高一函数练习题及答案详解

1． 下列从A 到B 的对应中对应关系是:f x y →,能成为函数的是:

*:,:3A A B N f x y x ==→=-

:,:B A B R f x y ==→=

{}2:,|0,:C A R B x R x f x y x ==∈>→= {}{

1,0:,0,1,:0,0

x D A R B f x y x ≥==→=<.

2． 与函数y=x 有相同的图象的函数是:

A. 2

y =

B. y =

C. 2

x y x

=

D. y =3．

函数2232

y x x =

--的定义域为（ ）

A 、(],2-∞

B 、(],1-∞

C 、11,,222????-∞ ? ?????

D 、11,,222?

???-∞ ? ??

???

4． 已知2,0

(),00,0x x f x x x π?>?

==??

,则(){}

2f f f -????的值是:

A.0

B.π

C.2

π D.4 5． 设1

()1f x x

=-,则(){}

f f f x ????的解析式为: A.

1

1x

- B.31(1)x - C.x - D.x

6． 若函数1

()1f x x

=

-,那么函数[]()f f x 的定义域是: A.1x ≠ B.2x ≠-

C.1x ≠-,且2x ≠-

D.1x ≠-,或2x ≠-

7． 已知(1)f x +的定义域为[2,3]-,则(21)f x -定义域是:

A.5[0,]2

B.[1,4]-

C.[5,5]-

D.[3,7]-

8． 函数()f x 定义域为R +,对任意,x y R +∈都有()()()f xy f x f y =+,

又(8)3f =,

则f =: A.

12 B.1 C.1

2

-

9． 函数y ax b =+在[1,2]上的值域为[0,1],则a b +的值为:

A.0

B.1

C.0或1

D.2

10.已知2

()3([]3)2f x x =+-,其中[]x 表示不超过x 的最大整数, 如[3.1]3=,则( 3.5)f -=: A.-2 B.5

4

-

C.1

D.2 11.若一次函数()y f x =满足()91f f x x =+????,则()f x =___________. 12.已知函数()f x 的定义域为[0,1],函数2

()f x 的定义域为:___________.

13.

函数2

()(0)f x ax a =>,

如果[f f =则a =________.

14.建造一个容积为3

8m ,深为2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别 为120元2/m 和80 元2

/m ,则总造价y 关于底面一边长x 的函数解析式为: _____________________. 15.已知函数2

()1f x x x =++, (1)求(2)f x 的解析式; (2)求(())f f x 的解析式

(3)对任意x R ∈,求证11

()()22

f x f x -=-

-恒成立. 16.

求111

y x =

+

-; 17.美国的高税收是世界上出名的,生活在那里的人们总在抱怨各种税收,以工薪阶 层的个人所得税为例,以年收入17850美元为界,低于(含等于)这个数字的缴纳15% 的个人所得税,高于17850美元的缴纳28%的个人所得税. (1)年收入40000美元的美国公民交多少个人所得税?

(2)美国政府规定捐赠可以免税,即收入中捐赠部分在交税时给予扣除,一位年收入20000美元的美国公民捐赠了2200美元,问他的实际收入有没有因为捐赠而减少? (3)年收入20000美元的美国公民捐赠多少美元,可使他的实际收入最多?

函 数 练 习 题

班级 姓名

一、 求函数的定义域

1、求下列函数的定义域：

⑴33

y x =

+-

⑵y =

⑶01(21)111

y x x =+-++

-

2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2

的定义域为_ _ _；函数f x ()

-2的定义域为________；

3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数

1

(2)f x

+的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，

求实数m 的取值范围。

二、求函数的值域

5、求下列函数的值域：

⑴2

23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2

23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31

1

x y x -=

+ ⑷31

1

x y x -=

+ (5)x ≥

⑸

y = ⑹ 22

5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-

⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =-

6、已知函数222()1

x ax b

f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

三、求函数的解析式

1、 已知函数2

(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

2、 已知()f x 是二次函数，且2

(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+

，则当(,0)x ∈-∞时

()f x =____ _

()f x 在R 上的解析式为

5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1

()()1

f x

g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式

四、求函数的单调区间

6、求下列函数的单调区间：

⑴ 2

23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2

61y x x =--

7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2

(1)f x -的单调递增区间是

8、函数236

x

y x -=

+的递减区间是 ；

函数y =的递减区间

是

五、综合题

9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3

)

5)(3(1+-+=

x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；

⑶x x f =)(， 2)(x x g =

； ⑷x x f =)(，

()g x ； ⑸2

1)52()(-=x x f ，

52)(2-=x x f 。

A 、⑴、⑵

B 、 ⑵、⑶

C 、 ⑷

D 、 ⑶、⑸

10、若函数()f x = 3

44

2

++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）

A 、(－∞,+∞)

B 、(0,43]

C 、(43,+∞)

D 、[0, 4

3

)

11

、若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（ ）

(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2

(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ）

(A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<<

13

、函数()f x = ） A 、[2,2]-

B 、(2,2)-

C 、(,2)

(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}-

14、函数1

()(0)f x x x x

=+

≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数

15、函数2

2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

，若()3f x =，则x =

16、已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x f x a f x a a ()()()()=+?--<≤1

2

0的定义域为 。

17、已知函数21mx n

y x +=+的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n = 18、把函数1

1

y x =+的图象沿x 轴向左平移一个单位后，得到图象C ，则C 关于原点对称

的图象的解析式为

19、求函数12)(2

--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值

20、若函数2

()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当∈t [-3,-2]时的最值。

21、已知a R ∈，讨论关于x 的方程2

680x x a -+-=的根的情况。

22、已知

1

13

a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-。（1）求函数()g a 的表达式；（2）判断函数()g a 的单调

性，并求()g a 的最小值。

23、定义在R 上的函数(),(0)0y f x f =≠且，当0x >时，()1f x >，且对任意,a b R ∈，

()()()f a b f a f b +=。 ⑴求(0)f ； ⑵求证：对任意,()0x R f x ∈>有；⑶求证：()f x 在R 上是增函数； ⑷若2()(2)1f x f x x ->，求x 的取值范围。

初等函数测试题

（满分：150分 考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ）

A ．0=x

B ．1-=x

C ．21=

x D ．2

1-=x 2．已知1,10-<<

+=的图象不经过 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ． 第三象限

D ． 第四象限

3．函数62ln -+=x x y 的零点必定位于区间 （ ） A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)

4．给出四个命题：

（1）当0=n 时，n

x y =的图象是一条直线； （2）幂函数图象都经过（0，1）、（1，1）两点； （3）幂函数图象不可能出现在第四象限；

（4）幂函数n

x y =在第一象限为减函数，则n 0<。

其中正确的命题个数是 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 5．函数x

a y =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 （ ）

A ．

2

1 B ．

2 C ．4 D ．

4

1 6．设)(x f 是奇函数，当0>x 时，,log )(2x x f =则当0

A ．x 2log -

B ．)(log 2x -

C ．x 2log

D ．)(log 2x --

7．若方程2（1+m ）2

x +4023=-+m mx 的两根同号，则m 的取值范围为 （ ）

A ．12-<<-m

B ．12-<≤-m 或

13

2

≤m D ．12-<<-m 或13

2

<

8．已知)(x f 是周期为2的奇函数，当10<

),23(),56(f b f a ==),2

5

(f c =则 （ ）

A ．c b a <<

B ． c a b <<

C ． a b c <<

D ． b a c <<

9．已知01<<<xy a 10．已知10<

)(x

x

x f -+=则??

?

??+??? ??x f x f 22的定义域为 （ ） A ．()4,0()0,4?- B ．)4,1()1,4(?-- C ．()2,1()1,2?-- D ．()4,2()2,4?--

12．已知???≥<+-=1

,log 1

,4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）

A ．(0,1)

B ．(0,)3

1 C ．??????31,71 D ．??

????1,71

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．若函数)34(log 2

++=kx kx y a 的定义域是R,则k 的取值范围是 ．

14．函数],1,1[,122)(-∈++=x a ax x f 若)(x f 的值有正有负，则实数a 的取值范围为 ． 15．光线透过一块玻璃板，其强度要减弱

101，要使光线的强度减弱到原来的3

1

以下，至少有这样的玻璃板 块。（参考数据：)4771.03lg ,3010.02lg ≈≈ 16．给出下列命题：

①函数)1,0(≠>=a a a y x

与函数x a a y log =)1,0(≠>a a 的定义域相同；

②函数3x y =与x

y 3=的值域相同；

③函数1

21

21-+=x y 与函数x

x x y 2)21(2?+=均是奇函数； ④函数2

)1(-=x y 与12-=x y 在+R 上都是增函数。

其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

设0>a ，x x e

a

a e x f +=

)(是R 上的偶函数。 ⑴求a 的值；

⑵证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数。

18．（本小题满分12分）

记函数1

3

2)(++-

=

x x x f 的定义域为A,)1)](2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义域为B 。 ⑴求A;

⑵若B A ?,求实数a 的取值范围。

19．（本小题满分12分）

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可售出400瓶；若每瓶售价每降低0．05元，则可多销售40瓶，在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？ 20．（本小题满分14分）

已知方程022

=++ax x ，分别在下列条件下，求实数a 的取值范围。 ⑴方程的两根都小于1-；

⑵方程的两个根都在区间)0,2(-内；

⑶方程的两个根，一个根大于1-，一个根小于1-。

21．（本小题满分14分）

已知函数)1,0)(1(log )(),1(log )(≠>-=+=a a x x g x x f a a 且其中 ⑴求函数)()(x g x f +的定义域；

⑵判断函数)()(x g x f -的奇偶性，并予以证明； ⑶求使)()(x g x f +<0成立的x 的集合。

22．（本小题满分12分）

函数)(x f 对任意R b a ∈,都有,1)()()(-+=+b f a f b a f 并且当0>x 时1)(>x f 。求证：函数)(x f 是R 上的增函数。

函数应用题的几种常见模型

函数应用题主要有以下几种常见模型： 1、一次函数模型

例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？

注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长,即为增函数，一次项系数为负时为减函数。

2、二次函数模型

例2某工厂生产的商品A ，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的商品A 要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品A 征收附加税率为%p 时，每年销售额将减少p 10万

件。据此，试问：

（1）若税务部门对商品A 征收的税金不少于96万元，求p 的范围； （2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时p 的值。

注：在第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。

3、指数函数模型

例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： （1）写出该城市人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系；

（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；

（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？

注：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函

数模型表示。通常可以表示为为为增长率，为基础数，

其中x p N p N y x

()1(+= )时间的形式。

4、分段函数模型

例4通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（)(t f 越大，表明学生注意力越大），经过实验分析得知：

??

?

??≤<+-≤<≤<++-=4020,38072010,24010

0,10024)(2t t t t t t t f ,

（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？

（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

注：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先后或年同时构造、利用几个函数模型，即分段函数模型方可。

5、幂函数模型

例5在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度I 与电线半径r 的三次方成正比。

（1）写出函数解析式；

（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，求电流通过半径为r 毫米的电线时，其电流强度的表达式；

（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计算该电流的强度。

解：（1）3

kr I =（k 为常数）。 （2）由（1）知：3

4320?=k ， 解得：5=k 。

所以，电流通过半径为r 毫米的电线时，其电流强度的表达式为3

5r I =。 （3）由（2）中电流强度的表达式，将5=r 代入得：625553

=?=I 安。

注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题，关键是分清各个量的物理意义及相关关系。

6、对数函数模型

例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数10

log 52

O

v =，单位是s m /，其中O 表示燕子的耗氧量。 （1）计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

练 习

一、选择题.

1．某工厂10年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后，这种产品停止生产 ④第五年后，这种产品的产量保持不变

A ．②③

B ．②④

C ．①③

D ．①④

2．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y =f （x ）的图象大致为

3．用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为

A ．3

B ．4

C ．6

D ．12

4．已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是 A ．y ={0．9576}

100

x B ．y ={0．9576}

100x

C ．y =（100

9576

.0）x D ．y =1－（0．0424）100x

5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米（b

二、填空题.

6．某工厂1992年底某种产品年产量为a ，若该产品的年平均增长率为x ，2000年底该厂这种产品的年产量为y ，那么y 与x 的函数关系式是______________________________． 7．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为r ），若矩形底边长为2x ，此框架围成的面积为y ，则y 与x 的函数解析式是_________________________________． 8．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a ，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b 元，若该船以速度v 千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y 与v 的函数解析式为________．

9．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y =a ·（0．5）x

+b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为____________________．

10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，这个人的稿费为__________元． 三、解答题.

11.一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？

12.某种商品现在定价每年p 元，每月卖出n 件，因而现在每月售货总金额np 元，设定价上涨x 成，卖出数量减少y 成，售货总金额变成现在的z 倍．（1）用x 和y 表示z. （2）若

y =

3

2

x ，求使售货总金额有所增加的x 值的范围．

13.茜种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税P 元，因此每年销售量将减少

20

3

P 万件。 (1) 将政府每年对该商品征收的总税金y 万元表示为P 的函数，并指出这个函数的定

义域。

(2) 要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率P%应怎样确

定？

(3) 在可收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获取最大销售金额，则如何确定

P 值？

14.某工厂有一段旧墙长14m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为

126m 2的厂房，工程条件是：

(1) 建1m 新墙的费用为a 元；(2) 修1m 旧墙的费用为4

a

元；(3) 拆去1m 的旧墙，用可得的建材建1m 的新墙的费用为2

a

元，经讨论有两种方案：

①利用旧墙一段x m （0＜x ＜14）为矩形一边；

②矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？ 试比较①②两种方案哪个更好。

构建模型求解函数应用问题

一．构建二次函数模型求解的应用问题.

例1.某自来水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注水60吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水为120t 6,吨（0≤t ≤24）.

⑴ 问多少小时后蓄水池中的水量最少. ⑵ 若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问每天有几小时出现这种现象.

1.简析：探求变量之间的关系，换元化归为二次函数区间上问题和二次不等式解法求解.⑴ 设t 小时后蓄水池水量为y 吨,则y=400+60t-120t 6(0≤t ≤24). 换元法令x=t 6,则y=400+10x 2

-120x=10(x-6)2

+40,当x=6,即t=6时，y 有最小值40吨.供水6小时，水池中水最少为40吨.

⑵ 由400+10x 2

-120x<80，解得0〈x<4,即0〈t 6<4,解得3

8

紧张.

二．构建对号函数“au+(,b

a b u

∈R 的常数)区间上的单调性”求解的应用问题.

例2(高考)甲乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c (千米/

小时)，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v 的平方成正比，其系数为b ，固定部分为a 元，为了使全程运输成本最低，汽车应以多大速度行驶？

2. 简析：探求变量之间的关系，目标函数易求运输成本：y=s (

bv v

a

+),v ∈(0,c),化为

f(v)= s (

bv v

a

+)在 (0,c)

易证f(v)在? ?上递减， 在?+∞???

上递增（也可用导数法研究）。 讨论c 和b a

的大小，分两类研究.当c ≤b

a 时,f(v)min =f (c),此时v=c ； 当c ≥b

a 时, f(v)min

=f(

b

a

)，此时v=b

a .

例 3. 在某种产品的制造过程中，次品率p 依赖于日产量x ，已知p=1(x>100),p=

x

-1011(0

3. 简析：探求变量之间的关系，建模化归对号函数区间上的单调性解决.设日产量为x ，

次品数为xp ，正品数为x-xp ，则日盈利y=A(x-xp)-3

1

Ap(0

-1011

，于是，y=A

〔101+

)101(3404101(34x x -+--〕.问题化为f(x)=(101-x)+)

101(3404

x -在（0，100）内且x∈N 的最小值.换元令u=101-x,u∈(1,101),且u∈N,而f(x)=u+

u

3404

=g(u)在(1,101),且u∈N，利用不等式取等号条件易猜出分界点u=11.6,定义法易证f(x)=g(u)在?

???

?

?3404,

0上是减

函数，在?

??

????

?+∞,3

404上是增函数（也可用导数法研究）,又u∈N，故只须算g(12),g(11)，即只须算f(89)=33

767

)90(9209=

三． 构建分段函数模型求解的应用问题.

例4.某影院共有1000个座位，票价不分等次.根据该影院的经营经验，当每张票价不超

过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出.为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，符合的基本条件是：⑴ 为方便在零和算帐，票价定为1元的整数倍； ⑵ 影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出.试问在符合条件下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？ 4简析：阅读理解的基础上，构建分段函数的模型求解.当10≤x 时，净收入

057501000>-=x y ，且N x ∈，则106≤≤x 时，57501000-=x y ；当10>x 时，净收入

=y ()[]0575010301000>---x x ，解得6

10000

13065751213013075.52+=?-+<

值为4250元，22=x 时，净收入最大值为8330元.故每张票价定为22元时净收入最多.

例5 在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d 正比例于车速v （千米/小时）的平方和车身长的积（米），且最小车距不得小于半个车身长，假定车身长为均为S （米），且当车速为50（千米/小时），车距恰好为车身长（车流量即为1小时所通过的车辆数）.问交通繁忙时，应规定怎样的车速才能使此地的车流量最大？

5. 简析：理解车距和车流量概念，探求车距和车速的分段函数式，从而构建车流量和车

速的分段函数，研究其最值解决.依题设，d=kv 2

S(k 为系数)，代入待定系数有 k=

225,,,2500

1

2≥∴≥∴≥v S S kv S d 又(千米/小时).则车距d 与车速v 的关系为分段函数 =d ()()

2252500225212≥=

d v

+1000.故车流量为车速的分段函数 y= ()

()

2

25250011000225320002≥???

? ??+

v

时225

时当225;32

500032000>

v

v S

2500250012500000≤

+

.<

S 325000 ∴,2500

S

车速为50千米/小时车流量最大.

四． 构建指数函数模型求解的应用问题.

例6．某工厂今年一月、二月、三月生产某种产品产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月数x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数c b a y x

+?=（其中a 、b 、c 为常数），已知四月份该产品的产量为1.39万件，问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由。

根据所得结果预测5月份的产量。

6分析 先根据前三个月的产量，用待定系数法确定模拟函数，再用四月份产量检验哪个模拟函数更接近实际产量，5月份的产量用较好的那个模拟函数去计算。

解 设二次函数为112

11)(c x b x a x f ++= ，

1)1(1=f ，2.1)2(1=f ，3.1)3(1=f ，得???

??=++=++=++3

.1392.1241111

111111c b a c b a c b a

解之得 05.01-=a ，35.01=b ，7.01=c ，

所以 7.035.005.0)(2

1++-=x x x f . 由 c b a x f x

+?=)(2，1)1(2=f ，

2.1)2(2=f ，

3.1)3(2=f ，得 ??

?

??=+=+=+2.12.11

32c ab c ab c ab

解得 4.1,5.0,8.0===c b a 因此 4.1)5.0(8.0)(2+?=x

x f ， 而 07.037.1)4(1=-f ，02.037.1)4(2=-f

因4.1)5.0(8.0)(,07.002.02+?=

x f 用作为模拟函数较好。 有：425.14.1)5.0(8.0)5(5

2=+?=f （万件） 所以预测 5月产量为 425.1 万件。

五．构建不等式模型求解的应用问题.

例7.为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？

7. 分析：关键在于理解题意而列出关系式，找到a 与b 间的等量关系.函数最小值可应用重要不等式

或利用导数解决.

解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =ab

k

(k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①

要求y 的最小值，只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)

且ab =30–(a +2b )

应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4 ≥124)22)(2(2

=-++b a

∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立

将a =2b 代入①得a =6,b =3.

故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：由2a +4b +2ab =60,得a

a

b +-=

230,

记a

a

a a

b u

+-=

=2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值.

由2

2

)2()2(64++-=

'a a u ，令u ′=0得a =6

且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时

u ′＜0,

∴a

a

a u

+-=

2)30(在a =6时取最大值，此时b =3.

从而当且仅当a =6，b =3时,y =ab

k

取最小值.

函数的奇偶性的典型例题2009.11.28

一、关于函数的奇偶性的定义

定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：

⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；

函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

二、函数的奇偶性的几个性质

①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③、可逆性： )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数；

)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；

④、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f

)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f

⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；

⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函

数、非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断

判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：

①、定义域是否关于原点对称；

②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；

例1：判断下列各函数是否具有奇偶性

⑴、x x x f 2)(3

+= ⑵、2

4

32)(x x x f +=

⑶、1

)(23--=x x x x f ⑷、2

)(x x f = []2,1-∈x

⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=