黄金分割法及其代码
线性搜索之黄金分割法及其应用
摘要
最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通讯和政府机关等领域。伴随着计算机技术的高速发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。其中，MATLAB 软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。有了MATLAB这个强大的计算平台，既可以利用MATLAB优化工具箱（OptimizationToolbox）中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。
在最优化计算中一维最优化方法是优化设计中最简单、最基本的方法。一维搜索，又称为线性搜索，一维问题是多维问题的基础，在数值方法迭代计算过程中，都要进行一维搜索，也可以把多维问题化为一些一维问题来处理。一维问题的算法好坏，直接影响到最优化问题的求解速度。而黄金分割法是一维搜索方法中重要的方法之一，它适用于任何单峰函数求最小值的问题，甚至于对函数可以不要求连续，是一种基于区间收缩的极小点搜索算法。
关键词：最优化、黄金分割法、MATLAB软件、一维搜索
引言
数学科学不仅是自然科学的基础，也是一切重要技术发展的基础。最优化方法更是数学科学里面的一个巨大的篇幅，在这个信息化的时代，最优化方法广泛应用于工业、农业、国防、建筑、通信与政府机关、管理等各领域；它主要解决最优计划、最优分配、最优决策、最佳设计、最佳管理等最优化问题。而最优解问题是这些所有问题的中心，是最优化方法的重中之重，在求最优解问题中，有多种方法解决，我们在这里着重讨论无约束一维极值问题，即非线性规划的一维搜索方法之黄金分割法。黄金分割法也叫0.618法，属于区间收缩法，首先找出包含极小点的初始搜索区间，然后按黄金分割点通过对函数值的比较不断缩小搜索区间。当然要保证极小点始终在搜索区间内，当区间长度小到精度范围之内时，可以粗略地认为区间端点的平均值即为极小值的近似值。所以用0.618法得出的
是比较精确的最优解了
一、最优化方法原理
1.1 无约束问题的最优性条件
无约束问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据，为此我们有以下几个定理。
定理1 设:f 1R R n →在点_
x 处可微。若存在n R p ∈，使 0)(_
则向量p 是f 在点_x 处的下降方向。
定理2 设:f 1R R n →在点n R x ∈*处可微。若*x 是无约束问题的局部最优解，则
0)(*=?x f 由数学分析中我们已经知道，使0)(*=?x f 的点x 为函数f 的驻点或平稳点。函数f 的一个驻点可以是极小点；也可以是极大点；甚至也可能既不是极小点也不是极大点，此时称它为函数f 的鞍点。以上定理告诉我们，*x 是无约束问题的的局部最优解的必要条件是：*x 是其目标函数f 的驻点。
现给出无约束问题局部最优解的充分条件。
定理3 设:f 1R R n →在点n R x ∈*处的Hesse 矩阵)(*2x f ?存在。若
0)(*=?x f ，并且)(*2x f ?正定
则*x 是无约束问题的严格局部最优解。
一般而言，无约束问题的目标函数的驻点不一定是无约束问题的最优解。但对于其目标函数是凸函数的无约束凸规划，下面定理证明了，它的目标函数的驻点就是它的整体最优解。
定理4 设:f 1R R n →，n R x ∈*，f 是n R 上的可微凸函数。若有
0)(*=?x f
则*x 是无约束问题的整体最优解。
二、黄金分割法的基本思想与原理
2.1 黄金分割法基本思路：
黄金分割法适用于],[b a 区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单峰”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间],[b a 内适当插入两点1a ，2a ，并计算其函数值。1a ，2a 将区间分成三段，应用函数的单峰性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 2.2 黄金分割法的基本原理与步骤
一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。如图所示
黄金分割法是用于一元函数)(x f 在给定初始区间],[b a 内搜索极小点*a 的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。具体步骤是：在区间],[b a 内取点：2,1a a 把],[b a 分为三段。如果)2()1(a f a f >,令,21,1a a a a ==
（1）给定区间],[b a ，及0>eps ；
（2）计算);(618.0),(382.0a b a u a b a r -+=-+=；
（3）若)()(u f r f >，转（4），否则转（5）
（4）若eps r u <-，则停，输出)(,*
*u f f u x ==
否则令r a =，u r =，)(618.0a b a u -+=，转（3）
（5）若eps r u <-，则停，输出)(,**r f f r x ==
否则令u b =，r u =，)(382.0a b a r -+=，转（3） 2.4 算法流程图
代码见附录。
三、黄金分割法应用举例
3.1 例1
根据0.618算法编写程序，求函数
x e x x x f 306)1tan()(sin )(-=
在区间[]
1,0上的极大值。 解：令x e x x x f x g 306)1tan()(sin )()(--=-=，求)(min ]
1,0[x g x ∈ fun1程序为：
function [dy,val]=fun1(x)
val=-((sin(x))^6*tan(1-x)*exp(30*x));
dy=-(6*(sin(x))^5*cos(x)*tan(1-x)*exp(30*x)+(sin(x))^6*(1/cos(1-x))^2*(-1)*exp(30*x)+(sin(x))^6*tan(1-x)*exp(30*x)*30);
取eps=1e-5 给定,以及
取两个点,计算
得出近似解
Y N
N
Y
运行结果：
[x,fval,iter]=f618(0,1)
the1iteration search area is :[0.382,1]
the2iteration search area is :[0.61808,1]
the3iteration search area is :[0.76397,1]
the4iteration search area is :[0.85413,1]
the5iteration search area is :[0.90985,1]
the6iteration search area is :[0.94429,1]
the7iteration search area is :[0.94429,0.97872]
the8iteration search area is :[0.95744,0.97872]
the9iteration search area is :[0.96557,0.97872]
the10iteration search area is :[0.96557,0.9737]
the11iteration search area is :[0.96867,0.9737]
the12iteration search area is :[0.96867,0.97178]
the13iteration search area is :[0.96986,0.97178]
the14iteration search area is :[0.96986,0.97104]
the15iteration search area is :[0.97031,0.97104]
the16iteration search area is :[0.97031,0.97077]
the17iteration search area is :[0.97049,0.97077]
the18iteration search area is :[0.97059,0.97077]
the19iteration search area is :[0.97059,0.9707]
the20iteration search area is :[0.97063,0.9707]
the21iteration search area is :[0.97063,0.97067]
the22iteration search area is :[0.97065,0.97067]
the23iteration search area is :[0.97066,0.97067]
the24iteration search area is :[0.97066,0.97067]
x =0.9707
fval =-4.1086e+010
iter =24
则)(min ]
1,0[x g x ∈为 4.1086e+010 3.2 例2
求函数t t e e t +=-)(ψ在[]
1,1-内的极小值 解:
fun1程序为：
function [dy,val]=fun1(x)
val=exp(-x)+exp(x);
dy=-exp(-x)+exp(x);
令eps=1e-5
运行结果;
[x,fval,iter]=f618(-1,1)
the1iteration search area is :[-1,0.236]
the2iteration search area is :[-0.52785,0.236]
the3iteration search area is :[-0.23606,0.236]
the4iteration search area is :[-0.055732,0.236]
the5iteration search area is :[-0.055732,0.12456]
the6iteration search area is :[-0.055732,0.055688]
the7iteration search area is :[-0.01317,0.055688]
the8iteration search area is :[-0.01317,0.029384]
the9iteration search area is :[-0.01317,0.013129]
the10iteration search area is :[-0.0031238,0.013129]
the11iteration search area is :[-0.0031238,0.0069202]
the12iteration search area is :[-0.0031238,0.0030834]
the13iteration search area is :[-0.00075262,0.0030834]
the14iteration search area is :[-0.00075262,0.001618]
the15iteration search area is :[-0.00075262,0.00071244]
the16iteration search area is :[-0.00019297,0.00071244]
the17iteration search area is :[-0.00019297,0.00036658]
the18iteration search area is :[-0.00019297,0.00015283]
the19iteration search area is :[-6.0873e-005,0.00015283]
the20iteration search area is :[-6.0873e-005,7.1195e-005]
the21iteration search area is :[-6.0873e-005,2.0745e-005]
the22iteration search area is :[-2.9695e-005,2.0745e-005]
the23iteration search area is :[-1.0427e-005,2.0745e-005]
the24iteration search area is :[-1.0427e-005,8.8374e-006]
the25iteration search area is :[-3.068e-006,8.8374e-006]
the26iteration search area is :[-3.068e-006,4.2895e-006]
x =6.1078e-007
fval =2.0000
iter =26
则原式极小值为：6.1078e-007
总结
最开始接触黄金分割法大概要算初中时候学过的黄金分割点，是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618，所以也称为0.618法。然后在大学的最优化方法这门课上，我又重新认识了黄金分割法，知道它不仅是最优化中解决无约束问题的方法中重要的一环，而且是不可或缺的方法。
通过这次作业，我重新学习了以前遗忘的知识，加深了记忆和理解。真正做到了理论和实践相结合，锻炼了自己分析，处理实际问题的能力，也认识到了自己的不足。
附录
f618程序
function [x,fval,iter]=f618(a,b)
iter=0;
while abs(b-a)>1e-5
iter=iter+1;
lambda=a+0.382*(b-a);
miu=a+0.618*(b-a);
[dy,f1]=fun1(lambda);
[dy,f2]=fun1(miu);
if f1>f2
a=lambda;
disp(['the' num2str(iter) 'iteration search area is :[' num2str(a) ',' num2str(b) ']'])
else
b=miu;
disp(['the' num2str(iter) 'iteration search area is :[' num2str(a) ',' num2str(b) ']'])
end
end
x=(a+b)/2;
[dy,fval]=fun1(x);
fun1程序
function [dy,val]=fun1(x)
%val=exp(-x)+exp(x);
%dy=-exp(-x)+exp(x);
%val=-((sin(x))^6*tan(1-x)*exp(30*x));
%dy=-(6*(sin(x))^5*cos(x)*tan(1-x)*exp(30*x)+(sin(x))^6*(1/cos(1-x))^2*(-1)*exp(30*x)+(sin(x))^6*tan(1-x)*exp(30*x)*30);
参考文献
[1] 赵瑞安，吴方.非线性最优化理论和方法[M].北京:高等教育出版社，1900
[2] 袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法[M].北京：科学出版社，1997
[3] 陈开明.非线性规划[M].上海：复旦大学出版社，1991
[4] 张德丰.MLTLAB数值计算方法[M].北京：机械工业出版社，2010
[5] 张光澄.非线性最优化计算方法[M].北京：高等教育出版社，2005
[6] 傅英定，成孝予，唐应辉.最优化理论与方法[M].北京：国防工业出版社，2008
[7] 何坚勇.最优化方法[M].北京：清华大学出版社，2007
黄金分割构图法(新)
黄金分割构图法 让我们从最基本的介绍开始这个话题——“黄金分割”是一种由古希腊人发明的几何学公式，遵循这一规则的构图形式被认为是“和谐”的，在欣赏一件形象作品时这一规则的意义在于提供了一条被合理分割的几何线段，对许多画家/艺术家来说“黄金分割”是他们在现时的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外。 原理1 如图A：“黄金分割”公式可以从一个正方形来推导，将正方形底边分成二等分，取中点X，以X为圆心，线段XY为半径作圆，其与底边直线的交点为Z点，这样将正方形延伸为一个比率为5︰8的矩形，（Y’点即为“黄金分割点”）， A︰C = B ︰A = 5︰8。幸运的是，35MM胶片幅面的比率正好非常接近这种5︰8的比率（24︰36 = 5︰7.5） 图A 原理2 如图B：通过上述推导我们得到了一个被认为很完美的矩形，连接该矩形左上角和右下角作对角线，然后从右上角向Y’点（黄金分割点，见图A）作一线段交于对角线，这样就把矩形分成了三个不同的部分。现在，在理论上已经完成了黄金分割，下一步就可以将你所要拍摄的景物大致按照这三个区域去安排，也可以将示意图翻转180度或旋转90度来进行对照。
图B 图B-1 三分法则 “三分法则”实际上仅仅是“黄金分割”的简化版，其基本目的就是避免对称式构图，对称式构图通常把被摄物置于画面中央，这往往令人生厌。在图C1和C2中，可以看到与“黄金分割”相关的有四个点，用“十”字线标示。用“三分法则”来避免对
称在使用中有两种基本方法，第一种：我们可以把画面划分成分别占1/3和2/3面积的两个区域。 图C1 图C1-1 天然画框 有时在我们看到的场景中有一个引人注目的被摄主体，但往往由于主体周围杂乱的环境分散了观众的注意力而削弱了主体的吸引力，使照片最终的效果令人很失望。试试寻找一个能够排除杂乱环境干扰的天然画框使观众注意力集中于被摄主体，如图D利用主体周围的树枝形成一个天然画框从而使中间的山岩更为突出。 图D
优化设计黄金分割发以及迭代法
机械优化设计课程论文 院系机械工程系 专业机械设计 班级一班 姓名 学号
一、优化题目 应用所学计算机语言编写一维搜索的优化计算程序，完成计算结果和输出。 二、建立优化数学模型 1、目标函数方程式： y=pow(x,4)-1*pow(x,3)-3*pow(x,2)-16*x+10 2、变量：x 3、初始值： 初始值x1=5初始步长tt=0.01 三、所选用的优化方法 1、采用外推法确定搜索区间 2、采用黄金分割法求函数最优 3、计算框图： (1)、外推法程序框图 (2)、黄金分割法程序框图
四、计算输出内容： 五、优化的源程序文件： #include
n=n+1; printf("n=%d,c1=%6.4lf,x2=%6.4lf,x3=%6.4lf,f1=%6.4lf,f2=^6.4lf,f3=%6.4lf\n",n, x1,x2,x3,f1,f2,f3); while(f3
matlab编程实现二分法,牛顿法,黄金分割法,最速下降matlab程序代码
用二 4224min ()f t t t t =--[,.]t ∈内的极小值点，要求准 1. function [t d]=erfenfa(a,b) k=1; %记录循环次数 while abs(a-b)>0.0005 c=(a+b)/2; C(k)=c; %存储每次循环中点c 的值 if ff(c)<0 a=c; end if ff(c)==0 t1=c; break ; end if ff(c)>0 b=c; end k=k+1; end t=(a+b)/2; %最终符合要求的值 d=f(t); %最优解 C k function y=f(t) y=t^4-2*t^2-4*t; function y=ff(t) y=4*t^3-4*t-4; 运行结果 >> [t d]=erfenfa(1,1.5) C = Columns 1 through 9 1.2500 1.3750 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 1.3262 1.3252 Column 10 1.3247 k = 11
t = 1.3250 d = -5.7290 2.黄金分割法 f (x)=x3-2x+1 初始区间[0, 3]，收敛精度0.5 function [t,f]=huangjinfenge(a,b) m=1-(sqrt(5)-1)/2; t2=a+m*(b-a) f2=g(t2); t1=a+b-t2 f1=g(t1); while abs(t1-t2)>0.5 if f1
斐波那契数列与黄金分割的应用研究
斐波那契数列与黄金分割 应用研究 作者姓名 院系6系 学号
摘要 “斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，由于其所具有的各种特殊属性，它与最优美的黄金分割有这密不可分的关系。在数学领域以及自然界中随处可见，而且正逐渐被应用在人们的日常生活与娱乐中。 关键词：斐波那契，黄金分割，应用 1 引言 斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。假设一对成年兔子放于围栏中，每月可生下一对一雌一雄的小兔，而小兔出生一个月后便可以生育小兔，且每月都生下一对一雌一雄的小兔．问把这样一对初生的小兔置于围栏中，一年后围栏中共有多少对兔子(假定兔子没有死亡)?据此，可得月份与兔子对数之间的对应关系如下： 月份0 1 2 3 4 5 6 7 ? 大兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 ? 小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 ? 兔子总对数 1 1 2 3 5 8 13 21 ? 如果用F n 表示第n个月兔子的总对数，那么F n能构成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89?．这个数列显然有如下的递推关系： F n =F n-1 +F n-2 （n>1,n为正整数），F0 =0，F1 =1 (1) 满足(1)式的数列就叫做斐波那契数列，这是一个带有初值的用递推关系表示的数列。这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，以下是费氏数列的定义及通项公式。 费氏数列是是由一连串的数字所组成的（1、1、2、3、5、8、13、…），而且这串数字之间具有一定的规则，就是每一个数字必须是前两个数字的和( an =
0.618法的matlab实现
实验报告 实验题目: 0.618法的MATLAB实现学生姓名: 学号: 实验时间: 2013-5-13
一．实验名称: 0.618法求解单峰函数极小点 二．实验目的及要求: 1. 了解并熟悉0.618法的方法原理, 以及它的MATLAB 实现. 2. 运用0.618法解单峰函数的极小点. 三．实验内容： 1. 0.618法方法原理: 定理: 设f 是区间],[b a 上的单峰函数, ] ,[ ,)2()1(b a x x ∈, 且)2()1(x x <. 如果)()()2()1(x f x f >, 则对每一个],[)1(x a x ∈, 有)()()2(x f x f >; 如果)()()2()1(x f x f ≤, 则对每一个] ,[) 2(b x x ∈, 有)()()1(x f x f ≥. 根据上述定理, 只需选择两个试探点, 就可将包含极小点的区间缩短. 事实上, 必有 如果)()()2()1(x f x f >, 则],[)1(b x x ∈; 如果)()() 2()1(x f x f ≤, 则][)2(x a x ，∈. 0.618 法的基本思想是, 根据上述定理, 通过取试探点使包含极小点的区间(不确定区间)不断缩短, 当区间长度小到一定程度时, 区间上各点的函数值均接近极小值, 因此任意一点都可作为极小点的近似. 0.618 法计算试探点的公式: ). (618.0),(382.0k k k k k k k k a b a a b a -+=-+=μλ 2. 0.618法的算法步骤: ①置初始区间],[11b a 及精度要求0>L , 计算试探点1λ和1μ, 计算函数值)(1λf 和)(1μf . 计算公式是 ).(618.0 ),(382.011111111a b a a b a -+=-+=μλ 令1=k . ②若L a b k k <-, 则停止计算. 否则, 当)()(k k f f μλ>时, 转步骤③; 当)()(k k f f μλ≤时, 转步骤④. ③置k k a λ=+1, k k b b =+1, k k μλ=+1,)(618.01111++++-+=k k k k a b a μ, 计算函数值)(1+k f μ, 转步骤⑤.
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大学 机械优化设计部分程序
1.外推法 2.黄金分割法 3.二次插值法 4.坐标轮换法 5.随机方向法 6.四杆机构优化设计
1.外推法 源程序： #include #include 1黄金分割法的优化问题 （1）黄金分割法基本思路： 黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 （2）黄金分割法的基本原理 一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令 a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) 产品设计的迭代与进化 在未来的产品投放中，链接产品语言和用户语言的媒介是产品设计。这里的设计概念比现阶段的图形设计概念要深刻的多。了解这一点，我们必须先了解未来的产品会以什么样的形式呈现，本文内容属于产品设计的前卫探讨。 界面的概念将由屏幕硬件转向虚拟现实，其特点是空间边界无限性 图：产品设计的虚拟现实化不可避免 从世界上有第一台显像屏开始，界面这个概念就存在了。无论它用于什么地方，电视、电脑、手机、以及各种需要显像的硬件设备等等。它们的共同点在于界面与硬件之间的不可分割性，也就是硬件承载了软件，界面是软件的外在表现形式。目前市场现有的硬件产品中，界面并没有脱离硬件在其中的承载作品，任何一个设计师都不可能越过硬件给予的范围去进行界面设计。 比如：承载与苹果相关的产品，设计师必须遵照苹果公司给予的屏幕硬件数值进行界面和版式的设计，否则最终设计效果与苹果硬件上的显示不符。在现阶段，界面的显示范围始终存在边界。而未来的产品由于物联网的实现，界面的概念会比现阶段复杂的多，或者说更为多样化，更多的数值尺寸，更多的表现形式，加上虚拟现实技术的运用，界面不会再呈现出像今天这样具有固定尺寸范围的状态，或者说界面除了X，Y轴外，还多了一个Z轴，二维平面会由虚拟三维空间代替。这种三维空间的影像投射也不在依托平面载体，而是空间载体，成为 无边界设计。 在这种环境下，如何设计用户的交互行为已经不是平面操作的范畴，它会成视觉，听觉，心理，行为等一系列的连锁反应的总和，未来的产品设计会比现在的设计纬度更高，言外之意，现阶段的产品设计其实还处于数字化表现的初级阶段。 界面所需要的图形样式将由大量的模版制作承担 图：未来竞争会以个人头脑对抗群体头脑的形式呈现。 图形定制设计会没落。现阶段绝大多数的设计师的设计层级仅仅处于图形样式的范畴，如何让产品界面更好看或更吸引人，是他们所要思考的问题。层级上一点的会处于产品的交互与结构范围，他们更关注用户对产品的操作，产品结构本身功能的表现完善度等等。但很可惜，在未来的产品设计模版运用中，图形设计会被庞大的模版资源所替代，甚至简单的架构设计也可以通过数据模版实现，大数据可以告诉开发者在什么样的需求下哪些结构的搭建用户反响最好，并且将定制设计这种行为实现模块化，这对每一个设计师而言都不是个好消息，我们可以试想一下：当有N个产品设计样式可以根据开发者的市场需求，通过数据计算自动的组成模版并且提供全套设计图形资源的时候，没有任何一个设计师可以保证自己的创意会比这N组设计更有优势，因为个人的头脑终不敌群体的智慧，设计师不可避免的会依托在模板之上成为提供图形样式的服务商，其结果是无法跨越设计的层级进入产品的高级设计阶段，简单来说只有极少数设计师会具有真正 黄金分割的正确计算方法 1．618减去基数1，得0．618，1再减去0．618得0．382，黄金分割在个股当中的应用方式有一派观点认为是：直接从波段的低点加上0．382倍、0．618倍、1．382倍、1．618倍……作为其涨升压力。或者直接从波段的高点减去0．382倍及0．618倍，作为其下跌支撑。 另一派观点认为不应以波段的高低点作为其计算基期。而应该以前一波段的涨跌幅度作为计算基期，黄金分割的支撑点可分别用下述公式计算： 1、某段行情回档高点支撑＝某段行情终点－（某段行情终点－某段行情最低点）0．382 2、某段行情低点支撑＝某段行情终点－（某段行情终点－某段行情最低点）0．618 如果要计算目标位：则可用下列公式计算 3、前段行情最低点（或最高点）＝（前段行情最高点－本段行情起涨点）1．382（或1．618） 上述公式有四种计算方法，根据个股不同情况分别应用。 案例分析托普软件（000583） 该股的走势颇为符合黄金分割原则，1999年3月份，该股从14．31元起步，至6月底，该股拉升到34．31元，完成这一波的涨升，随后我们来看该股的支撑价位： 根据公式：下跌低点支撑＝34．31－（34．31－14．35）0．618＝22元事实上该股1999年11月份回调最低点为22．48元，误差极小，投资者只要在22元一线附近吸纳，就可以找到获利机会。目标价位也可通过公式计算。 上升行情上涨压力＝21．97＋（34．31－21．97）1．618＝42元 该股在今年二月份摸高至45元后回落，投资者在42元可以从容卖出获利。 该股走势说明了如果对黄金分割掌握透彻，可以成功利用它来捕捉黑马。使用时要注意。 1、买点在回调到0．618处比较安全，回调到0．382处对于激进型投资者较适合，稳健型投资者还是选择回调到0．618处介入。 2、卖点在涨升1．382处比较保守，只要趋势保持上升通道，可选择涨升1．618处卖出。 1黄金分割法的优化问题（1）黄金分割法基本思路： 黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 （2）黄金分割法的基本原理 一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（法）。该方法用不变的区间缩短率代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而着称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果 f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) 一、 填空题 [每空1分，共20分] 1.组成优化设计数学模型的三要素是 、 、 。 2.数学规划法的迭代公式是 ，其核心是 和 。 3.惩罚函数法的基本思想是通过增加变量将 优化问题变成 优化问题。 4.函数()22124F X x x =+在?? ????=420X 点处的梯度为 ，海赛矩阵为 。 5. 判断是否终止迭代的准则通常有 、 和 三种形式。 6.最速下降法以 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 法， 其收敛速度较 。 7.二元函数在某点处取得极值的充分条件是 ，必要条件是该点处的 。 8.用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 。 9.进退法确定搜索区间，函数值形成 区间。 二、 选择题 [每小题2分，共20分] 1. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a1=0.382,b1=0.618，由 此可知区间［a,b ］的值是( ) A. ［0,0.382］ B. ［0.618,1］ C. ［0,1］ D.［0.382,1］ 2．一个多元函数 ()F X 在X* 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ． ()*0F X ?= B. ()*0F X ?=,()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ?=,()*H X 为负定 3.已知二元二次型函数F(X)=AX X T 21，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A. 正定 B. 负定 C. 不定 D. 半正定 4.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ）。 A. 对初始点的要求不高 B. 要计算一阶偏导数 黄金分割法应用（一）(2009-04-19 23:00:42) 分类：技术操作 黄金分割是一种古老的数学方法，被应用于从埃及金字塔到礼品包装盒的各种事物之中，而且常常发挥我们意想不到的神奇作用。对于这个神秘的数字的神秘用途，科学上至今也没有令人信服的解释。但在证券市场中，黄金分割的妙用几乎横贯了整个技术分析领域，是交易者与市场分析人士最习惯引用的一组数字。 二、运用黄金分割线预测趋势的幅度 （一）运用黄金分割线买卖股票，必须解决三大问题： 1. 如何确定股价的出发点，即黄金分割线的0位线。一般是以股价近期走势中重要的峰位或底位。当股价上涨时，以底位零点股价为基数,其涨跌幅达到某一重要黄金比时，则可能发生转势。 2. 如何确定已知股市走势中的第二个黄金分割点，即确定黄金分割线的0.382位线。一般是以距零点较近的股价转折点做为黄金分割线的0.382位线。 3. 如何运用黄金分割点把握股市走势，买卖股票。如果我们知道了0和0.382分割点在股价中的位置，是不是到达0.5点时，就跑掉呢？不见得。这要结合大盘和个股股质具体情况来定，具体问题具体分析。若出现换手率过大、cyq快速向上移动、涨幅过大或基本面重大利空的其中一种情况，都应该考虑离场。 （二）黄金分割线的应用： 1、0.382和0.618是反映了股市变化的重要转折点。当股价涨势趋近或达到38.2%和61.8%时，反跌很可能出现。反之，当股价跌势趋近或38.2%和61.8%时，反弹的可能性很大。 2、当股价上升时，可按黄金率算出上升的空间价位。一般预计股价上升能力与反转价位点的数字是0.191、0.382、0.618、0.809和1。当股价涨幅超过1倍时，反跌点数字为1.91、1.382、1.618、1.809和2，依次类推。 黄金分割法-进退法-原理及流程图 1黄金分割法的优化问题 （1）黄金分割法基本思路： 黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 （2）黄金分割法的基本原理 一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令 a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) revisenewton.m syms x1 x2 x3 xx; % f = x1*x1 +x2*x2 -x1*x2 -10*x1 -4*x2 + 60 ; % f = x1^2 + 2*x2^2 - 2*x1 *x2 -4*x1 ; f = 100 * (x1^2 - x2^2) + (x1 -1 )^2 ; hessen = jacobian(jacobian(f , [x1,x2]),[x1,x2]) ; gradd = jacobian(f , [x1,x2]) ; X0 = [0,0]' ; B = gradd' ; x1 = X0(1); x2 = X0(2); A = eval(gradd) ; % while sqrt( A(1)^2 + A(2)^2) >0.1 i=0; while norm(A) >0.1 i = i+1 ; fprintf('the number of iterations is: %d\n', i) if i>10 break; end B1 = inv(hessen)* B ; B2= eval(B1); % X1 = X0 - B2 % X0 = X1 ; f1= x1 + xx * B2(1); f2= x2 + xx* B2(2); % ff = norm(BB) ? syms x1 x2 ; fT=[subs(gradd(1),x1,f1),subs(gradd(2),x2,f2)]; ff = sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2); MinData = GoldData(ff,0,1,0.01); x1 = X0(1); x2 = X0(2); x1 = x1 + MinData * B2(1) x2 = x2 + MinData * B2(2) A = eval(gradd) End GoldData.m function MiniData = GoldData( f,x0,h0,eps) syms xx; 牛顿法 迭代公式：(1)2()1()[()]()k k k k x x f x f x +-=-?? Matlab 代码： function [x1,k] =newton(x1,eps) hs=inline('(x-1)^4+y^2'); 写入函数 ezcontour(hs,[-10 10 -10 10]); 建立坐标系 hold on; 显示图像 syms x y 定义变量 f=(x-1)^4+y^2; 定义函数 grad1=jacobian(f,[x,y]); 求f 的一阶梯度 grad2=jacobian(grad1,[x,y]); 求f 的二阶梯度 k=0; 迭代初始值 while 1 循环 grad1z=subs(subs(grad1,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 一阶梯度赋初值 grad2z=subs(subs(grad2,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 二阶梯度赋初值 x2=x1-inv(grad2z)*(grad1z)'; 核心迭代公式 if norm(x1-x2) end end end 优点：在极小点附近收敛快 缺点：但是要计算目标函数的hesse 矩阵 最速下降法 1. ：选取初始点xo ，给定误差 2. 计算一阶梯度。若一阶梯度小于误差，停止迭代，输出 3. 取()()()k k p f x =? 4. 10 t ()(), 1.min k k k k k k k k k k t f x t p f x tp x x t p k k +≥+=+=+=+进行一维搜索，求，使得令转第二步 例题： 求min (x-2)^4+(x-2*y)^2.初始值（0,3）误差为0.1 (1)编写一个目标函数，存为f.m function z = f( x,y ) z=(x-2.0)^4+(x-2.0*y)^2; end (2)分别关于x 和y 求出一阶梯度，分别存为fx.m 和fy.m function z = fx( x,y ) z=2.0*x-4.0*y+4.0*(x-2.0)^3; end 和 function z = fy( x,y ) 0.618法的实例研究: 一、算法理论 黄金分割法是用于一元函数)(x f 在确定的初始区间],[b a 内搜索极小点a '的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、效果明显而著称，是许多优化算法的基础。但它只适用于某个区间上的凸函数。其基本思想是：依照“去坏留好”原则，对 称原则，以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围。 0.618法适用于单峰区间函数，即所在区间],[b a 上。具体的说，对于单峰函数，只需选择两个试探点，即在区间],[b a 中取点)(382.01a b a x -+=， )(618.02a b a x -+=， 且21x x <，就可以将包含极小点* x 的区间缩短。事实上，必有：若)()(21x f x f >，则],[1*b x x ∈；若)()(21x f x f ≤，则],[2* x a x ∈。 根据单峰函数这个性质，就可以不断迭代缩小包含极小点的区间。若进行k 次迭代 后，有],[* k k b a x ∈，那么我们在区间],[k k b a 取两个试探点)(382.01a b a x -+=， )(618.02a b a x -+=，且21x x <，计算)(),(21x f x f 的值。如果)()(21x f x f =，令 b x a x ==21,，那么计算||b a -，如果ξ≤-||b a （ξ为所给的精度） ，则* 2 x b a =+； 如果 )()(21x f x f >，令11x a k =+，k k b b =+1；如果)()(21x f x f <，令k k a a =+1， 21x b k =+，如此继续。这样每次可将搜索区间缩小0.328倍或者0.618倍，直至缩为一 点。黄金分割原理如图1所示，其中618.0=K ，区间长度为L 。该算法为收敛速度很 快的一种搜索方法。 图1. 二、算法框图 中南林业科技大学 本科课程论文 学院：理学院 专业年级：14级信息与计算科学2班 学生姓名：邱文林学号：20144349 课程：MATLAB程序设计教程 设计题目：基于MATLAB的黄金分割法与抛物线插值法指导教师：龚志伟 2016年4月 中文摘要 为了求解最优化模型的最优解，可使用基于MATLAB算法编程的黄金分割法与抛物线插值法，来实现求解的过程。黄金分割法是通过所选试点的函数值而逐步缩短单谷区间来搜索最优点，利用迭代进而得出结论。抛物线插值法亦称二次插值法，是一种多项式插值法，逐次以拟合的二次曲线的极小点，逼近原寻求函数极小点的一种方法。通过将MATLAB与最优化问题相结合，不仅可以加深对黄金分割法、抛物线插值法的基本理解和算法框图及其步骤的全面理解，也有利于帮助我们掌握MATLAB的使用方法。 关键词：MATLAB，黄金分割法，抛物线插值法，最优解，迭代 英文摘要 In order to solve the optimization model of the optimal solution, using MATLAB algorithm based on the golden section method and the parabola interpolation method, to realize the process of solving. The golden section method is used to search the most advantage through the function value of the selected pilot, which can be used to search for the most advantage. Parabolic interpolation method, also known as the two interpolation method, is a polynomial interpolation method, successive to fit the two curve of the minimum point, the original search function to find a very small point of the method. By combining MATLAB and optimization problems can not only deepen the comprehensive understanding of the golden section method, the parabola interpolation basic understanding and block diagram of the algorithm and steps, but also conducive to help us to grasp the method of using MATLAB. Key words: MATLAB, golden section method, parabolic interpolation method, optimal solution, iteration 用黄金分割法求解2min ()2,?αα α=-取初始区间[,][2,5],a b =-并给出前两次迭代 的迭代点. 附: 用黄金分割法法求单变量函数φ 在单峰区间[a , b ] 上的近似极小点. function [s,phis,k,G,E]=golds(phi,a,b,delta,epsilon) %输入: phi 是目标函数, a, b 是搜索区间的两个端点 % delta, epsilon 分别是自变量和函数值的容许误差 %输出: s, phis 分别是近似极小点和极小值, G 是nx4矩阵, % 其第k 行分别是a,p,q,b 的第k 次迭代值[ak,pk,qk,bk], % E=[ds,dphi], 分别是s 和phis 的误差限. t=(sqrt(5)-1)/2; h=b-a; phia=feval(phi,a); phib=feval(phi,b); p=a+(1-t)*h; q=a+t*h; phip=feval(phi,p); phiq=feval(phi,q); k=1; G(k,:)=[a, p, q, b]; while(abs(phib-phia).epsilon)—(h.delta) if(phip.phiq) b=q; phib=phiq; q=p; phiq=phip; h=b-a; p=a+(1-t)*h; phip=feval(phi,p); else a=p; phia=phip; p=q; phip=phiq; h=b-a; q=a+t*h; phiq=feval(phi,q); end k=k+1; G(k,:)=[a, p, q, b]; end ds=abs(b-a); dphi=abs(phib-phia); if(phip.=phiq) s=p; phis=phip; else s=q; phis=phiq; end E=[ds,dphi]; 用黄金分割法求极小点程序 用黄金分割法求目标函数82430163)(234+-+-=x x x x x f 在[0,3]中的极小点，迭代精度取0.001。 解：在搜索区间[0,3]内取两试点a 1和a 2，计算它们的函数值 a 1= b ?0.618 b ?a =3?0.618? 3?0 =1.146 f 1=f a 1 =3?1.1464?16?1.1463+30?1.1462?24?1.146+8=0.9889 a 2=a +0.618 b ?a =0.618?3=1.854 f 2=f a 2 =3?1.8544?16?1.8543+30?1.8542?24?1.854+8=0.1044 比较函数值f 1和f 2，缩短搜索区间 由于f 2黄金分割法,进退法,原理及流程图
产品设计的迭代与进化
黄金分割的正确计算方法
黄金分割法,进退法,原理及流程图
机械优化设计试题复习过程
黄金分割法应用
黄金分割法-进退法-原理及流程图
最优化方法之修正牛顿法matlab源码(含黄金分割法寻找步长)
最优化牛顿法最速下降法共轭梯度法matlab代码
0.618与二分法的学习
MATLAB黄金分割法课程论文--分析
最优化作业1-黄金分割法
用黄金分割法求极小点程序