高中数学《互斥事件》素材苏教版必修
互斥事件与对立事件辨析
一．互斥事件与对立事件的概念与计算公式
1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件（即事件A发生，事件B不发生，事件B发生，事件A不发生）叫做互斥事件；从集合角度看，记事件A为集合A，事件B为集合B，则事件A与事件B是互斥事件，则集合A与集合B的交集为?.互斥事件的概率公式为P(A ∪B)=P(A)+P(B).
2．对立事件：如果事件A与事件B不能同时发生，且事件A与B必有一个发生。则称事件A与事件B为对立事件，事件A的对立事件一般都记作A。从集合角度看，事件A所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即：若事件A与B 是对立事件，则A∩B=?且A∪B=I，有P(A+B)=P(I)=1,从而对立事件A与A的概率之和等于1，即P(A)=1-P(A).
二．互斤事件、对立事件的区别和联系
互斥事件和对立事件都是对两个事件来说的．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。一般地，两个事件对立则这两个事件一定互斥，但两个事件互斥，这两个事件不一定对立，两个事件对立是两个事件互斥的充分而不必要条件，对立事件是互斥事件的特殊情况。
三．例题选讲
例1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．，
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生
与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
分析：判别两个事件是否互斤，就要考察它们是否不能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
解：（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件，
（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件。
（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．
（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
例2．甲、乙两人下棋，和棋的概率为1
2
，乙获胜的概率
1
3
，求：
（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率．
分析：甲、乙两人下棋，其结果有“甲胜”、“和棋”、“乙胜”三种，它们是互斥事件，“甲获胜”看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．
解：（1）“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为P=1-1
2
-
1
3
=
1
6
∴甲获胜的概率是16
(2)解法1：设事件A 为“甲不输”，看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件．所以P(A)= 16+12=23
. 解法2：设事件A “甲不输”看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)=1-
13=23 ∴甲不输的概率是23
. 互斥事件概率问题的求解要点
一、错解分析
1． 搞清楚“互斥事件”与“等可能事件”的差异。
例。抛掷一颗骰子，事件A 表示“朝上的一面为奇数”，事件B 表示“朝上的一面是不超过3的数”，求()B A P +。
错解：()()()()()1,2
163,2163=+=+∴====B P A P B A P B P A P . 分析：这种解法忽视了“事件和”概率公式的应用前提。由于“朝上的一面为奇数”与“朝上的一面是不超过3的数”二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A 、B 同时发生。 正解：A ＋B 这一事件包括了4种结果：出现1，2，3，和5。所以().3
26163=+=+B A p 2.搞清楚“互斥事件”与“对立事件”的差异。
例。从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花各从1～10各10张，任取一张。则事件“抽出红桃”和“抽出黑桃”是（ ）。
A ．对立事件
B 。互斥但不是对立事件
C 。不可能事件
D 。既是互斥又是对立。 错解：对立事件
分析：这种错误在于对“互斥事件”和“对立事件”的概念认识不清：⑴互斥事件适用于多个事件21,A A ～n A ，对立事件只适用于两个事件的关系即A 和A 。⑵互斥事件表示不能同时发生，涵义是可以都没有发生，但如果发生至多只能发生一个；而对立事件指的是一定有一个发生而且只有其中一个发生。⑶对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，即“互斥事件”是“对立事件”的必要不充分条件；“对立事件”是“互斥事件”的充分不必要条件。
正解：从40张扑克牌中抽出一张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但也可能抽到方块与梅花，所以不能保证必有一个发生，所以是互斥但不是对立事件。若是“抽到红色牌”与“抽到黑色牌”则既是互斥事件也是对立事件；而“抽出的点数是4的倍数”与“抽出的点数大于9”则不是互斥事件，也就不会是对立事件。
二、互斥事件概率问题的求解策略。
对于互斥事件的概率问题，一般按下列步骤进行求解：1.确定各事件彼此互斥；2.各事件中有一个发生；3.先求出各事件分别发生的概率，然后再求其和。
对于较复杂的互斥事件的问题，可以考虑两种方法：一、直接法。将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二、间接法。先求出此事件的对立事件的概率()
,A P 再用
()()
A P A P -=1求解。
例。甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个， 甲、乙两人依次各抽1题，甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率多大？
解法1：设“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题“为A,它包括了三种情况：⑴”甲抽到乙不抽到“记为事件,1B ”甲不抽到乙抽到“记为事件2B ，”甲乙都抽到“记为事件3B .
()()().9030,9024,90242102632101416221014161======A A B P A A A B P A A A B P 据题意，321,,B B B 彼此互斥，则有
()()()()().15
139078321321==++=++=B P B P B P B B B P A P 解法2：设“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为A ， 则A 表示事件“甲乙都没抽到选择题”。()
901221024==A A A P ,由题意，A 与A 是对立事件，()().15
139078901211==-=-=∴A P A P 评析：尤其是对于“至多”、“至少”问题，在所求事件包含的互斥事件比较多的情况下，我们常用求对立事件来解决。