二分法与黄金分割法的比较
黄金分割法
黄金分割法 目录 一、数学·黄金分割法 二、摄影·黄金分割法 一、数学·黄金分割法 二、摄影·黄金分割法 展开 编辑本段一、数学·黄金分割法 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618，所以也称为0.618法。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。 让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做"菲波那契数列"，这些数被称为"菲波那契数"。特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。 菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n-1)/f(n)→0.618…。由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。 一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角
星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。 由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。 黄金分割点约等于0．618：1 是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。 利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星，正五边形。 2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。 黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。 发现历史 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
最优化理论与方法
课程报告题目最优化理论与方法 学生姓名 学号 院系 专业
二Ｏ一二年十一月十日 最优化理论与方法综述 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。这就是我理解的整个课程的流程。在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。 20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。 最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。 最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。 一、最优化学习的必要性
绘画技巧的黄金分割点
三分法（The rule of thirds）三分法是由黄金分割定律（the golden rule）而来的，实际上是同一个概念，只是三分法针对摄像比例（photographic proportions）作了些微改动。我认为正是因为其前身非常简单，所以理解起来更加容易。在这里我们以实例来说明究竟什么是三分法。你应该注意到主要的焦点大都直接位于“黄金分割点”（“golden means”）上。而其他物体则安排在收敛线的附近（如飞鸟），但不是直接在上面，以免抢了焦点的风头。
这些线互相交叉形成左上、左下、右上、右下四个定点。注意所有这些“热点”（hotspots）都是偏离画面中心位置的。两个最好的“权力点”（power points）是右上点和右下点，因为当人欣赏一幅画时，其视线从左下角进入，然后穿过画面中心，最后停在右边的“黄金点”位置——“趣味中心点”（Center Of Interest）上。视线之所以从左下方进入是因为我们的读书习惯是从左向右。这个心理学现象很多年前就被证实了。下次参观陈列古代耶稣基督题材的绘画作品the Old Masters paintings的艺术画廊或博物馆时，你可以观察一下在“黄金分割”位置上有多少兴趣中心（Center Of Interest）。以上是一个关于三分法的例子，是一个垂直画面。如你所见，无论画面比例如何，三分法都适用。注意热点是落在收敛线的中心附近。应格外小心的是不要把两个同等重要的兴趣中心直接放在两个黄金分割点上，尤其是位于画面的两侧。这会混淆观察者的视线，使其在两个兴趣中心之间游离不定，最后厌倦而离开。黄金分割定律和三分法：神圣的比例将画面从水平方向和垂直方向分别分成三部分时，线条交叉的地方就是一个“黄金分割点”（Golden Mean），或者说是放置焦点的最佳位置。黄金分割定律起源于古希腊。古希腊人既是伟大的数学家，同时又是伟大的艺术家，他们认为在布局上存在着一个达到最佳审美效果的平衡。经过进一步发展，定义了所谓的“权力点”（power points），权力点被放置在黄金分割定律中线条交叉的地方。被安置在权力点上的主要对象则进一步被称为焦点。黄金分割定律通常可以用来确定画面比例。读了下文你会发现大部分图像都采用了相似的尺寸，并且都形成一个“黄金矩形”（Golden Rectangle）。在今天你可以到处发现黄金矩形的存在：信用卡、电话卡、书籍封面……，都遵循了这个比例。这个黄金分割率The Golden Ratio（长边与短边之比）也存在于许多自然现象中。人鼻子的长度与下巴底部到鼻子底部之间的距离之比就符合黄金分割率。甲壳类动物的螺旋形生长也遵循了这个比率。这个神圣的比例是一种内在的美学标准指引着我们的审美观。下面的图形说明的是如何运用黄金分割定律在给空白画面划分空间。基本原理就是把一条线分成两部分，最小部分与最大部分之比等于最大部分与整条线的长度之比。换言之就是A/B = B/(A+B)。这个比率约是1/1.618。说实话，我始终搞不清楚它究竟意味着什么。但在我刚开始绘画时，遵循这个比率安排版面非常管用。现在我仍然这样做。 刚开始，你可能会发现对于每一幅作品的版面安排该比率都适用。先以该比率大体安排好画面可以时刻提醒何处该放置重点对象，有助于实现成功的布局。“隐含格式”（Implied Forms）是隐含的线条（Implied Lines）的集合，保持画面紧凑不松散。如果显露出来，它们会使眼睛产生愉悦的感觉从而停留在画面上。下文将以实例介绍多种不同的隐含格式和布局方式。隐含格式：环形环形由连续的“曲线”组成，其环形的运动轨迹将视线牢牢地吸引在画面上。在自然界及人类创造物中有许多的圆环形物体。运用到布局上时，可以一种很明显的方式，也可只稍稍提一下。
制药工艺学总结第四章
各步反应条件的研究和优化的目的：加速反应、提高收率和减少副反应的发生 影响反应速度的因素： （1）简单反应 以反应分子数和反应级数分为： 1.单分子反应 在一基元反应过程中，若只有一分子参与反应，则称为单分子反应。反应速度与反应物浓度成正比。 热分解反应、异构化反应、分子重排、酮型和烯醇型的互变异构。 2.双分子反应 当两分子碰撞时相互作用而发生的反应成为双分子反应，也即二级反应。反应速度与反应物的乘积（相当于二次方）成正比。 3.零级反应 若反应速度与反应物浓度无关，而仅受其它因素影响的反应为零级反应，其反应速度为常数。 某些光化学反应、表面催化反应、电解反应 （2）复杂反应 1.可逆反应 2.平行反应 平行反应—一反应物系统同时进行几种不同的化学反应。在生产上将所需要的反应称为主反应，其余称为副反应 3、连续反应 反应配料比 配料比主要根据反应过程的类型来考虑： 1)可逆反应 2)当反应生成物的生成量取决于反应液中某一反应物的浓度时，则增加其配料比。最适合的配料比应是收率较高，同时单耗较低的某一范围内。 3)若反应中，有一反应物不稳定，则可增加其用量，以保证有足够的量参与主反应。 4)当参与主、副反应的反应物不尽相同时，应利用这一差异，增加某一反应的用量，以增加主反应的竞争力。 可采取增加反应物之一浓度（即增加其配料比），或从反应系统中不断除去生成物之一的办法，以提高反应速度和增加产物的收率。 5)为防止连续反应（副反应）的发生，有些反应当配料比宜小于理论量，使反应进行到一定程度，停下来。如乙苯是在三氯化铝催化下，将乙烯通入苯中制得。所得乙苯由于引入乙基的供电性能，使苯环更为活泼，极易继续引入第二个乙基。 反应时的溶剂和溶剂化效应： 1.溶剂对反应速度的影响 有机反应按其反应机理可分为两大类：游离基反应；离子型反应。在游离基反应中，溶剂对反应并无显著影响；在离子型反应中，溶剂对反应影响是很大。 溶剂化（水化） 指每一个溶解的分子或离子，被一层溶剂分子疏密程度不同地包围着。溶剂层的形成是溶质离子和溶剂分子间作用力的结果。 2.溶剂对反应方向的影响 3.溶剂对产品构型的影响 由于溶剂极性不同，有的反应产物中顺反异构体的比例不同。Wittig试剂与醛类和不对称
数值分析
二 数值分析 （一） 数值分析的背景 随着计算机技术的发展和科学技术的进步， 计算数学的理论与基本方法已影响到许多学科， 并在生产、管理以及科学研究中得到了广泛应用。数值分析作为计算数学的主要部分， 它是研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现， 是一门与计算机使用密切结合的实用性和实践性很强的数学课程， 是应用数学专业、信息与计算科学专业及很多理工科专业的核心课程。数值分析除了具备数学高度抽象性与严密科学性的特点外， 有其自身的特点， 其理论体系构建、算法设计等的思维方式具有鲜明特征， 与其它数学课程相比， 更加注重方法和解决实际问题的工程思想， 特别注意在方法的精确性和有效性之间平衡。[11] （二）误差来源 利用数值方法求解得到的数值解是解析解的近似结果，因而误差是不可避免的。误差的来源是多方面的，产生误差的原因主要有以下几个方面： 1.模型误差：数学模型——对实际问题的仅是刻画：基于对实际问题近似描述的数学模型进行数值计算，例如利用函数的n 阶Taylor 展式 ()()()()()() () () () ( ) 2 00000000 2! ! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο '''=+-+ -++ -+- 计算函数值； 2.观测误差：数学模型或计算公式中通常包含若干参数，这些参数往往是通过观测或实验得到的，这样得到的参数与其真值之间有一定的差异即所谓的观测误
差，例如描述弹簧受迫振动的二阶线性常系数微分方程() 2 2 d x dx m kx f t dt dt ω ++=中的质量m 、阻尼系数ω和弹性系数k 等。更一般地：对物体的长宽高、电压、温度、速度的量测等。 3.截断误差：许多数学运算是通过极限过程定义的，如微分、积分以及无穷级数求和等，由于计算机只能完成有限的算术预算和逻辑运算，所以在利用计算机进行计算是需要把无限的计算过程用有限的计算过程代替，由此产生的误差成为截断误差； 4.舍入误差：实际计算时只能按有限位进行，特别是里用计算机计算，由于计算机的有限位的限制，对参与运算的数据以及运算结果往往要进行舍入，例如利用公式2A R π= 计算圆的面积时，π需用有限的小数代替，由此产生的误差成为舍入误差。 （三）计算的基本准则 1.尽量减少计算步骤，简化计算； 2.尽量避免两个相近的数减，例：7 1.23456789 1.23456788 0.0000000110 0.1 a b a b -=?? =?? -==? 原始数据有9位有效数字，运算结果只有1位有效数字。 3.尽量避免较大的数和较小的数相加，例：510000100.100000.10000 10000.110000 a b a b ?==?? =?? +== 较小的数被较大的数“吃”掉了。 4.尽量避免绝对值较小的数做除数，例：当x 较大时 ， 1000 =+ 。
黄金分割线的画法和使用方法
黄金分割线的画法和使用方法 黄金分割线是指一个线段分为两个部分，其中较长部分与整个线 段的比值等于较短部分与较长部分的比值。它是一种经典的比例关系，被广泛运用于艺术、建筑、设计等领域。本文将详细介绍黄金分割线 的画法和使用方法。 一、黄金分割线的画法 黄金分割线的画法主要有以下几种方法： 1.黄金矩形法：首先，我们需要一个正方形，将其分为左右两个 相等的长方形。然后，从这个正方形中将一个较小的正方形剪去，留 下一个较大的矩形。接下来，将这个较大的矩形继续按照相同的方法 分割，再次剪去一个较小的正方形。如此循环下去，即可得到一系列 趋近于黄金分割的矩形。 2.黄金螺旋法：首先，在一个正方形中画一个内切的圆。然后， 以这个圆的半径为基准，从圆心开始逆时针画一系列相切的正方形。 每个正方形的右上角与前一个正方形的左上角相连，形成一个逐渐扩 大的螺旋。这条螺旋线与正方形的边界交点，即为黄金分割点。 3.黄金三角形法：首先，我们需要一个底边长度为1的等边三角形。然后，将底边的中点与底角连成一条线段，并以此线段为边构建 一个新的等边三角形。接下来，将这个新的等边三角形的底边中点与 底角连成一条线段，并以此线段为边构建另一个等边三角形。如此循 环下去，即可得到一系列趋近于黄金分割的三角形。 二、黄金分割线的使用方法 黄金分割线在艺术、建筑和设计等领域具有广泛的应用，以下是 一些使用方法的具体介绍： 1.构图与布局：黄金分割线可以用来指导艺术作品、照片、画面 等的构图与布局。在构图时，将画面或照片划分为黄金分割的比例， 可以使整个画面更加均衡、美观和吸引人。 2.建筑设计：黄金分割线可以应用于建筑物的设计和布局。在设
matlab二分法
matlab二分法 MATLAB二分法是一种常用的求解非线性方程的数值解法，它通过不断地将定义域分成若干个子区间，从而找到近似解。与梯形法和牛顿迭代法相比，MATLAB 二分法又称为“分治法”，是一种简单、直观、快速和有效的求解非线性方程的数值解法。 1. 二分法原理 MATLAB 二分法是根据“分而治之”的思想来求解非线性方程的数值解的。它的基本思想是，将定义域分成两个子区间，其中一个子区间的函数值的符号一定是固定的，另一个子区间的函数值的符号也是固定的，只有当它们的符号相反时，才能确定解存在于这两个子区间之间。然后，再对缩小的子区间重复以上操作，进而确定非线性方程的近似解，也就是所谓的“黄金分割法”。 2. MATLAB 二分法的步骤 （1）始条件 首先，要将定义域分成两个子区间，在每一个子区间内，假定函数值的符号是固定的；确定迭代初值 $x_0，比如$x_0=0.5； （2）代计算 求出迭代第二值 $x_1，即 $x_1=x_0+frac{b-x_0}{2}，计算出$x_1$值，计算函数值的符号； （3）晕条件 当求得的函数值的符号与定义域中一边的函数值的符号相反时，认为解存在于此子区间之间，继续将所取得的子区间继续缩小，直到
定义域中的某两个端点接近，或者函数值的绝对值小于指定的误差范围，此时称为收敛； （4）的输出 将收敛时的根 $x_n$ 作为解的输出。 3. MATLAB 二分法的优缺点 （1） MATLAB 二分法的优点 MATLAB 二分法具有简单、直观、快速和有效的特点，只要能够确定函数在定义域中的一边的函数值的符号，就可以求出近似解。 （2） MATLAB 二分法的缺点 MATLAB 二分法容易收敛到局部极小值，而无法收敛到全局最优值；同时，它也不适用于函数值在定义域内不连续或周期变化的情况。 4. MATLAB 二分法的应用 MATLAB 二分法在实际工程中广泛应用，主要用于求解非线性方程、解决二次规划问题、求解非线性最小化问题、结构优化问题等。 以上就是关于 MATLAB 二分法的介绍，本文介绍了 MATLAB 二分法的原理、步骤、优缺点和应用，希望能够为大家带来一些帮助。
简述黄金分割法的基本原理和特点
简述黄金分割法的基本原理和特点 一、黄金分割的基本原理： 1。在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边的一半，同理，斜边上的高等于斜边的一半。直角三角形中的两个锐角互余，两个钝角互补。 2。设A、 B、 C是直角三角形的三个顶点，点A是 A'、 B'、 C'三点连线的中点，如果三边AB、 BC、 CA的长度比例是1： 1： 2，那么斜边AC的长就等于点A到这三点连线中点的距离。 3。四边形的内角和是360度，三角形ABC的内角和是180度，内切圆半径是点A到AB边上的高，所以过点A作圆的切线，交AB边于C点。则： 4。在直角梯形中，两个直角边的比等于另一直角边的比加上斜边的比。 5。黄金分割可以用来确定直线的斜率，也可以用来确定点的位置。二、黄金分割法的基本特点： 1。不考虑两个图形大小和形状的差异，完全从最优化出发来考虑图形问题。 2。对于一些规则的几何图形，如矩形、正方形、圆形、菱形、多边形等，都可以通过黄金分割的方法进行处理。 3。适合处理一些无法或很难用其他方法解决的规律问题，尤其是处理那些由直线与射线构成的图形。 4。运用黄金分割的方法，能够给我们的设计工作带来很多方便，能更容易地找到问题的最优解，从而使我们的工作效率大大提高。 如果用0— 1.618这条线段作为高低点的平均线，再把图形近似看作是一个扇形，那么这条线段平均分成的扇形的弧度，恰好等于圆周角的弧度，即0.618，亦即这条线段平均分成的扇形所对的
圆心角正好是它所对的圆周角的一半。因此，黄金分割具有如下性质： 1。 0.618的圆心角所对的弧度是0.618，这个圆周角是0度。 2。以0.618为底边的对称图形是一个等腰三角形。 3。一条线段若从第一个端点起，沿着直线走到第六个端点，它所形成的图形是一个菱形。 4。黄金分割的特点是它是一条无限逼近但永远无法走到头的线。
画黄金分割点的2种方法
画黄金分割点的2种方法 黄金分割点是一种美学和艺术上的理论，它是指将任何一段长度的线段分割成两部分，使其中一部分与另一部分之和的比等于整个线段与其中一部分之比。这个比例约为1：1.618，被称为黄金分割比例。在绘画、建筑、设计等领域中，黄金分割点常被用来创造一种美感和谐的效果。本文将介绍两种画黄金分割点的方法。 方法一：使用黄金分割比例线条 黄金分割比例线条是一种特殊的线条，其长度符合黄金分割比例，即长线段与短线段的比例为1：1.618。在绘画中，我们可以使用这 种线条来画出黄金分割点。 首先，我们需要准备一张画纸和一支铅笔。然后，我们可以使用一条黄金分割比例线条来画出一条基准线，该线条将画纸分成两部分，长线段与短线段的比例为1：1.618。接下来，我们可以在基准线上 画出黄金分割点，将其分成两部分，长线段与短线段的比例也为1：1.618。然后，我们可以在黄金分割点上画出一些元素，如人物、景物、建筑等，使它们符合黄金分割比例，从而创造出一种美感和谐的效果。 方法二：使用黄金矩形 黄金矩形是一种特殊的矩形，其长和宽的比例符合黄金分割比例。在绘画中，我们可以使用黄金矩形来画出黄金分割点。 首先，我们需要准备一张画纸和一支铅笔。然后，我们可以使用一张黄金矩形来画出一个基准矩形，该矩形的长和宽的比例为1：
1.618。接下来，我们可以在基准矩形上画出黄金分割点，将其分成两部分，长线段与短线段的比例也为1：1.618。然后，我们可以在黄金分割点上画出一些元素，如人物、景物、建筑等，使它们符合黄金分割比例，从而创造出一种美感和谐的效果。 总结 以上是两种画黄金分割点的方法。无论哪种方法，都需要对黄金分割比例有一定的了解。黄金分割比例是一种美学和艺术上的理论，它可以帮助我们创造出一种美感和谐的效果。在绘画、建筑、设计等领域中，黄金分割点被广泛应用，成为了一种重要的创作工具。
九年级黄金分割知识点课程
九年级黄金分割知识点课程黄金分割是数学中的一个重要概念，也是美学中常见的一种比例关系。在九年级的数学课程中，学生将接触到这一知识点，并深入了解其应用。本文将围绕九年级黄金分割知识点课程展开讲述，包括黄金分割的定义、性质、推导方法以及一些实际应用。 一、黄金分割的定义 黄金分割是指一条线段分成两部分，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。用数学符号表示为a/b=(a+b)/a=Φ （phi），其中Φ为黄金分割常数，约等于1.618。 二、黄金分割的性质 1. 黄金分割点对称性：在一条线段上，黄金分割点将这条线段分成两部分，这两部分的比值等于整体线段与较大部分的比值。 2. 黄金分割点的延伸：无论是将整体线段延伸至左侧还是右侧的与原线段等比例的线段，其分割点仍然是黄金分割点。 3. 黄金矩形性质：将一个正方形的一边延伸至黄金分割点，形成的长方形即为黄金矩形。黄金矩形具有自相似性和美学上的和谐感。
三、黄金分割的推导方法 黄金分割的推导方法主要有几何法和代数法两种。 1. 几何法：通过将线段分割，得到与之相似的子线段，并运用相似三角形的性质，可以推导出黄金分割比例。 2. 代数法：假设整体线段为a，较小部分的长度为b，根据黄金分割的定义可得到a/b = (a+b)/a，解方程可得黄金分割比例。 四、黄金分割的实际应用 黄金分割不仅在数学中有重要意义，也在自然界和人类创作中有广泛应用。 1. 建筑设计：许多古代和现代的建筑作品都运用了黄金分割比例，如古代希腊建筑中的帕特农神庙和现代的肯尼迪图书馆。 2. 绘画和摄影：黄金分割比例用于画面的构图和角度的选择，可以使画面更加美观和和谐。 3. 音乐和舞蹈：黄金分割比例用于音乐中的乐谱结构和舞蹈中的动作设计，可以营造出一种流畅而和谐的感觉。 4. 金融市场：黄金分割被应用于金融领域的技术分析中，用于预测价格波动和市场趋势。
优选法与二分法、黄金分割间的联系
优选法与二分法、黄金分割间的联系 优选法概述优选法,是以数学原理为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验的方法。例如：在现代体育实践的科学实验中，怎样选取最合适的配方、配比；寻找最好的操作和工艺条件；找出产品的最合理的设计参数，使产品的质量最好，产量最多，或在一定条件下使成本最低，消耗原料最少，生产周期最短等。把这种最合适、最好、最合理的方案，一般总称为最优；把选取最合适的配方、配比，寻找最好的操作和工艺条件，给出产品最合理的设计参数，叫做优选。也就是根据问题的性质在一定条件下选取最优方案。最简单的最优化问题是极值问题，这样问题用微分学的知识即可解决。实际工作中的优选问题，即最优化问题，大体上有两类：一类是求函数的极值；另一类是求泛函的极值。如果目标函数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、极大值原理或动态规划等分析方法求解（间接选优）；如果目标函数的表达式过于复杂或根本没有明显的表达式，则可用数值方法或试验最优化等直接方法求解（直接选优）。优选法是尽可能少做试验，尽快地找到生产和科研的最优方案的方法,优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学家华罗庚等推广并大量应用,优选法也叫最优化方法。二分法一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。解方程即要求f(x)的所有零点。先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,aa，从①开始继续使用中点函数值判断。如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。黄金分割把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是[5^(1/2)-1]/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“菲波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。不仅这个由1,1,2,3,5....开始的“菲波那契数”是这样，随便选两个整数，然后按照菲波那契数的规律排下去，两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。黄金分割点约等于0．618：1 是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星，正五边形。2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克
常用一维搜索算法
无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。 这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。 （直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。 间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。） 在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k 设Φ(a)=f(x k+ad k) 这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得a k使目标函数沿方向d k达到 极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0) 则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子; 如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用 户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维 搜索。 由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的一维搜索需要付出较高的代价,而对加速收敛作用不大,因此花费计算量较少的不精确一维搜索方法受到了广泛的重视和欢迎。
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解 郭豫 北京市第八十中学 【教学准备】 数学分析 二分法是《普通高中数学课程标准（实验）》新增的内容之一。增加这部分内容的主要目的，一是加强函数与方程的联系，突出函数的应用，用函数的观点看待某些方程，通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来；二是“用二分法求方程的近似解”这部分内容较好体现了算法的思想，可以为后面学习算法内容做必要的准备。教材安排遵循上述两个主要目的，二分法首次出现在《数学1》中，然后在《数学3》中作为算法的具体素材。 就中学数学课程的内容而言，学生主要学习一元一次方程、一元二次方程以及二元一次方程组、三元一次方程组的解法，或可化为上述方程（组）的其他方程，如分式方程、无理方程的解法。对于一元一次方程，我们可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等程序化的步骤，把它转化为a x =的形式。对一些特殊形式的一元二次方程，有一些特殊的解法，如提取公因式法、十字相乘法。但对一般的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ，有通法——公式法，它可以给出任意一元二次方程的一般解，这个一般解就是方程的精确解。 然而，在自然科学、工程技术、经济、医学以及其他领域中产生的许多实际问题中的方程，既不可能，也不现实求其一般解。实际上，考虑实际问题的需要，也没必要求其精确解。这时，寻求方程近似解的数值方法应运而生。确切地说，一个数值方法是对给定问题的输入数据和所需要的结果之间关系的一种明确的描述。数值计算方法也称计算方法或者数值分析，它是研究运用计算机或计算器解数学问题的数值方法或相关理论。为了使数值方法在计算机上得到实现，我们需要给出数值方法的一般算法。它是算法和逻辑运算的完整描述，按一定程序执行这些运算，经过有限步，把输入数据的每一个容许集转化成输出数据。 作为算法体系中求方程近似解的一种重要的方法，二分法是解非线性方程0)(=x f 的一种直观而又简单的算法，学生非常容易理解。实际上，求方程近似
0.618与二分法的学习
0.618法的实例研究: 一、算法理论 黄金分割法是用于一元函数)(x f 在确定的初始区间],[b a 内搜索极小点a '的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、效果明显而著称，是许多优化算法的基础。但它只适用于某个区间上的凸函数。其基本思想是：依照“去坏留好”原则，对 称原则，以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围。 0.618法适用于单峰区间函数，即所在区间],[b a 上。具体的说，对于单峰函数，只需选择两个试探点，即在区间],[b a 中取点)(382.01a b a x -+=， )(618.02a b a x -+=， 且21x x <，就可以将包含极小点* x 的区间缩短。事实上，必有：若)()(21x f x f >，则],[1*b x x ∈；若)()(21x f x f ≤，则],[2* x a x ∈。 根据单峰函数这个性质，就可以不断迭代缩小包含极小点的区间。若进行k 次迭代 后，有],[* k k b a x ∈，那么我们在区间],[k k b a 取两个试探点)(382.01a b a x -+=， )(618.02a b a x -+=，且21x x <，计算)(),(21x f x f 的值。如果)()(21x f x f =，令
b x a x ==21,，那么计算||b a -，如果ξ≤-||b a （ξ为所给的精度） ，则* 2 x b a =+； 如果 )()(21x f x f >，令11x a k =+，k k b b =+1；如果)()(21x f x f <，令k k a a =+1， 21x b k =+，如此继续。这样每次可将搜索区间缩小0.328倍或者0.618倍，直至缩为一 点。黄金分割原理如图1所示，其中618.0=K ，区间长度为L 。该算法为收敛速度很 快的一种搜索方法。 图1. 二、算法框图
黄金分割与经典算法
美，无处不在 ——浅谈“黄金分割〞和信息学的联系 XXXX一中杨思雨 摘要 本文主要介绍了“黄金分割〞与信息学竞赛的联系及其在一些信息学问题中的应用，全文可以分为四个局部。 第一局部引言，主要介绍了“黄金分割〞的由来及其和各领域的联系，进而提出探索黄金分割与信息学竞赛的联系。 第二局部中逐渐深入的分析了一个例题，最终提醒了问题本质上与黄金分割数的联系，说明了黄金分割数在一些数学性较强的题目中有着广泛的应用。 第三局部通过分析另一个例题，介绍了一种优选法——“黄金分割法〞。 第四局部指出黄金分割与信息学竞赛联系密切，总结全文。 关键字 黄金分割信息学联系 目录 引言2 例题一3 例题二8 总结14 参考文献15
附录15 程序描述19 引言 早在古希腊时期，人们就发现了“黄金分割〞。两千多年前，数学家欧多克斯提出了这样的问题：如图1，线段AB 上有一点P ，将线段AB 分割为两段—— AP 和PB ，假设它们长度之比恰好等于整条线段AB 与较长一段AP 的长度之比，那么P 点应该在线段AB 什么位置呢？ 图 1 我们不妨假设线段AP 的长度为1，设线段PB 的长度为x ，那么线段AB 的总长度就是1+x 。由 AP AB PB AP =，得到方程111x x +=。解出2 15-=x ，记为φ，它的近似值为0.618。而相应的，线段AB 的长度就是2 151+=+x ，记为Φ。 在这之后，人们围绕这个比值开展了许多研究，意大利著名的艺术家、科学家达·芬奇还把ф命名为“黄金分割数〔Golden Section Number 〕〞。有趣的是，人们发现黄金分割在自然界和其它各个领域中到处可见。例如，人的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖又是肚脐到脚跟的黄金分割点；在有些植物的茎上，相邻叶柄之间的夹角是137º28′,这恰好是把圆周分为1:0.618的两条半径的夹角。 此外，黄金分割也被看作是美的化身，人们认为符合黄金分割比例的事物都
最优化理论与算法(第二章)汇编
第二章 一维搜索 §2.1. 引言 一、精确与非精确一维搜索 如前所述，最优化算法的迭代格式为： 1k k k k x x d α+=+ 因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子k α。若设 ()()k k f x d ϕαα=+ 现在的问题是从k x 出发，沿k d 方向搜索，希望找到k α，使得()(0)k ϕαϕ<，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search )问题。 ⑴ 若求得的k α，使目标函数沿方向k d 达到最小，即使得 ()min ()k k k k k f x d f x d ααα>+=+ 或 0 ()min ()k αϕαϕα>=， 则称为最优一维搜索，或精确一维搜索。相应的k α称为最优步长因子。 ⑵ 如果选取k α，使目标函数获得可以接受的改善，即 ()()0k k k k f x f x d α-+>， 则称之为近似一维搜索，或非精确一维搜索。 注：精确搜索与非精确搜索在最优化算法中均广泛应用，它们存在各自的优缺点。 二、一维搜索的基本框架 一维搜索实际上是一元函数的极值问题，其基本的解决框架是： ⑴ 确定包含最优解的初始搜索区间； ⑵ 采用某些区间分割技术或插值方法不断缩小搜索区间，最后得到解。 注：值得注意的是，这样得到的解大多数情况下均为近似解。因此，即便采用精确一维搜索策略，只要应用了数值方法，最终得到的结果都不一定是真正数学意义上的最佳步长因子。 初始搜索区间的确定
定义2.1 设:R R ϕ→，* [0,)α∈+∞是函数()ϕα的最小值点，即* ()min ()αϕαϕα≥=。若存在闭 区间[,][0,)a b ⊂+∞，使 * [,]a b α∈，则称[,]a b 为一维极小化问题0 min ()αϕα≥的搜索区间。 确定初始搜索区间的进退法 基本思想：从一点出发，按一定步长探测，试图找到函数值呈高－低－高变化的三点。具体地，从初始点0α出发，取初始步长为0h 。若000()()h ϕαϕα+<，则下一步从新点00h α+出发，加大步长，再向前搜索。若000()()h ϕαϕα+>，则下一步仍从0α出发，沿反方向搜索，直到()ϕα上升，即0()()ϕαϕα>为止。 在确定了初始搜索区间后，剩下就是采用具体的一维搜索方法确定出* α。后面将分别介绍几种常用的一维搜索方法，这些方法主要是针对所谓单峰函数设计的。 单峰函数的定义 定义2.2 设:R R ϕ→，[,]a b R ⊂。若存在*[,]a b α∈，使得函数()ϕα在* [,]a α上单调下降，而在* [,]b α上单调上升，则称[,]a b 是函数()ϕα的单峰区间，()ϕα是[,]a b 上的单峰函数（准确地说应是单谷函数）。 单峰函数还可以等价地定义如下 定义2.3 如果存在唯一的* [,]a b α∈，使得对于任意的12,[,]a b αα∈且12αα<，有 ⑴ 若* 2αα<，则12()()ϕαϕα>； ⑵ 若* 1αα>，则12()()ϕαϕα<。 则称()ϕα是[,]a b 上的单峰函数。 下面定理表明，对单峰函数，可以通过简单地比较函数值，缩小搜索区间。 定理2.4 设()ϕα是[,]a b 上的一个单峰函数，12,[,]a b αα∈，且12αα<。 ⑴ 若12()()ϕαϕα≤，则2[,]a α是()ϕα的单峰区间； ⑵ 若12()()ϕαϕα≥，则1[,]b α是()ϕα的单峰区间。 证明：略