黄金分割法应用举例

黄金分割法应用举例

【篇一：黄金分割法应用举例】

把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与

这部分之比.其比值是一个无理数,取其前三位数字的近似值是0.618.

由于按此比例设计的造型十分美丽,因此称为黄金分割,也称为中外比.

这是一个十分有趣的数字,我们以0.618来近似,通过简单的计算就可

以发现：

1/0.618=1.618

(1-0.618)/0.618=0.618

这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术

领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.

让我们首先从一个数列开始,它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做菲波那契数列,

这些数被称为菲波那契数.特点是即除前两个数（数值为1）之外,每

个数都是它前面两个数之和.

菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢?经研究发现,相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的.即f(n)/f(n-1)-

→0.618….由于菲波那契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,所

以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.但是当我们继续计算出后面

更大的菲波那契数时,就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分

割比的.

一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形.五角星是非常美丽的,我

们的国旗上就有五颗,还有不少国家的国旗也用五角星,这是为什么?

因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金

分割比的.正五边形对角线连满后出现的所有三角形,都是黄金分割三

角形.

由于五角星的顶角是36度,这样也可以得出黄金分割的数值为

2sin18 .

黄金分割点约等于0．618：1

是指分一线段为两部分,使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄

金分割的点.线段上有两个这样的点.

利用线段上的两黄金分割点,可作出正五角星,正五边形.

2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄

金分割.所谓黄金分割,指的是把长为l的线段分为两部分,使其中一部

分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比.而计算黄金分割最简单的方法,是计算斐波契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...后二数之比

2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的.

黄金分割在文艺复兴前后,经过阿拉伯人传入欧洲,受到了欧洲人的欢迎,他们称之为金法,17世纪欧洲的一位数学家,甚至称它为各种算法中最可宝贵的算法.这种算法在印度称之为三率法或三数法则,也就是我们现在常说的比例方法.

其实有关黄金分割,我国也有记载.虽然没有古希腊的早,但它是我国古代数学家独立创造的,后来传入了印度.经考证.欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的,而不是直接从古希腊传入的.

因为它在造型艺术中具有美学价值,在工艺美术和日用品的长宽设计中,采用这一比值能够引起人们的美感,在实际生活中的应用也非常广泛,建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割,舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央,而是偏在台上一侧,以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观,声音传播的最好.就连植物界也有采用黄金分割的地方,如果从一棵嫩枝的顶端向下看,就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的.在很多科学实验中,选取方案常用一种0.618法,即优选法,它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件.正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用,所以人们才珍贵地称它为黄金分割.

黄金分割〔golden section〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取1.618 ,就像圆周率在应用时取3.14一样.

发现历史

由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割.

公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论.

公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,成为最早的有关黄金分割的论著.

中世纪后,黄金分割被披上神秘的外衣,意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例,并专门为此著书立说.德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割.

到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行.黄金分割数有许多有趣的性质,人类对它的实际应用也很广泛.最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法,是由美国数学家基弗于1953年首先提出的,70年代在中国推广.

|.a.|

+-------------+--------+ -

| | | .

| | | .

| b | a | b

| | | .

| | | .

| | | .

+-------------+--------+ -

|.b.|..a-b...|

通常用希腊字母表示这个值.

黄金分割奇妙之处,在于其比例与其倒数是一样的.例如：1.618的倒数是0.618,而1.618:1与1:0.618是一样的.

确切值为根号5+1/2

黄金分割数是无理数,前面的1024位为:

1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298

101 7261070596

1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149

9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 1076738937 6455606060 5922...

【篇二：黄金分割法应用举例】

黄金分割的应用范文一：常接近黄金

分割比的. 一五角星是 36度，这样割的数值为三大算学家欧道克萨

斯首先提出黄金

让我们首先从一个数列开始，它的分割。所谓黄金分割，指的是把

长为l前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、的线段分为两部分，使其中一部分对21、34、55、于全部之比，等于89、144??..这另

一部分对于该个数列的名字部分之比。而计算叫做

黄金分割在我国是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。

经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。

因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设

计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也

非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上

的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞

台长度的黄金分割点的位置最美观，声音

传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩

枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。

在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可

以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺

条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛

而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。

(2)黄金分割的发现历史

公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形

的作图，于是人们推断当时他们已经触及甚至掌握了黄金分割。公

元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》

时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步论述了黄金分割，成为最

早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，德国天文学家开普勒称黄

金分割为神圣分割。到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金

分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名

的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。

(3)黄金分割神圣的应用

黄金分割被广泛地应用于建筑、设计、绘画等各方面。特别是在摄影技术的发展过程中，黄金分割也因此成为摄影构图中最神圣的观念。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比0.618的比例。

0.618与武器装备冲轰炸状态的最佳投弹高度和角度，

到坦克外壳设计时的最佳避弹坡度，

在冷兵器时代，虽然人们还根本我们也都能很容易地发现黄金分割率不知道黄金分割率这个概念，但人们无处不在。

在制造宝剑、大刀、长矛等武器时，

黄金分割率的法则却早已处处体现了0.618与战术布阵战略

弹沿弹道飞行的顶点；从飞机进入俯争中体现得最为出色的还应首推成吉

思汗。蒙古骑兵的战斗队形与西方传

统的方阵大不相同，在它的5排制阵

型中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动

轻骑兵的比例为2：3，这又是一个黄

金分割！你不能不佩服那位马背军事

家的天才妙悟，被这样的天才统帅统

领的大军，不纵横四海、所向披靡，

那才怪呢。基督教欧洲人除了把黄金

分割率运用到宗

教艺术方面天赋

甚高外，对这一定

律在其他方面是

否有用，似乎开悟

得很晚。直到黑火

药时期瑞典军队

将在摩利士原来

的216名长矛兵

＋198名滑膛枪

兵中队之外，增加96名滑膛枪兵，这

一改变顿时突出了火器的作用，使其

成为当时欧洲最强的军队。而198＋96

名滑膛枪兵与216长矛兵之比恰恰是

黄金分割率。在马其顿与波斯的阿贝

拉的战役中，马其顿的亚历山大大帝

把他的军队的攻击点，选在了波斯大

流士国王的军队的左翼和中央结合

部。巧的是，这个部位正好也是整个

战线的“黄金点”，所以尽管波斯大军多

于亚历山大的兵马数十倍，但凭借自

己的战略智慧，亚历山大把波斯大军

打得溃不成军。这一战争的深刻影响

直到今天仍清晰可见，在海湾战争中，

多国部队就是采用了类似的布阵法打

败了伊拉克军队。

两支部队交战，如果其中之一的兵力、兵器损失了1/3以上，就难以再同对方交战下去。正因为如此，在现代高技术战争中，有高技术

武器装备的军事大国都采取长时间空中打击的办法，先彻底摧毁对

方1/3以上的兵力、武器，尔后再展开地面进攻。在现代战争中，许多国家的军队在实施具体的进攻任务时，往往是分梯队进行的，第

一梯队的兵力约占总兵力的2/3，第二梯队约占1/3。在第一梯队中，主攻方向所投入的兵力通常为第一梯队总兵力的2/3，助攻方向则为

1/3。防御战斗中，第一道防线的兵力通常为总数的2/3，第二道防

线的兵力兵器通常为总数的1/3。

一代枭雄的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与0.618

紧紧地联系在一起。1812拿破仑三个月的胜利进军加上两个月的盛

极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。法军不得不在大雪纷扬、寒风呼啸中

灰溜溜地撤离了莫斯科。被所有战争史学家公认为苏联卫国战争转

折点的斯大林格勒战役，就发生在战争爆发后的第17个月，正是德

军由盛而衰的26个月时间轴线的黄金分割点。

(4)为什么人们对他如此的信赖

为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类

的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，

骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变

化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618

，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推

而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分

割律成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄

金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短

段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数” （两物体间的比例关系为 0.618）。

■人体黄金点

脐以上与脐以下的比值是0.618：1。喉结头顶至脐部，喉结是分割点，之间的比值近似0.618。眉间前发际至颏底连线，上1/3与下

2/3之分割点。鼻下点前发际至颏底连线，下1/3与上2/3之分割点。唇珠鼻底至颏底连线，上1/3与下2/3之分割点。口角正面观，口裂

水平线左(右)侧1/3与对侧2/3之分割点。肘关节(鹰嘴)肩峰至中指

尖之分割点。膝关节(髌骨)足底至脐之分割点。乳头乳头垂直线，锁

骨至腹股沟之分割点。

■人体黄金矩形

头部轮廓头部长(颅顶至颏部)与宽(两侧颧弓突端中间距)。面部轮廓

眼水平线的面宽为宽，前发际至颏底间距为长。鼻部轮廓鼻翼为宽，鼻根至鼻下点间距为长。唇部轮廓静止状态时，上下唇峰间距为宽，口角间距为长。躯干轮廓肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底间

距为长。手部轮廓手指并拢时，掌指关节水平线为宽，腕关节至食

指尖间距为长。

■人体黄金指数

黄金指数即两条线段之比例关系为0.618，或近似于此值。人体面部

躯干四肢中有许多线段之间存在着这种比例关系。鼻唇指数鼻翼宽

度与口角间距宽度之比。目唇指数口角间距宽度与两眼外眦宽度之比。上下唇高指数面部中线的上下唇红高度之比。目面指数两眼外

眦间距与眼水平线的面宽之比。四肢指数肩峰至中指尖连线为上肢长，髂嵴至足底连线为下肢长，两者之比，近似于0.618。

■人体黄金三角

腰底之比为0.618或近似值的等腰三角形，其内角分别为36゜、72゜、72゜，为黄金三角形。人体黄金三角形有：外鼻正面观呈黄金

三角；外鼻侧面观呈黄金三角；鼻根尖与两侧口角点组成的三角形；

两肩端点与头顶中央组成的三角形。此外，一个体形匀称的人，体

重与身高，腰围与胸围，腰围与臀围的理想比例，也都接近于黄金

分割律。原文地址：常接近黄金

分割比的. 一五角星是 36度，这样割的数值为三大算学家欧道克萨

斯首先提出黄金

让我们首先从一个数列开始，它的分割。所谓黄金分割，指的是把

长为l前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、的线段分为两部分，使其中一部分对21、34、55、于全部之比，等于89、144??..这另

一部分对于该个数列的名字部分之比。而计算叫做

黄金分割在我国是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。

经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。

因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设

计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也

非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上

的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞

台长度的黄金分割点的位置最美观，声音

传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩

枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。

在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可

以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺

条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛

而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。

(2)黄金分割的发现历史

公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形

的作图，于是人们推断当时他们已经触及甚至掌握了黄金分割。公

元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》

时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步论述了黄金分割，成为最

早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，德国天文学家开普勒称黄

金分割为神圣分割。到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金

分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名

的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗

于1953年首先提出的，70年代在中国推广。

(3)黄金分割神圣的应用

黄金分割被广泛地应用于建筑、设计、绘画等各方面。特别是在摄影技术的发展过程中，黄金分割也因此成为摄影构图中最神圣的观念。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比0.618的比例。

0.618与武器装备冲轰炸状态的最佳投弹高度和角度，

到坦克外壳设计时的最佳避弹坡度，

在冷兵器时代，虽然人们还根本我们也都能很容易地发现黄金分割率不知道黄金分割率这个概念，但人们无处不在。

在制造宝剑、大刀、长矛等武器时，

黄金分割率的法则却早已处处体现了0.618与战术布阵战略

弹沿弹道飞行的顶点；从飞机进入俯争中体现得最为出色的还应首推成吉

思汗。蒙古骑兵的战斗队形与西方传

统的方阵大不相同，在它的5排制阵

型中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动

轻骑兵的比例为2：3，这又是一个黄

金分割！你不能不佩服那位马背军事

家的天才妙悟，被这样的天才统帅统

领的大军，不纵横四海、所向披靡，

那才怪呢。基督教欧洲人除了把黄金

分割率运用到宗

教艺术方面天赋

甚高外，对这一定

律在其他方面是

否有用，似乎开悟

得很晚。直到黑火

药时期瑞典军队

将在摩利士原来

的216名长矛兵

＋198名滑膛枪

兵中队之外，增加96名滑膛枪兵，这

一改变顿时突出了火器的作用，使其

成为当时欧洲最强的军队。而198＋96

名滑膛枪兵与216长矛兵之比恰恰是

黄金分割率。在马其顿与波斯的阿贝

拉的战役中，马其顿的亚历山大大帝

把他的军队的攻击点，选在了波斯大

流士国王的军队的左翼和中央结合

部。巧的是，这个部位正好也是整个

战线的“黄金点”，所以尽管波斯大军多

于亚历山大的兵马数十倍，但凭借自

己的战略智慧，亚历山大把波斯大军

打得溃不成军。这一战争的深刻影响

直到今天仍清晰可见，在海湾战争中，

多国部队就是采用了类似的布阵法打

败了伊拉克军队。

两支部队交战，如果其中之一的兵力、兵器损失了1/3以上，就难以再同对方交战下去。正因为如此，在现代高技术战争中，有高技术

武器装备的军事大国都采取长时间空中打击的办法，先彻底摧毁对

方1/3以上的兵力、武器，尔后再展开地面进攻。在现代战争中，许多国家的军队在实施具体的进攻任务时，往往是分梯队进行的，第

一梯队的兵力约占总兵力的2/3，第二梯队约占1/3。在第一梯队中，主攻方向所投入的兵力通常为第一梯队总兵力的2/3，助攻方向则为

1/3。防御战斗中，第一道防线的兵力通常为总数的2/3，第二道防

线的兵力兵器通常为总数的1/3。

一代枭雄的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与0.618

紧紧地联系在一起。1812拿破仑三个月的胜利进军加上两个月的盛

极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。法军不得不在大雪纷扬、寒风呼啸中

灰溜溜地撤离了莫斯科。被所有战争史学家公认为苏联卫国战争转

折点的斯大林格勒战役，就发生在战争爆发后的第17个月，正是德

军由盛而衰的26个月时间轴线的黄金分割点。

(4)为什么人们对他如此的信赖

为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类

的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变

化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618

，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉自

己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推

而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分

割律成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄

金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短

段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数” （两物体间的比例关系为 0.618）。

■人体黄金点

脐以上与脐以下的比值是0.618：1。喉结头顶至脐部，喉结是分割点，之间的比值近似0.618。眉间前发际至颏底连线，上1/3与下

2/3之分割点。鼻下点前发际至颏底连线，下1/3与上2/3之分割点。唇珠鼻底至颏底连线，上1/3与下2/3之分割点。口角正面观，口裂

水平线左(右)侧1/3与对侧2/3之分割点。肘关节(鹰嘴)肩峰至中指

尖之分割点。膝关节(髌骨)足底至脐之分割点。乳头乳头垂直线，锁

骨至腹股沟之分割点。

■人体黄金矩形

头部轮廓头部长(颅顶至颏部)与宽(两侧颧弓突端中间距)。面部轮廓

眼水平线的面宽为宽，前发际至颏底间距为长。鼻部轮廓鼻翼为宽，鼻根至鼻下点间距为长。唇部轮廓静止状态时，上下唇峰间距为宽，口角间距为长。躯干轮廓肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底间

距为长。手部轮廓手指并拢时，掌指关节水平线为宽，腕关节至食

指尖间距为长。

■人体黄金指数

黄金指数即两条线段之比例关系为0.618，或近似于此值。人体面部

躯干四肢中有许多线段之间存在着这种比例关系。鼻唇指数鼻翼宽

度与口角间距宽度之比。目唇指数口角间距宽度与两眼外眦宽度之比。上下唇高指数面部中线的上下唇红高度之比。目面指数两眼外

眦间距与眼水平线的面宽之比。四肢指数肩峰至中指尖连线为上肢长，髂嵴至足底连线为下肢长，两者之比，近似于0.618。

■人体黄金三角

腰底之比为0.618或近似值的等腰三角形，其内角分别为36゜、72゜、72゜，为黄金三角形。人体黄金三角形有：外鼻正面观呈黄金

三角；外鼻侧面观呈黄金三角；鼻根尖与两侧口角点组成的三角形；两肩端点与头顶中央组成的三角形。此外，一个体形匀称的人，体

重与身高，腰围与胸围，腰围与臀围的理想比例，也都接近于黄金

分割律。

范文二：黄金分割的应用之一

——作正五角星

我国国旗上的五角星，是我国生活中常见的一种特殊图形。记得我上初中的时候，教材上有一道题是介绍我国古代人们利用他们的聪明才智找到了近似作五角星的方法：口诀是“九五顶五九，八五两边分。”这是画五角星中最简便的方法了。

作法：１、画相互垂直的两条线段ab与cd，交点作o。

２、在标有刻度直尺的帮助之下，自o点开始，让oc=od=0.8，oa=0.59，ob=0.95；

３、再过b点作ef垂直ab，并且让be=bf=0.5；４、再连接ab，ad，ce，df；

５、那么acefd，便是一个近似正五角形。

在这个正五角形的内部再连接各个点后，便得到一个五角星了。如下图１：

（注：以３厘米为单位“１”）

记得当时老师在给我们介绍这道题时，还给我们讲了一种用尺规作正五角星的方法。

作法：１、以o为圆心，定长r为半径画圆，并作互相垂直的直径mn和 ap；

２、平分半径on，得ok=kn；

３、以 k为圆心，ka为半径画弧与 om交于 h， ah

即为正五边形的边长；

４、以ah为弦长，在圆周上依次截得a、b、c、d、

e各点；

５、顺次连接这些点即得正五边形；

６、在正五边形的内部再连接各个点后，便得到一个五

角星了。如下图２：

今天，我作为一名教师，在教授北师大版八年级数学教材下册时，在第四章第二节《黄金分割》这一课内容中，开篇课文就给出了一个正五角星，让我想起了这一切。那么，黄金分割与正五角星有什么关系呢？首先，我们来了解什么是黄金分割。如图：

把线段ＡＢ分成两线段ＡＣ和ＢＣ，

如果点Ｃ，那么称线段ＡＢ被点Ｃ黄金分割，点Ｃ叫做线段ＡＢ的黄金分割点，ＡＣ与ＡＢ的比叫做黄金比，

化成乘积式是

项。

怎样利用黄金分割作正五角星呢？

作法：１、任作线段ＡＢ；２、过点Ｂ作ＢＣ⊥ＡＢ，并取ＢＣ＝ＡＢ；＝

≈0.618，如果把

，ＡＣ叫做ＡＢ和ＢＣ的比例中

３、连接ＡＣ，以点Ｃ为圆心，以ＢＣ为半径画弧交ＣＡ

于点Ｄ；

４、以点Ａ为圆心，以ＡＤ为半径画弧交ＡＢ于点Ｅ；

５、以点Ａ为圆心，以ＢＥ为半径画弧交ＡＢ于点Ｆ；

（点Ｅ、Ｆ就为线段ＡＢ的黄金分割点）

６、分别以点Ｅ、Ｆ为圆心，以ＢＥ为半径画弧，两弧交

于点Ｇ；

７、以点Ｇ为端点，分别过点Ｆ、Ｅ作射线ＧＦ、ＧＥ；８、在射线ＧＦ、ＧＥ点分别取ＧＨ＝ＧＪ＝ＡＢ；

９、连接ＡＪ、ＢＨ，就得到了正五角星了。如下图３：

通过作图知，正五角星任意两角连线中的两个交点，恰好是该线段的两个黄金分割点，所以，我国国旗上的五角星总是给人以庄重、和谐、优美的感觉。

范文三：黄金分割的应用

作者：杨培巍、黄旭庭、黄斌

摘要：我们通过查找、整理资料和实际测量，对黄金分割在古代生活、现代生活中的运用进行一般性的课题研究。

关键词：黄金分割、生活运用

项目名称：黄金分割的应用

一、研究目的：

目的：通知对黄金分割的学习，我们可以在很多地方应用到它，它可以使我们周围的一切东西变得更加美丽。通过调查学习各种各样有关黄金分割在生活中的应用，了解数学的价值，激发学习数学的兴趣。

二、研究方法：

1、访问法：对数学老师进行访问。

2、实际测量法：对现实生活中的一些物品进行实际测量，发现黄金数。

3、网络搜集相关资料。

三、研究步骤：

1、先明确好组员的分工

2、然后各自按计划分工调查

3、总结研究成果，并记录成果

四、研究成果：

黄金分割在古代社会的运用

在我国历史上的一些战争中，就无不遵循着0.618的规律。春秋战

国时期，晋厉公率军伐郑，与援郑之楚军决战于鄢陵。厉公听从楚

叛臣苗贲皇的建议，把楚之右军作为主攻点，因此以中军之一部进

攻楚军之左军；以另一部进攻军之中军，集上军、下军、新军及公

族之卒，攻击楚之右军。其主要攻击点的选择，恰在黄金分割点上。把黄金分割律在战争中体现得最为出色的军事行动，还应首推成吉

思汗所指挥的一系列战事。数百年来，人们对成吉思汗的蒙古骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地席卷欧亚大陆颇感费解，因为仅用游牧

民族的彪悍勇猛、残忍诡谲、善于骑射以及骑兵的机动性这些理由，都还不足以对此做出人充人完全信服的解释。或许还有别的更为重

要的原因？仔细研究之下，果然又从中发现了黄金分割律的伟大作用。蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在它的5排

制阵形中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动轻骑兵的比例为2：3，这

又是一个黄金分割！你不能不佩服那位马背军事家的天才妙悟，被

这样的天才统帅统领的大军，不纵横四海、所向披靡，那才怪呢。

马其顿与波斯的阿贝拉之战，是欧洲人将0.618用于战争中的一个

比较成功的范例。在这次战役中，马其顿的亚历山大大帝把他的军

队的攻击点，选在了波斯大流士国王的军队的左翼和中央结合部。

巧的是，这个部位正好也是整个战线的“黄金点”，所以尽管波斯大

军多于亚历山大的兵马数

十倍，但凭借自己的战略智慧，亚历山大把波斯大军打得溃不成军。这一战争的深刻影响直到今天仍清晰可见，在海湾战争中，多国部

队就是采用了类似的布阵法打败了伊拉克军队。

0.618不仅在武器和一时一是的战场布阵上体现出来，耐用在区域广阔、时间跨度长的宏观的战争中，也无不得到充分地展现。

一代枭雄的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与0.618

紧紧地联系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽

宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑

于此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时的他可是踌躇满志、不

可一世。他并未意识到，天才和运气此时也正从他身上一点点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。后来，法军便在大

雪纷扬、寒风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军加

上两个月的盛极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯

瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。

2、黄金分割在现代生活的运用

现代科学研究表明，0.618在养生中也起重要作用。注意了这些黄金

分割点，对养生健体大有好处。“0.618”这个比值具有美学价值而被

古希腊美学家运用到造型艺术中，因为凡符合黄金分割律的形体总

是最美的形体。现在发现此比值和医学保健、健康长寿有着千丝万

缕的联系，亦可称为健康的黄金分割律。在人体结构上，0.618更是

无处不在。脐到脚底与头顶至脐之比；躯干长度与臀宽之比；下肢

长度与上肢长度之比，均近似于0.618。而且，越是接近于这个值，

整个形体就越匀称，越令人觉得完美。人在环境气温22℃-24℃下生

活感到最适宜，因为人体的正常体温是36℃-37℃，这个体温与

0.618的乘积恰好是22.4℃-22.8℃，而且在这一环境温度中，人体

的生理功能、生活节奏等新陈代谢水平均处于最佳状态。理如，营

养学业中强调，一餐主食中要有六成粗粮和四成细粮的搭配进食，

有益于肠胃的消化与吸收，避免肠胃病。这也可纳入饮食的0.618

规律之列。抗衰老有生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明，

生理上的抗衰为四，而心理上的衰为六，也符合黄金分割律。充分

调动与合理协调心理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达到最

好的延年益寿的效果。一天合理的生活作息也符合0.618的分割，

24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与

静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生命在于静养”？从辩

证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比

例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道。从黄金分割律看，结婚的最佳季节是一个12个月的0.618处，约在7月底至8月底。

医学研究已表明，秋季是人的免疫力量最佳的黄金季节。因为7月

至8月时人体血液中淋巴细胞最多，能生成大量的抵抗各种微生物

的淋巴因炎，此时人的免疫力强。较少小户型以其“低总价、低首付、低月供”，把众多刚刚踏入社会的年轻人吸引为有房一族。虽然市场

上对小户型的需求很热烈，但也同样具有投资风险。如何进行小户

型投资？市场时兴一套有趣的“黄金分割论”，时间分割因为工作时

间与居家时间之比正好构成一个黄金分割，即0.618比0.382，所以

专家认为，最有价值的地段可能是工作与社区之间的黄金分割点。

尺度分割小户型因其小，面积更要精打细算。在小户型越来越热的

过程中，市场有一个趋势，即户型越小越好。但绝对的小既不符合

居住者的正常生活需求，也绝对不会是潮流。新消费或投资趋势表明，小户型在面积大小上也存在黄金分割率，在30-80平方米之间，有一个黄金分割数，正好是50余平方米。所以，市场上50余平方

米的小哀悼型热度卖度超过了其他规格，空间主要是卧室与起居，

30平方米根本无法细分任何功能区，难以满足高品质居家生产。而

50多平方米是功能上黄金分割区的最小面积，即可分出30平方米的主体空音和20平方米的配套空间，解决独立厨卫、阳台、储藏等各

个功能。因此，根据“黄金分割论”选择小户型应该是既节省户型面积，减少投资总额，同时又能满足空间上的审美和功能需求，保证

居住者的生活品质与居家情趣。

黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系。例如照相机的片窗

比例：135相机就是34*36即2：3的比例，这是很典型的。120相

机4.5*6近似3：5，6*6虽然是方框，但在后期制作用，仍多数裁剪为长方形近似黄金分割的比例。只要我们翻开影集看一看，就会发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比例。这可能是受传统的影响，也养成了人们的审美习惯。另外，也确实因为它具有

悦目的性质，所以有时人们在时间中并非注意到这个比例，而特意

去云运用它，但往往就不自觉中，进入了这个法则之中。这也说明了，黄金分割的本身就存在有美的性质。

一次无意中和同学在操场上打球，顺手测量了雕相牛顿的鼻子，其

鼻孔间的距离和至鼻梁的比刚好接近于0.618。之后又测量了几个人

的鼻子，结果符合黄金分割点。接下来的生活中对0.618变得很敏感，经过同学的推想与实践，我们发现了多弥尔古牌的长宽之比，

蝴蝶的身体部位之比，漂亮花瓣的长宽之比也都符合这一规律。查

询了很多的相关资料例如埃及金字塔便是这一规律的最好应用。

你从电视中见过碧水轻流的安大略湖的加拿大名城多伦多吗？这个

高楼大厦鳞次栉比现代货城市中，最醒目的建筑就是高耸的多伦多

电视塔，它器宇轩昂，直冲云霄。有趣的是嵌在塔中上部的扁圆的

空中楼阁，恰好位地塔身全长的0.618倍处，即在塔高的黄金分割

点上。它使瘦削的电视塔显得和谐、典雅、别具一格。多伦多电视

塔被称为“高塔之王”，这个奇妙的“0.618”起了决定性作用。与此类似，举世闻名的法兰西国土上的“高塔之祖”，埃菲尔铁塔，它的第

二层平台正好坐落在塔高的黄金分割点上，给铁塔增添了无穷的魅力。

气势雄伟的建筑物少不了“0.618”，艺术上更是如此。舞台上，演员

既不是站在正中间，也不会站在台边上，而是站在舞台全长的0.618处，站在这一点上，观众看上去才惬意。我们所熟悉的米洛斯的“维

纳斯”、“雅典娜”女神像及“海姑娘”阿曼达等一些名垂千古的雕像中，都可以找到“黄金比值”—— 0.618，因而作品达到了美的奇境。

我国一位二胡演奏家在漫长的演奏生涯中发现，如果把二胡的“千斤”放在琴弦某处，音色会无与伦比的美妙。经过数学家验证，这一点

恰恰是琴弦的黄金分割点0.618！黄金比值，在创造着奇迹！

五、研究结果：

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的生活

运用价值。

范文四：黄金分割及应用:

第一，黄金分割的应用,一般而言，通常我们用到的几个数字为

0.236 0.382 0.5 0.618,应用方面，强势和弱势分别为：在强势中，

下跌回撤0.236，然后横盘，一旦上涨，这个上涨就属于极强修正，

后市还有很大的动能走高.

第二，通常情况下，只要击穿0.236位置，必见0.382。第三，最大

修正0.618，一般而言，0.618位置为最大修正，一旦突破，说明行

情回撤过大，所以，就出现了0.618宁可做错，不可放过.而应用的

时间方面，判断一天的行情一般用小时线上画黄金分割，判断较大

的趋势，就要在日线上整体画黄金分割.

而具体的画法方面：一般比较难理解，但是具体可以分两点：第一点，一日内的画法，通常在小时线上，选择上一个交易日的高低点。第二，一般以先出来的价格为起点（例如，先出来高点，那么从高

点拉线，先出来低点，从低点拉线）。

下面，我就上面的画法，操作，全部举例子：

强势回撤0.236，看低点，到高点，然后回撤0.236位置，小时线3

阴下跌，价格不下，支撑于0.236反弹，那么后市出现了突破前高

的走势，这就是极强修正。

当然，下跌中，也是一样的，反过来说，就是极弱修正0.236

判断极弱和极强，一定要注意一点，就是时间，因为，我们看到在

某个位置，价格通常出现连续支撑或者遇阻，才形成下跌或者上涨，换句话说，也就是长时间横盘。但回顾一天的行情，如果价格在一

个位置横盘，那么时间通常就是白天，而白天而言，通常就是欧盘前，也就是说，判断极强或者极弱来看，这种时间必须是白天欧盘前，前一日大幅下跌或者上涨后，半夜到第二天欧盘前价格一直处

于小幅波动，用时间修正价格，那么欧盘通常就会出现爆发行情，

前一日强，那么欧盘就会强，前一日弱，欧盘就会弱。

这是判断极强或者极弱行情的几个因素，第一，需要综合时间，第二，需要综合前一日是否出现强势下跌或者上涨，第二，需要注意

欧盘前是否处于小幅波动修正，第四，拉黄金分割，找位置，讲第

二条：击穿0.236，必见0.382，这个一般用在比较大的周期上，比

如日线调整方面，因为小区间两点间距离本身就小，随便波动几美金，就会击穿382或者更多，所以这个理论一般用在比较大的调整上，起码60-80美金以上的行情上才可用到这个理论。

第三，0.618，一般而言，这个位置就最关键的，第一次比较难下破，如果一次下破，那么后面就会回补618位置。

而0.618宁错不放的原因在于，0.618属于较大的修正，一般情况下

会很少碰到这个位置的，碰到的次数少，所以才精贵

例如下跌0.618

上涨修正0.618

画法上，记住比较简单的一点：先出来的点，先拉一日内的画法，

通常在小时线上，选择上一个交易日的高低点，般以先出来的价格

为起点（例如，先出来高点，那么从高点拉线，先出来低点，从低

点拉线）

均线，一般我们分短期均线和长期均线,30日以下的均线我们成短期

均线，例如：5,10,20；30，长期均线一般指60日以上，例

如:60,100,120,135,270，通常我们一般的简单均线原理分：1，短期

均线上穿长期均线，叫金叉；是买入信号。2，相反，短期均线下穿

长期均线，我们称死叉，一般后市看跌；

稍微深一点的均线原理，多头就需要注意：短期均线依次在长期均

线之上，多头，例如目前日线均线排列。在空头中，我们通常把均

线看着价格运行的轴，例如，价格围绕长期均线上下波动，偏离长

期均线需要回踩长期均线，震荡重合后需要再度原理，如1157上涨，价格偏离均线，回踩红色长期均线

回踩长期均线后再度发散，如目前形态

另外需要记住几点，第一，价格下破5日均线后通常会回踩10日而收盘下破10日均线后会回踩30日，一般而言，30日称散户生命线，收盘一次很难下破，即便下破，价格也会反弹测试30日均线

另外，规律，均线方面，我们同样存在规律，例如1157上涨后，价

格站上5日均线后连续上行，而回踩一般只触及10日均线后即开始

新的上攻，这种循环我们通常称生命线，也是一种规律均线是看起

来最简单，但用起来最复杂的一种技术分析 1，短期均线依次在长期

均线之上，多头

2，价格围绕长期均线上下波动，偏离长期均线需要回踩长期均线3，震荡重合后需要再度发散，形成新的价格偏离均线 4，价格下破5日均线后通常会回踩10日

5，收盘下破10日均线后会回踩30日，一般而言，30日称散户生

命线，收盘一次很难下破，即便下破，价格也会反弹测试30日均线6，均线循环

范文五：黄金分割及其应用

靳取

摘要：黄金分割是人们熟悉的一种数学比例，但它的意义并非如此

简单，它被广泛应用于建筑、美术、音乐等方面。它还和宇宙世界

有着非常密切的关系。

关键词：黄金分割意义应用

神学家阿奎那（st.thomas aquinas,1225 —1274）说：“愉快的感

觉来自恰当的比例。”什么样的比例是最令人愉快的？我相信答案会

是黄金比。中世纪著名天文学家开普勒曾说过：几何学里有两个宝库，一个是毕达哥拉斯定理（勾股定理），一个是黄金分割。前者

可以比作金矿，后者可以看作珍贵的钻石矿。由此可见黄金分割是

多么的重要。

两千多年前，古希腊数学家、天文学家欧多克斯（eudoxus，约公

元前408—前347年）发现将一条线段ab分割成大小两条线段ac、cb，若小段cb与大段ac之间的长度之比等于大段ac与线段ab的

长度之比，即

5??1

2cbacacab=（此时线段ac叫做线段cb、ab的比例中项），则可

得出这一比值就是=0.61803398874989??，这种分割称为黄金分割（gold

section）,点c叫做线段ab的黄金分割点（如图1）。

如图1，如果设ab=a，ac=x，由cb

ac??ac

ab可得a??x

x??x

a，即x2+ax-a2=0，

解得x=??1??

25a 因为x＞0，所以ac=x=5??1

2a??0.618a

bd

ba??ad

bd 我们还可以得出，如果线段ab上另有一点d，满足，即

bd2=ba??ad，那么

点d也是ab的黄金分割点（如图1）。因此，一条线段的黄金分割

点应该有两个，分别靠近这条线段的两个端点。很久以前黄金分割

并不叫做这个名字，由于它自身的比例能对人的视觉产生适度的刺激，故后来它被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割”。历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是德国物理学家

欧姆（martin ohm，1792—1872），19世纪以后，黄金分割之名

逐渐流行开来。

黄金分割存在与很多图形当中，例如等腰三角形，直角三角形，矩形，正方形，正五边形等。我们以正五边形为例进行分析。

正五边形称为黄金五边形，如图2，正五边形abcde，易求得△abn

为顶

角为36??的等腰三角形，am为底角的平分线，所以

am=an=bm=5??1

2bn=??

又△acj与△ajm均是底角为36??的等腰三角形，所以△acj≈△ajm，得am：

5??1

2aj=aj：ac，故am：mc=mc：ac=

的交点也是对角线的黄金点。

，所以点m为ac的黄金分割点。同理，其余对角线

相传古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯（pythagoras，约公元前580—公元前500）建立的毕达哥拉斯学派对黄金五边形情有独钟，

他们以正五边形的五条对角线构成的五角星形作为自己学派的标志。该学派的门徒们继承本学派的宗旨，存在了两个世纪之久。有一则