高考专题：解析几何常规题型及方法

高考专题：解析几何常规题型及方法

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考专题：解析几何常规题型及方法

一、高考风向分析：

高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：

纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一

半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与

几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向

量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合

能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”

的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有

时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。

鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很

大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题

较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻

下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就

能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几

分算几分。

三、高考核心考点

1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）

2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）

3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为

(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，

消去四个参数。

典型例题 给定双曲线x y 2

2

2

1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1

2

1221-=，x y 22

22

2

1-=。

两式相减得

()()()()x x x x y y y y 121212121

2

0+--+-=。

又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y

y y x x -

--=·。 又k y y x x y x =

--=--12121

2

，

代入得24022x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是24022x y x y --+=

说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 变式练习：

给定双曲线2x 2 - y 2 = 2 ，过点B(1,1)能否作直线L,使L 与所给双曲线交于两点Q 1、Q 2 两点，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？如果直线L 存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，

∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e ；

（2）求|||PF PF 1323+的最值。

分析：（1）设||PF r 11=，|PF r 22=，由正弦定理得

r r c

122sin sin sin()

αβαβ==+。 得

r r c

122++=+sin sin sin()αβαβ，

β

αβαsin sin )sin(++==

a c e （2）()()a ex a ex a ae x ++-=+3332226。 当x =0时，最小值是23a ； 当a x ±=时，最大值是26323a e a +。 变式练习：

设F 1、F 2分别是双曲线122

22=-b

y a x （a>0,b>0）的左、右两个焦点，P 是双曲

线上的一点，若∠P=θ,求证：S △=b 2

cot 2

θ

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法 典型例题

抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()()

（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

（1）证明：抛物线的准线为114

：x p =--

由直线x+y=t 与x 轴的交点（t ，0）在准线右边，得 t p t p >--++>14

440，而

由消去得x y t y p x y +==+??

?2

1()

x t p x t p 2220-++-=()()

?=+--()()2422t p t p =++>p t p ()440 故直线与抛物线总有两个交点。 （2）解：设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2) ∴+=+=-x x t p x x t p 121222， OA OB k k OA OB ⊥∴?=-，1 则x x y y 12120+= 又y y t x t x 1212=--()() ∴+=-+=x x y y t t p 1212220()

∴==+p f t t t ()2

2

又，得函数的定义域是p t p f t >++>0440() ()()-?+∞200，， 变式练习：

直线y=ax+1与双曲线3x 2

－y 2

=1交于两点A 、B 两点 (1)若A 、B 都位于双曲线的左支上，求a 的取值范围 (2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？ （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 典型例题

已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB|≤2p

（1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L 的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y 2=2px,得：设直线L

与抛物线两交点的坐标分别为A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，则???

??=+=+>-+221212)(204)(4a

x x p a x x a p a ,又

y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,

,2)2(80,0)2(8,2||0)2(8]4)[(2)()(||21221221221p a p p a p p p AB a p p x x x x y y x x AB ≤+<∴>+≤<+=-+=-+-=∴

解得:.4

2p a p -≤<-

(2)设AB 的垂直平分线交AB 与点Q ，令其坐标为（x 3,y 3），则由中点坐标公式得：

p a x x x +=+=

2

2

13, .2

)

()(221213p a x a x y y y =-+-=+=

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p 2.又△MNQ 为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=P 2，所以S △NAB =

2222

2||22||||21p p p AB p QN AB =?≤?=?,即△NAB 面积的最大值为P 22。

变式练习：

双曲线122

22=-b

y a x （a>0,b>0）的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为

2

2

（1）求双曲线的方程

（2）设直线y=kx+m(k 0≠且m 0≠)与双曲线交于两个不同的点C 、D ，若A(0,-1)且AC =AD ，求实数m 的取值范围 （5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题

已知直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A （-1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程。

分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L ：y=kx(k ≠0),C:y 2=2px(p>0)

设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A /

（12,11222+-+-k k k k ），B （1

)

1(8,116222+-+k k k k ）。因为A 、B 均在抛物线上，代入，消去p ，得：k 2-k-1=0.解得：k=

2

5

1+,p=552.

所以直线L 的方程为：y=2

5

1+x,抛物线C 的方程为y 2=554x.

变式练习：

在面积为1的△PMN 中，tanM=2

1

,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）,求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

分析：如图，设MN 切圆C 于点N ，则动点M

组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M 点坐标代入，可得：(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4λ2)=0. 当λ=1时它表示一条直线；当λ≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。 变式练习：

过抛物线y 2

=4x 的焦点F 作斜率为k 的弦AB ，且AB ≤8，此外，直线AB 和椭圆3x 2

+2y 2

=2交于不同的两点。 （1）求直线AB 的斜率k 的取值范围

（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

典型例题 已知椭圆C 的方程x y 22

43

1+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线y x m =+4，椭圆C 上有不同两点关于直线对称。

分析：椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得31212()()x x x x +-+

412()y y +()y y 120-=。

又x x x =

+122，y y y =+122

，k y y x x =--=-1

2121

4，代入得y x =3。 又由y x

y x m ==+???

34解得交点(,)--m m 3。

交点在椭圆内，则有()()-+-

433

1，得-<<2131321313m 。 变式练习：

为了使抛物线()y x +=+112上存在两点关于直线y mx =对称，求m 的取值范围。

（7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k k y y x x 1212

12

1···==-来处理或用向量

的坐标运算来处理。

典型例题 已知直线l 的斜率为k ，且过点P (,)-20，抛物线C y x :()241=+，直线l 与抛物线C 有两个不同的交点（如图）。 （1）求k 的取值范围；

（2）直线l 的倾斜角θ为何值时，A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直。

分析：（1）直线y k x =+()2代入抛物线方程得k x k x k 222244440+-+-=()，

由?>0，得-<<≠110k k ()。

（2）由上面方程得x x k k 1222

44

=-，

y y k x x 12212224=++=()()，焦点为O (,)00。 由k k y y x x k k OA OB

·==-=-12122

21

1，得k =±22，22arctan =θ或2

2

arctan -=πθ 变式练习：

经过坐标原点的直线l 与椭圆

()x y -+=362

122

相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F ，求直线l 的倾斜角。

B:解题的技巧方面

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明： （1）充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

典型例题 设直线340x y m ++=与圆x y x y 2220++-=相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求m 的值。

解： 圆x y x y 2220++-=过原点，并且OP OQ ⊥，

∴PQ 是圆的直径，圆心的坐标为M ()-1

2

1，

又M ()-1

2

1，在直线340x y m ++=上，

∴?-+?+=∴=-3124105

2

()m m ，即为所求。

评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OP OQ ⊥，PQ 是圆的直径，圆心在直线340x y m ++=上，而是设P x y Q x y ()()1122，、，再由

OP OQ ⊥和韦达定理求m ，将会增大运算量。

变式练习：

已知点P （5，0）和圆O ：x y 2216+=，过P 作直线l 与圆O 交于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程。

评注：此题若不能挖掘利用几何条件∠=?OMP 90，点M 是在以OP 为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题 已知中心在原点O ，焦点在y 轴上的椭圆与直线y x =+1相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，||PQ =

10

2

，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为ax by a b 2210+=>>()，直线y x =+1与椭圆相交于P ()x y 11，、Q x y ()22，两点。

由方程组y x ax by =++=???

1

122

消去y 后得

()a b x bx b x x b a b x x b a b

+++-=∴+=-+=

-+21212210

21，

由k k OP OQ ?=-1，得y y x x 1212=- （1） 又P 、Q 在直线y x =+1上，

y x y x y y x x x x x x 1122121212121213111

=+=+??

?∴=++=+++，

，()()

()()() 把（1）代入，得2101212x x x x +++=()， 即

21210()b a b b

a b

-+-++= 化简后，得 a b +=2 （4） 由||PQ =

102，得()()x x y y 1221225

2

-+-= ∴-=

+-=+--+=()()()()x x x x x x b a b b a b 1221221225445

4

24154，，

把（2）代入，得48302b b -+=，解得b =

12或b =3

2

代入（4）后，解得a =

32或a =1

2 由a b >>0，得a b ==321

2

，。

∴所求椭圆方程为322

122

x y += 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。 变式练习：

若双曲线方程为x a y b

222

21-=，AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为

AB 中点，设AB 、OM 的斜率分别为k k AB OM 、，则k k b a

AB OM ?=2

2 三. 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C x y x y 122420：+-+=和C x y y 22224：+--=0的交点，且圆心在直线l ：2410x y +-=上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为：

x y x y x y y 222242240+-+++--=λ()

即()()()114214022+++-+--=λλλλx y x y ，

其圆心为C （

211

1

+-+λλλ，

） 又C 在直线l 上，∴22141110?++?-+-=λλλ，解得λ=1

3

，代入所设圆的方

程得x y x y 22310+-+-=为所求。

评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。 变式练习：

某直线l 过直线L 1：４x-３y-12=0和L 2：7x-y+28=0的交点，且倾斜角为直线L 1的倾斜角的一半，求此直线l 的方程 四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。

典型例题 P 为椭圆22

221x y a b

+=上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端

点，求四边形OAPB 面积的最大值及此时点P 的坐标。 变式练习：

已知P(x ，y)是椭圆x 2＋4y 2=1上任一点，试求P 到直线x + y – 2 = 0的最小值及此时P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 20++=的方程，方程的两根设为x A ，

x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·||12a k △

·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例 求直线x y -+=10被椭圆x y 22416+=所截得的线段AB 的长。 ② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

例 F 1、F 2是椭圆

x y 22

259

1+=的两个焦点，AB 是经过F 1的弦，若||AB =8，求值||||22B F A F +

③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y x 24=的焦点，点P 在抛物线

y 2=4x 上移动，若||||PA PF +取得最小值，求点P 的坐标。

五、高考试题选编

1. 过抛物线y x 26=的焦点F ，作弦AB x ⊥轴于A 、B 两点，则弦长AB 等于（ ）

A. 6

B. 18

C. 62

D. 36

2. 若直线y kx =+1与焦点在x 轴上的椭圆x y m

22

51+=总有公共点，则实数m 的

取值范围是（ ）

A. （0，5）

B. （1，5）

C. [)15，

D. []15， 3. 直线y x =+1被椭圆341222x y +=所截得的弦的中点坐标是（ ） A. ()-4

7

37

， B. ()47

117，

C. ()--8717，

D. ()8715

7

，

4. 过点A ()-15

2

，引抛物线y x =24的一条弦，使该弦被A 点平分，则该弦所在直

线方程为（ ）

A. 4210x y +-=

B. x y +-=240

C. 4290x y -+=

D. x y -+=260

5. 设x y R ，∈且341222x y +=，则x y 22+的最大值与最小值分别是（ ） A. 23， B. 423， C. 4，3 D. 8，6

6. P 是抛物线y x 2=上的点，F 是抛物线的焦点，则点P 到F 与P 到A ()31，-的距离之和的最小值是（ ） A. 3 B.

134 C. 4 D. 72

7.已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a=（ ） A ．2

B ．22-

C ．12-

D ．12+

8．(03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点

与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,3

2

-则此双

曲线的方程是（ ）

A ．1432

2=-y x

B ．13

42

2=-y x

C ．12

52

2=-y x

D ．15

22

2=-y x 9．(03江苏)已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是

（ ）

A ．)1,31(

B ．)32,31(

C ．)2

1

,52(

D ．)3

2,52(

10．(03广东)（双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为

?=∠1202121MF F F F ，、，则双曲线的离心率为（ ）

A. 3

B.

2

6 C.

3

6 D.

3

3 11. 直线y kx =-1与抛物线()()y x +=-1422只有一个公共点，则k 的值为________。

12. 曲线C ：y x =-()22关于直线x y ++=30对称的曲线C'的方程_________。

13．(03年上海) 给出问题：21

F F 、是双曲线120

1622=-y x 的焦点，点P 在双曲线上。若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离

________2=PF 。

某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由821=-PF PF ，即

892=-PF ，得12=PF 或17。

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在上面空格内；若不正确，将正确结果填在上面空格内。

14. (03年上海)在以O 为原点的直角坐标系中，点)34(-，A 为OAB ?的直角顶点，已知OA AB 2=，且点B 的纵坐标大于零。 （1）求向量AB 的坐标。

（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程。

（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围。 15. 已知抛物线C ：y x m x m m R =--+∈222221()()

（1）求证：抛物线C与x轴交于一定点M；

（2）若抛物线与x轴正半轴交于N，与y轴交于P，求证：PN的斜率是一个定值；

（3）当m为何值时，三角形PMN的面积最小，并求此最小值。