优化设计实验报告

机械优化设计

实

验

报

告

姓名：欧阳龙

学号：2007500817

班级：07机设一班一、黄金分割法

1、 数学模型

2()2f x x x =+，56x -≤≤

2、 黄金分割法简介

黄金分割法适用于单谷函数求极小值问题，且函数可以不连续。黄金分割法是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[],a b 内适当插入两点1α、2α，并计算其函数值。1α、2α将区间分成三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。黄金分割法能使相邻两次都具有相同的缩短率0.618，故黄金分割法又称作0.618法。

3、黄金分割法程序清单

#include

#include

/*目标函数*/

float ff(float x)

{

float y;

y=x*x+2*x;

return(y);

}

main()

{

float a,b,ab,Epsilon;

float y1,y2,Alpha1,Alpha2;

float Lambda=0.618;

printf("please input the arear and Epsilon\n");

scanf("%f,%f,%f",&a,&b,&Epsilon);

Alpha1=b-Lambda*(b-a),Alpha2=a+Lambda*(b-a);

printf("%f,%f\n",Alpha1,Alpha2);

y1=ff(Alpha1);y2=ff(Alpha2);

printf("y1=%f,y2=%f\n",y1,y2);

do

{if(y1>=y2)

{a=Alpha1;

Alpha1=Alpha2;

y1=y2;

Alpha2=a+Lambda*(b-a);

y2=Alpha2*Alpha2+2*Alpha2;

}

else{

b=Alpha2;

Alpha2=Alpha1;

y2=y1;

Alpha1=b-Lambda*(b-a);

y1=Alpha1*Alpha1+2*Alpha1;

}

printf("a=%f,b=%f,y1=%f,y2=%f\n",a,b,y1,y2);

}while(!(abs((b-a)/b)

ab=0.5*(a+b);

y1=ff(ab);

printf("the result is ：%f",y1);

getch();

}

4、运行结果：

一、 变尺度法

1、 数学模型

2112

22121248),(x x x x x x x F --+=

2、 变尺度法简介

基本思想：

（1） 用简单矩阵代替二阶导数矩阵的逆矩阵12()k f X -⎡⎤∇⎣⎦ （2） 用坐标变换简化目标函数

具体如下：

当用牛顿法寻求极小点时，其牛顿迭代公式为

11(0,1,2)k k k k k x x G g k α+-=-=

其中

在迭代中建立变尺度矩阵()k k H H x ≡来替换1k G -，即构造一个矩阵序列{}k H 来逼近

海赛逆矩阵序列{}

1k G -。每迭代一次，尺度就改变一次，这正是“变尺度”的含义。这样，上式变为

11(0,1,2)k k k k k x

x G g k α+-=-= 其中k α是从k x 出发，沿方向 k k k d H g =-作一维搜索而得到

的最佳步长。当k H I （单位矩阵）时，它就变成最速下降法。这就是变尺度法的基本思想。

变尺度法程序清单：

/*计算 f(x1,x2)=x1^2+8*x2^2-4*x1-2*x1*x2 的无约束极值，初始点x0=[1,1]。

tt ---- 一维搜索初始步长

ff ---- 差分法求梯度时的步长

ac ---- 终止迭代收敛精度

ad ---- 一维搜索收敛精度

n ----- 设计变量的维数

xk[n] -- 迭代初始点

*/

#include

#include

#include

#include

#define tt 0.01

#define ff 1.0e-6

#define ac 1.0e-6

#define ad 1.0e-6

#define n 8

double ia;

double fny(double *x)

{

double x1=x[0],x2=x[1];

double f;

f=x1*x1+8*x2*x2-4*x1-2*x1*x2;

return f;

}

double * iterate(double *x,double a,double *s)

{

double *x1;

int i;

x1=(double *)malloc(n*sizeof(double));

for(i=0;i

x1[i]=x[i]+a*s[i];

return x1;

}

double func(double *x,double a,double *s)

{

double *x1;

double f;

x1=iterate(x,a,s);

f=fny(x1);

return f;

}

void finding(double a[3],double f[3],double *xk,double *s) {

double t=tt;

int i;

double a1,f1;

a[0]=0;f[0]=func(xk,a[0],s);

for(i=0;;i++)

{

a[1]=a[0]+t;

f[1]=func(xk,a[1],s);

if(f[1]

if(fabs(f[1]-f[0])>=ad)

{

t=-t;

a[0]=a[1];f[0]=f[1];

}

else

{

if(ia==1) return;

t=t/2;ia=1;

}

}

for(i=0;;i++)

{

a[2]=a[1]+t;

f[2]=func(xk,a[2],s);

if(f[2]>f[1]) break;

t=2*t;

a[0]=a[1];f[0]=f[1];

a[1]=a[2];f[1]=f[2];

}

if(a[0]>a[2])

{

a1=a[0];

f1=f[0];

a[0]=a[2];

f[0]=f[2];

a[2]=a1;

f[2]=f1;

}

return;

}

double lagrange(double *xk,double *ft,double *s)

{

int i;

double a[3],f[3];

double b,c,d,aa;

finding(a,f,xk,s);

for(i=0;;i++)

{

if(ia==1) { aa=a[1]; *ft=f[1]; break; }

d=(pow(a[0],2)-pow(a[2],2))*(a[0]-a[1])-(pow(a[0],2)-pow(a[1],2))*(a[0]-a[2]);

if(fabs(d)==0) break;

c=((f[0]-f[2])*(a[0]-a[1])-(f[0]-f[1])*(a[0]-a[2]))/d;

if(fabs(c)==0) break;

b=((f[0]-f[1])-c*(pow(a[0],2)-pow(a[1],2)))/(a[0]-a[1]);

aa=-b/(2*c);

*ft=func(xk,aa,s);

if(fabs(aa-a[1])<=ad) {if(*ft>f[1]) aa=a[1];break;}

if(aa>a[1])

{

if(*ft>f[1]) {a[2]=aa;f[2]=*ft;}

else if(*ft

else if(*ft==f[1])

{

a[2]=aa;a[0]=a[1];

f[2]=*ft;f[0]=f[1];

a[1]=(a[0]+a[2])/2;

f[1]=func(xk,a[1],s);

}

}

else

{

if(*ft>f[1]) {a[0]=aa;f[0]=*ft;}

else if(*ft

{a[0]=aa;a[2]=a[1];

f[0]=*ft;f[2]=f[1];

a[1]=(a[0]+a[2])/2;

f[1]=func(xk,a[1],s);

}

}

}

if(*ft>f[1]) {*ft=f[1];aa=a[1];}

return aa;

}

double *gradient(double *xk)

{

double *g,f1,f2,q;

int i;

g=(double*)malloc(n*sizeof(double));

f1=fny(xk);

for(i=0;i

{q=ff;

xk[i]=xk[i]+q; f2=fny(xk);

g[i]=(f2-f1)/q; xk[i]=xk[i]-q;

}

return g;

}

double * bfgs(double *xk)

{

double u[n],v[n],h[n][n],dx[n],dg[n],s[n];

double aa,ib;

double *ft,*xk1,*g1,*g2,*xx,*x0=xk;

double fi;

int i,j,k;

ft=(double *)malloc(sizeof(double));

xk1=(double *)malloc(n*sizeof(double));

for(i=0;i

{

s[i]=0;

for(j=0;j

{

h[i][j]=0;

if(j==i) h[i][j]=1;

}

}

g1=gradient(xk);

fi=fny(xk);

x0=xk;

for(k=0;k

{

ib=0;

if(ia==1) { xx=xk; break; }

ib=0;

for(i=0;i

for(i=0;i

for(j=0;j

s[i]+= -h[i][j]*g1[j];

aa=lagrange(xk,ft,s);

xk1=iterate(xk,aa,s);

g2=gradient(xk1);

for(i=0;i

if((fabs(g2[i])>=ac)&&(fabs(g2[i]-g1[i])>=ac))

{ib=ib+1;}

if(ib==0) { xx=xk1; break; }

fi=*ft;

if(k==n-1)

{ int j;

xk=xk1;

for(i=0;i

for(j=0;j

{

h[i][j]=0;

if(j==i) h[i][j]=1;

}

g1=g2; k=-1;

}

else

{

int j;

double a1=0,a2=0;

for(i=0;i

{

dg[i]=g2[i]-g1[i];

dx[i]=xk1[i]-xk[i];

}

for(i=0;i

{

int j;

u[i]=0;v[i]=0;

for(j=0;j

{

u[i]=u[i]+dg[j]*h[j][i];

v[i]=v[i]+dg[j]*h[i][j];

}

}

for(j=0;j

{

a1+=dx[j]*dg[j];

a2+=v[j]*dg[j];

}

if(fabs(a1)!=0)

{

a2=1+a2/a1;

for(i=0;i

for(j=0;j

h[i][j]+=(a2*dx[i]*dx[j]-v[i]*dx[j]-dx[i]*u[j])/a1;

}

xk=xk1; g1=g2;

}

}

if(*ft>fi) { *ft=fi; xx=xk;}

xk=x0;

return xx;

}

void main ()

{

int k;

double *xx,f;

double xk[n]={1,1};

xx=bfgs(xk);

f=fny(xx);

printf("\n\nThe Optimal Design Result Is:\n");

for(k=0;k

{printf("\nk=%d\n\tx[%d]*=%f",k,k+1,xx[k]);}

printf("\n\tf*=%f",f);

getch();

}

4、运行结果：

三、复合形法

1、数学模型

168,F 2

22121--=x x x x ）（

2、复合形法简介

复合形法是指n 维空间上取k （12n k n +≤≤）个点作为顶点所构成的n 维超多面体。

（1）基本思路：在可行域内选取若干初始点，并以之为顶点构成一个多面体（复合形），然后比较个顶点的函数值，去掉最坏点，代之以好的新点，并构成新的复合形，以逼近最优点。

（2）初始复合形的生成

法一：由设计者根据问题性质，自行确定K 个可行点来生成复合形

法二：设计者选择一个可行点，其它由随机函数来生成（K-1）个

(),1,2,

,j j x a r b a j k =+-= 式中：j r 是随机函数生的随机数。

法三：全部由计算机自动生成初始复合形的全部顶点。

（3） 复合形法的搜索方法

一、反射 二、扩张 三、收缩 四、压缩

3、复合形法程序清单：

/*已知：F(x1,x2)=8*x1-x2的平方-16；求极小值，极小值点，迭代次数？用复合形法求极值。

约束条件：x2>=0;

x1>=0;

25-x1的平方-x2的平方>=0;*/

#include

#include

#define EP 0.0001

#define E 0.001

#define fori for(i=0;i<=1;i++)

int i;

float f(float *p)

{

float y;

y=8*p[0]-pow(p[1],2)-16;

return(y);

}

int cons(float *q)

{

int n;

if((pow(q[0],2)+pow(q[1],2)-25<=0)&&(q[0]>=0)&&(q[1]>=0))

n=1;

else

n=0;

return(n);

}

void paixu(float *p1,float *p2,float *p3)

{

float f1,f2,f3;

float L[2],M[2],H[2];

f1=f(p1);

f2=f(p2);

f3=f(p3);

fori { H[i]=p1[i];M[i]=p2[i];L[i]=p3[i];}

if(f1>f2)

{

if(f2

if(f1>f3)

fori { M[i]=p3[i];L[i]=p2[i];}

else

fori { H[i]=p3[i];M[i]=p1[i];L[i]=p2[i];}

}

else

if(f2

fori { H[i]=p3[i];L[i]=p1[i];}

else

if(f1>f3)

fori { H[i]=p2[i];M[i]=p1[i];L[i]=p3[i];}

else

fori { H[i]=p2[i];M[i]=p3[i];L[i]=p1[i];}

fori { p1[i]=H[i];p2[i]=M[i];p3[i]=L[i];}

}

float r()

{

float rr;

do

rr=rand();

while(rr<=0);

rr=rr/32767;

return(rr);

}

main()

{

float x1[2]={2,1},x2[2]={4,1},x3[2]={3,3};

float XC[2],XR[2],A[2],B[2];

float H=1.3,FH,FR,FC,FL,cha,min,S;

int tf,tf1,tf2,j=1;

do

{

do

{

paixu(x1,x2,x3);

/*

fori printf("\n X1%d is %f,X2%d is %f,X3%d is %f.",i,x1[i],i,x2[i],i,x3[i]);

*/

fori XC[i]=(x2[i]+x3[i])/2;

/*

fori printf("\n XC%d is %f.",i,XC[i]);

*/

tf1=cons(XC);

if(tf1==0)

{

FC=f(XC);

FL=f(x3);

if(FL

fori { A[i]=x3[i];B[i]=XC[i];}

else

fori { A[i]=XC[i];B[i]=x3[i];}

do

{ S=r();x1[i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]);tf2=cons(x1);}

while(tf2==0);

do

{ S=r();x2[i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]);tf2=cons(x2);}

while(tf2==0);

do

{ S=r();x3[i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]);tf2=cons(x3);}

while(tf2==0);

}

}

while(tf1==0);

fori XR[i]=XC[i]+H*(XC[i]-x1[i]);

/*

fori printf("\n XR%d is %f.",i,XR[i]);

*/

FH=f(x1);

FR=f(XR);

tf=cons(XR);

if(tf&&(FR

{

fori x1[i]=XR[i];

/*

printf("\n 1");

*/

}

else

H=H/2;

/*

printf("\n H is %f.",H);

*/

if(H

fori { x1[i]=x2[i];H=1.3;}

cha=(pow((f(x1)-f(x3)),2)+pow((f(x2)-f(x3)),2))/2;

/*

printf("/n Cha is %f.",cha);

*/

printf("i=%d\tFH=%f\tFR=%f\tFC=%f\tFL=%f\n",j++,FH,FR,FC,FL);/**/

}

while(cha>E);

min=f(x3);

printf("\n The Min is %f.",min);

fori printf("\n The X%d is %f.",i,x3[i]);

getch();

4、运行结果：