二次根式经典讲义(可编辑修改word版)
a 2
a b a b
x +1 - 2x + 4 x - 3 x 2 - 6x + m x - 3 1. 二次根式具有以下性质：
（1） ( a )
2
= a （ a ≥ 0 ）（2） = a
2. 常用二次根式运算法则：
（1） ? = （ a ≥ 0 ， b ≥ 0 ）（2）
= （ a ≥ 0 ， b > 0 ）
类型一 二次根式的“双重非负性”
例 1（1）要使代数式
有意义，
x 的取值范围是（
）．
x
A. x ≠ -1
B. x ≠ 0
C. x > -1 且 x ≠ 0
D. x ≥ -1且 x ≠ 0
- 2
（2）要使代数式
x 2 - 4x + 3
有意义，那么 x 的取值范围是
．
【变式题组】1.二次根式 有意义，则实数 x 的取值范围是（
）．
A. x ≥ -2
B. x > -2
C. x < 2
D. x ≤ 2
2. 若代数式
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（
）．
A. x ≥ -3
B. x > 3
C. x ≥ 3
D. x ≤ 3
3. 函数 y =
中自变量
x 的取值范围是（
）．
x
A. x ≠ 0
B. x ≥ 2
C. x > 2 且 x ≠ 0
D. x ≥ 2 且 x ≠ 0
4. 无论 x 取何实数，代数式
都有意义，则 x 的取值范围为
．
ab a
b x - 2
x - x x 2 - 4 4 - x 2 b - 3 y + 2 x 2 - 9 9 - x 2 a - 2015 45a 30 2 1 2
40b 2 17(a 2 + b 2 )
a 3a 2 a 3
2a 3 6 8x
5. 要使代数式 3 - x -1
有意义，实数 x 的取值范围是
． x -1 - 2
例 2 （1）已知 y = + + 2 ，求 y x 的值．
（2）已知 y = + ，求 x + y 得值．
（3）若 a 2 - 4a + = -4 ，则 a 2 - 2b =
．
【变式题组】6.若 x - y + = 0 ，则 x 、 y 的值分别为
．
7. 已知 x 、 y 为实数，且 y =
- + 4 ，则 x - y =
．
8. 若实数 x 、 y 满足 x - 4 +
= 0 ， 则以 x 、 y 的值为边长的等腰三角形的周长为
．
9.已知实数 a 满足 2014 - a + = a ，那么 a - 20142 =
．
类型二 最简二次根式与同类二次根式
例 3 （1）下列二次根式 ， ， ， ， 54 ， 中，为最简二
次根式的是
．
（2）在下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（
）
A.
2a
B.
C ．
D ．
【变式题组】10.在下列根式4 ， ， ， 中，最简二次根式有（
）
y - 8 a
4
5a
2.5 a 2b ab 2
abc 3
(3 - a )2
(x -1)2
a 2
A ．4 个
B ．3 个
C ．2 个
D ．1 个[来源:学§科§网]
11.下列四组根式中，是同类二次根式的一组是（ ）
A.
和2 B. 3a 和3b
C.
和 D ． 和
类型三 利用二次根式的性质化简
例 4 如果式子 + x - 2 化简的结果为2x - 3 ，则 x 的取值范围是（
）．
A. x ≤ 1
B. x ≥ 2 C ．1 ≤ x ≤ 2
D ． x > 0
【 变 式 题 组 】 12.若 代 数 式
+ 的 值 是 常 数 2， 则
a 的 取 值 范 围
是 ．
13. 若 1- x = 1+ x ，则 =
．
14.若 a = -a ，则 2a - = （
）．
A. a
B. - a
C. 3a
D. - 3a
类型四 简单的二次根式的化简与求值[来源:学科网]
例 5 （1）计算： (- 3)0
-
- 3 + ?- ? 1 ?-2
? ?
0.5 a b
c 3
ab
(x -1)2
(1- a )2
5 5 3 -
1
3 a - b
b - a b - a 0.5 4 1 2 3 1
（2） 计算： ? 12 ? + 3 - ? 48 ?
?
（3） 把(a - b )
根号外的因式移到根号内结果为（
）．
A ．
B ．
C ． -
D ． -
【变式题组】15.计算：
8 - - + 2 2
16.计算：
- - + (
1-
3)
0 - ? 1 ? ? ? ?
2 17.（1）化简： 3
9x + 6 - 2x
，并将自己喜欢的 x 的值代入化简结果进行计算．
（2） 代数式 a
化简为（ ）．
75 1 b - a a - b
50
12
3
x 4 1
x - 1
a
-1
- a
a - x - 2 x + 2
x + 2 1- b + a 1- b - a 1- b - a 1- b + a a
b
x -1 x -1 ?
?
?
A ．
B ． -
C ．
D ． - [来源:学科网 ZXXK]
（3） 化简 x ?
的结果为（ ）．
A.
B ．
C ． -
D ． -
例 6 （1）先化简，再求值： a 2 - b 2 ? ÷ 1- a 2 + b 2 ? ，其中 a = 2 +
，
b = 2 -
a 2
b + ab 2
2ab ?
（ 2） 已知正实数 a ， b 满足： a + b = 1， 且
+ = -4 ， 则 =
．
【变式题组】18.（1）已知 x = +1 ， y = -1，则 x 2 - y 2 =
．
? 3 ?
x - 2 （2）先化简，再求值： x -1 - x -1? ÷ x 2 - 2x +1 ，其中 x = - ? ?
19.已知 x =
1 ? n 2007 - 1 ?
， n 是大于 1 的自然数，那么(
x - 1+ x 2 )
n 的值是（
）．
1 A ． 2007
2 ? B. - 1
2007 ? ?
C ． (-1)n
1 2007
D ． - (-1)n 1 2007
20.设 m > 0 ， - = m ，则代数式 + 的值是 （用 m 表示）．
- a a - x - 2
x 2
- x - 2
3
3
3 3 2 n
2007 x + 3 x + 3
x +1
3 3
课外练习
1. 函数 y =
x -1
自变量
x 的取值范围是
．
2. 若代数式
(x - 3)2
有意义，则实数 x 的取值范围是（
）．
A. x ≥ -1
B. x ≥ -1且 x ≠ 3
C. x > -1
D. x > -1 且 x ≠ 3
3.计算： ?- ? 1 ?-2 ? ?
- 1-
1 ? 1 1 ?
4. 先化简，再求值： ÷ - ? ，其中 x = + x - y y x ， y = - ? ?
1
5. 若
a - a = 1，则 1
a + a 的值为（ ）．
x -1 3 8
9
2 2
2 +
m
m
- m
a
- a a - a
(x - 1 )2 + 4 x (x + 1 )2
- 4 x
6. 把 m
根号外的因式移到根号内 ，得（ ）．
A ．
B ． -
C ． -
D ．
7.若 a + 1
= 4 (0 - 1 = ． 8. 化简 a ( a ＜0 ) 得（ ） A B － C － D 9. 已知实数 x ，y 满足 x - 4 + = 0 ，则以 x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 （ ） A ． 20 或 16 B ． 20 C ．16 D ．以上答案均不对 10.若 0＜x ＜1，则 － 等于（ ） 2 2 A B － C －2x D 2x x 11. x + b 2 - 2b +1 = 0 ，则a 2 + 1 a 2 - | b | ＝＿＿＿＿＿ 12. 把根号外的因式移到根号内： （1） (a - 1) ； （2） x y (x < 0, y < 0) x 13. 已知 y ＝ 2x －5＋ 5－2x －3，则 2xy 的值为 14. 已知 a ＝ 5＋2，b ＝ 5－2，则 a 2＋b 2＋7的值为 ． - 1 m - m a - a 3 a y - 8 a 2 - 3a +1 1 1 - a 15.把（2－x ） 1 x －2 的根号外的（2－x ）移入根号内得 ． 16.阅读下面的解题过程： 化简： 4＋2 3＋ 4－2 3。 解法一： 原式＝ 3＋2＋1＋ ＝ （）2＋2＋1＋ ＝ （＋1）2＋ ＝ 3＋1＋ 3－1 ＝2 解法二： 设 x ＝ 4＋2＋ 4－2，则 x ＞0， 则有 x 2＝4＋2 3＋2 4＋2· 4－2＋4－2 ＝8＋4 ＝12 所以 x ＝2 请你用上面的方法（任选一种），解答下列的问题： 化简： 2＋＋ 2－。 3－2＋1 （）2－2＋1 （－1）2 3 3 3 二次根式知识清单及典型题型练习 姓名________ 1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 ) )00x x ><中，二次根式有 个 二次根式有意义的条件： ①当__________时， 1 1 m +有意义；②当__________ x 有（ ）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 变式：已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-< x x y ,化简 1 1--y y =_________. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 练．下列式子为最简二次根式的是( ) 3.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2 ） 利用二次根式的性质化简：①．若0x <，则x = ；②．若0,0a b <>，则 = ；2 = ；④若0xy ≠，=-成立的条件是 ；⑤若01x <<等于 ． ⑥= ；⑦3y =，x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 练：下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．2112与 B ．2718与 C ．3 13与 D ．5445与 变式：若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）； （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （a>0，b≥0） （特别应注意a 、b 的取值） 练：①使等式 ()()1111x x x x +-= -+g 成立的条件是 。 ②当x __________时， 22 x x x x =--有意义； ③计算： ( ) 483273_____________-÷=；33 23121418÷???? ? ?++-= 6、二次根式的大小比较（通常采用平方法，作差法，求倒法） 比较大小：①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65- 变式：设25,3223-=-=-= c ，b a ,则a 、b 、c 的大小关系 7、在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式。（1）4x 2－3= ；（2）9y 4－4= 8、规律性问题 练：观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 15 =_________； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 变式： 已知，则a _________ 巩固练习： 1、下列根式中，最简二次根式为：（ ） A 0.2b B ．x 2 4- C ． x 4 D ．()x +42 二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -． 知识点一：二次根式的概念 第五章二次根式 【知识网络】 知识点一：二次根式的概念 形如…（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被幵方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是J为二次根式的前提条件，如J，& I,二「’等是二次根式，而J ，丿厂■等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a± 0时，" 有意义，是 二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被幵方数大于 或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时, ■■ 没有 意义。 知识点三：二次根式二（』匚）的非负性 ^:）表示a的算术平方根，也就是说，门（二/ ）是一个非负数， 即Z 10 （“ _「）。 注：因为二次根式二）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即「上 0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类 似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ;若八」，则a=0,b=0 ;若“、-，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（厂）：的性质 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式）是逆用平方根的定义得出的结论。 上面的公式也可以反过来应用：若心：，则如：—w. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1化简爲「时，一定要弄明白被幵方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即&二；若a是负数，则等于a的相反数-a, 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，='一定有意义； 3、化简勺丁时，先将它化成’，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：、'与打的异同点 1不同点：二八与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而“'表示一个实数a的平方的算术平方根；在中^ ：|，而中a可以是正实数，0,负实数。但-、宀与都是非负数，即'，&兰°。因而它的运算的结果是有差别的，(亦尸，而 2、相同点：当被幵方数都是非负数，即时，―' 二扛；-「时，无 意义，而八 '. 知识点七：二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母 中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2. 二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3. 二次根式的混合运算 专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如.a _0（a 一0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 例 1 下列各式1）L；,2）.飞,3） - -X22,4）、一4,5）L（-；）2,6）.,口,7）, a2—2a 1， 其中是二次根式的是_________ （填序号）. 例2使，x +“ ；x-2有意义的x的取值范围是（） A ,x > 0 B ,x 丰 2 C.x>2 D ,x > 0 且 2.[来源：学*科* 网Z*X*X*K]例 3 若y= .、X -5 + _ 5 -X +2009，则x+y= ______________ 练习1使代数式有意义的x的取值范围是（） x —4 A 、x>3 B x> 3 C x>4 D、x >3 且x丰4 练习2若x —1 - .1—x = （x y），则x —y 的值为（） A. —1 B . 1 C . 2 D . 3 例 4 若a—2|+5/^5 =0,贝U a2—b= ____________________ 。 例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X 2 + 4= ________ ___________ 例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）： A、诟+ 品=^a2+b2; B、寸（a2+b2）2=a2+b2； C、（ .a + . b ）2= a2+b2; D、. （a—b）2=a—b; 【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，■. a 一0（a 一0）的最小值是0;也就是说=（「：—?）是一个非负数，即二二0 注：因为二次根式=（，二I）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正 Word文字处理软件练习题 一、选择题 1、在Word 2010文字编辑中，不能实现的功能是（）。 A. 把文档的标题文字设置成不同的颜色 B. 把选定的英文单词翻译成相应的中文词 C. 打开一个低版本的文档 D. 把当前文档保存成一个低版本的文档 2、在Word中，打开文档是指（）。 A. 为指定的文档创建一个空白文档窗口 B. 为指定的文档开辟一块硬盘空间 C. 把文档的内容从内存中读出并且显示出来 D. 将指定的文档从硬盘调入内存并且显示出来 3、在Word的文档编辑中，如果选定的文字块中含有几种不同字号的汉字，则在工具栏的“字号”下拉列 表中，显示出的字号是（）。 A. 选定文字块中的第一个汉字的字号 B. 选定文字块中最后一个汉字的字号 C. 文字块中使用最多的字号 D. 空白 4、启动Word有多种方式，在下列给出的几种方式： （1）在桌面上双击Word快捷方式图标 （2）在“快速启动”栏中单击Word快捷方式图标 （3）在“开始”菜单的“所有程序”级联菜单中单击Word程序名 （4）通过“开始”菜单的“搜索程序和文件”找到Word应用程序后，单击该程序图标 正确的说法是（） A. 只有（1）是正确的 B. 只有（2）、（3）是正确的 C. 只有（2）、（3）、（4）是正确的 D.（1），（2）、（3）、（4）都正确 5、在Word中，要把整个文档中的所有“电脑”一词修改成“计算机”一词，可能使用的功能是（）。 A. 替换 B. 查找 C. 自动替换 D. 改写 6、Word的主要功能是（）。 A. 文档的编译 B. 文档的编辑排版 C. 文档的输入输出 D. 文档的校对检查 7、在Word的“页面设置”对话框中，不能设置的选项为（）。 A. 字体 B. 页边距 C. 纸张方向 D. 纸张大小 8、在Word 2010中，要在文档中加入页眉，页脚，应该使用（）选项卡中的相关命令按钮。 A. “插入” B. “开始” C. “页面布局” D. “文件” 9、在Word中输入文本时，当输入满一行时会自动换到下一行，这样的换行是插入了一个（）。 A. 硬回车符 B. 分页符 C. 分节符 D. 软回车符 10、在Word 2010中，在“字体”对话框的“高级”选项卡中不能实现的功能是（） A.缩放 B. 间距 C. 位置 D. 字形 11、在Word中，能将剪贴板上的内容拷贝到“插入点”处的操作是（） A. 单击“开始”选项卡中的“剪切”按钮 B. 单击“开始”选项卡中“复制”按钮 C. 单击“开始”选项卡中“替换”命令 D. 按Ctrl＋V键 12、在Word 的“字体”对话框中，不能设置的字符格式是（） A. 上标 B. 加下划线 C. 字符间距 D. 首行缩进 13、下面哪种方法可以选择一个矩形的文字块( )。 A. 按住Ctrl键，再按下鼠标左键，并拖动到矩形字块的右下角 B. 不能一次选定，只能分步来选 C. 按住Alt键，再按下鼠标左键，并拖动到矩形字块的右下角 D. 按住Shift键，再按下鼠标左键，并推动到进行字块的右下角 14、在Word主窗口中，要给一段选定的文本加上边框，应从（）选项卡中选择“边框和底纹”命令。 A. “插入” B. “视图” C. “开始” D. “文件” 15、在编辑Word文档中，“Ctrl+A”表示( )。 北师大版八年级上册2.7二次根式专项训练 知识回顾 1．一般地，形如__________的式子叫做二次根式. 2．被开方数不含_________，也不含__________的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 3．积的算术平方根，等于_____________≥0，b≥0)；商的算术平 方根，等于_______________≥0，b＞0). 4．二次根式的运算乘法法则：=_________(a≥0，b≥0)；除法法则： =__________(a≥0，b＞0). 5．二次根式相加减，先化简每个二次根式，使其成为______二次根式，再把被开方数______的项合并. 智能训练 1．下列各式中，是最简二次根式的是（）. A B C D 2）. A B C D 3．下列各式计算正确的是（）. A．3=B．= C．D= 4．规定一种新运算“@”的运算法则为：a@b=则12@3的值为（）. A．3 B．4 C．6 D．8 5有意义，则x 的取值范围是_________. 6．下列计算：①=3＋4=7；②5×=；③==；④ 72=.正确的有__________.(填写序号即可) 7．一个等腰三角形的腰长为12，则这个三角形的周长为________. 8．计算下列各题： （12(1- （2 9．已知，. 求下列各式的值. （1）x 2－y 2 （2）x 2＋xy ＋y 2 1=成立的条件是（ ）. A ．a ≠6 B ．a ＞6 C ．a ≥4 D ．a ≥4且a ≠6 2．已知a =b =的值为（ ）. A B ． C ． D ． 3．观察并分析下列数据，寻找规律：03，，……那么第10个数据应是（ ）. A ． B ． C D ． 2.7二次根式 第1课时二次根式及其化简 1. 若-l 2.7二次根式 第1课时二次根式及其化简 1.化简辰=_. 2. J?"二 __________________________ . 3 '"∣d V —2时,化简11 — J(I + ")- I 得 4. 若三角形的三边“、b 、C 满足“2_4“+4+斫刁=0,则笫三边C 的取值范围是 ____________________ . 5. 判断题 (1)若 QF 则“一泄是正数?( ) (2)若 Q=",则“一建是负数.( ) ⑶ λ∕(π-3.14)~ =JT _3 14.() ⑷?.?(-5)2=52, /. Ji ，= y∣5~, 乂底=5,二 *-5)~ =~5( (5)A /(>/5-77)2 =-(√5-√7) = √7-√5.( ) ⑹当Q1 时,k∕-11+ Jl-2" + / =2<∕-2.( ) (7)若Λ=1,则2-3 -4x + 4 =2x-J(x-2)- =IY -(X -2)=A ?+2= 1+2=3.() ⑻若応I-;VyHo ,则x 、y 异号.( ) (10)2 ÷2x ÷1 =Λ?+1.( ) (12)当加>3时，V9-6∕Π + W 2 .W=.3.( ) 6?如果等式F =X 成立，贝Ib 的取值范围是 ______________ I 7. ________ 当 X 时，Jl-2x + F=ri 8 若 J-(x +2)2 =X+2,则X __________ . 9. ----------------------------------------------- 若m<0Mm?+ 府 +症= B. = 1.( 6 8 1 2 24 a + 1 a +1 2 3 5 6 6 2 3 3 3 75 8 32 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察 ，划 ； ②有序操作，依 ； ③ ． 2. 两大公式： ①平方差公式 ； ②完全平方公式 ． 3. 数轴上 A ，B 两点对应的实数分别为 1，3，点 B 关于点 A 的 对称点为 C ，若点 C 表示的数为 x ，则 x = ． ? 知识点睛 1. 同类二次根式： ． 2. 二次根式的加减法则： ① ；② ． 3. 实数混合运算顺序： 先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号， 先算括号里面的． ? 精讲精练 1. 下列各式与 是同类二次根式的是（ ） A. B ． C ． D ． 2. 与最简二次根式5 是同类二次根式，则 a = ． 3. 已知最简二次根式2 与则 a = ． 的和是一个二次根式， 4. 下列计算正确的是（ ） A ． + = B ． + = 6 C ． 2 + = 2 5. 计算： D ． 2 - = （1） 3 + ； （2） 3 - 5 ； 解：原式= 解：原式= 3 12 4 - 2a 2 3 24 2 3 18 8 9 2 3 1 10 10 24 1 2 2 28 700 1 3 48 32 8 49 2 1 8 2 （3） - 9 ； （4） - ； 解：原式= 解：原式= （5） - ； （6） -10 + ； 解：原式= 解：原式= （7） + - 54 ； （8） - 3 + ； 解：原式= 解：原式= （9） - + ； （10） 2 - 6 + 3 ． 解：原式= 解：原式= 6. 计算： （1） 50 ? ÷ - ；（2）( 45 + ? 18) - 2 ? - 20 ； ? ? ? 解：原式= 解：原式= （3） 1 ( + 3) - 3 ( + 27) ； 2 4 解：原式= 3 2 40 25 6 32 1 7 12 2 《二次根式》练习题 1．二次根式的定义 一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数． 【例1－1】 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ 2，33，1x ，x 2＋1，0，42，－2，1x ＋y ，x ＋y . 解：二次根式有：2，x 2＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x ，42，1x ＋y ，x ＋y . 析规律 二次根式的条件 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0. 【例1－2】 当x 是多少时，3x －1在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x －1≥0时，3x －1才有意义． 解：由3x －1≥0，得x ≥13 . 因此当x ≥13时，3x －1在实数范围内有意义． 点技巧 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0. 2．积的算术平方根 用“＞，＜或＝”填空． 4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36. 根据上面的计算我们可得出：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0) 即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积． 【例2】 化简： (1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54. 分析：利用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)直接化简即可． 解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)54＝9×6＝32×6＝3 6. 点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式． 3．商的算术平方根 填空： (1)916 ＝__________，916＝__________； 二次根式 【知识要点】 必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数． 1． 二次根式的主要性质： ①???<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥?=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b a b a ； ⑤()()b a b a b a b a b a b a --=-+-=+1 ; ⑥b a b a b a -+=-1. A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=?b a b a ；反之:)0,0_______(≥≥=b a ab D 、除法公式：)0,0______(>≥=b a b a ;反之：)0,0______(>≥= b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m 【典型例题】 例1.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）1+x ； （2)23-x ； (３） 123+x ; (4)x 231-. 例２．若a a ---33有意义,则a 的值为＿______＿__＿_＿＿． 例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是＿＿_＿＿_＿___＿＿_＿_＿. 例４.已知2<ｘ<3，化简:3)2(2 -+-x x ． 例5.数ａ、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++. 例1、乘法运算 (1）)169()25(-?- (2）1527? （3）2 28n m (4）a a 122532?- 例2:除法运算 （1）354- (2）531513÷ (3）921.150 04.0?? （ 4)2294a b 例３：加减混合运算 （1）4832 31531 1312--+ 专题一 与二次根式有关的规律探究题 1.将1、2、3、6按如图所示的方式排列. 若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ） A.1 B.2 C. 23 D.6 2. 观察下列各式及其验证过程： 322322=+，验证：228222223333 ?+===． 333388+=，验证：2327333338888 ?+===． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想15 44+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证； （3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证． 3. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2 +2mn 2, ∴a=m 2+2n 2 ,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、 b ，得：a = ，b = ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + 3 =（ ＋ 3）2； （3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值. 专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式22a a a 的结果是（ ） A. 2a B. 2a C. 2a D. 2a 5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：2 22)(b a b a -+-． 答案： 1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）6.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210 一、选择题 1．下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ． 3 B ．×=6 C ． 3 D ． 3．已知2a =，2b =的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4． ） A ．－3 B ．3或－3 C ．9 D ．3 5．在函数y=3 x -中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－2 6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A ． B C D 7．下列各式计算正确的是（ ） A += B ．26=（ C 4= D = 8．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D 9．下列运算中正确的是（ ） A ．= B === C 3 === D 1== 10．已知，5x y +=-，3xy =则的结果是（ ） A ． B ．- C ． D ．-二、填空题 11．3 =，且01x <<=______． 12．实数a ，b +|a +b |的结果是 _____． 13．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 14．已知72 x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 15．已知m=1+ 2，n=1﹣2，则代数式22m n mn +-的值________． 16．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则3a b -=______. 17．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____． 18．4x -x 的取值范围是_____ 19．已知23x =243x x --的值为_______． 20．12a 1-能合并成一项，则a =______． 三、解答题 21．计算： 22322343341009999100 +++++【答案】 910 【解析】 【分析】 先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 【详解】 2232234334 1009999100++++++ =2232234334100999910026129900 -++++ =223349910012233499100- +-+-++- =1001100- =1110- =910 【点睛】 数学二次根式(讲义及答案)含答案 一、选择题 1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤5 2．下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 3．下列各式成立的是（ ） A 3= B 3= C ．22(3 =- D ．2-= 4．下列各式计算正确的是（ ） A = B = C ．23= D 2=- 5．下列各式计算正确的是（ ） A = B 6= C ．3+= D 2=- 6．下列各式中正确的是（ ） A 6 B 2=- C 4 D ．2(＝7 7．若a ，b ＝，则a b 的值为（ ） A ． 1 2 B ． 14 C ． 3 21 + D 8．下列各式计算正确的是（ ） A += B ．2 6=（ C 4= D = 9．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 10．设0a >，0b >=的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A B C D 12．2 30x -=成立的x 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对 二、填空题 13．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 -_______12 14．已知实数,x y 满足()( ) 2 22008 20082008x x y y ----=，则 2232332007x y x y -+--的值为______. 15．计算（π-3）02-2 11(223)-4 --22 --（） 的结果为_____． 16．把31 a a - 根号外的因式移入根号内，得________ 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“ ”表示算数平 方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________. 18．化简：3222＝_____． 19．函数y ＝ 42 x x --中，自变量x 的取值范围是____________． 20．28n n 为________． 三、解答题 21．计算： 2232234334 1009999100 + ++++【答案】 910 【解析】 【分析】 先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 一、选择题 1．下列计算，正确的是（ ） A ．= B ．= C ．0= D ．10= 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ． 3 B ．×=6 C ． 3 D ．3．下列各式计算正确的是（ ） A = B 6= C ．3+= D 2=- 4．已知m 、n m ，n ）为（ ） A ．（2，5） B ．（8，20） C ．（2，5），（8，20） D ．以上都不是 5．1在3和4中x 的取值范围是1x ≥-； ③3；④5=-5 8 >．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．下列运算中错误的是（ ） A = B = C 2÷= D ．2 (3= 7．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D 8．如果实数x ，y =-(),x y 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第一象限或坐标轴上 D ．第二象限或坐标 轴上 9．下列运算正确的是（ ） A = B 2= C = D 9= 10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记 2 a b c p ++= ，那么三角形的面积为S =ABC ?中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ?的面积为（ ） A ．66 B ．3 C ．18 D ． 192 二、填空题 11．使函数21 122y x x x =-+有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 12．计算（π-3）02-2 11(223)-4 -22 --（） 的结果为_____． 13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=---，则 2b c +=________． 14．3x x =，且01x <<2691x x x =+-______． 15．若实数x ，y ，m 满足等式 ()2 3532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为 ________． 161262_____． 17．若实数23 a =-，则代数式244a a -+的值为___. 18．函数y 4x -中，自变量x 的取值范围是____________． 19．下列各式：2521+n 2b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号） 20．4 x -x 的取值范围是_____． 三、解答题 21．阅读下面问题： 阅读理解： 2221(21)(21) ==++-1； 32 3232(32)(32) ==++- 《二次根式》精品教案 ●教学目标： 知识与技能目标： 1.理解二次根式的概念和性质， 2.最简二次根式的概念 3.会根据二次根式的性质进行二次根式的化简 过程与方法目标： 1.通过加深对概念的理解，提高对二次根式的性质和运算的认识。 2.利用二次根式的化简解决简单的数学问题，通过独立思考，能选择合理的方法解决 问题。 情感态度与价值观目标： 1.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会二次根式的性质及运算，培养学生利用数 学解决问题的能力。 ●重点： 1.掌握二次根式的概念和性质，理解它们解的含义； 2.能利用二次根式的乘除法的法则进行二次根式的运算。 ●难点： 1.最简二次根式的概念 2.把根号内含字母的二次根式的化简。 ●教学流程： 一、课前回顾 1、 11的算术平方根是 2、面积为a（a 3、直角三角形的两直角边分别是1和2 二、情境引入 探究1： b=24，c=25） 上述式子有什么共同特征？ 共同特征:都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 1.二次根式的概念 一般地，形如(a ≥0)式子叫做二次根式． a 叫做被开方数． ＊一个式子是二次根式应满足几个条件？ 第二，被开方数a 是正数或0．（条件：a ≥0 ） 练习1 1、判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式． 1 x ，1x y +x ≥0）,（x ≥0，y ≥0） （x ≥0）,x ≥0，y ≥0） ， 1 x ，1x y +， 2、当x 解：由x －1≥0 ，得x ≥1 3、a ≥0 解：a ≥00 (双重非负性) 探究2 1、二次根式性质 （1）计算下列式子，猜想你能得到什么结论？ 94?＝ 6 ，94?＝ 6 ； 2516?＝ 20 ，2516?＝ 20 ； 9 4＝ 23 ，9 4＝ 23 ； 25 16＝ 45 ，25 16＝ 4 5 ． 结论： 94?= 94?； 2516?=2516? 9 4= 9 4 25 16 = 25 16 （2）用计算器计算： 76?＝ 6.480，76?＝_6.480__； 7 6＝0.9255， 7 6 ＝0.9255 ． 二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并_______________． （2）实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （120b c +=，则a =______，b =______，c =_____． （2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点． 做运算时往往需要估计工作量 ．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理 ．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算： （1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ??? 第四章WORD文字处理软件习题 一、选择题 1、中文Word 2010 编辑软件的运行环境是（）。 A. DOS B. WPS C. Windows D.高级语言 2．在Word的编辑状态下，当前输入的文字显示在（）。 A.鼠标光标处 B.插入点 C.文件尾 D.当前行尾 3．有关Word文本行的说法中正确的有（）。 A.输入文本内容到达屏幕右边界时应按回车键换行 B.在Word中，文本行的宽度就是显示器的宽度 C.Word文本行的宽度与页面设置有关 D. Word 文本行的宽度用户无法控制 4．以下关于选定操作的说法中正确的有（）。 A.Ctrl+A键可以选定整个文档 B.按下鼠标左键并拖动鼠标，可选定扫过的文本 C.同时按下Alt键和光标移动键，可以选定扫过的文本 D.按下Alt键同时拖动鼠标可选定矩形块 5. 以下关于Word删除操作的正确说法为（）。 A.可以使用人教版八年级下册 第十六章 二次根式知识清单及典型题型练习 讲义(无答案)
二次根式拓展提高讲义及答案
北师版八年级数学-二次根式-知识点+练习题--详细
二次根式复习
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（
）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
形如 （
）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因
注：二次根式的性质公式
（
）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以
为负数没有平方根，所以
是 为二次根式的前提条件，如 ，
，
等是 反过来应用：若
，则
，如：
，
.
二次根式，而 ，
等都不是二次根式。
知识点五：二次根式的性质
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
有意义，是二次根式，
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a﹤0 时， 没有意义。
注：1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本
知识点三：二次根式 （
）的非负性
身，即
；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即
；
2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；
（
）表示 a 的算术平方根，也就是说， （
）是一个非负数，即
0（
）。
注：因为二次根式 （
）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根
3、化简
时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。
是 0，所以非负数（
）的算术平方根是非负数，即
0（
），这个性质也就是非负数的 知识点六：
与 的异同点 1、不同点：
与 表示的意义是不同的，
算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若
， 正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在
中
表示一个 ，而
则 a=0,b=0；若
，则 a=0,b=0；若
，则 a=0,b=0。
中 a 可以是正实数，0，负实数。但
与 都是非负数，即
，
。因而它的
知识点四：二次根式（ ） 的性质
运算的结果是有差别的，
，而
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第四章 Word文字处理软件习题及答案
键 B.不能使用“剪切”命令 C.可以使用菜单命令 D.只能恢复在最后一次删除的内容 6．关于“在Word中复制一段文本”的正确说法为（）。 A、可以使用剪贴板 B、必须首先选定需要复制的文本 C、用鼠标拖动 D.用鼠标右键无法操作 8.在Word2010中文档的缺省扩展名为（）。 A.·WRD B.·RTF C.·DOCX D.·TXT 9.在Word中,想用新名字保存文件应( )。 A.选择“文件/另存为”命令 B.选择“文件/保存”命令 C.单击工具栏的“保存”按钮 D.复制文件到新命名的文件中 10、在编辑Word文档时，用鼠标拖曳完成文字或图形的复制时，应使用的按键为（）。 A. Ctrl B. Alt C. Shift D. F1 11.在Word中，要将8行2列的表格改为8行4列，应（）。 A.择要插入列位置右边的一列，单击工具栏上的“插入列”按钮 B.单击工具栏上的表格按钮，拖动鼠标以选择8行4列 C.择要插入列的位置左边的一列，单击工具栏上的“插入列”按钮 D.选择要插入列位置右边已存在的2列，单击“布局”选项卡下“在左侧插入”按钮。 12 在Word选定文字块时，若块中包含的文字有多种字号在格式工具栏的“字号”框中将显示.（） A.块中最大的字号 B.块中最小的字号 C.块首字符的字号 D. 空白 13.在Word2010中删除文本或图形对象后，下列说法正确的是（） A可从“回收站”恢复删除的文本 B.删除以后不能恢复 C.可以随时用“撤消”命令撤消“删除” D.在该文档关闭前可以撤消“删除” 14关于Word打印操作的正确说法有（） A.印格式由Word自已控制，用户无法调整 B.在Word开始打印前可以进行打印预览 C.Word的打印过程一旦开始，在中途无法停止打印 D. Word每次只能打印一份文稿 15.在Word中使用标尺可以直接设置缩进，标尺的顶部三角形标记代表（）。