不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等． (2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值． 函数的值域 例1 (2019·长沙月考)求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (2)y ＝2x ＋1x －3 ； (3)y ＝2x －x －1； (4)y ＝x ＋1＋x －1. 解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)， 再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)． (2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3 ， 显然7x －3 ≠0，∴y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0， ∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2????t －142＋158 ，
2021版高三数学(新高考)一轮复习检测 (5)第2章第二讲函数的定义域、值域
[练案5]第二讲函数的定义域、值域 A组基础巩固 一、单选题 1．(2020·3月份北京市高考适应性测试)函数f(x)＝x2－5x＋6的定义域为( A ) A．{x|x≤2或x≥3} B．{x|x≤－3或x≥－2} C．{x|2≤x≤3} D．{x|－3≤x≤－2} [解析] 使函数y＝x2－5x＋6有意义，应满足x2－5x＋6≥0解得x≥3或x≤2，故选A. 2．f(x)＝x2＋x＋1在[－1,1]上的值域为( C ) A．[1,3] B．[3 4 ，1] C．[3 4 ，3] D．[ 3 4 ，＋∞) [解析] ∵f(x)＝x2＋x＋1的对称轴为x＝－1 2， ∴f(x) min ＝f(－ 1 2 )＝ 3 4 ，又f(－1)＝1，f(1)＝3， ∴f(x)∈[3 4 ，3]． 3．(2020·北京西城区模拟)下列函数中，值域为[0,1]的是( D ) A．y＝x2B．y＝sinx C．y＝ 1 x2＋1 D．y＝1－x2 [解析] y＝x2的值域[0，＋∞)，y＝sinx的值域为[－1,1]，y＝ 1 x2＋1 的值 域(0,1]，故选D. 4．(2020·湖南邵阳期末)设函数f(x)＝log 2(x－1)＋2－x，则函数f( x 2 ) 的定义域为( B ) A．[1,2] B．(2,4]
C ．[1,2) D ．[2,4) [解析] ∵函数f(x)＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴?? ? x －1>0， 2－x ≥0， 解得 10， 解不等式组得?? ? x ≥2a ， x0，∴6x ＋1>1，∴log 6(6x ＋1)>0， ∴f(x)>2，故选D. 7．(2020·陕西西安长安区质量检测大联考)已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5] [解析] ∵f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴当x ＝2时，f(2)＝4， 由f(x)＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，
第2讲 函数定义域与值域
第二讲 函数定义域与值域 【学习目标】 掌握求函数定义域的常用方法，会求一些简单函数的值域与最值。 【基础知识回顾】： 1、函数()y f x =，其中x 叫做 ，x 的的取值集合叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的 。 2、根据函数的解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为 ；②偶次方根的被开方数不得小于 ；③对数函数的真数必须大于 ；④指数函数和对数函数的底数必须 ；⑤三角函数中的正切函数tan y x =的定义域为 ；余切函数cot y x =的定义域是 ； 3、实际问题或几何问题给出的函数的定义域；这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使 和 有意义。 4、已知函数()f x 的定义域是[],a b ， [()]f g x 的定义域是指满足 的x 的取值集合；已知[()]f g x 的定义域是[],a b ，求函数()f x 的定义域，是指在x ∈ 的条件下， 求 ()g x 的值域。 5、如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有 的实数集合。 6、确定函数值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中的 取值集合。 ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影对应的 取值集合。 ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的 及其 唯一确定。 ④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定。 7、求函数值域和最值得常用方法有 、 、 、 、 、 、 、 、 。 8、设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M ，满足：（1）对 的x I ∈，都有 ()f x M ，存在0x I ∈，使得0()f x M =，则称M 是函数()y f x =的最大值 （2）如果存在常数N ，满足对任意的x ∈ ，都有()f x N ≥。存在0x I ∈，使得 。 那么称 是()f x 的最小值。 【基础知识自测】 1、（2010湖北文数） 函数y = 的定义域为 A.( 34 ,1) B(34 ,∞) C （1，+∞） D. ( 34 ,1)∪（1，+∞） 2、函数()34f x x =-的值域为[]10,5-，则它的定义域为 。 3、等腰梯形的周长为60cm ，底角为 3 π ，腰长为xcm,面积为y 2 cm ，则x 的取值集合是
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章 2.1 第2课时 函数的定义域与值域
第2课时 函数的定义域与值域 函数的定义域 求下列函数的定义域： (1)y ＝1 2－|x |＋x 2－1； (2)y ＝3x x －2 ＋lg(3－x )； (3)y ＝ 1 log 0.5(x －2) ＋(2x －5)0. 解 (1)由????? 2－|x |≠0，x 2－1≥0，得? ???? x ≠± 2，x ≤－1或x ≥1. 所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}． (2)要使函数有意义，则???? ? x －2≥0， x －2≠0， 3－x >0，解得20， 2x －5≠0，得????? 2思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数等． (2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值． 函数的值域 例1 求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (2)y ＝2x ＋1x －3； (3)y ＝2x －x －1； (4)y ＝x ＋1＋x －1. 解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)， 再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．
(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7 x －3， 显然7 x －3 ≠0，∴y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t ＝ x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0， ∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2????t －142＋158 ， 由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为????15 8，＋∞. (4)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y ＝ x ＋1＋ x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．
2021版新高考数学一轮复习讲义：第二章第二讲 函数的定义域、值域 (含解析)
第二讲 函数的定义域、值域 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域 1．求定义域的步骤： (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R . (2)分式函数中分母不等于0. (3)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为R . (5)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}. (6)指数函数的定义域为R . (7)对数函数的定义域为(0，＋∞). 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域： 1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . 2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为{y |y ≥4ac －b 2 4a }；当a <0时，值域为 {y |y ≤4ac －b 2 4a }. 3．y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}. 4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞).
5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . 重要结论 1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同． 双基自测 题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论正确的是( CD ) A ．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等 B ．函数y ＝ x x －1 定义域为x >1 C ．函数y ＝f (x )定义域为[－1,2]，则y ＝f (x )＋f (－x )定义域为[－1,1] D ．函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a )的值域为R ，则a 的取值范围为(－∞，1 4] 题组二 走进教材 2．(必修1P 17例1改编)函数f (x )＝2x －1＋1 x －2 的定义域为( C ) A ．[0,2) B ．(2，＋∞) C ．[0,2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞) [解析] 使函数有意义满足⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0 x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，故选C ． 3．(必修1P 32T5改编)函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B ) A ．f (32)，f (－3 2) B ．f (0)，f (32) C ．f (－3 2)，f (0) D ．f (0)，f (3)
(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.1函数及其表示练习新人教B版
2.1 函数及其表示 核心考点·精准研析 考点一函数的定义域 1.函数y=的定义域是( ) A.(-1,3) B.(-1,3] C.(-1,0)∪(0,3) D.(-1,0)∪(0,3] 2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2 020],则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域是 ( ) A.[-1,2 019] B.[-1,1)∪(1,2 019] C.[0,2 020] D.[-1,1)∪(1,2 020] 3.(2020·抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0,6],则函数的定义域为 ( ) A.(0,3) B.[1,3)∪(3,8] C.[1,3) D.[0,3) 4.函数f(x)=lg+(4-x)0的定义域为____________. 【解析】1.选D.由题意得 解得-1函数的定义域为[0,3). 4.由已知得解得x>2且x≠3且x≠4,所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞). 答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞) 题2中,若将“函数y=f(x)的定义域是[0,2 020]”改为“函数y=f(x-1)的定义域是[0,2 020]”,则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域为__________. 【解析】由0≤x≤2 020,得-1≤x-1≤2 019,再由-1≤x+1≤2 019,解得-2≤x≤2 018,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2 018]. 答案:[-2,1)∪(1,2 018] 1.具体函数y=f(x)的定义域 序号f(x)解析式定义域 1 整式R 2 分式分母≠0 3 偶次根式被开方数≥0 4 奇次根式被开方数∈R 5 指数式幂指数∈R 6 对数式真数>0;底数>0且≠1 7 y=x0底数x≠0 2.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域 解题方法:精髓是“换元法”,即将括号内看作整体,关键是看求x,还是求整体的取值范围. (1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域:可由g(x)∈A,求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域. (2)已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域.
2021-2022年高考数学一轮复习 专题一 函数的定义域与解析式
2021年高考数学一轮复习 专题一 函数的定义域与解析式 【典型例题】 例1.求下列函数的定义域： （1）y ＝ （2） （3） （4）x x x f 2 12log )13(log )(+-= 变式训练:求下列函数的定义域： （1） （2） （3） （4）)52(log )1(log )(2 12-+-=x x x f 例2. 已知函数的定义域为（1，3），求函数)2()1()(x f x f x F -++=的定义域. 变式训练：求下列函数的定义域：
（1） 已知函数的定义域为(1,3),求函数的定义域. （2） 已知函数的定义域为(3,4),则函数的定义域. （3） 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域. 例3．求下列函数的解析式： (1) 设f (x ) 是二次函数且162)1()(2-+=++x x x f x f ，求 f (x )的解析式. (2)已知，求f (x )的解析式. 变式训练：求下列函数的解析式： (1) 已知, 且f (x ) 是一次式, 求f (x ).
(2)已知求f(x). 例4．设f(x)=2x 3 g(x)=x2+2 则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数. 求函数g[f(x)] 及f[g(x)]的解析式. 变式训练：求下列函数的解析式： 已知： f(x)=x2x+3 求：f() 及f(x+1) 的解析式. 能力提升： (1)设函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式. (2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足，并且对任意的实数、，都有 x y x -y f x y f成立，求函数f(x)的解析式. ) ) 2( )1 ( (+ - - =
高考数学复习：函数的定义域知识点
定义域指该函数的有效范围，其关于原点对称是指它有效值关于原点对称。 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 值域 名称定义 函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合 常用的求值域的方法 (1)化归法;(2)图象法(数形结合)， (3)函数单调性法， (4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等 关于函数值域误区 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在
强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。 “范围”与“值域”相同吗? “范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。
2021年高考数学大一轮复习 第二章 第5课 函数的定义域与值域要点导学
已知解析式求定义域 函数f(x)=+(3-2x)0的定义域是. [思维引导]求函数的定义域要考虑被开方数、分式的分母和对数的真数部分等. [答案]∪∪ [解析]依题意得解得3} [解析]要使函数有意义,则有x-3>0,所以x>3,则定义域为{x|x>3}. M=. 2. 设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁ R [答案](1,+∞) 3. (xx·张家港模拟)函数y=的定义域为. [答案][-1,0)∪(0,+∞) [解析]由题意得解得-1≤x<0或x>0,所以定义域为[-1,0)∪(0,+∞).
4. 已知y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域为,值域为. (第4题) [答案](-∞,-1]∪(1,+∞) (-∞,-1]∪(1,3) [解析]由图象易知f(x)的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞),值域为(-∞,-1]∪(1,3). 5. 函数f(x)=的定义域是. [答案](-2,2] [解析]由题意得解得-2[解答](1) (配方法)因为y=3x2-x+2=3+, 所以函数y=3x2-x+2在[1,3]上单调递增. 所以当x=1时,函数取得最小值4; 当x=3时,函数取得最大值26. 所以函数y=3x2-x+2,x∈[1,3]的值域为[4,26]. (2) (分离变量法)y===3+, 因为≠0,所以3+≠3. 所以函数y=的值域为{y|y∈R且y≠3}. (3) (换元法)设t=≥0,则x=1-t2. 原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0),所以y≤5, 所以原函数的值域为(-∞,5]. [精要点评]配方法、分离变量法和换元法是求解常见函数值域的有效方法,但要注意各种方法所适用的函数形式,还要注意函数定义域的限制. 结合函数的定义域求参数的值或范围 如果函数y=的定义域为R,求实数m的取值范围. [解答]由题意得mx2-6mx+m+8≥0对于任意的x∈R恒成立. 当m=0时,不等式变为8>0,所以m=0满足题意.
2021年高考数学 2.2 函数的定义域、值域课时提升作业 文(含解析)
2021年高考数学 2.2 函数的定义域、值域课时提升作业文（含解析） 一、选择题 1.函数f(x)=+的定义域为( ) (A){2} (B){-} (C){(-,)} (D){-,} 2.(xx·防城港模拟)函数f(x)=的定义域为( ) (A)(-∞,-2]∪[1,+∞) (B)(-∞,-2)∪[1,+∞) (C)(-∞,-2)∪(1,+∞) (D)(-∞,-2]∪(1,+∞) (x+2),x∈(-1,6]的反函数的定义域为( ) 3.(xx·玉林模拟)函数y=log 2 (A)(1,4] (B)(0,4] (C)(0,3] (D)(1,3] 4.函数y=的定义域是( ) (A)(-1,3) (B)(-∞,-1)∪(3,+∞) (C)(-3,1) (D)(-∞,-3)∪(1,+∞) 5.已知f(x)的定义域为[-2,4],则f(3x-2)的定义域为( ) (A)[-,] (B)[-8,10] (C)[0,2] (D)[-2,4] 6.函数y=的定义域是R,则k的取值范围是( ) (A)k≤0或k≥1 (B)k≥1
(C)0≤k≤1 (D)00),则函数f(x)的值域为[0,+∞) 2 的充要条件是正实数a等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 11.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=则f(x)的值域是( ) (A)[-,0]∪(1,+∞) (B)[0,+∞) (C)[-,+∞) (D)[-,0]∪(2,+∞) 二、填空题 12.(xx·广东高考)函数y=的定义域为.
2021届高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第1节函数及其表示跟踪检测文含解析
第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ) 第一节 函数及其表示 A 级·基础过关|固根基| 1.函数f(x)＝2x －1－1x －2的定义域为( ) A ．[0，2) B ．(2，＋∞) C ．[0，2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪ ⎧x ≥0，x≠2， 所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞)． 2．如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( ) 解析：选D 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意． 3．(2019届长沙模拟)已知f(x)＝⎩ ⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，f （x ＋1），x≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2 D ．－4 解析：选B 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫23＝2×23＝43， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－43＝4. 4．已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋8－2x 的定义域为( ) A ．[0，1] B ．[0，2] C ．[1，2] D ．[1，3] 解析：选A 由题意，得⎩ ⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2， 8－2x ≥0，解得0≤x≤1.故选A.
5．已知f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12x －1＝2x －5，且f(a)＝6，则a 等于( ) A ．－7 4 B.74 C.43 D ．－43 解析：选B 令t ＝1 2x －1，则x ＝2t ＋2， 所以f(t)＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f(a)＝4a －1＝6，即a ＝7 4 . 6．已知函数f(x)＝⎩ ⎪⎨⎪ ⎧2－2x ，x≤－1，2x ＋2，x>－1，则满足f(a)≥2的实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B ．(－1，0) C ．(－2，0) D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析：选D 因为函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x≤－1，2x ＋2，x>－1，且f(a)≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，2－2a ≥2或⎩ ⎪⎨⎪⎧a>－1， 2a ＋2≥2，解得a≤－ 1或a≥0.故选D. 7．设x∈R，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( ) A ．|x|＝x|sgn x| B ．|x|＝xsgn|x| C ．|x|＝|x|sgn x D ．|x|＝xsgn x 解析：选D 当x ＞0时，|x|＝x ，sgn x ＝1，则|x|＝xsgn x ； 当x ＜0时，|x|＝－x ，sgn x ＝－1，则|x|＝xsgn x ； 当x ＝0时，|x|＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x|＝xsgn x. 8．(2019届海淀期末)下列四个函数：①y＝3－x ；②y＝2x －1 (x>0)；③y＝x 2 ＋2x －10；④y＝ ⎩⎪⎨⎪ ⎧x （x≤0），1 x （x>0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选 B ①y＝3－x 的定义域与值域均为R ，②y＝2x －1 (x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x≤0），1x （x>0）的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.
2021年高考数学一轮复习 2.2 函数值域的求法教案 新课标
2019-2020年高考数学一轮复习 2.2 函数值域的求法教案 新课标 一、知识梳理： 1、基本初等函数的值域： （1）一次函数的值域：R （2）反比例函数的值域： （3）二次函数的值域： 时，；时，； 二次函数在给定区间上的值域： 由图象考虑取：()()()()min ,,,max ,,22b b f m f n f f m f n f a a ⎡ ⎤⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫--⎨⎬⎨⎬⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎣⎦ （4）指数函数的值域： （5）对数函数的值域：R （6）幂函数的值域：时，值域为或，时，值域为，时，值域为或 （7）三角函数sin ,cos ;tan y x y x y x ===的值域分别为： 2、求函数值域的方法： （1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围； （2）二次函数法：形如()()()F x af x bf x c =++的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域； （3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。 （4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域； （5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围； （6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域； （7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域； （8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域； （9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域； （10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。 二、典例讨论： 题型一。初等函数的复合函数： 例1、求下列函数的值域： （1）[]42,4y = （2） （3）() (]2,56log 22∞-∈---=x x y
2021届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练5函数的值域与解析式文20210
2021届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练5函数的值域与解析式文 202107243106 [基础巩固] 一、选择题 1．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 2x ，x ≤0， f x －3，x >0，则f (5)＝( ) A ．32 B ．16 C.12 D.1 32 [解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1 ＝12，故选C. [答案] C 2．(2020·烟台模拟)函数y ＝ 2 x －1 的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦ ⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) [解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴ 2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦ ⎥⎤12，2. [答案] A 3．(2021·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x [解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2 x ，因此f (cos x )＝2＋2cos 2 x ＝3＋cos2x . [答案] C 4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝ 1 5－x ＋1 B ．y ＝ ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12x －1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫131－x D ．y ＝1－2x
[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，因此函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，依照指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C. [答案] C 5．已知f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1＋x x ＝x 2 ＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2 －x ＋1 D ．x 2 ＋x ＋1 [解析] f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1＋x x ＝x 2 ＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1. [答案] C 6．(2020·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2 ＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范畴是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D ．(－∞，0)∪[3，＋∞) [解析] 令f (x )＝ax 2 ＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2 ＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2 ＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2 ＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2 －12a ≥0，即a 2 －3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B. [答案] B 二、填空题 7．函数y ＝1－x 2x ＋5 的值域为________． [解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－122x ＋5＋722x ＋5＝－1 2＋722x ＋5. ∵7 22x ＋5≠0，∴y ≠－12 ， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩ ⎨⎧⎭⎬⎫ y |y ≠－12 8．已知f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x －1x ＝x 2＋1 x 2，则f (3)＝________. [解析] ∵f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32 ＋2＝11.
2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：函数的值域(三)(含解析)
《函数的值域》（三） 主要考查内容：主要涉及根据函数值域求参数（或取值范围） 一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{0,3}- B ．[3,0]- C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞ D ．{0,3} 2．若函数242y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[] 6,2--，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,4] B ．[] 2,4 C ．(0,2] D ．()2,4 3．若()y f x =的定义域为R ，值域为[1,2]，则(1)1y f x =-+的值域为（ ） A ．[2,3] B ．[0,1] C ．[1,2] D ．[1,1]- 4．若函数()() ()2 2 25311f x a a x a x =++++-的定义域､值域都为R ,则实数a 满 足( ) A ．1a =-或32a =- B ．13 19 a - <<- C ．1a ≠-且32 a ≠- D ．32 a =- 5 ．已知函数()f x =的值域为[0,)+∞，则m 的取值范围是（ ） A ．[]0,4 B ．(]0,4 C ．(0,4) D ．[4,)+∞ 6．函数()() 2 3log 21f x mx x =-+的值域为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．[0,1] C ．[1,)+∞ D ．(,1)-∞ 7．函数()()() 22ln 111a x x f x a x x ⎧+>⎪=⎨+-≤⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,+∞ B ．[)1,+∞ C ．(],0-∞ D ．(] ,1-∞ 8．已知函数()22,05 11,04x x x x f x a x ⎧-+≤≤⎪ =⎨⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎝⎭ ⎩的值域为[]15,1-，则实数a 的取值范围是
专题04 函数的概念域值域的求法备战2021年高考数学之高三温习大一轮热点聚焦与扩展（解析版）
专题04 函数的概念域、值域的求法 【热点聚焦与扩展】 函数的概念域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，而且值域问题通常会渗透在各类题目当中，成为解题进程的一部份.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的大体方式，当需要求函数的取值范围时即可抓住解析式的特点，寻觅对应的方式从容解决. （一）函数的概念域 1.求函数概念域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1. 2.①若()y f x =的概念域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()() y f g x =的定义域； ②若()() y f g x =的概念域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域． 3.对于分段函数知道自变量求函数值或知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解. 4.与概念域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的概念域是使解析式成心义的自变量的取值范围； 第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式成心义外，还应考虑使实际问题或几何问题成心义； 第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的概念域肯定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域． 第四类是已知函数的概念域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域 1.利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 别离是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值. 2.利用配方式:形如2 (0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.
高三文科数学一轮复习第二节函数的值域与解析式
第二节 函数的值域与解析式 1．函数的值域 在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． 求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，常见的有： (1)形如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)的函数，可用分离常数法，将函数化为y ＝a c ＋m cx ＋d (其中m 为常数)形式． (2)形如y ＝a x ＋b a x ＋c 或y ＝sin x －1sin x ＋2 的函数可用反解法． (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)及二次型函数y ＝a [f (x )]2＋b [f (x )]＋c (a ≠0)可用配方法及换元法． (4)形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数，ac ≠0)的函数，可用换元法． 设cx ＋d ＝t (t ≥0)，转化为二次函数求值域． (5)形如y ＝x ＋k x (k >0，x >0)的函数可用均值不等式法或函数单调 性求解，注意使用均值不等式时要满足条件“一正二定三相等”． (6)对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y ＝|x －1|＋|x ＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法． [温馨提示] (1)熟记基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . ②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .
③y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}． ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R . (2)利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件． 2．函数解析式的求法 (1)换元法：若已知f []g (x )的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x ＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t ”的范围． (2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数． (3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )． (4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式． [小题速练] 1．(2018·河南平顶山模拟)已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则 ( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)
