最新版教材高中数学必修二知识讲解_直线的点斜式与两点式_提高

直线的点斜式与两点式方程

【学习目标】

(1)掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式； (2)能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。 【要点梳理】

要点一：直线的点斜式方程

方程)(00x x k y y -=-由直线上一定点及其斜率决定，我们把)(00x x k y y -=-叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.

要点诠释：

1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线；

2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为1y y =；

3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:1x x =.

4.0

y y k x x -=

-表示直线去掉一个点),(000y x P ；)(00x x k y y -=-表示一条直线.

要点二：直线的斜截式方程

如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，根据直线的点斜式方程可得)0(-=-x k b y ，即

b kx y +=.我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距，方程b kx y +=由

直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程b kx y +=叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.

要点诠释：

1.b 为直线l 在y 轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；

2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；

3.当0≠k 时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.

4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线.

5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程b kx y +=中，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距. 要点三：直线的两点式方程 经过两点

)

,(),,(222111y x P y x P (其中

2

121,y y x x ≠≠)的直线方程为

11

12122121

(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.

要点诠释：

1.这个方程由直线上两点确定；

2.当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程.

3.直线方程的表示与),(),,(222111y x P y x P 选择的顺序无关.

4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式

11

12122121

(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--通过交叉相乘转

化为整式形式121211()()()()y y x x y y x x --=--，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．

要点四：直线的截距式方程

若直线l 与x 轴的交点为A(a ，0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中0,0≠≠b a ，则过AB 两点的直线方程为

1=+b

y

a x ，这个方程称为直线的截距式方程.a 叫做直线在x 轴上的截距，

b 叫做直线在y 轴上的截距.

要点诠释：

1.截距式的条件是0,0≠≠b a ，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.

2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y 轴上的截距；令y= 0得直线在x 轴上的截距. 要点五：中点坐标公式

若两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，且线段12P P 的中点坐标为(x ，y)，则x=122x x +，y=12

2

y y +，则此公式为线段12P P 的中点坐标公式．

要点六：直线方程几种表达方式的选取

在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．

【典型例题】

类型一：点斜式直线方程

例1．已知直线l 过点（1，0），且与直线1)y x =-的夹角为30°，求直线l 的方程。

【答案】x=1或(1)3

y x =

-

【解析】 ∵直线1)y x =-60，且过点（1，0）。

又直线l 与直线1)y x =-的夹角为30°，且过点（1，0），由下图可知，直线l 的倾斜角为30°或90°。

故直线l 的方程为x=1或(1)3

y x =

-。

【总结升华】（1）由于直线l 过点（1，0），因此求直线l 的方程的关键在于求出它的斜率，由此可知，何时选择点斜式来求直线方程的依据是题目是否给出了（或者能够求出）直线上的一点的坐标和其斜率。

（2）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k 是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标。

（3）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程y ―y 0=k(x ―x 0)可知该直线过定点P （x 0，y 0）且斜率为k 。

举一反三： 【变式1】（1）直线y=x+1绕着其上一点P （3，4）逆时针旋转90°后得直线l ，求直线l 的点斜式方程；

（2）直线l 过点P （2，－3），且与过点M （－1，2），N （5，2）的直线垂直，求直线l 的方程． 【答案】（1）x+y －7=0（2）x=2 【解析】（1）直线y=x+1的斜率k=1，所以倾斜角为45°．由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＇=tan135°=－1．

又点P （3，4）在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4=－(x －3)，即x+y －7=0． （2）直线MN 的斜率22

05(1)

k -=

=--，所以该直线平行于x 轴．

又直线l 垂直于直线MN ，因此直线l 的倾斜角为90°，又直线l 过点P （2，－3），所以直线l 的方程为x －2=0，即x=2．

【总结升华】用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程．

【变式2】 直线1l 过点P （－l ，2），斜率为3

-1l 绕点P 按顺时针方向旋转30°得直线2l ，求直线1l 和2l 的方程．

【答案】21)3

y x -=-

+ 2(1)

y x -=+ 【解析】 1l 的方程可以由点斜式直接写出，2l 经过点P ，因此，关键是求出k 2，利用数形结合的方

法，找出2l 的倾斜角是关键

直线1l 的方程是21)3

y x -=-

+．

∵11tan 3

k α=-

，∴1150α=?． 如图，1l 绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线2l 的倾斜角为215030120α=?-?=?，∴

2tan120k =?=2l 的方程为21)y x -=+． 【总结升华】 本例中，通过画图分析，得到两条直线的倾斜角之间的关系，再利用1l 的斜率已知，

从而求出它的倾斜角，进而求出2l 的倾斜角、斜率．因此我们要善于利用数形结合的方法来分析条件之间的关系，从而找到解题的切入点．

类型二：斜截式直线方程 例2．（1）写出斜率为－1，在y 轴上截距为－2的直线方程的斜截式； （2）求过点A （6，－4），斜率为4

3

-

的直线方程的斜截式； （3）已知直线方程为2x+y －1=0，求直线的斜率、在y 轴上的截距以及与y 轴交点的坐标． 【答案】（1）y=－x －2（2）4

43

y x =-

+（3）k=－2，b=1，

（0，1） 【解析】 （1）易知k=－1，b=－2， 由直线方程的斜截式知， 所求直线方程为y=－x －2．

（2）由于直线的斜率4

3

k =-

，且过点A （6，－4）， 根据直线方程的点斜式得直线方程为4

4(6)3

y x +=--，

化为斜截式为4

43

y x =-+．

（3）直线方程2x+y －1=0，可化为y=－2x+1， 由直线方程的斜截式知，

直线的斜率k=－2，在y 轴上的截距b=1， 直线与y 轴交点的坐标为（0，1）。

【总结升华】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率k 和直线在y 轴上的截距b 。

（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数k 、b 即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数k 、x 0、y 0才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用。如仅知道直线的斜率为k=2，则我们可设直线方程为y=2x+b ，再根据其他条件来求b 的值。这种以“退”为进的思想方法是我们数学中常用的思想方法。类似地，若知道直线在y 轴上的截距为2，则可设直线方程为y=kx+2（直线斜率存在的情况下）。

（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用。 举一反三：

【变式1】(1)写出倾斜角是150，在y 轴上的截距是-2直线的斜截式方程；

（2）写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，当m 为何值时，直线过点（1，1）？

【答案】（1）23

y x =-

-（2）y=2x+m m=―1

【解析】 （1）

tan150233

k y x ==-

∴=-- （2）由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m 。

∵直线过点（1，1），将x=1，y=1代入方程y=2x+m 得1=2×1+m ，∴m=―1即为所求。

类型三：两点式直线方程

例3．已知△ABC 三个顶点坐标A （2，－1），B （2，2），C （4，1），求三角形三条边所在的直线方程．

【答案】x=2，x ―y ―3=0，x+2y ―6=0 【解析】 ∵A （2，－1），B （2，2），A 、B 两点横坐标相同，直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x=2。

∵A （2，－1），C （4，1），由直线方程的两点式可得AC 的方程为14

1124

y x --=

---，即x ―y ―3=0。 同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为

22

1242

y x --=

--，即x+2y －6=0。 ∴三边AB ，AC ，BC 所在的直线方程分别为 x=2，x ―y ―3=0，x+2y ―6=0。

【总结升华】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程。在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程。

举一反三：

【变式1】 （1）求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程； （2）直线l 过（－1，－1）、（2，5）两点，点（1002，b ）在l 上，则b 的值为________． 【答案】（1）

(3)(2)

6(3)5(2)

y x ----=------ （2）2005

【解析】（1）由两点式的直线方程得：

(3)(2)

6(3)5(2)

y x ----=------

（2）直线l 的方程为

(1)(1)

5(1)2(1)

y x ----=----，

即

11

63

y x ++=

， 即y=2x+1．

令x=1002，得y=2005， ∴b=2005．

【总结升华】先求出l 的方程，然后代入点（1002，b ）的坐标求出b ．

类型四：截距式直线方程 例4．（2016春 随州期末）设直线l 的方程为（a +1）x +y +2―a =0（a ∈R ）． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】（1）先求出直线l 在两坐标轴上的截距，再利用l 在两坐标轴上的截距相等建立方程，解方程求出a 的值，从而得到所求的直线l 方程．

（2）把直线l 的方程可化为y =―（a +1）x +a ―2，由题意得(1)0

20a a -+≥??-≤?

，解不等式组求得a 的范围．

【答案】（1）3x +y =0或x +y +2=0；（2）（－∞，－1]．

【解析】（1）令x =0，得y =a ―2．令y =0，得2

(1)1

a x a a -=≠-+． ∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴2

21

a a a --=

+，解之，得a =2或a =0． ∴所求的直线l 方程为3x +y =0或x +y +2=0．

（2）直线l 的方程可化为y =―（a +1）x +a ―2，∵l 不过第二象限，

∴(1)020a a -+≥??-≤?

，∴a ≤－1，∴a 的取值范围为（－∞，－1]．

【总结升华】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位

置的几何要素．

举一反三：

【变式1】已知直线l 经过点A （―5，2），且直线l 在x 轴的截距等于在y 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．

【思路点拨】当直线过原点时，易得直线方程，当直线不过原点时，设直线的方程为12x y

a a

+=，待定系数可得．

【答案】2x +5y =0或x +2y +1=0

【解析】当直线过原点时，直线方程为2

5

y x =-，即2x +5y =0； 当直线不过原点时，设直线的方程为12x y

a a

+=， 把点A （―5，2）代入可得

5212a a -+=，解得12

a =-， ∴所求直线的方程为―x ―2y =1，即x +2y +1=0，

∴直线l 的方程为：2x +5y =0或x +2y +1=0

【变式2】求过点（4，―3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程。 【答案】x+y=1 x ―y=7 3x+4y=0

【解析】 解法一：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 。 （1）当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为1x y

a b

+=。 ∵点（4，－3）在直线上， ∴

431a b

-+=。 若a=b ，则a=b=1，直线方程为x+y=1。

若a=―b ，则a=7，b=―7，此时直线方程为x ―y=7。 （2）当a=b=0时，直线过原点，且过点（4，―3）， ∴直线的方程为3x+4y=0。

综上知，所求直线方程为x+y ―1=0或x ―y ―7=0或3x+4y=0。 解法二：设直线l 的方程为y+3=k(x ―4)， 令x=0，得y=―4k ―3； 令y=0，得43

k x k

+=

。 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等。

∴43

|43|k k k

+--=

， 解得k=1或k=－1或34

k =-

。 ∴所求的直线方程为x ―y ―7=0或x+y ―1=0或3x+4y=0。 【总结升华】（1）一般来说直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则有三种情况：截距相等，斜率为－1；截距互为相反数，斜率等于1；直线过原点。

（2）灵活地运用直线方程的不同形式，可获得较简捷的解题途径，本题的两种方法各有优劣，请在学习中体会。

类型五：中点坐标公式

例5．△ABC 的三个顶点分别为A （0，4）、B （―2，6）、C （―8，0） （1）求边AC 和AB 所在直线的方程

（2）求边AC 上的中线BD 所在的直线的方程． 【思路点拨】（1）由于A 、C 两点分别在y 轴和x 轴，由直线方程的截距式列式，化简可得AC 所在直线的方程；再由A 、B 的坐标，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AB 所在直线的方程；

（2）利用线段中点坐标公式，算出AC 的中点D 坐标为（―4，2），利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AC 上的中线BD 所在直线的方程．

【答案】（1）边AC 所在直线的方程为x ―2y +8=0，边AB 所在直线的方程为x +y ―4=0；（2）2x ―y +10=0 【解析】（1）∵A （0，4），C （－8，0），

∴直线AC 的截距式方程得：184

x y

+=-，化简得x －2y +8=0 ∵B （－2，6），A （0，4）

∴由直线的两点式方程，得AB 方程为

40

6420

y x --=

---，即x +y ―4=0 综上所述，边AC 所在直线的方程为x ―2y +8=0，边AB 所在直线的方程为x +y ―4=0 （2）设点D （x ，y ），由线段的中点坐标公式， 可得0842x -=

=-，40

22

y +== ∴AC 的中点D 坐标为（―4，2）

再由直线的两点式方程，得BD 所在直线的方程为

62

2642

y x -+=

--+， 化简得2x ―y +10=0，即为所求边AC 上的中线BD 所在的直线的方程．

【总结升华】本题给出三角形的三个顶点，求它的边AB 、AC 所在直线方程并求中线所在直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式的知识．

举一反三：

【变式1】已知三角形的顶点是A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），求AC 边上中线所在直线的方程．

【答案】8x+11y+9=0

【解析】线段AC 的中点坐标为5,12??

-

???

，所以AC 边上中线所在直线的方程为：3351332

y x +-=

+--，整理得：8x+11y+9=0

类型六：直线方程的综合应用

高清：直线方程的点斜式与两点式 381492例1

例6．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），分别求BC 边上的高和中线所在的直线方程．

【答案】3x －5y+15=0 x+13y+5=0

【解析】 BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC 的中点坐标，由两点式得BC 边上的中线所在的直线方程． 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，

∴1BC AD k k ?=-，∴23103AD k +?=--，解得3

5

AD k =， ∴BC 边上的高所在的直线方程是3

0(5)5

y x -=+，即3x －5y+15=0．

设BC 的中点是M ，则31,22M ??-

???

， ∴BC 边上的中线所在直线方程是

05

130522

y x -+=

--+，即x+13y+5=0． ∴BC 边上的高所在的直线方程是3x －5y+15=0，BC 边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．

【总结升华】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC 边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC 边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．

举一反三：

【高清：直线方程的点斜式与两点式 381492例2】

【变式1】下列四个命题中真命题是( )

（A ）经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0＝k(x-x 0)表示；

（B ）经过任意两个不同点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)＝(x-x 1)(y 2-y 1)表示； （C ）不经过原点的直线都可以用方程

a x +b

y

＝1表示； （D ）经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示. 【答案】（B ）

【变式2】 已知倾斜角为45°的直线l 过点A （1，－2）和点B ，B

在第一象限，||AB =，求点B 的坐标．

【答案】（4，1）

【解析】设B 点坐标为(),(0,0)x y x y >>，直线l 的方程为：21y x +=-，因为B 在直线l 上，且

||AB =，

所以3

y x =-?=解之得：4x =或2x =-（舍去），所以B 点坐标为（4，

1）。