高中数学课时训练(含解析):平面向量 (1)
【课时训练】第23节 平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1.(山东德州模拟)已知O ,A ,B ,C 为同一平面内的四个点,若2AC →+CB →
=0,则向量OC →
=( )
A 。23 OA →-13O
B →
B .-13OA →+23OB →
C .2OA →-OB →
D .-OA →+2OB →
【答案】C
【解析】因为AC →=OC →-OA →,CB →=OB →-OC →,所以2AC →+CB →=2(OC →-OA →
)+(OB →-OC →)=OC →-2OA →+OB →=0,所以OC →=2OA →-OB →。
2.(广东清远清城期末)已知向量a ,b ,c 中任意两个都不共线,但a +b 与c 共线,且b +c 与a 共线,则向量a +b +c =( )
A .a
B .b
C .c
D .0
【答案】D
【解析】依题意,设a +b =m c ,b +c =n a ,则有(a +b )-(b +c )=m c -n a ,即a -c =m c -n a 。又a 与c 不共线,于是有m =-1,n =-1,即a +b =-c ,所以a +b +c =0。
3.(上海崇明一模)设点M 是△ABC 所在平面上的一点,且MB →+32MA →+32MC →=0,点D 是AC 的中点,则|MD |
→
|BM |
→的值为( )
A 。1
3 B .1
2 C .1
D .2
【答案】A
【解析】∵D 是AC 的中点,如图,延长MD 至E ,使得DE =MD ,∴四边形MAEC 为平行四边形,
∴MD →=12ME →=12(MA →+MC →),∴MA →+MC →=2MD →。∵MB →+32MA →+32MC →
=0,∴MB →=-32(MA →+MC →)=-3MD →,∴BM →=3MD →,∴|MD |→|BM |→=|MD |→
3|MD |
→=13。故选A 。
4.(成都五校联考)在△ABC 中,BD →=3DC →,若AD →=λ1AB →+λ2AC →
,则λ1λ2的值为( )
A 。1
16 B .3
16 C .1
2 D .109
【答案】B
【解析】由题意得,AD →=AB →+BD →=AB →+34BC →=AB →+34(AC →-AB →)=14AB →+34AC →
,∴λ1=14,λ2=34,∴λ1λ2=316。
5.(山西运城模拟)设D ,E ,F 分别是△ABC 的三边BC ,CA ,AB 上的点,且DC →
=2BD →, CE →=2EA →,AF →=2FB →,则AD →+BE →+CF →与BC →
( )
A .反向平行
B .同向平行
C .互相垂直
D .既不平行也不垂直
【答案】A
【解析】由题意得AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →,BE →=BA →+AE →=BA →+13AC →,CF →
=
CB →+BF →=CB →+13BA →,因此AD →+BE →+CF →=CB →+13(BC →+AC →-AB →)=CB →+23BC →=-13BC →,故AD →+BE →+CF →与BC →
反向平行.
6.(湖南永州模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA →+OB →+CO →
=0,则△ABC 的内角A =( )
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
【答案】A
【解析】由OA →+OB →+CO →=0,得OA →+OB →=OC →,由O 为△ABC 外接圆的圆心,可得|OA →|=|OB →|=|OC →|。设OC 与AB 交于点D ,如图,由OA →+OB →=OC →
可知D 为AB 的中点,所以OC →=2OD →,D 为OC 的中点.又由|OA →|=|OB →
|可知OD ⊥AB ,即OC ⊥AB ,所以四边形OACB 为菱形,所以△OAC 为等边三角形,即∠CAO =60°,故∠BAC =30°。
7.(广西南宁摸底)已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作一条直线与AB ,AC 两边分别交于M ,N 两点,且AM →=xAB →,AN →=yAC →,则xy x +y
的值为( )
A .3
B .13
C .2
D .12
【答案】B
【解析】由已知得M ,G ,N 三点共线,∴AG →=λAM →+(1-λ)AN →=λx AB →
+(1-
λ)yAC →。
∵点G 是△ABC 的重心,
∴AG →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →), ∴?????
λx =13,
(1-λ)y =13,即?????
λ=13x ,
1-λ=13y ,
得13x +13y =1,即1x +1
y =3,通分得x +y xy
=3,
∴
xy x +y =1
3
。 8.(广西柳州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AM →=AB →
+3AC →
,则△ABM 与△ABC 的面积的比值为( )
A 。15
B .25
C 。35
D .45
【答案】C
【解析】设AB 的中点为D ,如图,连接MD ,MC ,由5AM →=AB →+3AC →,得5AM →
=2AD →+3AC → ①,即AM →=25AD →+35AC →,即25+3
5=1,故C ,M ,D 三点共线.又AM →=AD →+DM → ②,联立①②,得5DM →=3DC →
,即在△ABM 与△ABC 中,边AB 上的高的比值为35,所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35。
二、填空题
9.(湖南衡阳模拟)已知△ABC 和点M 满足MA →+MB →+MC →
=0。若存在实数m 使得AB →+AC →=mAM →
成立,则m =________。
【答案】3
【解析】由MA →+MB →+MC →
=0知,点M 为△ABC 的重心.设点D 为底边BC 的中点,则AM →=23AD →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →),所以AB →+AC →=3AM →
。故m =3。
10.(湖北武汉二模)若|AB →|=|AC →|=|AB →-AC →|=2,则|AB +AC →
|=________。 【答案】2 3
【解析】∵|AB →|=|AC →|=|AB →-AC →
|=2,
∴△ABC 是边长为2的正三角形,∴|AB →+AC →
|为△ABC 的边BC 上的高的2倍,
∴|AB →+AC →|=2×2sin π3=2
3。
11.(银川二检)已知点D 为△ABC 所在平面上一点,且满足AD →=15AB →-45CA →
,△ACD 的面积为1,则△ABD 的面积为________.
【答案】4
【解析】由AD →=15AB →-45CA →,得5AD →=AB →+4AC →,即AD →-AB →=4(AC →-AD →
),即BD →=4DC →,∴点D 在边BC 上,且|BD →|=4|DC →
|。故△ABD 的面积是△ACD 的面积的4倍,故△ABD 的面积为4。
12.(湖北孝感统考)在直角梯形ABCD 中,∠A =90°,∠B =30°,AB =2 3,BC =2,点E 在线段CD 上.若AE →=AD →+μAB →
,则μ的取值范围是________.
【答案】?
??
?
??0,12
【解析】由题意可求得AD =1,CD =3,所以AB →=2DC →
。∵点E 在线段CD 上,∴DE →=λDC → (0≤λ≤1).∵AE →=AD →+DE →,又AE →=AD →+μAB →=AD →+2μDC →=AD →+2μλDE →,
∴2μλ=1,即μ=λ2。∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤1
2,即μ的取值范围是?
???
??0,12。
三、解答题
13.(广东韶关调研) 如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是BC ,AC 的中点,AE →
=23AD →,AB →
=a ,AC →=b 。
(1)用a ,b 表示向量AD →,AE →,AF →,BE →,BF →
; (2)求证:B ,E ,F 三点共线.
(1)【解】延长AD 到G ,使AD →=12AG →
, 连接BG ,CG ,得到?ABGC ,如图, 所以AG →=AB →+AC →
=a +b , AD →=12AG →=1
2(a +b ),
AE →=23AD →=1
3(a +b ), AF →=12AC →=12b ,
BE →=AE →-AB →=13(a +b )-a =1
3(b -2a ),
BF →=AF →-AB →=12b -a =1
2(b -2a ).
(2)【证明】由(1)可知BE →=23BF →
,
又因为BE →,BF →
有公共点B ,所以B ,E ,F 三点共线.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学(人教版A版必修一)第一章全章课时练习带答案
第一章 集合与函数概念 §1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 课时目标 1.通过实例了解集合的含义,并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用. 1.元素与集合的概念 (1)把________统称为元素,通常用__________________表示. (2)把________________________叫做集合(简称为集),通常用____________________表示. 2.集合中元素的特性:________、________、________. 3.集合相等:只有构成两个集合的元素是______的,才说这两个集合是相等的. 4.元素与集合的关系 一、选择题 1.下列语句能确定是一个集合的是( )
A.著名的科学家 B.留长发的女生 C.2010年广州亚运会比赛项目 D.视力差的男生 2.集合A只含有元素a,则下列各式正确的是() A.0∈A B.a?A C.a∈A D.a=A 3.已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长,则此三角形一定不是() A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形 4.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是() A.1B.-2C.6D.2 5.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m为() A.2B.3 C.0或3D.0,2,3均可 6.由实数x、-x、|x|、x2及-3 x3所组成的集合,最多含有() A.2个元素B.3个元素 C.4个元素D.5个元素 二、填空题 7.由下列对象组成的集体属于集合的是______.(填序号) ①不超过π的正整数; ②本班中成绩好的同学;