菱形的判定及性质

B

C

A

D

O

菱形的判定和性质

一、知识点归纳 （一）菱形的概念

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （二）菱形的性质：

因为ABCD 是菱形???

?

??.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；

（有通性；）具有平行四边形的所（ 菱形是轴对称图形；

（三）菱形的判定：

??

?

?

?

??

+分）对角线垂直且相互平（边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（4321?四边形ABCD 是菱形.

（四）菱形的面积

1、可以用平行四边形的面积算（S=

2

1

底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=

2

1

ab)

C

D

二、例题讲解 考点一 ：菱形的判定

例1：下列命题正确的是（ ）

（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习

1：菱形的对角线具有( )

A ．互相平分且不垂直

B ．互相平分且相等

C ．互相平分且垂直

D ．互相平分、垂直且相等 2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ， 则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形

B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形

C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形

D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形

3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A ．DE 是△ABC 的中位线 B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高 D ．AA '是△ABC 的角平分线

A

B

D

E

A '

4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ）

①AC BD ⊥ ②90BAD ∠=

③AB BC = ④AC BD =

A ．①③

B ．②③

C ．③④

D ．①②③

A

B

C

D

D

B

C

A N

M O

例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？

请说明理由．

变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，

则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由． 课后练习

1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，

试说明四边形AEFG 是菱形．

2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

3：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ，求证：四边形ACEF 是菱形。

A

H G

F

E

D

C

B

A F

E D

B

考点二：菱形的性质

例1：如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ＝CB ，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，且∠DEA ＝∠ACB ＝45°，

BG ⊥AE 于G ，

求证：（1）四边形AFGD 是菱形； （2）若AC ＝BC ＝10，求菱形的面积。 练习

1：如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4， 求：（1）∠ABC 的度数； （2）菱形ABCD 的面积。

例2 ：如图 5，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°

，． （1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．

O D

C

A

E

D C

B

A

G

F

E

D C

B

A

练习

1：若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 ( ) A

2

B

2 C ．22cm D

．2 2：若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）

（A ） 4 3 cm （B ）8 3 cm （C ）16 3 cm （D ）20 3 cm

3：已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( )

A ．21㎝

B ．22㎝

C ．23㎝

D ．24㎝ 例3： 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，

沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( ) A ．2

10cm

B ．2

20cm

C ．2

40cm

D ．2

80cm

A B

D

练习1：菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm ，则菱形的周长是（ ） A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm

练习2：若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BC 的长是（ ） （A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm 练习3:若菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为( )

A ．240 cm 2

B ．120 cm 2

C ．60 cm 2

D ．30 cm

2

例4:如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数。

F D C

B A E

B

A

D

O

B

C

A

D

O

课后练习

1:如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是B C ．CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ， 则△AEF 的周长为（ ）

1. 32 B ． 33 C ． 34 D ． 3

A

D F C

E

B

2：如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是_____________．

3：如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°， 求∠CEF 的度数。

例5：如图，菱形ABCD 是边长为13cm ，其中对角线AC=10cm ， 求（1）菱形ABCD 的面积； （2）作BC 边上的高AH ，求出AH 的长度

练习、

1：如图，在菱形ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2，周长是48cm ． 求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积．

例6： 已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF 。过点C 作CG ∥EA 交AF 于H ，交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

练习

1： 如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=2

1

∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM 。

2：如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE ＋CF ＝2． (1) 求证：△BDE ≌△BCF ；

(2) 判断△BEF 的形状，并说明理由； (3) 设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．

考点三：综合

例1：如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠= ；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠= ；作32

2

A D BC ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形333A

B

C

D ，使360B ∠= ；

H

G

F E

D

C B

A

依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ．

例2：菱形ABCD 的对角线交于O ，AO=1，且∠ABC ∶∠BAD=1∶2，∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ） A ．①②③④⑤ B ．①②④⑤ C ．②③④⑤ D ．①②③

例3：如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形；

（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？

1

D B 3

A C 2

B 2

C 3

D 3 B 1

D 2

C 1 A

D

F

C

E

G

B

A

B

D

O