钢筋混凝土受弯构件正截面承载力的计算

第3章钢筋混凝土受弯构件正截面承载力的计算

§1概述

1、受弯构件（梁、板）的设计内容：图3-1

①正截面受弯承载力计算：破坏截面垂直于梁的轴线，承受弯矩作用而

破坏，叫做正截面受弯破坏。

②斜截面受剪承载力计算：破坏截面与梁截面斜交，承受弯剪作用而破

坏，叫做斜截面受剪破坏。

③满足规范规定的构造要求：对受弯构件进行设计与校核时，应满足规

范规定的要求。比如最小配筋率、纵向

2

①板

⑴板的形状与厚度：

a.形状：有空心板、凹形板、扁矩形板等形式；它与梁的直观

区别是高宽比不同，有时也将板叫成扁梁。其计算与

梁计算原理一样。

b.厚度：板的混凝土用量大，因此应注意其经济性；板的厚度

通常不小于板跨度的1/35（简支）～1/40（弹性约束）

或1/12（悬臂）左右；一般民用现浇板最小厚度60mm，

并以10mm为模数（讲一下模数制）；工业建筑现浇板

最小厚度70mm。

⑵板的受力钢筋：单向板中一般仅有受力钢筋和分布钢筋，双向

板中两个方向均为受力钢筋。一般情况下互相垂直的

两个方向钢筋应绑扎或焊接形成钢筋网。当采用绑扎

钢筋配筋时，其受力钢筋的间距：当板厚度h≤150mm

时，不应大于200mm，当板厚度h﹥150mm时，不应大

于1.5h，且不应大于250mm。板中受力筋间距一般不

小于70mm，由板中伸入支座的下部钢筋，其间距不应

大于400mm，其截面面积不应小于跨中受力钢筋截面

面积的1/3，其锚固长度l as不应小于5d。板中弯起钢

筋的弯起角不宜小于30°。

板的受力钢筋直径一般用6、8、10mm。

对于嵌固在砖墙内的现浇板，在板的上部应配置构造钢筋，并应符合下列规定：

a. 钢筋间距不应大于200mm，直径不宜小于８mm（包括弯起钢筋在内），

其伸出墙边的长度不应小于l1/7(l1为单向板的跨度或双向板的短边跨

度)。

b. 对两边均嵌固在墙内的板角部分，应双向配置上部构造钢筋，其伸出

墙边的长度不应小于l1/4。

c. 沿受力方向配置的上部构造钢筋，直径不宜小于6mm，且单位长度内的

总截面面积不应小于跨中受力钢筋截面面积的1/3。

⑶板的分布钢筋：其作用是：

a.分布钢筋的作用是固定受力钢筋；

b.把荷载均匀分布到各受力钢筋上；

c.承担混凝土收缩及温度变化引起的应力。

当按单向板设计时，除沿受力方向布置受力钢筋外，还应在垂直受力方向布置分布钢筋。单位长度上分布钢筋的截面面积不应小于单位宽度上

受力钢筋截面面积的15%，且不应小于该方向板截面面积的0.15%，分布

钢筋的间距不宜大于250mm，直经不宜小于6mm，对于集中荷载较大的情

况，分布钢筋的截面面积应适当增加，其间距不宜大于200mm，当按双向

板设计时，应沿两个互相垂直的方向布置受力钢筋。

在温度和收缩应力较大的现浇板区域内尚应布置附加钢筋。附加钢筋的数量可按计算或工程经验确定，并宜沿板的上,下表面布置。沿一个方向增加的附加钢筋配筋率不宜小于0.2%，其直径不宜过大，间距宜取150~200mm，并应按受力钢筋确定该附加钢筋伸入支座的锚固长度。

⑷板中钢筋的保护层及有效高度：保护层厚度与环境条件及混凝

土等级有关，在一般情况下，混凝土保护层取15mm，详见规范；

有效高度是指受力钢筋形心到混凝土受压区外边缘的距离，用

0h 表示，板通常取200-=h h mm 。

② 梁

⑴梁的截面尺寸与形状：

a.形状：有矩形、T 形、花篮形、工字型、L 形等多种，根据具

体情况确定。

b.尺寸：用b ×h 来表示，b 表示梁截面的宽度，h 表示梁截面的

高度，一般情况下b/h 在1/2～1/4之间，并且都应满足建筑模数要求；梁高h 根据工程经验，简支时不宜小于l /15，连续时不宜小于l /20；整体肋形楼盖的次梁及主梁截面最小高度不宜小于（l /15~l /20）和（l /8~l /12）。截面高宽比（h /b ），对于矩形截面为（2~2.5），对于T 形截面为（2.5~4.0）。为便于施工，截面尺寸可参照下列使用：

梁宽b =120、150、180、200、220、250、300mm……以50mm 为模数； 梁高h =250、300、350……750、800、900mm……以100mm 为模数。

⑵梁内钢筋布置及种类：

a.纵向受力钢筋：梁内纵向受力钢筋直径一般选用10—30mm ，

若配不同直径的钢筋，直径相差以2mm 为宜，对于h ≥300mm 的梁，钢筋直径d ≥10mm ，对于h <300mm 梁，钢筋直径不宜小于6mm 。伸入梁的支座范围内纵向受力钢筋数量，当梁寛为100mm 及以上时，不应少于二根；当梁寛小于100mm 时，可为一根。

b.箍筋：其作用是保证斜截面抗剪强度，固定纵向钢筋的位置，

其具体做法及选择可按第4章。

c.弯起钢筋：为保证斜截面强度而设置的，一般可由纵向受力

钢筋弯起而成，也可专门设置弯起钢筋。具体做法详见第4章。

d.架立钢筋：用来固定箍筋位置，承受由于混凝土收缩及温差

变化所产生的内应力。

e.腰筋（侧向构造钢筋）：用以增强钢筋骨架的刚性，增强梁的

抗扭能力，并承受侧面发生的内应力（温度变形等）。

f. 拉结筋：保证腰筋的稳定性，并能承受一定的侧向应力。

⑶梁内钢筋保护层（图）：通常取25mm ，详见规范；梁内钢筋的位

置排布及间距应满足规范规定，如下图所示。

⑷梁截面的有效高度：所谓梁截面的有效高度是指受拉钢筋的重

心至混凝土受压区外边缘的垂直距离，它与受拉钢筋的直径及排放位置有关。35

250-≈--=h h h d （单排放置

s 。

§2 单筋矩形截面钢筋混凝土梁的受力状态

1、单筋与双筋截面的区分：仅在梁的受拉区配置纵向受拉钢筋的梁称为单筋梁；

在受拉区和受压区都配置有纵向受力筋的梁称为双筋梁。 2、单筋矩形截面钢筋混凝土梁正截面受力三阶段：（适筋梁）

① 第Ⅰ阶段—弹性工作阶段：从加载到即将开裂，弯矩从0到开裂弯矩，

应力应变的发展与弯矩的关系，

此时混凝土外边缘拉应变小于极限拉应变；

② 第Ⅱ阶段—带裂缝工作阶段：从开裂弯矩（混凝土出现第一条裂缝）

到钢筋屈服时的弯矩。开裂处混凝土不再受拉，此时应力应变关系变化呈非线性。

③ 第Ⅲ阶段—破坏阶段：随着荷载的不断增大，裂缝继续增长并向上延

伸，最后导致钢筋屈服、压区混凝土压碎而

破

坏。

综上所述，梁的最终破坏是由于钢筋的屈服，混凝土的压碎而破坏。因此，

梁的承载力主要决定于其混凝土的强度等级、钢筋的强度等级、配筋率及截面尺寸。

3、钢筋混凝土梁正截面的破坏形态

① 配筋率ρ（经济配筋率）：钢筋截面面积与梁截面的有效面积的比值称

为配筋率，用0

h b A s

⨯=ρ表示，其中s A 为纵向受拉钢筋截面面积；b

为梁宽；0h 为梁截面的有效高度。根据经验，梁的经济配筋率在0.6%～1.5%之间.

② 三类破坏形态

⑴少筋梁：当梁内配置钢筋很少时，一旦梁上受拉区混凝土出现开裂，裂缝处钢筋应力突然增大到钢筋的屈服强度f y ，裂缝很宽，使梁产生很大挠度。此时梁的承载能力略小于梁的开裂弯矩M cr ，其破坏是突然的，带有“脆性破坏”性质。这类梁称之为“少筋梁”，工程中应严禁使用。 当钢筋混凝土梁开裂时只考虑受拉钢筋作用，梁的抗弯能力达到素混凝土梁的开裂弯矩M cr 时，其配筋率可称之为最小配筋率ρmin

，若梁内实际配筋率ρ大于最小

配筋率ρ

min

，可以防止“少筋梁破坏”。《规范》规定，混凝土受弯构件中纵向受力

钢筋的最小配筋百分率ρmin 取0.2和45f t /f y 中较大者。

⑵超筋梁：当梁内配置钢筋较多时，即ρ>ρmax ，受拉区混凝土裂缝的开展受到钢筋的抑制作用，发展速度缓慢，而受压区混凝土的压应变将随荷载的增加而发展较快，当受压区最外缘处混凝土压应变达到极限压应变时而破坏。破坏前，裂缝宽度小，梁的挠度小，梁内受拉钢筋应力小于屈服强度f y ，破坏无明显的预兆，属“脆性破坏”的性质。此梁称之为“超筋梁”，在工程实践中应严禁使用该类梁。因此，这类梁在破坏时，钢筋未达屈服，梁的破坏与其无关。我们将钢筋屈服与混凝土压碎

同时发生时的配筋率称为界限配筋率，以max ρ表示；此时的梁称为平衡配筋梁。

⑶适筋梁：当梁内配置适量钢筋时，即ρ

min

≤ρ≤ρ

max

，梁的整个

要能确定混凝土受压区合力大小及作用点位置不变即可。 ① 合力大小相等； ② 作用点位置不变；

③ 混凝土强度：在实际构件中，受压区混凝土应力是不均匀的；在进行

结构设计时，根据等效矩形应力图原理，取其受压区高度为x ，平均压应力为平均压应力为α1f c ，当混凝土强度等级不超过C50时，α1取为1.0, 当混凝土强度等级为C80时, α1取为0.94，其间按线性内插法取用。 5、相对受压区高度ξ及其与配筋率ρ的关系

① 相对受压区高度ξ（及其计算公式）：定义正截面混凝土受压区高度x 与有效高度0h 的比值：0

h x

=

ξ ② 相对界限受压区高度b ξ：处于界限破坏状态的梁正截面混凝土受

压区高度x b 与截面有效高度h 0的比值ξb 表示，称之为相对界限受

压区高度，《规范》按下式计算：cu

s y b E f εβξ+

=

11

，上式cu ε=0.0033；

1β 为系数，当混凝土强度等级不超过C50时,β1=0.8，当混凝土

强度等级等于C80时，取74.01=β，其间按线性内插法取用。

③ 压区高度ξ与配筋率ρ的关系：由正截面上内力平衡条件可得：

c

y c s y f f bh f A f h x

1010αρ

αξ===

，当构件处于界限破坏时，其相对受压区高度b ξξ=，相应的配筋率称之为最大配筋率（或界限配筋率）max ρ，max

ρ与b ξ之间的关系为y

c b f f

1max αξρ=。

§3 单筋矩形截面梁正截面承载力计算 1、三个基本假定

① 平截面假定

② 不考虑混凝土的抗拉强度：全部拉力由纵向受拉钢筋承担； ③ 受压区混凝土的应力应变关系：

当εc ≤ε0时 ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--=n

c

c c f 0

11εε

σ 当ε0<εc ≤ε

cu

时 σc =f c

)50(60

1

2,--

=k cu f n 5,010)50(5.0002.0-⨯-+=k cu f ε )10)50(0033.05,-⨯--=k cu cu f ε

式中 c σ——对应于混凝土压应变为c ε时的混凝土压应力；

0ε——对应于混凝土压应力刚达到c f 时的混凝土压应变，当计算的0

ε值小于0.002时，应取为0.002；

cu ε——正截面处于非均匀受压时的混凝土极限压应变，当计算的cu ε值

大于0.0033时，应取0.0033；

n ——系数，当计算的n 值大于2.0时，应取2.0；

④ 钢筋应力取等于钢筋应变与其弹性模量的乘积，但其绝对值不应大于

其强度设计值。

2、基本公式（图）及适用条件

① 基本公式：由静力平衡条件得：

∑=0N s y c A f bx f =1α ∑=0M )2

( 01x h x b f M c -≤α 或 )2

(0x h A f M s y -≤ 式中 M

——弯矩设计值；

f y ——钢筋抗拉强度设计值；

a s ——纵向受拉钢筋合力点至截面受拉边缘的距离。

② 适用条件：为保证构件是适筋梁，防止超筋、少筋破坏，要求满足

⑴满足最大配筋率要求max ρ：

b ξh x ξ≤=0或0h ξx b ≤

或 y

c

b s f f

ξρbh A ρ1max 0α=≤=

⑵满足最小配筋率要求min ρ： min ρρ≥ 或 bh ρA s min ≥

3、表格计算法：

弄清截面内力臂系数γ、截面抵抗矩系数s α、与ξ之间的关系。以ξ表示γ、

s α见书本；以s α表示ξ、γ如下：

()

s s s αγαξ2115.0211-+=--=；

4、计算方法的应用

① 截面设计计算：已知M h b f f y c 、、、、求x A s 及。

⑴利用基本公式 ⑵利用表格计算

② 截面校核计算：已知s y c A h b f f 、、、、求构件所能承受的最大弯矩

max M 。

⑴利用基本公式 ⑵利用表格计算

5、超筋、少筋如何处理：

① 超筋：截面设计中扩大截面尺寸或采用双筋截面进行设计；截面复核

中取0h x x b b ξ==进行承载力计算。

② 少筋：截面设计中不应会出现；截面复核中按2

0292.0bh f M M c cr u ==

§4 双筋矩形截面梁正截面承载力计算

1、采用双筋矩形截面的原因：在受压区配置纵向受压钢筋的梁称为双筋梁。双筋梁的总用钢量较大，是不经济的。但是，在工程实践中，有时梁的截面尺寸受到限制，需在受压区配置钢筋以提高截面承载能力；有时梁上同一截面内作用正负弯矩，上下均需配置受力钢筋；有时是为了满足构造上的要求，在截面受压区配置构造钢筋也可以承担压力。另外，受压区配置钢筋还可以改善截面的变形能力，提高截面的延性，提高截面的刚度，减少长期荷载作用下的变形。双筋梁的基本假定与单筋梁的基本假定基本相同。而且，普通受压钢筋A s ’ 的设计强度f y ’ 与抗拉设计强度f y 相等，但是，应注意充分发挥受压钢筋的作用。

2、基本计算公式（图结合）及适用条件

① 基本公式：

由平衡条件可得（见图3—11）

∑X=0 s y s

y c A f A f bx f =''+1α ∑M =0 )()2

(001s s y c a h A f x

h bx f M '-''+-≤α

为方便计式（3-22）也可以写成： )('0''12

0s y s c s a h f A f bh M -+≤αα 式中 f y ’——受压钢筋设计强度；

αs ’——受压钢筋合力点至受压区外边缘的距离； A s ’——受压钢筋的截面面积。

② 适用条件：

为了防止超筋破坏，混凝土受压区高度应满足：0h x b ξ≤。

为了保证受压钢筋能在截面破坏时达到其抗压设计强度f y ’，必须满足：s a x '≥2

当不符合此条件时，受弯承载力可按下式计算： )('s s s y a a h A f M --≤ 3、计算方法

① 截面设计：

设计双筋梁时，常遇到如下两种情况：

(1)已知截面尺寸b ×h ，弯矩设计值M ，材料强度f c 、f y ，求受压钢筋和受拉钢筋截面面积A s ’及A s 。

解法：为了节约钢筋，应充分发挥混凝土的受压能力，可令ξ=ξb ，则x =ξb h 0

这样利用公式（3—22）可得到： ()s

y c b b s a h f bh f M A '-'--='0201)5.01(αξξ

若 0'≤s A 说明不需赔置受压受力筋，可按单筋梁计算。 若 0'>s

A , 则 y

s y c b s f A f bh f A '

'01+=

αξ

(2) 已知截面尺寸b ×h ，弯矩设计值M ，材料强度c f 、y f ，及所配受压钢筋面积A s ’，求受拉钢筋截面积A s 。

解法：A s ’已知，可由（3—23）式求得：2

01'0'')

(bh f a h f A M c s y s s αα--=

若 0≤s α 则 '2s a x ≤ ()s

y s a h f M

A '-=

0 若0>s α 可查表得ξ或由下式计算：s αξ211--= 可计算出： 0

h x ξ=

此时，x 可能出现三种情况：

(1) 若x ≤2a s ’，假定x =2a s ’，由(3-25)式求得受拉钢筋A s ： ()s

y s a h f M

A '-=

0 (2) 若x >ξb h 0，说明受压钢筋A s ’太少，应按A s ’未知，重新计算A s ’及A s 。

(3) 若2a s ’

('0''1-+=

α ② 校核承载力问题

已知截面尺寸b ×h ，材料强度f c 、f y ，配置钢筋A s ’及A s ，求梁能承受的最大设计弯矩值。

解法：首先可由式（3－２１）求出x ： b

f A f A f x c s y s y 1'

'α-=

此时x 可能出现如下三种情况：

(1) 若s a x '≤2，则 ()s s y u a h A f M '-=0

(2)0h x b ξ>，则： ()()s s y b b c u a h A f bh f M '-''+-=02

015.01ξξα

(3) 若02h x a b s ξ≤≤'，则： ()s s y c u a h A f x

h bx f M '-''+-=001)2

(α

计算出的M u 即为截面能承受的最大弯矩。当M ≤M u 时，则截面是安全的。 4、举例说明

§5 T 形截面梁正截面承载力计算

1、T 形截面的工作情况：如果把矩形截面梁受拉混凝土两侧挖去一部分（如图3—12(a)），这就形成了T 形截面。它与原矩形截面相比较，承载能力相同，但节省了混凝土，减轻了自重。T 形截面是由梁肋b ×h 及挑出翼缘(b f ’-b )×h f ’两部分组成。如果翼缘位于受拉区，当受拉区混凝土开裂后，翼缘就不起作用，可以考虑它为b ×h 的矩形梁。T 形截面梁受力后，翼缘受压时的压应力沿翼缘宽度方向的

分布是不均匀的，离梁肋越远，压应力越小。因此，受压翼缘的计算宽度应有一定限制，在此宽度范围内的应力分布可假设是均匀的，且能与梁肋很好的整体工作，经试验研究，《规范》规定翼缘计算宽度'f b 应按表3-2中有关规定的最小值取用。

表3-2 T 形及倒L 形截面受弯构件翼缘计算宽度

f 2. 如肋形梁在梁跨度内设有间距小于纵肋间距的横肋时，则可不遵守表列第三中情况的规定；

3. 对有加腋的T 形和倒L 形截面，当受压加腋的高度h h ≥h ’

f 且加腋的宽度b h ≤3h h 时，则其翼缘计算宽度可按表列第三种情况规定分别增加2b h (T 形截面)和b h (倒L 形截面)；

4.独立梁受压区的翼缘板在荷载作用下经验算沿纵肋方向可能产生裂缝时，其计算宽度应取腹板宽度b 。

2、基本计算公式

① T 形截面的分类：根据中和轴位置不同，T 形截面的受力可分为两种类型；

（1）第一种类型，中和轴在翼缘内，x ≤h f ’；

（2）第二种类型，中和轴在肋部， x >h f ’

② 两类T 形截面的判断：

为判定T 形截面属于何种类型，可把x =h f ’作为界限情况进行受力分析，如图3-13(c)、(d)。

由平衡条件可得：

0=∑X y s f f c f A h b f =''1α

0=∑M )h (h h b f M f

f f c 201'-''=α

由此可见，设计时弯矩设计值M 已知，可用（3—27）式来判定：

若 )2

(01f

f f c h h h b f M '-''≤α 为第一类T 型

若 )2

(01f

f f c h h h b f M '-

''>α 为第二类T 型 进行承载力校核时，由于钢筋截面积s A 已知，可由（3—26）式来判定：

若 f f c s y h b f A f ''≤1α 属第一类T 型 若 f f c s y h b f A f ''>1α 属第二类T 型

③ 两类T 形截面的计算

⑴第一类T 形截面计算公式：

由平衡条件得：

∑=0N s y f c A f x b f ='1α

∑=0M )2(01x

h x b f M f c -'≤α

)2

(0x

h A f M s y -≤

公式适用条件： (1) b ξh x

ξ≤=0，或max ρρ≤，此条件一般均能满足，可不验算； (2) min 0

ρbh A

ρs ≥=或bh ρA s min ≥

以上可以看出第一类T 型可视为b f ’×h 矩形。

⑵第二类T 形截面计算公式：

由平衡条件得：

∑=0N [()]s y f f c A f bx h b b f =+'-'1α

∑=0M ())2()2(0101x

h bx f h h h b b f M c f f f c -+'-'-'≤αα

为设计方便（3-36）式可写为： )2/()('01''12

0f c f f c s h h f h b b f bh M --+≤ααα 公式适用条件：

(1) b ξh x

ξ≤=0

或 max ρρ≤ ，这和单筋矩形截面梁情况一样。 (2) bh ρA s min ≥，一般情况均能满足，可不必验算。 3、计算方法

① 截面设计：

⑴第一类：

已知截面尺寸b ，h ，b f ’，h f ’

，材料强度f c 、f y 及弯矩设计值M ，计算所需钢筋截面积A s 。

解法：

(1) 首先判定截面类型

由(3-28)式，若)2

(0

1f

f f c h h h b f M '-''≤α时，属第一类型，可按b f ’×h f ’

的矩形

截面计算。

由(3-29)式，若)2

(01f f f c h h h b f M '-

''>α时，则属第二类型。

(2) 第二类T 形截面计算

由（3-37）式求s α：2

01'01'')2()(bh f h h f h b b M c f

c f

f

s ααα-

--=

查表得ξ 或 求ξ： s αξ211--=

当b ξξ≤时， y

c

f f c s f f h b b h b f A 1''01)(αξα-+=

② 承载力校核：

⑴第一类：

已知截面尺寸b 、h 及b f ’、h f ’

，材料强度f c 、f y 及配置钢筋截面积A s ，计算截面的承载能力M u 。

解法：

(1) 判别类型

若f f c s y h b f A f ''≤1α时，

属第一类T 型，可按f f h b '⨯'的单筋矩形截面梁方法计算。

若f f c s y h b f A f ''>1α时，属第二类T 型。

⑵第二类：

由（３-35）可求出x ： b

f h b b f A f x c f

f c s y 1''1)(αα--=， 及ξ：0/h x =ξ 当b ξξ≤或0h ξx x b b =≤时

)2()(2'

0''101f

f f c c u h h h b b f x h bx f M --+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=αα

当b ξξ>2或b x x >时，取b ξξ=2或b x x =计算：

())2

()(501'0''12

1f f

f

c c b b u h h h b b f bh f ξ.ξM -

-+-=αα

若M M u ≥（弯矩设计值），安全。 4、计算举例（略）