDG 是等腰三角形时，求出AD 的长． 只能选择几何法 1 先分析三种情况 2 根据已知表示三边长度（相似） 3 列方程计算 同步练习： 1．如图，抛物线2 54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ． （1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式； （2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 2.如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． A C B y x 0 1 1 _ Q _ G _ P _ O 二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题 一、技巧提炼 1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式 （1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2 +bx+c = 0是否有根的情况进行判定； 判别式ac b 42-=? 二次函数与x 轴的交点情况 一元二次方程根的情况 △ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根 △ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根 3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2 x 2 1x x += (2)两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：2 21221)()(y y x x PQ -+-= 练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。 4、 常见考察形式 1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线 方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个 端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线； 2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形； 总结： 两线一圆 方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的 两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法： S △ABC =1 2ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 6、二次函数中三角形的存在性问题 解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3） 后计算 B C 铅垂高 水平宽 h a A 专题三 相似三角形的存在性问题 【考题研究】 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快． 【解题攻略】 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 【解题类型及其思路】 相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。 【典例指引】 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两 点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -． 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2012年广州市中考第24题 如图1，抛物线233 384 y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．． 三个时，求直线l 的解析式． 图1 思路点拨 1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个． 2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个． 3．灵活应用相似比解题比较简便． 满分解答 （1）由2333 3(4)(2)848 y x x x x =--+=-+-， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1． （2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等． 过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ． 由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以3 4 DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9 (1,)4 -． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ． 而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27 (1,)4 ． 相似三角形存在性探究 如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ABC 相似， 添加一个条件是 (2)要判断△ADB 与△ABC 相似，AB =4、AD =2. 则AC = (3)通过(1)(2)的解答，你能说出相似三角形哪些知识？ 例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。 变式 如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ， 点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 C A D B C E F B E F 例2如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1)请问在x轴上是 否存在点Q,使以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。 变式如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1) (1)求过A、B、C三点的抛物线解析式 (2)请问在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作 M N⊥x轴于点N,使以A,M,N为顶点的 三角形与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。 做一做 如图，抛物线 与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 42 3812+-=x x y 相似三角形的存在性问题 【真题典藏】 1.（2008年上海市第25题）（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD//BC（如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点． （1）设BE＝x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； （3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长． 图1 备用图 2．（2009年闸北区第25题）如图2，△ABC中，AB＝5，AC＝3，c os A＝ 3 10 ．D为射线BA上的点（点 D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.． (1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度； (3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由． 图2 备用图备用图 【满分攻略】 我们先来解读第1题（2008年上海市第25题）的第（3）题，学习相似三角形的存在性问题： 第一步，把两个三角形涂上颜色或者画上阴影(如图6)，寻找分类标准与分类方法． 一般来讲，不论用相似三角形的判定定理1，还是判定定理2，至少有一组角是相等的． 我们可以看到，∠ADN 的大小是确定不动的，∠AND 是钝角，∠ADN ＝∠DBE >∠MBE ，因此按照与∠AND 相等，分两种情况①∠ADN ＝∠BME ；②∠ADN ＝∠BEM ． 第二步，拿起三角尺，按照分类情况反复比划，画两个比较准确的示意图（如图7，图8），把相等的角都标记出来． 第三步，具体情况具体分析． ① 如图7，当∠ADN ＝∠BME 时， 经过等量代换，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE 与△BME 就是我们熟悉的相似三角形的典型图“A 字形”，那么2 21 2 EB EM ED ED =?=，这样问题就转化为如何用含有x 的式子表示ED 的长． 已知直角梯形的两底和直腰，你说怎样求斜腰ED 呢？ ②如图8，当∠ADN ＝∠BEM 时，经过等量代换，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8． 图6 图7 图8 还需要提醒的是，备用图暗示要分类讨论，合理利用试卷和答题纸上的备用图，不要急于乱画，先分好类，再反复比划，后落笔．图7不可能画准确，但是要接近，这样好观察图形间的关系． 示范一下书写，注意用标志性的语句引领书写的层次性和阅卷老师的眼球． （2）①当∠ADN ＝∠BME 时，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE ∽△BME ． ∴2 212EB EM ED ED =?= ． ∴222 12(4)2 x x ??=+-??． ∴122,10x x ==-（舍去负值）． ②当∠ADN ＝∠BEM 时，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8． 综上所述，当△ADN 与△BME 相似时，BE 的长为2或8． 我们再来解读第2题（2009年闸北区第25题）的第（3）题， 求等腰三角形DEF 的存在性． 由第（1）、（3）题知，在△BDG 中，645,,cos 55 BD x DG x BDG =-=∠=． 第一步，寻找分类标准与分类方法． 相似三角形的存在性（习题） 复习巩固 1.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点P是AD上的一个 动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则 AP=________． 2.在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4， 3 )，且与x轴的两个交点间的距离为6． （1）求二次函数的解析式； （2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交 于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P． （1）求A，B，C三点的坐标． （2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA相似？ 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为 (1，0)，与y轴交于点C(0，1)． （1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标． （2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点． （1）求抛物线的解析式． （2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，二次函数y =-x 2+4x +5图象的顶点为D ，对称轴是直线 l ，一次函数215 y x = +的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是_________； （2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D ，C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA ，DB 分别交于点P ，Q ，使得△DPQ 与△DAB 相似．①当275 n =时，求DP 的长；②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似，请直接写出n 的取值范围_________．相似三角形的存在性(讲义及答案).
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