[Vip免费][北师大版]高中数学必修4【全册】课后配套练习 打包下载 【共32套127页】

[北师大版]高中数学必修4（全册）课后配套练习汇总

（共32套127页）

课下能力提升(一)周期现象角的概念的推广

一、选择题

1．－435°角的终边所在象限是()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若α是第二象限的角, 则180°－α是() A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角

3．与－457°角终边相同的角的集合是() A．{α|α＝457°＋k×360°, k∈Z}

B．{α|α＝97°＋k×360°, k∈Z}

C．{α|α＝263°＋k×360°, k∈Z}

D．{α|α＝－263°＋k×360°, k∈Z}

4．已知α是第四象限角, 则α

2是()

A．第一或第三象限角

B．第二或第三象限角

C．第一或第四象限角

D．第二或第四象限角

二、填空题

5．与2 011°终边相同的最小正角是________, 绝对值最小的角是________．

6．设集合M＝{α|α＝－36°＋k×90°, k∈Z}, N＝{α|－180°<α<180°}, 则M∩N＝________．

7．若角α与β的终边互相垂直, 则α－β＝________．

8．终边落在阴影部分的角的集合是________．

三、解答题

9．已知角α的终边与60°角的终边相同, 写出满足条件的角α的集合S, 并求出這个集合中在－360°～360°范围内的角．

10. 如图, 点A在半径爲1且圆心在原点的圆上, ∠AOx＝45°.点P从点A出发, 按逆时针方向匀速地沿此圆周旋转．已知P在1 s内转过的角度爲θ(0°<θ<180°), 经过2 s到达第三象限, 经过14 s后又回到出发点A, 求角θ, 并判定其所在的象限．

答案

1．解析：选D设与－435°角终边相同的角爲α, 则α＝－435°＋k×60°, k∈Z, 当k＝1时, α＝－75°,

∵－75°角爲第四象限角,

∴－435°角的终边在第四象限．

2．解析：选A法一：取特值α＝120°, 则180°－120°＝60°, 是第一象限角．法二：180°－α＝－α＋180°, α是第二象限角, 而－α与α关于x轴对称, 故－α是第三象限角, 再逆时针旋转180°, 得－α＋180°, 位于第一象限, 如下图．

3．解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°, 故与－457°角终边相同的角的集合是

{}α|α＝－457°＋k ×360°，k ∈Z

＝{}α|α＝263°＋k ×360°，k ∈Z .

4．解析：选D 如下图, 带4的标号在第二、四象限, 故α

2

是第二或第四象限角．

5．解析：与2 011°终边相同的角爲2 011°＋k ×360°, k ∈Z . 当k ＝－5时, 211°爲最小正角；

当k ＝－6时, －149°爲绝对值最小的角． 答案：211° －149°

6．解析：对于M , 当k ＝－1时, α＝－126°； 当k ＝0时, α＝－36°； 当k ＝1时, α＝54°； 当k ＝2时, α＝144°.

故M ∩N ＝{}－126°，－36°，54°，144°. 答案：{}－126°，－36°，54°，144° 7．解析：∵角α与β的终边互相垂直, ∴角α与β＋90°或β－90°的终边相同．

即α＝β＋90°＋k ×360°或α＝β－90°＋k ×360°, k ∈Z . ∴α－β＝±90°＋k ×360°, k ∈Z . 答案：±90°＋k ×360°, k ∈Z

8．解析：在－180°～180°范围内, 阴影部分表示－45°≤α≤120°, 故所示的角的集合爲{α|－45°＋k ×360°≤α≤120°＋k ×360°, k ∈Z }．

答案：{}α|－45°＋k ×360°≤α≤120°＋k ×360°，k ∈Z

9．解：与60°角的终边相同的角的集合爲S ＝{α|α＝60°＋k ×360°, k ∈Z }, 当k ＝0时, α＝60°；当k ＝－1时, α＝60°－360°＝－300°.所以, 集合S 在－360°～360°范围内的角爲60°, －300°.

10. 解：由题意, 得14θ＋45°＝45°＋k ×360°, k ∈Z , 则θ＝k ·180°7

, k ∈Z .

∵180°<2θ＋45°<270°, ∴67.5°<θ<112.5°, 即67.5°

7<112.5°, k ∈Z .

∴k ＝3, 或k ＝4.

∴θ＝540°7, 或θ＝720°7

.

易知0°<540°7<90°, 90°<720°

7<180°,

故角θ的终边在第一或第二象限．

课下能力提升(二) 弧 度 制

一、选择题

1．下列命题中, 真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度爲半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和

D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 2．α＝－2 rad, 则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．时钟的分针在1时到3时20分這段时间里转过的弧度数爲( ) A.14π3 B ．－14π

3 C.

7π18 D ．－7π18

4．设集合A ＝????

??x ???x ＝k π＋（－1）k

×π2，k ∈Z , B ＝{x |x ＝2k π＋π2, k ∈Z }, 则集合

A 与

B 之间的关系爲( )

A ．A

B B ．A B

C ．A ＝B

D ．A ∩B ＝? 二、填空题

5．在半径爲2的圆内, 弧长爲2π

3的圆心角的度数爲________．

6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示爲S ＝________．

7．已知θ∈????

??α???α＝k π＋（－1）k

×π4，k ∈Z , 则角θ的终边所在的象限是

________．

8．已知扇形的面积爲25, 圆心角爲2 rad, 则它的周长爲________． 三、解答题

9．用弧度表示顶点在原点, 始边重合于x 轴的非负半轴, 终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．

10. 如图, 动点P , Q 从点A (4, 0)出发, 沿圆周运动, 点P 按逆时针方向每秒钟转π

3弧

度, 点Q 按顺时针方向每秒钟转π

6弧度, 求P , Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标

及P , Q 点各自走过的弧长．

答案

1．解析：选D 由弧度制定义知D 正确．

2．解析：选C ∵－π<－2<－π

2

, ∴α的终边落在第三象限, 故选C.

3．解析：选B 显然分针在1时到3时20分這段时间里, 顺时针转过了21

3周, 其弧度

数爲－(2π×73)＝－14π

3

rad.

4．解析：选C 对于集合A , 当k ＝2n (n ∈Z )时, x ＝2n π＋π

2

, 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时,

x ＝2n π＋π－π

2＝2n π＋π2

∴A ＝B , 故选C.

5．解析：设所求的角爲α, 角α＝2π32＝π

3＝60°.

答案：60°

6．解析：S ＝??????α???α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪????

??α???α＝5π

4＋2k π，k ∈Z

＝??????α???α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π

4＋(2k ＋1)π, k ∈Z }＝

????

??α???α＝π

4＋n π，n ∈Z .

答案：{α|α＝π

4

＋n π, n ∈Z }

7．解析：当k 爲偶数时, α＝2n π＋π

4, 终边在第一象限；当k 爲奇数时, α＝(2n

＋1)π－π4＝2n π＋3

4

π, 终边在第二象限．

答案：第一、二象限

8．解析：设扇形的弧长爲l , 半径爲r , 则由S ＝12αr 2

＝25, 得r ＝5, l ＝αr ＝10,

故扇形的周长爲20. 答案：20

9．解：(1)图①中, 以OA 爲终边的角爲π

6＋2k π(k ∈Z )；

以OB 爲终边的角爲－2π

3＋2k π(k ∈Z )．

∴阴影部分内的角的集合爲

{α|－2π3＋2k π<α<π

6＋2k π, k ∈Z }．

(2)图②中, 以OA 爲终边的角爲π

3＋2k π, k ∈Z ；

以OB 爲终边的角爲2π

3

＋2k π, k ∈Z .

不妨设右边阴影部分所表示集合爲M 1, 左边阴影部分所表示集合爲M 2, 则M 1＝{α|2k π<α<π

3

＋2k π, k ∈Z },

M 2＝{α|

2π

3

＋2k π<α<π＋2k π, k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合爲：

M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π

3

＋2k π, k ∈Z }∪

{α|2π

3

＋2k π<α<π＋2k π, k ∈Z }＝

{α|2k π<α<π3＋2k π或2π

3＋2k π<α<π＋2k π, k ∈Z }．

10．解：设P , Q 第一次相遇时所用的时间是t s, 则t ×π3＋t ×|－π

6

|＝2π,

所以t ＝4(s), 即P , Q 第一次相遇时所用的时间爲4 s .如图, 设第一次相遇点爲C , 第一次相遇时已运动到终边在

π3×4＝4π3的位置, 则x c ＝－? ??

??4×12＝－2, y c ＝－42－22

＝－23, 所以C 点的坐标爲(－2, －23)．

P 点走过的弧长爲4π3×4＝16π3, Q 点走过的弧长爲

2π3×4＝8π3

.

课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

单位圆与周期性

一、选择题

1．如果－315°角的终边过点(2, a ), 则a 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－

5

5

D ．±2 2．cos 9π

4

等于( ) A ．－

22 B.22

C ．－1

D ．1

3．已知角α的终边过点(x , －6), 若sin α＝－12

13

, 则x 等于( )

A.52 B ．－52 C ．±25 D ．±52

4．设A 是第三象限角, 且????sin A 2＝－sin A 2, 则A

2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 二、填空题

5．sin (－330°)＝________．

6．如果cos x ＝|cos x |, 那么角x 的取值范围是________． 7．若点P (2m , －3m )(m <0)在角α的终边上, 则 sin α＝________, cos α＝________．

8．sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝________． 三、解答题

9．已知f (x ＋3)＝－1

f （x ）, 求证：f (x )是周期函数, 并求出它的一个周期．

10．已知cos α<0, sin α<0. (1)求角α的集合； (2)判断sin α2, cos α

2的符号．

答案

1．解析：选B ∵cos(－315°)＝cos 45°＝2

2

, ∴

22＝24＋a 2

, 解得a ＝±2, 又－315°是第一象限角, ∴a ＝2

2．解析：选B cos

9π4＝cos ?

???2π＋π4＝cos π4＝22. 3．解析：选D sin α＝

－6

x 2＋62＝－1213, 解得x ＝±5

2.

4．解析：选D ∵A 是第三象限角, ∴A 2是第二、四象限角．又|sin A 2|＝－sin A

2≥0,

∴sin A 2≤0, 易知A

2

爲第四象限角．

5．解析：sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)＝sin 30°＝12.

答案：12

6．解析：∵cos x ＝|cos x |, ∴cos x ≥0, ∴－π2＋2k π≤x ≤π

2＋2k π, k ∈Z .

答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π

2, k ∈Z }

7．解析：

如右图, 点P (2m , －3m )(m <0)在第二象限, 且r ＝－13m , 故有sin α＝

－3m

r

＝

－3m －13m

＝313

13.

cos α＝2m r ＝2m

－13m ＝－21313.

答案：31313 －213

13

8．解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60° cos 30°＋sin 30°cos 60°＝

32×32＋12×1

2

＝1. 答案：1

9．解：∵f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－

1

f （x ＋3）

＝－

1－

1f （x ）

＝f (x ), ∴f (x )是周期函数,

且6是它的一个周期．

10．解：(1)由cos α<0, sin α<0可知, α的终边落在第三象限． ∴角α的集合爲{α|2k π＋π<α<2k π＋3π

2, k ∈Z }．

(2)∵2k π＋π<α<2k π＋3π

2

, k ∈Z ,

∴k π＋π2<α2

2落在第二或第四象限．

①当α2爲第二象限角时, sin α2>0, cos α

2<0；

②当α2爲第四象限角时, sin α2<0, cos α2>0.

课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

单位圆的对称性与诱导公式

一、选择题

1．cos 150°的值是( ) A ．－

32 B ．－12

C.12

D.3

2

2．已知600°角的终边上有一点P (a , －3), 则a 的值爲( ) A. 3 B ．－ 3

C.

33 D ．－33

3．在△ABC 中, 下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0, ②cos(A ＋B )＋cos C ＝0, ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0, ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②

4．下列三角函数中, 与sin π

3数值相同的是( )

①sin ????n π＋4π3 ②cos ????2n π＋π

6

③sin ????2n π＋π3 ④cos ????（2n ＋1）π－π

6

⑤sin ????（2n ＋1）π－π

3, ()n ∈Z

A ．①②

B ．①②③

C ．②③⑤

D ．①③④ 二、填空题

5．sin ?

???

－31π4＝________．

6．化简sin （90°－α）cos （－α）

cos （180°－α）

＝________．

7．已知sin ????α－π3＝13, 则cos ???

?π

6＋α的值等于________．

8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β), 其中a , b , α, β都是非零实数, 且满足f (2 011)＝2, 则f (2 012)＝________．

三、解答题

9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）

cos （－600°）sin （－1 050°）.

10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ?

???－α＋3π

2cos （－π－α）sin （－π－α）,

(1)化简f (α)；

(2)若α＝－31π

3, 求f (α)的值．

答案

1．解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32

. 2．解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32

, ∴

－3a 2＋3

2

＝－3

2

, ∴a ＝±3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3.

3．解析：选B 对于②, cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0, 成立．对于③, sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0, 成立．

4．解析：选C ①中n 爲偶数时, sin ????n π＋4π

3＝－sin π3；

②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π

3；

③中sin ?

???2n π＋π

3＝sin π3；

④中cos ????（2n ＋1）π－π

6＝－cos π6＝－sin π3；

⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π

3.

故②③⑤正确．

5．解析：sin ????－31π4＝－sin 31π4＝－sin ????8π－π

4

＝－sin ????－π4＝sin π4＝2

2.

答案：

2

2

6．解析：原式＝cos αcos α

－cos α＝－cos α.

答案：－cos α

7．解析：∵sin ?

???α－π3＝13, ∴sin(π3－α)＝－1

3,

又∵????π3－α＋????π6＋α＝π2, ∴cos(π6＋α)＝cos ????π2－????π3－α＝sin ????π3－α＝－1

3.

答案：－1

3

.

8．解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2,

∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－2

9．解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°

cos 600°（－sin 1 050°）

＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）

cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）

＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°

cos 120°（－sin 30°）

＝

－sin 30°cos 30°cos 60°

sin 30°sin 30°

＝－12×32×1212×12

＝－32.

10．解：(1)f (α)＝－sin α×cos α×（－cos α）

（－cos α）sin α＝－cos α；

(2)f ????

－31π3＝－cos ????－31π3 ＝－cos ????－6×2π＋5π

3

＝－cos 5π3＝－cos π3＝－1

2.

课下能力提升(五) 正弦函数的图像

一、选择题

1．函数y ＝1－sin x , x ∈[0, 2π]的大致图像是( )

2．下列各组函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π) B ．y ＝sin ????x －π2与y ＝sin ????π

2－x

C ．y ＝sin x 与y ＝－sin x

D ．y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 3．方程x 2＝sin x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

4．函数y ＝－3sin x ＋2的最小值爲( ) A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．5 二、填空题

5．点????π3，3在函数f (x )＝a sin x 的图像上, 则f ???

?π

2＝________．

6．函数y ＝sin |x |, x ∈[－π, π]的图像与直线y ＝1

2有________个不同的交点．

7．若函数y ＝12sin x ????－π2≤x ≤3π2的图像与直线y ＝－1

2围成一个封闭的平面图形, 则

這个图形的面积是________．

8．在[0, 2π]上, 满足sin x ≥1

2的x 的取值范围是________．

三、解答题

9．画函数y ＝2sin x －1, x ∈[0, 2π]的简图．

10．求方程lg x ＝sin x 实根的个数．

答案

1．解析：选B y ＝sin x ――→关于y 轴

对称y ＝－sin x ――→向上平移一个

单位y ＝1－sin x . 2．解析：选D ∵sin(x ＋2π)＝sin x , ∴y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 的图像相同． 3．解析：选C

在同一平面直角坐标中画出y ＝x 2与y ＝sin x 的图像, 由图可知有两个交点． 4．解析：选B 因爲sin x 的最大值爲1, 所以y ＝－3sin x ＋2的最小值爲－3＋2＝－1.

5．解析：∵3＝a sin

π3＝3

2

a ∴a ＝2, f (x )＝2sin x , ∴f (π2)＝2sin π

2＝2.

答案：2

6．解析：数形结合知有4个交点．

答案：4

7．解析：作出图形(如图)

由图形可知, 所求面积爲2π×1

2＝π.

答案：π

8．解析：如下图, 在同一坐标系内作出[0, 2π]上y ＝sin x 和y ＝1

2的图像, 知满足sin

x ≥1

2的x 的取值范围是????π6

，5π6.

答案：??

??π6，5π6

9．解：步骤：①列表：

②描点：在平面直角坐标系中描出(0, －1), ????2，1, (π, －1), ????3π

2，－3, (2π,

－1)五个点．

③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来, 得函数y ＝2sin x －1, x ∈[0, 2π]的简图, 如图所示．

10．解：在同一坐标系内画出y ＝lg x , y ＝sin x 的图像, 则方程根的个数即爲两函数图