黄金分割法程序

一维搜索

一维优化一般分为两大步骤：

（1）确定初始搜索区间[a，b]，该区间应是包括一维函数极小点在内的单峰区间；

（2）在搜索区间[a,b]内寻找极小点。

搜索区间的确定—进退法

基本思路是：由单峰函数性质可知，在极小点a*左边函数值应严格下降，而在极小点右边函数值应严格上升。因此，可从某一个给定的初始点a0出发，以初始步长h0沿着目标函数值的下降方向，逐步前进或后退，直到找到相继的3个试点的函数值按“大---小----大”变化为止。

一：确定搜索区间的外推法

?首先确定函数的单谷性

?然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向。

?如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。

搜索区间的确定流程图

确定搜索区间的程序代码

void findqujian(float a[3],float f[3]) {

float t=steplength, a1,f1,ia;

a[0]=0;

f[0]=fc(a[0]);

for(int i=0;;i++)

{

a[1]=a[0]+t;f[1]=fc(a[1]); if(f[1]

if(fabs(f[1]-f[0])>=e)

{t=-t;a[0]=a[1];f[0]=f[1];}

else{ if(ia==1)return;

t=t/2;ia=1;}

}

for(i=0;;i++)

{a[2]=a[1]+t;f[2]=fc(a[2]);

if(f[2]>f[1]) break;

t=2*t;

a[0]=a[1]; f[0]=f[1];

a[1]=a[2]; f[1]=f[2];

}

if(a[0]>a[2])

{a1=a[0];f1=f[0];

a[0]=a[2];f[0]=f[2];

a[2]=a1; f[2]=f1;

}

return;

}

一、黄金分割法

黄金分割法是通过不断缩短搜索区间的长度来寻求一维函数的极小点，这种方法的基本原理是：在搜索区间[a,b]内按如下规则对称地取两点a1和a2

a1=a+0.382(b-a); a2=a+0.618(b-a);

黄金分割法的搜索过程是：

1）给出初始搜索区间[a,b] 及收敛精度e ，将赋以0.618 2）计算a1 和a2，并计算起对应的函数值f(a1),f(a2); ，3）根据期间消去法原理缩短搜索区间，为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名城的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。

4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件

不满足则返回到步骤2。

5）如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。

黄金分割法的流程图及程序清单

需要说明的是搜索区间[a,b]不需要给定，只需输入搜索精度e；

程序由四个子程序构成；

（1）：输入输出子程序io（）；

（2）：float fc (float x)求输入函数在某一点的值；

（3）void findqujian(float a[3],float f[3])确定搜索区间；

（4）：float xunyou(float *value)寻找最小值

#include "iostream.h" #include "math.h"

#include "stdio.h"

#include "conio.h"

#define steplength 0.01

#define n 3

float e;float a,b,c;

float q[3];

void io()

{

cout<<"假设多项式的最高次幂为2"<

cout<<"设多项式的一般形式为f=a*x^2+b*x +c"<

cout<<"请输入要求解的目标多项式的系数"<

printf("a=");

scanf("%f",&a);q[2]=a;

printf("b=");

scanf("%f",&b);q[1]=b;

printf("c=");

scanf("%f",&c);q[0]=c;

cout<

cout<<"请输入搜索精度e"<

scanf("%f",&e);

cout<

}

float fc(float x)

{int i;

float u=q[n-1];

for(i=n-2;i>=0;i--)

u=u*x+q[i];

return u;

}

void findqujian(float a[3],float f[3]) {

float t=float(steplength), a1,f1,ia; a[0]=0;

f[0]=fc(a[0]);

for(int i=0;;i++)

{

a[1]=a[0]+t;f[1]=fc(a[1]);

if(f[1]

if(fabs(f[1]-f[0])>=e)

{t=-t;a[0]=a[1];f[0]=f[1];}

else{ if(ia==1)return;

t=t/2;ia=1;}

}

for(i=0;;i++)

{a[2]=a[1]+t;f[2]=fc(a[2]);

if(f[2]>f[1]) break;

t=2*t;

a[0]=a[1]; f[0]=f[1];

a[1]=a[2]; f[1]=f[2];

}

if(a[0]>a[2])

{a1=a[0];f1=f[0];

a[0]=a[2];f[0]=f[2];

a[2]=a1; f[2]=f1;

}

return;

}

float xunyou(float *value)

{float a1[3],f1[3],a[4],f[4];

float aa;

findqujian(a1,f1);

a[0]=a1[0];f[0]=f1[0];

a[3]=a1[2];f[3]=f1[2];

a[1]=a[0]+float(0.382)*(a[3]-a[0]);a[2]=a[0]+float(0.618)*(a[3]-a[0]); f[1]=fc(a[1]);f[2]=fc(a[2]);

for(int i=0;;i++)

{if(f[1]>=f[2])

{a[0]=a[1];f[0]=f[1];

a[1]=a[2];f[1]=f[2];

a[2]=a[0]+float(0.618)*(a[3]-a[0]);f[2]=fc(a[2]); }

else

{a[3]=a[2];f[3]=f[2];

a[2]=a[1];f[2]=f[1];

a[1]=a[0]+float(0.382)*(a[3]-a[0]);f[1]=fc(a[1]); }

if(fabs(a[3]-a[0])

{aa=(a[1]+a[2])/2; *value=fc(aa);

break;}

}return(aa);

}

void main()

{float xx,value;

io();

xx=xunyou(&value);

printf("f(x)=%2.1f*x^2+%2.1f*x +%2.1f",a,b,c); cout<<"取得最小值的坐标为"<

printf("\nzuobiao*=%f\n\n",xx); cout<<"函数的最小值是"<

}