第二章 基本初等函数
第二章 基本初等函数（1）
[基础训练A 组] 一、选择题
1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）
A ．2
x y = B ．x
x y 2
=
C ．)10(log ≠>=a a a
y x
a 且 D ．x a a y log =
2．下列函数中是奇函数的有几个（ ）
①11x x a y a +=- ②2l g (1)33x y x -=+- ③x y x = ④1l o g 1a
x
y x
+=- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．函数y x =3与y x
=--3的图象关于下列那种图形对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y x = D ．原点中心对称
4．已知1
3x x -+=，则332
2
x x -
+值为（ ）
A .
B .
C .
D . -
5．函数y =
）
A ．[1,)+∞
B ．2(,)3+∞
C ．2[,1]3
D ．2(,1]3
6．三个数60.70.70.76log 6，
，的大小关系为（ ） A . 6
0.70.70.7log 66<<
B . 60.7
0.70.76
log 6<<
C ．0.7
60.7log 66
0.7<< D . 60.70.7log 60.76<<
7．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3x
e D ．34x
e +
二、填空题
1．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
2．化简11
410
104848++的值等于__________。
3．计算：(log )log log 22
22
54541
5
-++= 。
4．已知x y x y 224250+--+=，则log ()x x
y 的值是_____________。
5．方程33131=++-x
x
的解是_____________。
6．函数121
8
x y -=的定义域是______；值域是______.
7．判断函数2
lg(y x x =的奇偶性 。
三、解答题
1．已知),0(56>-=a a x
求x
x x
x a
a a a ----33的值。
2．计算100011
3
43460022
++
-++-lg .lg lg lg lg .的值。
3．已知函数2
11()log 1x
f x x x
+=
--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。
4．（1）求函数
21()log x f x -=的定义域。
（2）求函数)5,0[,)3
1(42∈=-x y x
x 的值域。
数学1（必修）第二章 基本初等函数（1） [综合训练B 组] 一、选择题
1．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值
是最小值的3倍，则a 的值为( ) A ．
42 B ．22 C ．41 D ．2
1 2．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(1,0)-
和(0,1)，则( )
A ．2,2a b ==
B ．2a b ==
C ．2,1a b ==
D ．a b =
=3．已知x x f 26
log )(=，那么)8(f 等于（ ）
A ．
34 B ．8 C ．18 D ．2
1 4．函数lg y x =( )
A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增
B ． 是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减
C ． 是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 5．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg
)(a f b a f x
x
x f 则若（ ） A ．b B ．b - C ．b 1 D ．1
b
-
6．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ） A ．递增且无最大值 B ．递减且无最小值
C ．递增且有最大值
D ．递减且有最小值
二、填空题
1．若a x f x
x lg 2
2)(-+=是奇函数，则实数a =_________。
2．函数()
2
12
()log 25f x x x =-+的值域是__________.
3．已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。
4．设(){}1,,lg A y xy =, {}
0,,B x y =,且A B =，则x = ；y = 。 5．计算：
(
)
(
)
5
log 22
32
3-+ 。
6．函数x x e 1
e 1
y -=+的值域是__________.
三、解答题
1．比较下列各组数值的大小： （1）3
.37.1和1
.28
.0；（2）7
.03
.3和8
.04
.3；（3）
25log ,27log ,2
3
98
2．解方程：（1）192327x
x ---?= （2）649x x x +=
3．已知,3234+?-=x
x y 当其值域为[1,7]时，求x 的取值范围。
4．已知函数()log ()x
a f x a a =-(1)a >，求()f x 的定义域和值域；
数学1（必修）第二章 基本初等函数（1）
[提高训练C 组] 一、选择题
1．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x
上的最大值和最小值之和为a ，
则a 的值为（ ）
A ．
41 B ．2
1
C ．2
D ．4 2．已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )
A . （0，1）
B . （1，2）
C . （0，2）
D . ∞[2，+） 3．对于10< 1(l o g )1(l o g a a a a +>+ ③a a a a 1 11+ +< ④a a a a 111+ +> 其中成立的是（ ） A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④ 4．设函数1()()lg 1f x f x x =+，则(10)f 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．10 D ． 10 1 5．定义在R 上的任意函数()f x 都可以表示成一个奇函数()g x 与一个 偶函数()h x 之和，如果()lg(101),x f x x R =+∈，那么( ) A ．()g x x =，()lg(10101)x x h x -=++ B ．lg(101)()2 x x g x ++=，x lg(101)()2x h x +-= C ．()2x g x =，()lg(101)2 x x h x =+- D ．()2x g x =-， lg(101)()2x x h x ++= 6．若ln 2ln 3ln 5 ,,235 a b c = == ,则( ) A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c << 二、填空题 1．若函数()12log 2 2++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。 2．若函数( ) 12log 2 2++=x ax y 的值域为R ，则a 的范围为__________。 3．函数y =的定义域是______；值域是______. 4．若函数()11 x m f x a =+ -是奇函数，则m 为__________。 5．求值：22log 3 3 21 272 log 8 -?+=__________。 三、解答题 1．解方程：（1）40.2540.25log (3)log (3)log (1)log (21)x x x x -++=-++ （2）2 (lg )lg 10 20x x x += 2．求函数11()()142 x x y =-+在[]3,2x ∈-上的值域。 3．已知()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =,试比较()f x 与()g x 的大小。 4．已知()()110212x f x x x ??=+≠ ?-?? ， ⑴判断()f x 的奇偶性； ⑵证明()0f x >． 基本初等函数（1） [基础训练A 组] 一、选择题 1. D y x ==，对应法则不同；2 ,(0)x y x x =≠ log ,(0)a x y a x x ==>；log ()x a y a x x R ==∈ 2. D 对于111 ,()()111x x x x x x a a a y f x f x a a a --+++=-===----，为奇函数； 对于22lg(1)lg(1)33x x y x x --==+-，显然为奇函数；x y x =显然也为奇函数； 对于1log 1a x y x +=-，11()log log ()11a a x x f x f x x x -+-==-=-+-，为奇函数； 3. D 由y x =--3得3,(,)(,)x y x y x y --=→--，即关于原点对称； 4. B 11111 22 22 2 ()23,x x x x x x - - -+=+-=+= 331112 2 2 2 ()(1)x x x x x x ---+=+-+=5. D 112 2 2 log (32)0log 1,0321, 13 x x x -≥=<-≤<≤ 6. D 600.7 00.70.70.766log 60<><=1， =1， 当,a b 范围一致时，log 0a b >；当,a b 范围不一致时，log 0a b < 注意比较的方法，先和0比较，再和1比较 7． D 由ln (ln )3434x f x x e =+=+得()34x f x e =+ 二、填空题 1． <<<< 12341 3589 2 22222=====， 而 1324138592 <<<< 2. 16 16==== 3. 2- 原式1 2222log 52log 5 log 52log 52-=-+=--=- 4. 0 2 2 (2)(1)0,21x y x y -+-===且，2 2log ()log (1)0x x y == 5. 1- 33333,113x x x x x x ---?+===-+ 6. {}1|,|0,2x x y y ? ?≠ >≠??? ?且y 1 1210,2 x x -≠≠；1 2180,1x y y -=>≠且 7. 奇函数 2 2()lg(lg(()f x x x x x f x -=-+=-=- 三、解答题 1 ．解：x x x x a a a a --==+= 222()222x x x x a a a a --+=+-= 3322()(1) 23x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -------++==-- 2．解：原式13lg32lg300=-+-+ 22l g 3l g 36 =+-++= 3．解：0x ≠且 101x x +>-，11x -<<且0x ≠，即定义域为(1,0)(0,1)- ； 221111()log log ()11x x f x f x x x x x -+-=-=-+=--+-为奇函数； 212 ()log (1)11f x x x =-+-在(1,0 )(0,1-和上为减函数。 4．解：（1）210 2211,,13320 x x x x x ->?? -≠>≠??->? 且，即定义域为2(,1)(1,)3+∞ ； （2）令2 4,[0,5)u x x x =-∈，则45u -≤<，54 11()(),33 y -<≤ 181243y <≤，即值域为1(,81]243 。 （数学1必修）第二章 基本初等函数（1）[综合训练B 组] 一、选择题 1. A 132 311log 3log (2),log (2),2,8,,384 a a a a a a a a a a a a ====== 2. A log (1)0,a b -=且log 1,2a b a b === 3. D 令1 6 66 228(0),8(8)()log log x x x f f x x =>== ===4. B 令()lg ,()lg lg ()f x x f x x x f x =-=-==，即为偶函数 令,0u x x =<时，u 是x 的减函数，即lg y x =在区间(,0)-∞上单调递减 5. B 11()lg lg ().()().11x x f x f x f a f a b x x +--==-=--=-=--+则 6． A 令1u x =-，(0,1)是u 的递减区间，即1a >，(1,)+∞是u 的 递增区间，即()f x 递增且无最大值。 二、填空题 1． 110 ()()22lg 22lg x x x x f x f x a a --+-=+++ 1(l g 1)(22)0,lg 10,10 x x a a a -=++=+== （另法）：x R ∈，由()()f x f x -=-得(0)0f =，即1lg 10,10 a a +== 2. (],2-∞- 2 2 25(1)44,x x x -+=-+≥ 而1 01,2< <()21122 log 25log 42x x -+≤=- 3. 2a a b -+ 141414143514log 28log 7log 5log 35,log 28log 35a b +==+= 14 1414141414141414 1log log (214)1log 21(1log 7)27log 35log 35log 35log 35a a b +?++--=====+ 4. 1,1-- ∵0,0,A y ∈≠∴lg()0,1xy xy == 又∵1,1,B y ∈≠∴1,1x x =≠而，∴1,1x y =-=-且 5. 1 5 ) ( )( )32 32 32 1 2log log 5 5 15 --+= = = 6. (1,1)- x x e 1 e 1y -=+，10,111x y e y y +=>-<<- 三、解答题 1．解：（1）∵ 3.3 01.7 1.71,>= 2.100.80.81<=，∴ 3.31.7>1.28.0 （2）∵0.7 0.80.80.83.3 3.3,3.3 3.4<<，∴0.73.3<8.0 4.3 （3）8293log 27log 3,log 25log 5,== 33 2222233333 log 2log log 3,log 3log log 5,22 ====> ∴983 log 25log 27.2 < < 2．解：（1）2 (3)63 270,(33)(39)0,330x x x x x ------?-=+-=+≠而 2390,33,x x ---== 2x =- （2）22422()()1,()()103933 x x x x +=+-= 2 3 221 ()0,(),332 log x x x >=∴=则 3．解：由已知得143237,x x ≤-?+≤ 即43237,43231x x x x ?-?+≤??-?+≥??得(21)(24)0 (21)(22)0 x x x x ?+-≤??--≥?? 即021x <≤，或224x ≤≤ ∴0x ≤，或12x ≤≤。 4．解：0,,1x x a a a a x -><<，即定义域为(,1)-∞； 0,0,log ()1x x x a a a a a a a ><-<-<， 即值域为(,1)-∞。 （数学1必修）第二章 基本初等函数（1）[提高训练C 组] 一、选择题 1. B 当1a >时1 log 21,log 21,,2a a a a a ++==-= 与1a >矛盾； 当01a <<时1 1log 2,log 21,2 a a a a a ++==-=； 2. B 令[]2,0,0,1u ax a =->是的递减区间，∴1a >而0u >须 恒成立，∴min 20u a =->，即2a <，∴12a <<； 3. D 由10< 1,11,a a a a << +<+②和④都是对的； 4. A 11 (10)()1,()(10)1,(10)(10)111010 f f f f f f =+=-+=-++ 5. C ()()(),()()()()(),f x g x h x f x g x h x g x h x =+-=-+-=-+ ()()()()()lg(101),()222 x f x f x f x f x x h x g x +---= =+== 6. C ln a b c ===== 2 <二、填空题 1． (1,)+∞ 2 210ax x ++>恒成立，则0 440 a a >?? ?=- 2. []0,1 2 21ax x ++须取遍所有的正实数，当0a =时，21x +符合 条件；当0a ≠时，则0 440a a >???=-≥? ，得01a <≤，即01a ≤≤ 3. [)[)0,,0,1+∞ 111()0,()1,022x x x -≥≤≥；11()0,01()1,22 x x >≤-< 4. 2 ()()11011 x x m m f x f x a a --+=+ ++=-- (1) 20,20,21x x m a m m a -+=-==- 5． 19 2 93(3)5)18l g 1019 -?-+=+= 三、解答题 1．解：（1）40.2540.25log (3)log (3)log (1)log (21)x x x x -++=-++ 4 0.25 4321 3 l o g l o g l o g , 1321 x x x x x x -++==-++ 33 121 x x x x -+= -+，得7x =或0x =，经检验0x =为所求。 （2）2 (lg )lg lg lg lg 1020,(10)20x x x x x x x +=+= l g l g l g 2 20,10,(l g ) 1,l g 1, x x x x x x x x +====± 10, x =1或10，经检验10,x =1 或10 为所求。 2．解：21111 ()()1[()]()14222x x x x y =-+=-+ 2113[()],224 x =-+ 而[]3,2x ∈-，则11()842 x ≤≤ 当11()22x =时，min 34y =；当1()82 x =时，max 57y = ∴值域为3 [,57]4 3．解：3 ()()1log 32log 21log 4 x x x f x g x -=+-=+， 当31l o g 04x +> ，即01x <<或4 3x >时，()()f x g x >； 当31l o g 04x +=，即4 3x =时，()()f x g x =； 当31l o g 04x +<，即4 13x <<时，()()f x g x <。 4．解：（1）1121 ()()212221 x x x x f x x +=+=?-- 2121 ()()221221 x x x x x x f x f x --++-=-?=?=--，为偶函数 （2）21()221 x x x f x +=?-，当0x >，则210x ->，即()0f x >； 当0x <，则210x -<，即()0f x >，∴()0f x >。 第二章函数与基本初等函数Ⅰ 第一节函数的概念及其表示 1．函数与映射的概念 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则． (3)相同函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相同，这是判断两函数相同的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题体验] 1．(教材习题改编)下列五个对应f，不是从集合A到集合B的函数的是________(填序号)． ①A ＝? ??? ??1 2，1，32 ，B ＝{－6，－3,1}，f ????12 ＝－6，f (1)＝－3，f ??? ?32 ＝1； ②A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8； ③A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1； ④A ＝B ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1； ⑤A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1. 解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足． 答案：③ 2．(教材习题改编)若f (x )＝x －x 2，则f ???? 12 ＝________. 解析：f ????12 ＝12－????12 2＝14. 答案：14 3．(教材习题改编)用长为30 cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积S (cm 2)表示为矩形一边长x (cm)的函数，则函数解析式为________，其函数定义域为________． 解析：矩形的另一条边长为15－x ，且x >0,15－x >0. 故S ＝x (15－x )，定义域为(0,15)． 答案：S ＝x (15－x ) (0,15) 4．函数f (x )＝ x －4 |x |－5 的定义域是________________． 答案：[4,5)∪(5，＋∞) 1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． 2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，若A ，B 不是数集，则这个映射便不是函数． 3．误把分段函数理解为几个函数组成． [小题纠偏] 1．函数y ＝x 与函数y ＝ x x ________(填“是”或“不是”)同一函数． 解析：函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，y ＝x x 的定义域为(0，＋∞)．因为两个函数的定义域不同，所以不表示同一函数． 答案：不是 2．函数f (x )＝x －1·x ＋1的定义域为________． 一、一次函数 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 图像 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ??? 24,4ac b a ?? --∞ ?? ? 单调区间 ,2b a ??-∞- ??? 递减 ,2b a ?? -+∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ??? 递增 ,2b a ?? -+∞ ??? 递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ,2b x a =-顶点坐标是24(, )24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减， 在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,)2 b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 2b x a =- 2b x a =- 必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理 〖2.1〗指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数 a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数 指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底 数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 （4）指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…） ． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘： log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数 2021-2022年高考二轮复习专题限时集训第2讲《函数、基本初等函数的 图 (时间：10分钟＋25分钟) 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－ |x | 2．若f (x )＝1 log 1 2 (2x ＋1)，则f (x )的定义域为( ) A.????－12，0 B.????－1 2，0 C.??? ?－1 2，＋∞ D ．(0，＋∞) 3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( ) 图2－1 4．函数f (x )＝? ???? －x ＋3a (x <0)， a x (x ≥0)(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.???? 13，1 C.????0，13 D.??? ?0，23 1．已知函数f (x )＝????? e x (x <0)，ln x (x >0)， 则f ????f ????1e ＝( ) A.1e B ．e C ．－1 e D ．－e 2．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝2x －x ，则有( ) A ．f ????13 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 第二章 基本初等函数知识点 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += （2）rs s r a a =)( （3）s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上， )1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 1.2.2 基本初等函数的导数公式 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝e 3 ，则y ′＝0 B ．若y ＝ 1 x ，则y ′＝－1 2x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1 2x D ．若y ＝3x ，则y ′＝3 2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②? ????sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x =3＝－227.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．1 2 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．??????0，π4∪??????3π4，π B ．[0，π) C ．??????π4，3π4 D ．??????0，π4∪??????π2，3π4 5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94 e 2 C ．2e 2 D ．e 2 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A ．1n B ．1n ＋1 C ．n n ＋1 D ．1 课后探究 1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为 2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为 一、选择题 2．已知函数f (x )＝x 3 的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 4．y ＝x α 在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 5．f (x )＝ 1x 3 x 2 ，则f ′(－1)＝( ) A ．52 B ．－52 C ．53 D ．－53 6.函数y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A ．94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D ．e 2 2 二、填空题 7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于________． 9．在曲线y ＝4 x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________． 三、解答题 10．求证双曲线y ＝1 x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值． 一、选择题 11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C ．π4 D ．5π4 数学1（必修）第二章 基本初等函数训练题A [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） A ．2 x y = B ．x x y 2 = C ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 D ．x a a y log = 2．下列函数中是奇函数的有几个（ ） ①11x x a y a +=- ②2l g (1)33 x y x -=+- ③x y x = ④1l o g 1a x y x +=- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y x = D ．原点中心对称 4．已知13x x -+=，则3 322x x - +值为（ ） A . B . C . D . - 5．函数y =的定义域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．2(,)3+∞ C ．2[,1]3 D ．2 (,1]3 6．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A . 60.70.70.7log 66<< B . 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D . 60.70.7log 60.76<< 7．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3x e D ．34x e + 二、填空题 1．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。 2．化简11410 104 848++的值等于__________。 3．计算：(log )log log 2222545415 -++= 。 专题三 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1． 考点07 易 下列各式中成立的一项是( ) A. 7 1 77n n m m ??= ??? B. = ()34 x y =+ =2. 考点07 中难 函数1 1x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. ()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 3． 考点07 难 函数2 212x x y -??= ??? 的值域为( ) A. 1,2 ??+∞???? B. 1,2 ??-∞ ?? ? C. 10,2 ?? ?? ? D. [)0,2 4． 考点08 易 已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的 取值范围是( ) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 5．考点08 易 已知2log 0.3a =,0.12b =, 1.30.2c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B.c a b << C. a c b << D. b c a << 6． 考点08中难 函数y = ） A ．(0,8] B ．(2,8]- C ．(2,8] D ．[8,)+∞ 7． 考点08中难 函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A. R B. [8,)+∞ C. (,3)-∞- D. [)3,+∞ 8．考点07，考点08 易 函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A. 12 B. 14 人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念: 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,=0。 注意:(１)n a = (２)当 a = ，当 n 是偶数时,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-∈>且 正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于０,0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 (1)(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ （2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分;如122 [(1]11-≠ (二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数,其中x 是自变量，函数的定义域为Ｒ. 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.即 a>0且a ≠１ 2a>1 注意： 指数增长模型：ｙ=N(1+p ）指数型函数： y=k ａ３ 考点：(１)ａb ＝N, 当ｂ>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，ａ，N 在1的 异侧。 （2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较 幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1（=a 0)进行传递或者利用（１）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=ａ，用ｘ=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:ｙ=Ｎ(１＋p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地，如果x a N = ,那么数ｘ 叫做以ａ 为底N 的对数，记作：log a x N = （ ａ— 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 说明：1. 注意底数的限制,a>0且ａ≠1;2. 真数N>０ 3． 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数： （1）常用对数：以1０为底的对数， 10log lg N N 记为 ; (2)自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =?= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论:（1)负数和零没有对数 第1讲函数、基本初等函数的图象与性质 考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大． 1．函数的三要素 定义域、值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数． 2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性． (3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|. 3．函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图． 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况. 热点一 函数的性质及应用 例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________． (2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈????0，1 2时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ??? ?－3 2＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，1 2]时的 解析式探求f (3)和f (－3 2)的值． 答案 (1)(－1,3) (2)－1 4 解析 (1)∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称． 又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示， 由f (x －1)>0，得－2 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数（μ是常数）叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0 上无限接近y轴，向右无限接近x轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方， 且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数是单调增加的。若0 2．对数函数 由此可知，今后常用关系式，如： 指数函数的反函数，记作（a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若0 专题二 基本初等函数、导数及其应用 1.(2012·高考北京卷) 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 2.(2012·高考天津卷)已知a ＝21.2 ，b ＝? ?? ??12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c （高数）基本初等函数图像与性质 1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则 2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性 3.每个函数的图像很重要 一、幂函数 a x =y (a 为常数） 最常见的几个幂函数的定义域及图形 1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称； 2.当a 为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当a 为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1)； 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对 称;m，n均为奇数时,跟原点对称。 4.当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。 二、指数函数 x a y=(a是常数且01 a a >≠ ，)，) , (+∞ -∞ ∈ x 图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0 四、三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 五、反三角函数 反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ， 基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 讲义三 基本初等函数 知识点1、指数函数及其性质 1．指数函数的概念 函数□09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 说明：形如y ＝kax ，y ＝ax ＋k(k ∈R 且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数． 2．指数函数的图象和性质 1．(n a )n ＝a (n ∈N *且n >1)． 2.n a n ＝????? a ，n 为奇数且n >1，|a |＝??? a ，a ≥0，－a ，a ＜0， n 为偶数且n >1. 3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是00，且a ≠1时，函数y ＝a x 与函数y ＝? ???? 1a x 的图象关于y 轴对称． 考点一 指数函数的图象及应用 例1 (1)(2019·山西模拟)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．00且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 变式训练1.函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( ) 5．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 考点二 指数函数的性质及其应用 角度1 比较指数幂的大小 例2 (1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是( ) A ．3 －2 3 <3－4<32 B ．32y >1，则下列各式中正确的是( ) A ．x a 函数与基本初等函数Ⅰ
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