安徽省安庆一中高一数学下学期期末考试试题(含解析)

安徽省安庆一中高一数学下学期期末考试试题（含解析）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1.不等式23760x x --≥的解集为（ ）

A. 23,3

?

?-???

? B. 2(,3],3??-∞-?+∞???? C. 2,33??-???? D. 2,[3,)3??-∞-?+∞ ??

?

【答案】D 【解析】 【分析】

运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集.

【详解】不等式23760x x --≥可以因式分解为(3)(32)0x x -+≥，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为[)2,3,3

??-∞-?+∞ ??

?

，

故选D

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，较为简单.

2.空间中可以确定一个平面的条件是（ ） A. 三个点 B. 四个点

C. 三角形

D. 四边形

【答案】C 【解析】 【分析】

根据公理2即可得出答案。

【详解】在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误；在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；

在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确； D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 【点睛】本题对公理2进行了考查，确定一个平面关键是对过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面的理解。

3.若直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A. 2a =-或1a = B. 1a =

C. 2a =-

D. 23

a =-

【答案】B 【解析】 【分析】

利用直线与直线平行的性质求解．

【详解】∵直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，

()120a a ∴+-=

解得a ＝1或a ＝﹣2． ∵当a ＝﹣2时，两直线重合， ∴a ＝1． 故选：B ．

【

点睛】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用．

4.设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若π

a 3,

b A 3

===

，则B =（ ） A.

π5π66

或 B.

π

6

C.

5π6

D. 2π3

【答案】B 【解析】 【分析】

根据正弦定理求解即可得到所求结果． 【详解】由正弦定理得

sin sin a b A B

=， ∴

sin 12sin 32

b A

B a

=

==． 又b a <，

∴B 为锐角，

∴6

B π

=

．

故选B ．

【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题．

5.设0,

0a b >>，若3是a 3与b 3的等比中项，则

14

a b

+的最小值为（ ）.

A. B. 83

C.

92

D. 【答案】C 【解析】 【分析】

由3是a 3与b 3的等比中项，可得2a b +=，再利用不等式知识可得14

a b

+的最小值. 【详解】解：

3是a 3与b 3的等比中项，2333a b ∴?=，

∴2a b +=，

14

a b +=111419()5+2=24222b a a b a b a b ??

??++=++ ? ???

??（5， 故选C.

【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力.

6.已知,,l m n 为三条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若m α

β=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥

B. 若m α，n α，则m n

C. 若l α

β=，m α，m β，则m l

D. 若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥

【答案】C 【解析】 【分析】

根据线线位置关系，线面位置关系，以及面面位置关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，当βγ时，由m α

β=，n αγ=可得m n ，此时由l m ⊥，l n ⊥可

得l α?或l α或l 与α相交；所以A 错误；

B 选项，若m α，n α，则m n ，或,m n 相交，或,m n 异面；所以B 错误；

C 选项，若l α

β=，m α，m β，根据线面平行的性质，可得m l ，所以C 正确；

D 选项，若m α⊥，αβ⊥，则m β?或m β，又n β，则m n ，或,m n 相交，或,m n 异面；所以D 错误； 故选C

【点睛】本题主要考查线面，面面有关命题的判定，熟记空间中点线面位置关系即可，属于常考题型.

7.已知点P 与点()Q 1,2-关于直线x y 10+-=对称，则点P 的

坐标为( ) A. ()3,0 B. ()3,2-

C. ()3,0-

D. ()1,2-

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意，设P 的坐标为（a ，b ），分析可得2

11

1212

2b a a b +?=??-?+-?+=??，解可得a 、b 的值，即可得

答案．

【详解】设P 的坐标为（a ，b ），则PQ 的中点坐标为（

12a +，2

2

b -），

若点P 与Q （1，﹣2）关于x +y ﹣1＝0对称，则有2

11

1212

2b a a b +?=??-?+-?+=??，

解可得：a ＝3，b ＝0， 则点P 的坐标为（3，0）； 故选：A ．

【点睛】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，涉及直线与直线的位置关系，属于基础题．

8.己知等差数列{}n a 的公差为-1，前n 项和为n S ，若357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120?，则n S 的最大值为（ ） A. 25 B. 40 C. 50 D. 45

【答案】D 【解析】 【分析】

利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解n S 的最大值．

【详解】等差数列{}n a 的公差为1-，357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120?，

可得：3

527722

5a a a a a =++， 得11(4)(9)0a a --=，所以14a =（舍)或19a =，

2(1)199(1)22n n n n n

S n --+=+?-=．

所以n=9或n=10时， 故n S 的最大值为910==45S S ． 故选：D ．

【点睛】本题主要考查等差数列性质和等差数列的前n 项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.

116

π

B.

73

π C.

136

π

D.

83

π 【答案】C 【解析】 【分析】

先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.

【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积

2211131211326

V π

ππ=??+???=.故选C

【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.

10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存在

一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）

7 B. 3

C. 3

D. 2

【答案】A 【解析】

【分析】

把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值．

【详解】把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，

||||3AB AD ==

，1||1AA =，∴0113

tan 3,60AA B AA B ∠=

=∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠

221111111113

2cos 13223()72

MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??-

??=

故选：A ．

【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．

11.设[x]表示不超过x 的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{n a }满足：1a 1=，

n 1n a a n 1+=++（*n N ∈），则123

2019

111

1[

]a a a a ++++

=（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】A 【解析】 【分析】

先求出11

=2

)1

n a n

n --（，再求1232019

1111[]a a a a +++

+

得值.

【详解】由n 1n a a n 1+=++，得n n 1a a n --=（n 2≥），又1a 1=， ∴()()()n n n 1n 1n 2211a a a a a ...a a a ---=-+-++-+

()()()n n 1n n 1n 2 (212)

+=+-+-+++=

．则

()n 121

12a n n 1n n 1??==- ?+-??

． ∴12

2018111111111...21...211a a a 223201820192019??????

????+++=-+-++-=-=?? ? ???????????????．

故选：A ．

【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，考查新定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

12.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围是（ ）

A. 10,2??

???

B. 1,12?? ???

C. 1,13??????

D. 11,23??????

【答案】B 【解析】 【分析】

当点M 为线段BC 的中点时，画出截面为四边形，当1

2

BM >时，画出截面为五边形，结合选项可得结论.

【详解】∵正方体1111ABCD A B C D -的体积为1， 所以正方体的棱长为1，

点M 在线段BC 上（点M 异于,B C 两点）， 当点M 为线段BC 的中点时，1//MN AD

1,,,A M N D 共面，截面为四边形1AMND ，如图，

即1

2

BM =

，不合题意，排除选项,,A C D ; 当1

2

BM >

时，截面为五边形，如图，符合题意，

即平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形， 线段BM 的取值范围为1,12??

???

．

故选B ．

【点睛】本题主要考查正方体的性质、截面的画法，考查作图能力与空间想象能力，意在考查对基础知识的熟练掌握与灵活应用，属于难题.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.

13.已知实数,x y 满足不等式组201030

y x y x y -≤??--≤??+-≥?

，则y

x 的取值范围为__________．

【答案】1,22??????

【解析】 【分析】 作出可行域，y

x

表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.

【详解】

如图，不等式组

20

10

30

y

x y

x y

-

?

?

--

?

?+-

?

表示的平面区域ABC

△（包括边界），所以

y

x

表示()

,x y与（0，0）连线的斜率，因为()()

1,22,1

A B

，，所以

1

2

2

OA OB

k k

==

，，故

1

,2

2

y

x

??

∈??

??

.

【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.

14.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则此图形中有________个直角三角形．

【答案】4

【解析】

【分析】

推导出AB BC

⊥，PA BC

⊥，从而BC⊥平面PAB，由此能求出图中直角三角形的个数．【详解】∵ABC是直角三角形，90

ABC

∠=?，PA⊥平面ABC，

∴AB BC

⊥，PA BC

⊥，

∵AB PA A

?=，∴BC⊥平面PAB，

∴图中直角三角形有ABC（ABC

∠是直角），PAC（PAC

∠是直角），PAB（PAB

∠

是直角），PBC（PBC

∠是直角），

∴图中直角三角形有4个，故答案为4.

【点睛】本题考查几何体中直角三角形的个数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．

15.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为2a ，则22b c

c b

+的

最大值是______．

【解析】 【分析】

利用三角形面积公式可得22sin a bc A =，利用余弦定理化简原式为sin cos A A +，再利用两角和的正弦公式与三角函数的有界性可得结果. 【详解】因为BC 边上的高为2

a

， 所以

11

sin 222

a a bc A ??=，即22sin a bc A =， 可得2222cos 2222

b

c b c a bc A c b bc bc

+++==

2sin 2ccos

sin cos 2bc A b A A A bc +=

=+=4A π?

?+≤ ???，

故

22b c

c b

+．

．

【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 对余

弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟练掌握运用两种形

式的条件.

16.在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=?∠=?，二面角A BD C --的大小为150?，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．

【答案】21 【解析】

画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知

111323

60,,33

OEO O E O A ∠==

=

,在1Rt OO E ?中11tan 601OO O E ==,所以外接圆半径2211421

13r OA OO O A ==+=+

=

.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点

D 是母线PA 的中点.

（1）求该圆锥的侧面积与体积；

（2）求异面直线AB 与CD 所成角的正切值. 【答案】（1）83

π3

； （2）7 【解析】 【分析】

（1）先求出PO=23,再利用公式求该圆锥的侧面积与体积；（2）取PO 的中点E ，连接DE ，

CE ，则CDE ∠或其补角即为所求，再求其正切值得解.

【详解】（1）由题意，得OB 2=，PB 4=，22PO PB OB 23=-=， 所以圆锥的侧面积为S πrl 24=8ππ==??，

211V πr h π33==? 283223π??=；

（2）

取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则CDE ∠或其补角即为所求， 因为DE⊥EO,DE⊥OC,,,EO OC EOC EO OC O ?=平面,

所以DE ⊥平面EOC ，DE EC ∴⊥，1

DE OA 12

=

=，

CE =

=

于是tan CDE ∠=

=，

即异面直线AB 与CD .

【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积和体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18.已知直线1l 的方程为x 2y 40+-=，若2l 在x 轴上的截距为3

2

，且12l l ⊥． （1）求直线1l 和2l 的交点坐标；

（2）已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程． 【答案】（1）()21，；（2）1

2

y x =

或250x y +-= 【解析】 【分析】

（1）利用l 1⊥l 2，可得斜率2l k ．利用点斜式可得直线l 2的方程，与直线l 1和l 2的交点坐标为（2，1）；

（2）当直线l 3经过原点时，可得方程．当直线l 3不经过过原点时，设在x 轴上截距为a ≠0，则在y 轴上的截距的2a 倍，其方程为：

2x y

a a

+=1，把交点坐标（2，1）代入可得a ． 【详解】解：（1）∵l 1⊥l 2，∴

21

12

l k -=

=-2． ∴直线l 2的方程为：y ﹣0＝2（x 32

-

），化为：y ＝2x ﹣3． 联立240230x y x y +-=??

--=?，解得2

1x y =??=?

．

∴直线l 1和l 2的交点坐标为（2，1）． （2）当直线l 3经过原点时，可得方程：y 1

2

=

x ．

当直线l 3不经过过原点时，设在x 轴上截距为a ≠0，则在y 轴上的截距的2a 倍， 其方程为：

2x y a a +=1，把交点坐标（2，1）代入可得：212a a +=1，解得a 52

=． 可得方程：2x +y ＝5．

综上可得直线l 3的方程为：x ﹣2y ＝0，2x +y ﹣5＝0．

【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

19.已知在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，A 为锐角，且满足3b 5asinB =.

（1）求2

B C

sin2A cos

2

++的值；

（2）若a =ΔABC 的面积为3

2

，求b,c .

【答案】（Ⅰ）53

50

（Ⅱ） b c ==

【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据正弦定理将条件进行化简，得到sin A 3

5

=

，然后利用倍角公式即可得到三角函数的值．（Ⅱ）根据三角形的面积公式，以及余弦定理，建立方程组解方程组即可得到结论． 【详解】（Ⅰ）∵35sin b a B =， ∴3sin 5sin sin B A B = 由()0,sin 0,B B π∈?≠∴3

sin ,5

A = ∵A 为锐角， ∴4cos .5

A =

()2

1cos 1cos sin2cos =2sin cos 2sin cos 222

B C B C A

A A A A A +++-++=+

34153

2?·551050

=+=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 34sin ,cos 55

A A =

= ∵ABC ?的面积为32，∴ABC S ?= 13

sin 22

bc A =? 5bc = （1）

由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-

()()22

224182222055

b c bc b c bc b c =+-??+-=?+= ∴25b c += （2）

由（1）、（2）解得5b c ==

【点睛】本题主要考查三角函数的化简与求值，利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式，建立方程组是解决本题的关键．

20.如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=?，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，

22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．

（1）求证：FM ∥平面BDE ；

（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -23

BG BE 的值．

【答案】（1）见解析；（2）1

3

. 【解析】 【分析】 （1） 设AC

BD O =，连结EO ，MO ，推导出四边形EOMF 为平行四边形，从而

//FM EO ．由此能证明//FM 平面BDE ．

（2）过G 作ED 的平行线交BD 于H ，则GH ⊥平面ABCD ，GH 为三棱锥G BCD -的高，根据三棱锥G BCD -的体积求得GH 长度．从而求得

GH ED

的值，由三角形相似得BG

BE 的值．

【详解】（1）证明：设AC BD O ?=，连结EO,MO ．

因为M,O 分别是BC,BD 的中点，

因为EF //AB ，且1

EF=AB 2， 因为OM //AB ，且1

OM=AB 2

，

所以EF //OM ，且EF=OM ．

所以四边形EOMF 为平行四边形．所以FM ∥EO ． 又因为EO ?平面BDE ，FM ?平面BDE ， 所以FM ∥平面BDE ．

（2）解：过G 作ED 的平行线交BD 于H ． 由已知ED ⊥平面ABCD ，

所以GH ⊥平面ABCD ．

所以GH 为三棱锥G BCD -的高． 因为三棱锥G BCD -23

所以三棱锥G BCD

-体积:

11113323

V BD BC sin60GH 22GH 3232=?????=???==

．

2GH 3

∴=

． BGH BED ??∽， 2

BG GH 13BE ED 23

∴===. 【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

21.已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，1n a = （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式n a ;

（2）设2n a

n n b a =+，数列{}n b 前n 项和为n T ，求使不等式2626n

n T n <+-成立的正整数n

组成的集合.

【答案】（1）11,21n a a n ==-；（2）{}1,2 【解析】 【分析】

（1）由数列递推式求出首项，进一步得到是以1为首项，1为公差的等差数列，求出

等差数列的通项公式可得n S ，代入1n a =求得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出

212

223

n n T n +-=+，再代入不等式解不等式即得解.

【详解】（1）解：由已知1n a =，得当1n =时，11a =；

当2n 时，1n n n a S S -=-，代入已知有11n n S S -=-+，

即211)n S -=．又0n a >，

1-1=-（舍)，

1(2)n ，

由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，

∴n =，则21n a n =-；

（2）由题得21

2=212n a

n n n b a n -=+-+，

所以数列{}n b 前n 项和2121

2

2222=(121)233

n n n n T n n ++--+-+=+.

因为2626n

n T n <+-，

所以2(2)9280,128n n n

-?+<∴<<， 所以03n <<.

所以正整数n 组成的集合为{1,2}

【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

22.如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC.

(1)求证：BC⊥面CDE;

(2)在线段AE 上是否存在一点R ，使得面BDR⊥面DCB ，若存在，求出点R 的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）略；（2）1

4

AR AE = 【解析】 【分析】

（1）由已知中AE CD ⊥，垂足为E ，DE EC ⊥．根据线面垂直的判定定理，我们可得DE ⊥面ABCE ．由线面垂直的定义，可得DE BC ⊥，又由BC CE ⊥，得到BC ⊥平面CDE ；（2）取BD 中点Q ，连接DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ ，求出RQ ，解CRQ ?，可得CQ RQ ⊥，又由等腰CBD ?中，Q 为底边BD 的中点，得到CQ BD ⊥，进而根据线面垂直判定定理，及

面面垂直判定定理，得到结论．

【详解】（1）由已知得：DE AE ⊥，DE EC ⊥,,,AE EC ABCE AE

EC E ?=平面

DE ∴⊥面ABCE ．

DE BC ∴⊥，又BC CE ⊥，,,DE CE DCE DE

CE E ?=平面

BC ∴⊥面DCE

（2）分析可知，R 点满足1

4

AR AE =

时，面BDR ⊥面BDC ． 理由如下：取BD 中点Q ，连接DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ

容易计算2,2

CD BD CR DR CQ =====， 在BDR ?中

2

BR DR BD =

==， 由平行四边形性质得2

2

2

2

2()BD 4DR BR RQ +=+,

所以2

22152(

)444

RQ +=+（

可知RQ =

， ∴在CRQ ?中，222CQ RQ CR +=，

CQ RQ ∴⊥．

又在CBD ?中，CD CB =，Q 为BD 中点 CQ BD ∴⊥，

因为,,BD RQ BDR BD RQ Q ?=平面

CQ ∴⊥面BDR ，因为CQ BDC ?平面,

∴面BDC ⊥面BDR ．