最新初中-数学—换元法
最新初中-数学—换元法
知识点拨
【知识提要】
1. 方程中变量的换元；
2. 三角换元；
3. 特殊换元。
【基本题型】
1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；
2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；
3. 求某些难以直接求出来表达式的值。 【解题技巧】
1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；
2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；
3. 有时候甚至可以联想三角函数。
快乐热身
【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2
2
23x x ay by c ++=++成立。求abc 的值。 【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。有没有简单一些的方法呢？
解 因为23y x =+，所以3
2
y x -=
。 所以，2
22
39232424y y y x x y -??++=+=
-+ ???
。 因此，1199
42432
abc ??=
?-?=- ???。 热身完了，我们开始今天的课程吧！
例题精讲
【例 1】 求11111111...
+
++
+（无穷多个）的值。
【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？
解 设原式x =，则11x x
=+
，也就是说2
10x x --=。 解得15
2
x =
（负根舍去）。
说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。关于极限的概念，以后会学到。
【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。
【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。
解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。 显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：22
10a x ax b x x ++-+=。
设1y x x
=-
，则有2
20y ay b +++=。 248a b ?=--。
⑴若0?>，则方程的解为12a y -+=，22
a y -=。
代回1
y x x =-得到1,2x =3,4x =。
⑵若0?=，则方程的解为1,22
a
y =-，于是有1,34a x -+=，2,44a x -=。
⑶若0?<，则方程无解。
【例 3】 1=。
【解析】 分析 方程中含有三次根式，直接解出现困难，可以考虑换元。
解 a =b =，则有
将第一个式子立方后得到3
3
3()1a b ab a b +++=，再根据第二个式子，有
3()3ab a b +=，所以1ab =。
这样，a 和b 是关于y 的方程210y y -+=的两个根。但是，因为方程2
10y y -+=没有实根，所以这样的a 和b 不存在，也就是说原方程没有实根。
说明 如果不用换元法，而是直接立方，会出现这样的情况：
1=，(1)(3)1x x --=，2440x x -+=，1,22x =。
代回去后发现是增根，但是涉及三次根式的题目为何会产生增根呢？以后到了高中学了更多知识的时候就会知道了。
【拓展】设x +
【解析】 分析 同样地，可以用换元法将根式变为整式，再降次，求判别式。
解 a =b =t =。则有
33
1
a b t a b +=??+=?，将第一个式子立方后得到333
3()a b ab a b t +++=，再根据第二个式子，有
3
3()1ab a b t +=-，所以313t ab t
-=。（注意，0t =>）
这样，a 和b 是关于y 的方程32103t y t t --+=的两个根。其判别式32
1403t t t
-?=-?≥，
所以3
40t -≤，解得t 0t <，原方程就有解。
(
。
【例 4】 求函数()(1)(2)(3)f x x x x x =+++的单调递增区间。 【解析】 分析 这是一个四次函数，需要设法转化为次数较低的函数。
解 可以先进行结合：2
2
()[(3)][(1)(2)](3)(32)f x x x x x x x x x =+++=+++。 设2
31y x x =++，则2
()1f x y =-。
如果0y ≥，则()f x 随着y 的增加而增加，所以y 应当随着x 的增加而增加。此时应当有x
在对称轴右侧，即3
2
x -
≥，结合0y ≥，有32x -+≥。
如果0y ≥，则()f x 随着y 的增加而减少，所以y 应当随着x 的增加而减少。此时应当有x
在对称轴左侧，即3
2
x -
≤，结合0y ≤，有
3322x ---≤≤。
综上所述，()f x 的单调递增区间是32??
-?+∞???????
。
【例 5】 已知α=
，求881
αα
+的值。 【解析】 分析 可以考虑其对称形式。
解 设1
βα
=
，则可求得β=
。这样有αβ+=1αβ=。 222()23αβαβαβ+=+-=，4422222()27αβαβαβ+=+-=， 8844244()247αβαβαβ+=+-=。
【变式】求16α的整数部分。
【解析】 分析 直接求可能会很困难，但是受到前面的启发，可以考虑对偶形式。
解 根据前面的推理可以知道：16
162207α
β+=。
因为β是纯小数，所以16α的整数部分等于2206。
【例 6】 设a ，b ，c 为三角形的三条边长，解关于x 的不等式：
()()()x x x x x x a b c a b c b c a c a b +++-++-++-≥。
【解析】 分析 显然1x =的时候两边相等，那么其他情况呢？
解 设p b c a =+-，q c a b =+-，r a b c =+-。
因为a ，b ，c 是三角形的三条边长，所以p ，q ，r 均为正实数。
原式转化为222x x x
x x x
p q q r r p p q r +++??????++++ ? ? ?
??????
≥。 对于这样的不等式，通常是分立开来讨论。
如果能够比较2x
p q +??
???
和2x x p q +的大小，那么将三个式子相加即得答案。
根据凸函数的性质，若22x
x x p q p q ++??
???
≥
，则说明指数为x 的幂函数是凹的，也就是说0x ≤≤1。所以，原不等式的解集就是[0,1]。
【例 7】 设x 和a 为实数，解关于x 的方程：222
()()x ax a a x ax a a x +-++--=。（提示：需要关
于a 的不同取值讨论。）
【解析】 分析 显然应当把2
()x ax a +-设为一个整体，进行换元代入。
解 设2
y x ax a =+-，则原方程变为2
y ay a x +-=。 对比可发现，这两个式子中x 和y 的地位刚好互换了。 相减，得到：
22()x ax a y ay a y x +--+-=-，因式分解得到
()(1)0x y x y a -+++=，得到0x y -=或10x y a +++=。 若0x y -=，则20x x ax a --+=，解得11x =，2x a =-；
若10x y a +++=，则210x x ax a a ++-++=，即2
(1)10x a x +++=。
此时，若判别式2
(1)40a ?=+-≥，即1a ≥或3a -≤，
则方程还有解231(1)4a a x --++-=，241(1)4
a a x ---+-=；
若判别式2
(1)40a ?=+-<，即31a -<<，则方程没有其他解。 另外，当3,1,1a =--时，方程的解中有相等的。
【例 8】 定义+
的一个子集S 如下：x S ∈，当且仅当存在,p q ∈，使得22x p q =+。
求证：对于任意x S ∈，\y S +
∈
，均有\xy S +∈。 【解析】 分析 如果是证明对于任意x S ∈，y S ∈，均有xy S ∈，可能简单一些。
解 对于任意x S ∈，y S ∈，则有22x p q =+，22
y r s =+，其中,,,p q r s ∈。
此时，有222222
()()()()xy p q r s pr qs ps qr =++=-++，所以xy S ∈。
另外，我们证明，若x S ∈，则有1
S x
∈。
这是因为2
2
22
22222222211()p q p q x p q p q p q p q ????+===+ ? ?++++????
。
现在，假设结论不成立，即存在x S ∈，\y S +
∈
，而xy S ∈（这是因为xy +
∈）。
因为x S ∈，所以1S x ∈，从而1xy y S x ?=∈，和\y S +
∈
矛盾。 所以，必须有\xy S +
∈
。 说明 能够表示成两个有理数平方和的有理数具有一些很有趣的性质，同学们以后还会陆续学
习到。
方法引导
1. 对于系数具有对称性的一元四次方程，可以考虑换元；
2. 某些含有复杂表达式的方程中可以换元；
3. 设计方程的根之间的关系时，可以利用韦达定理进行换元。
巩固精练
习题1. 设2a =
55b =
⑴求...
a a
a a 的值。
⑵...
b b
b b
是否等于5？为什么？
【解析】 分析 类似地，可以用换元法来解答。但请注意题目的陷阱。
解 ⑴设...
a a
a a
x =，则x
a x =
x =，解得12x =，24x =。
但是，不难发现a ，a a ，a
a a ，……中的任何一个都不超过2（假设某项超过2，则它前面的那项也超过2，可继续推得2a >，矛盾），所以这个数列的上限是2，所以答案只能是2。
⑵设...
b b
b b
y =，则y b y =
y =。y 确实可能等于5，但是否还有另一个值？
注意a b >（这是因为1032a =，1025b =），所以x y >。
y =除了5以外，还有一个大于1而小于2的解。 说明 很多题目都存在陷阱。其实只要想清楚为啥...
4a a
a a
≠，就可以知道第二问的原因了。
习题2. 关于x 的方程320x ax ++=有三个不相等的实数根，求a 的取值范围。 【解析】 分析 我们不知道如何去解一个一元三次方程，但仍可尝试通过换元法解决 解 设该方程的三个实数根为αβγ>>。根据韦达定理，有：
02a αβγαββγγααβγ++=??
++=??=-?
，根据第一、三两式可知α和β为正，γ为负。 将第一个式子代入后两个式子得到：
αβ+和αβ都是正实数。显然，如果αβ+越大，则αβ越小，从而2()αβαβ+-越大。
因为2
2
()()4αβαβαβ-=+->0，所以2
8
()4αβαβαβ
+>=
+，即2αβ+>。
所以，222
()232
αβαβ+->-
=，即3a <-。 说明 虽然现阶段同学们还不会解一元三次方程，但是如果只是定性一个特殊的一元三次方程的实根分布情况，还是可以利用韦达定理而得到答案的。
习题3. 关于x 的一元四次方程：43210x x ax x ++++=没有实数根，求a 的取值范围。 【解析】 分析 没有实数根意味着某个“判别式”小于零，但是否有其他附加条件？
解 因为0不是方程的根，所以设1y x x
=+
，则有2
20y y a ++-=。 49a ?=-+。
⑴若0?<，则9
4a >
，符合题意。 ⑵若0?=，则94a =，解出1,21
2
y =-，但因为y 的取值范围是绝对值不小于2的所有实数，
所以仍然无解，符合题意。
⑶若0?>，则根据上面，只需要方程的两个根都在(2,2)-内。因为两根的平均值为1
2
-，在(2,2)-内，所以只需在2-和2处的函数值都大于零即可：
22(2)(2)202220
490
a a a ?-+-+->?++->??-+>?
，解得9
04a <<。 综上所述，a 的取值范围为全体正实数。
说明 一元偶次方程可以没有实根，但是一元奇次方程不会没有实根。
习题4. 已知2
2
1x y +=，求2
2
|2|x xy y +-的最大值和最小值。 【解析】 分析 观察条件，可以联想到三角函数，从而进行换元。
解 设cos x α=，sin y α=，
则有2
2
2
2
|2||cos 2sin cos sin ||cos 2sin 2|x xy y αααααα+-=+-=+。 此时，在单位圆周上，易知其最大值为2，最小值为0。 说明 倍角三角函数公式是很有用的公式，可以解决很多问题。
学习札记 小故事
完全数之谜（5）
——梅森素数在初等数论领域里，曾有许多才智出群的业余数学天才活跃一时(现在的数学越来越专门艰深，我作一个业余数学家的梦想也终遭幻灭).费马，梅森，etc.今天要讲的梅森，就同完全数有着千丝万缕的联系。梅森，17世纪时的一位法国神职人员，把所有的业余时间都用在了对数学的钻研上，并因在所谓的梅森素数上的成就而载名史册。所谓的梅森素数，就是指形如2n-1的素数.读过前文的虫虫一定会眼前一亮：咦?这不是欧几里德公式里的关键部分吗!不错，根据欧几里德的公式，每求得一个梅森素数，就自动会得到一个偶数完全数。梅森在1644年说，213-1,217-1和219-1这三个梅森数都是素数，他还断言，267-1也是素数！在接下来的250年里，没有人敢对这一大胆的声言提出疑问(他们没有计算机!)(以下全文摘抄于《阿基米德的报复》一书)1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授科尔提交了一篇慎重的论文，题目为：论大数的分解因子。数学史家贝尔记下了这一时刻所发生的事:"一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算267.然后小心地减去1，得到一个21位的庞然大物：147,573,952,589,676,412,927.他仍一语不发地移到黑板上的空白处，一步步作起了乘法运算:193,707,721×761,838,257,287.两次计算结果相同。梅森的猜想——假如确曾如此的话——就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是唯一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下，没有人向他提任何问题."
初中数学因式分解中的换元法学法指导
初中数学因式分解中的换元法学法指导 徐卫东 刘建英 因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。举例简解如下。 一、整体换元 例1 因式分解.2)1x x ()1x x (2424--++-+ 解：设A 1x x 24=-+，原式)1x x )(2x x ()2A )(1A (2A A 24242++-+=+-=-+= ). 1x x )(1x x ()2x )(1x )(1x (]x )1x )[(2x )(1x ()x 1x 2x )(2x x (2222222222424+-+++-+=-++-=-++-+= 例2 若βα、是方程0c bx x 2=++的两根。因式分解.c ]c x )1b (x [b ]c x )1b (x [222++++++++ 解：因为βα、是方程0c bx x 2=++的两根，所以.c ),(b αβ=β+α-= 设A c x )1b (x 2=+++，原式).A )(A (A )(A c bA A 22β-α-=αβ+β+α-=++= 但-αβ+β-α-+=α-αβ+β-α-+=α-+++=α-x x x x x )1(x c x )1b (x A 222 ),x )(1()1x ()1x (x )x ()x x x (2α-+β-α=+β-α-+β-=α+αβ-α-+β-=α 同理),x )(1x (A β-+α-=β- 所以原式).1x )(1x )(x )(x (+β-+α-β-α-= 二、局部换元 例3 因式分解.14)8x 5x )(5x 5x (22-++-+ 解：设,A x 5x 2=+ 原式14)8A )(5A (-+-= ). 9x 5x )(6x )(1x () 9x 5x )(6x 5x () 9A )(6A (54 A 3A 2222+++-=++-+=+-=-+= 例4 因式分解.x )6x 5x )(6x 7x (222+++++ 解：设A 6x 5x 2=++，原式.)6x 6x ()x A (x Ax 2A x )x 2A (A 222222++=+=++=++= 三、局部分解后，重组再换元 例5 因式分解.91)9x )(35x 4x 4(22---- 解：原式91)]3x )(5x 2[()]3x )(7x 2[(91)3x )(3x )(5x 2)(7x 2(--+?+-=--++-= ,A 21x x 291)15x x 2)(21x x 2(222=-------=设原式91A 6A 91)6A (A 2-+=-+= )8x x 2)(7x 2)(4x ()8x x 2)(28x x 2()13A )(7A (222--+-=----=+-=
高中数学解题基本方法 换元法
高中数学解题基本方法--换元法 高中数学解题基本方法--换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋
的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t 0和α∈[0,]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设 f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则 f x 的值域是_______________。 3.已知数列 a 中，a＝－1，a??a＝a－a，则数列通项a＝___________。 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程＝3的解是_______________。 6.不等式log 2－1 ??log 2－2 〈2的解集是_______________。 【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋； 2小题：设x＋1＝t t≥1 ，则f t ＝log[- t-1 ＋4]，所以值域为－∞,log4]；
高中数学解题方法-换元法
高中数学解题方法 2013年高考数学二轮复习 换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。例如解不等式：0224≥-+x x ，先变形为设)0(2>=t t x ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现[]1,0∈x ，设 α2sin =x ?? ????∈22,0α，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量y x ,适合条件 )0(222>=+r r y x 时，则可作三角代换θθsin ,cos r y r x ==化为三角问题。 均值换元，如遇到S y x =+形式时，设t S y t S x -=+=2 ,2等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 题型一：代数换元 例1：（1）方程1313 ++-x x ＝3的解是_______________ （2）x x x f --=2)(的值域是___________.
初中数学竞赛：换元法
初中数学竞赛：换元法 【内容提要】 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2 +bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+2 1x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 【例题】 例1. 解方程1112---++x x x =x.
高中数学3(换元法)
第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进
行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立，
高中数学思想方法之八——换元法
高中数学思想方法之八——换元法 例题1. 实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5 ，设S＝x2＋y2，求 1 S m ax ＋ 1 S m in 的值。 例题2．不等式x>ax＋3 2 的解集是(4,b)，求a，b。 例题3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。 例题4. 设对所于有实数x，不等式x2log 241 () a a + ＋2x log 2 2 1 a a+ ＋log 2 () a a +1 4 2 2 >0恒成立，求a的取值 范围。 例题5. 已知sinθ x ＝ cosθ y ，且 cos2 2 θ x ＋ sin2 2 θ y ＝ 10 322 () x y + ，求 x y 的值。 例题6. 实数x、y满足() x-1 9 2 ＋ () y+1 16 2 ＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。 例题7．求同时满足下列条件的所有复数z： (1) 10 1z6 z <+≤ (2)z的实部和虚部均为整数。
例题 8.△ABC 中，求证：cosAcosBcosC ≤1/8。 例题9．实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，求证：ab+bc+ca ≤0. 例题10．已知方程x 2-3x+1=0的两根为x1x2，且x1 初中数学思想与方法——换元法 一、内容提要 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+ 21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 二、例题 例1. 解方程1112---+ +x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y － 21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2. 第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法 一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ). (A )32 (B )14 (C )5 (D )6 分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式 222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是 配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C . 例2．设F 1和F 2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠ F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ). (A )1 (B ) 2 5 (C )2 (D )5 分析及解：欲求||||2 1 2121PF PF S F PF ?= ? (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF (2), 又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即 高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 38文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 知识点拨 【知识提要】 1. 方程中变量的换元； 2. 三角换元； 3. 特殊换元。 【基本题型】 1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程； 2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围； 3. 求某些难以直接求出来表达式的值。 【解题技巧】 1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元； 2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元； 3. 有时候甚至可以联想三角函数。 快乐热身 【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。求abc 的值。 【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。有没有简单一些的方法呢？ 解 因为23y x =+，所以32y x -=。 所以，22239232424y y y x x y -??++=+=-+ ??? 。 因此，119942432 abc ??=?-?=- ???。 热身完了，我们开始今天的课程吧！ 例题精讲 【例 1】 求1 1111 11 1...++ ++（无穷多个）的值。 【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？ 解 设原式x =，则11x x =+，也就是说210x x --=。 第五讲 换元法 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 39文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 解得12x += （负根舍去）。 说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。关于极限的概念，以后会学到。 【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。 【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。 解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。 显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。 设1y x x =- ，则有220y ay b +++=。 248a b ?=--。 ⑴若0?> ，则方程的解为1y = 2y =。 代回1y x x =- 得到1,2x = ，3,4 x =。 ⑵若0?=，则方程的解为 1,22a y =-，于是有1,3x = 2,4 x =。 ⑶若0?<，则方程无解。 【例 3】 1 =。 【解析】 分析 方程中含有三次根式，直接解出现困难，可以考虑换元。 解 a =b =，则有 将第一个式子立方后得到33 3()1a b ab a b +++=，再根据第二个式子，有 3()3ab a b +=，所以1ab =。 这样，a 和b 是关于y 的方程2 10y y -+=的两个根。但是，因为方程2 10y y -+=没有实根，所以这样的a 和b 不存在，也就是说原方程没有实根。 说明 如果不用换元法，而是直接立方，会出现这样的情况： 1=，(1)(3)1x x --=， 2440x x -+=，1,22x =。 代回去后发现是增根，但是涉及三次根式的题目为何会产生增根呢？以后到了高中学了更多知识的时候就会知道了。 【拓展】设x 【解析】 分析 同样地，可以用换元法将根式变为整式，再降次，求判别式。 解 a = b =t =。则有 331 a b t a b +=??+=?，将第一个式子立方后得到3333()a b ab a b t +++ =，再根据第二个式子，有 33 ()1ab a b t +=-，所以313t ab t -=。（注意，0t =>） 这样，a 和b 是关于y 的方程32103t y t t --+ =的两个根。其判别式321403t t t -?=-?≥，所以340t -≤，解得t 0t <，原方程就有解。 二、换元法（课时10） 一、知识提要 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法. 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等. 二、例题讲解 例1．（1）已知：x x f l g )12(=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22(log )12(log 122=+?++x x 的解集是______________. 解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ； （2）设k y x =+，则1044,0122 2≥?≥-=?=+-k k kx x 或1-≤k ； （3）令)12(log 2+x =t ，可得原方程的解集为}0{. 例2．（1）函数223 ) 1(x x x y +-=的值域是_____________. (2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式. 解：（1）令θta n =x ，)2,2(π πθ-∈，则θθθθθθsi n )ta n 1(cos )ta n 1(ta n ta n 23223-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22= ?=-=， ∴]4 1,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ， ∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n ∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n ∵11=a ，52=a ，∴31=b ，123-?=n n b ，即n n n a a 22311+?=-+. 两边除以12+n 得：432211=-++n n n n a a ，令n n n a c 2=，则有431=-+n n c c ， ∴)13(41-=n c n ，代入n n n a c 2 =得： 22)13(-?-=n n n a . 例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求m a x 1 s ＋m in 1s 的值.（93年全国高中数学联赛题） 方法1：设?????==α αsin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5 解得 S ＝α 2sin 5810- ； ∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ 1013≤1085-sin α≤103 ∴ m ax 1 s ＋m in 1s ＝310＋1310＝1610＝85 方法2：由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝2s ＋t ，y 2＝2 s －t ，t ∈[－S 2，S 2]， 则224t s xy －±=代入①式得：4S ±522 4 t s －=5， 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 . ∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103 ∴ m ax 1 s ＋m in 1s ＝310＋1310＝1610＝85 初中数学竞赛专题选讲 换元法 一、内容提要 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+ 21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 二、例题 例1. 解方程1112---+ +x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －2 1y 2=0 . 解得 y=0；或y=2. 当y=0时， 11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2， 解得，x=4 5. 检验（略）. 高中数学换元法解题案例及练习题 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替 它，从而使问题得到简化，这叫换兀法。换兀的实质是转化，关键 是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将 问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准 化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可 以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结 论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化 超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题 中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元 又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用 一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发 现。例如解不等式：4x+ 2x- 2> 0,先变形为设2x= t (t>0 )，而变 为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y= x +、1 X 的值域时，易发现x € [0,1]，设x = sin 2a ,a€ [0,—]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+ y1 2 3= r2(r>0 )时，则可作三角代换x = rcos B、y = rsin B化为三角问题。 均值换元，如遇到x+ y = S形式时，设x = - + t , y = - —t等等。 2 2 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则， 换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量 的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和口€ [0,-]。 I、再现性题组： 1. y = sinx ? cosx + sinx+cosx 的最大值是__________ 。 2. 设f(x 2+ 1) = log a (4 —x 4) ( a>1 ),贝U f(x)的值域是 o 3. 已知数列｛a n｝中，a i = —1, a. i ? a. = a. 1 —a.，则数列通项a.= 4. 设实数x、y满足x 2+ 2xy —1 = 0，贝U x + y的取值范围是 。 5. 方程匚盖=3的解是。 1 3 --------------------------------- 6. 不等式log 2 (2 x—1) ? log 2 (2 x 1—2) 〈2 的解集是 。 2 【简解】1小题：设sMx+cosx = t € [ — 2 , 2 ],则y =》+1 — 1 , 对称轴t =—1,当t = .2 , y max =丄+丄； 2 2 小题：设x2+ 1 = t (t > 1)，贝U f(t) = log a[-(t-1) 2+ 4]，所以 值域为(一a ,log a4]; 知识点拨 【知识提要】 1. 方程中变量的换元； 2. 三角换元； 3. 特殊换元。 【基本题型】 1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程； 2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围； 3. 求某些难以直接求出来表达式的值。 【解题技巧】 1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元； 2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元； 3. 有时候甚至可以联想三角函数。 快乐热身 【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2 2 23x x ay by c ++=++成立。求abc 的值。 【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。有没有简单一些的方法呢？ 解 因为23y x =+，所以3 2 y x -= 。 所以，2 22 39232424y y y x x y -??++=+= -+ ??? 。 因此，119942432 abc ??= ?-?=- ???。 第五讲 换元法 热身完了，我们开始今天的课程吧！ 例题精讲 【例 1】 求1111111 1... + ++ +（无穷多个）的值。 【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？ 解 设原式x =，则11x x =+ ，也就是说2 10x x --=。 解得15 x += （负根舍去）。 说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。关于极限的概念，以后会学到。 【例 2】 解关于x 的一元四次方程：432 10x ax bx ax ++-+=。 【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。 解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。 显然0x =不是原方程的解，所以除以2 x 后得到：2 2 1 0a x ax b x x ++- +=。 设1y x x =- ，则有220y ay b +++=。 2 48a b ?=--。 ⑴若0?>，则方程的解为21482a a b y ---=，2248 2 a a b y ----=。 代回1 y x x =-得到2111,24y y x ±+=，2223,44y y x ±+=。 ⑵若0?=，则方程的解为1,22 a y =-，于是有21,316a a x -++=22,416a a x --+=。 ⑶若0?<，则方程无解。 【例 3】 33 131x x --=。 【解析】 分析 方程中含有三次根式，直接解出现困难，可以考虑换元。 解 31x a -=33x b -=，则有 中考数学复习专题：配方法与换元法 一、配方法与换元法的特点： 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 二、配方法与换元法的方法： 配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a 2±2ab+b 2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都是非负数，即(a-b)2 ≥0，当a=b 时，(a-b)2 =0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。 配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x 2+6x+k 是完全平方式，试确定k 值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。如二次三项式4x 2+kxy+25 y 2是完全平方式，试确定k 值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。 三、例题精讲： 热身： 填空题： 1．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。 2．方程x 2+y 2 +4x －2y+5=0的解是 。 3．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。 4．用配方法把二次函数y=2x 2 +3x+1写成y=a(x+m)2 +k 的形式 。 5．设方程x 2+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2= 。 6．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。 7．若x 、y 为实数，且1 1),32(332 +-+-=-+ x y x y x 则 的值等于 。 【例1】 分解因式：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 ；（2）（x 2+2x ＋4）（x 2+2x+6）-8 【例2】已知a ，b ∈R ，则不等式①a 2 +3>2a ，②a 2 +b 2 ≥2(a －b －1)，③a 2 +b 2 >a b 中一定成立的有_______． 高中数学解题基本方法 换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx2cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 2a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) 2log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。初中数学十大思想方法-换元法
8常用数学方法-配方法、待定系数法、换元法
高中数学解题基本方法——换元法
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