2018届高考数学考前模拟试卷(文科)

2018届高三考前模拟数学（文科）

全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1. 集合}{

022≤--=x x x A ，}{

1<=x x B ，则)(B C A R I = （ ）

(A) }{1x x > (B) }{12x x <≤ (C) }{1x x ≥ (D) }{

12x x ≤≤ 2．设1i

z i

=

-（i 为虚数单位），则1z =（ ）

(A)

(B) (C)

1

2

(D) 2 3．等比数列{}n a 中，122a a +=，454a a +=，则1011a a +=（ ）

(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64

4. 已知向量a b ⊥r r ，2,a b ==r r 则2a b -=r r

（ ）

(A) (B) 2

(C)

(D)

5．下列说法中正确的是（ ）

(A) “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件

(B) 若2

000:,10p x R x x ?∈-->，则2

:,10p x R x x ??∈--<

(C) 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题

(D) “若6π

α=

，则1sin 2α=

”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2

α≠”

6．已知输入实数12x =，执行如图所示的流程图，则输出的x 是 （ ）

(A) 25 (B) 102 (C) 103 (D) 51 7．将函数()()1cos 24f x x θ=

+（2πθ<）的图象向右平移

512

π

个单位后得到函数()g x

的图象，若()g x 的图象关于直线

9

x π

=对称，则θ=（ ）

(A)

718π (B) 18π (C) 18π- (D) 718

π- 8．已知x ,y 满足条件0

4010

x y x y x -≤??+-≤??-≥?

，则y

x 的最大值是 ( )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) (A)

833 (B) 163

3

(C) 3233 (D) 163 10．已知函数()y f x =的定义域为{}|0x x ≠，满足

()()0f x f x +-=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，

则函数()y f x =的大致图象是（ ）

(A) (B) (C) (D)

11．已知P 为抛物线2

4y x =上一个动点，Q 为圆()2

2

41x y +-=上一个动点，则点P 到

点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ）

(A) 171- (B) 252- (C) 2 (D) 17

12. 设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有()()

1

2f t f t +=，且(]0,4x ∈时，

()()

f x f x x

'>

，则()()()20164201722018f f f 、、的大小关系是（ ）

(A) ()()()22018201642017f f f << (B) ()()()22018201642017f f f >>

(C) ()()()42017220182016f f f << (D) ()()()42017220182016f f f >>

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知数据12,,,n x x x L 的平均数为2，则数据122,2,,2n x x x +++L 的平均数为 .

14．设0,0a b >>，且3是3a 与3b

的等比中项，则

11

a b

+的最小值为 . 15．当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为

双曲线C 的“伴生椭圆”．则离心率为3的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为 ． 16．已知平面区域()2

2

{,|4}M x y x y =+≤， (){,|2}N x y y x =≥-+，在区域M 上

随机取一点A ，点A 落在区域N 内的概率为 ．

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos 2cos sin C A B A B +=. （1）求tan A ；

（2）若25b =， AB 边上的中线17CD =，求ABC ?的面积.

18．（本小题满分12分）

在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目

“语文”和“数学”的考试. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次 考试中成绩在]100,90[内的记为A ，其中“语文”科目成绩在)90,80[内的考生有10人.

（1）求该考场考生数学科目成绩为A 的人数；

（2）已知参加本场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A .在至少一科成绩为A

的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.

A

B

C

D

图2

E

19．（本小题满分12分）

如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,1

22

AD CD AB ==

=, 点E 为AC 中点,将ADC ?沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何 体D ABC -,如图2所示.

（1）在CD 上是否存在一点F ,使//AD 平面EFB ？若存在，证明你的结论， 若不存在，请说明理由；

（2）求点C 到平面ABD 的距离.

20．（本小题满分12分）

已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22

182

x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上. （1）求12PF PF ?u u u r u u u u r

的最小值；

（2）设直线l 的斜率为

1

2

，直线l 与椭圆C 交于A ， B 两点，若点P 在第一象限， 且121PF PF ?=-u u u r u u u u r ，求ABP ?面积的最大值.

B

A C

D

图1 E

21．（本小题满分12分）

已知函数()3f x ax bx c =++，其导函数()233f x x =-'+，且()01f =-，

()()ln 1g x x x m m

x

=+

≥． （1）求()f x 的极值；

（2）求证：对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C

的参数方程为22x y α

α

?=+??

=+??(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；

（2）设射线1:3

l π

θ=

，2:6

l π

θ=

，若12,l l 分别与曲线C 相交于异于原点的两点,A B ，

求ABO ?的面积．

数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.【解析】}{

12A x x =-≤≤,}{1≥=x x B C R ,}{

21≤≤=x x B C A R I ,故选D ． 2.【解析】()()()1111

111222i i i i z i i i i +-+=

===-+--+，所以2

z = ，则 1z = B. 3.【解析3345124a a a q a q +=+=，解得32q =，99910111212()a a a q a q a a q +=+=+3

2216=?=.

故选B

4. 【解析】 2a b -=r r

2

(2)a b -r r ＝224416425a b ab +-=+=r r r r ．故选C ．

5.【解析】 试题分析：2

()f x x x =+时，(0)0f =，但()f x 是不是奇函数，A 错；

命题2

000:,10p x R x x ?∈-->的否定是2

:,10p x R x x ??∈--≤，B 错；,p q 中只要有一个为假

命题，则p q ∧为假命题，C 错；“若6

π

α=，则1sin 2α=

”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2

α≠”是正确的，故选D ． 6.【解析】输入12x =，

经过第一次循环得到212125,2x n =?+==， 经过第二循环得到225151,3x n =?+==， 经过第三次循环得到2511103,4x n =?+==，此时输出x ， 故选C ． 考点：程序框图的识别及应用 7.【解析】因为()()1cos 24f x x θ=+，所以()1515cos 2cos 241246g x x x ππθθ??????

=-+=-+ ? ????

?????，

所以

2596k ππθπ-+= ()k Z ∈，解得1118k πθπ=+ ()k Z ∈，又2πθ<，所以718

π

θ=-，

故选D. 8.【解析】． 因为0

y z x -=

- ，如图所示经过原点()0,0的直线斜率最大的为直线40x y +-=与直线1x =的交点()1,3，故max 3

31

z ==，选C.

9.【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为43，高为4，

则11634334V =

??=，故选B ． 10.【解析】由()()0f x f x +-=，知()f x 是奇函数，故排除C,D ；当1

2

x =

时，

1

2111111

()ln 1ln ln 2ln ln 20222222

f e =-+=+=-=-<，从而A 正确. 11.【解析】根据抛物线的定义，点P 到准线的距离等于到焦点的距离，则距离之和等于PQ PF +，

画图可得, PQ PF +的最小值为圆心C 与焦点F 连线与抛物线相交于点P ，则最小值等于

CF r -， 圆心(0,4)C ，得CF ==1-，故选A.

12.【解析】由题意可得： ()()21f t f t +=，则： ()()241f t f t ++=，

据此有： ()()4f t f t =+，即函数()f x 是周期为4的周期函数， 构造新函数()()(],0,4f x F x x x

=

∈，则()()()

2

''0f x x f x F x x -=

>，

则函数()F x 是定义域(]0,4内的增函数， 有：

()()()1241

2

4

f f f <<，即： ()()()41224f f f <<，

利用函数的周期性可得： ()()()()()()20164,20171,20182f f f f f f ===， 据此可得： ()()()42017220182016f f f <<.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 4 14. 4 15. 16. 24ππ-

13.【解析】平均数为

()()()()12122222224n n x x x x x x n

n

n

++++++++++==+=L L

14.【解析】试题分析：因3)3(332

==?b a ,即33=+b a ,故1=+b a ,

所以=+b a 1142)11)((≥++=++a

b

b a b a b a ,应填4.

15.【解析】试题分析：设双曲线C 的方程为22221x y a b -=，所以222e b a a

==∴= ，

∴双曲线C 的“伴生椭圆”方程为：22

221y x b a +=，∴“伴生椭圆”2==

16.【解析】【答案】

2

4ππ

- 【解析】由题意可得，集合M 表示坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，集合N 表示图中的阴

影区域，其中211

222242

S ππ=

?-??=-阴影 ，

由几何概型公式可得：点A 落在区域N 内的概率为2

22

24p ππππ

--==? .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. （本小题满分12分）

【答案】（1）tan 2A =; （2）当2c =时， 1

sin 42

ABC S bc A =

=V ；当6c =时， 12ABC S ?=. 【解析】试题分析：（1）将()C A B π=-+代入化简求值即可；（Ⅱ）在ACD V 中，由余弦定理解

得2c =或6，利用面积公式求解即可.

试题解析：

（1）由已知得()cos cos cos cos πcos cos C A B A B A B ??+=-++??

()cos cos cos sin sin A B A B A B =-++=， ……2分

所以sin sin 2cos sin A B A B =， ………4分

因为在ABC ?中， sin 0B ≠， 所以sin 2cos A A =，

则tan 2A =． ……………6分 （2）由（1）得， 5cos A =

， 25sin A = ……………8分 在ACD ?中，

2

222cos 22c c CD b b A ??

=+-??? ???

，

代入条件得2

8120c c -+=，解得2c =或6， ………10分

当2c =时， 1

sin 42

ABC S bc A ?==；当6c =时， 12ABC S ?=． ………12分

18. （本小题满分12分）

解：(1)该考场的考生人数为10÷0.25=40人. ………2分 数学科目成绩为

A 的人数为

40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3人. ………5分 (2) 语文和数学成绩为A 的各有3人，其中有两人的两科成绩均为

A ，所以还有两名同学

只有一科成绩为

A . ……………7分

设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为

A ，则在至少一科成绩为M 的考生中，

随机抽取两人进行访谈，基本事件为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}， {丙，丁}共6个， …………… 10分 设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为

A ”为事件M ，则事件M 包含的事件有1个，

则6

1

)(=M P . ……………12分

19. 试题解析：(1)存在CD 的中点F 成立, 连结EF ,BF

在ACD ?中,,E F Q ,分别为AC ,DC 的中点 ……2分 EF ∴为ACD ?的中位线

AD ∴//EF ………4分 EF ?平面EFB AD ?平面EFB

AD ∴//平面EFB ……………6分 (2) 设点C 到平面ABD 的距离为h

Q 平面ABD ⊥平面C AB ,平面ABD I 平面C=AB AB ,BC 且⊥B A

BC ∴⊥平面C AD BC ∴⊥AD ，AD ⊥DC ……………7分

AD ∴⊥平面BCD 即AD ⊥BD

S 23ADB ?∴= ………9分

三棱锥B ACD -的高22BC =,S 2ACD ?∴= ………10分

B ACD

C ADB V --=Q V

即11

233h ??=?

h ∴=

………12分

20. （本小题满分12分）

【答案】（1）12PF PF ?u u u r u u u u r

的最小值为4-; （2）12.

【解析】试题分析：

（1）设()00,P x y ，由向量数量积的坐标运算求得2012344

x PF PF ?=-+u u u r u u u u r ，注意椭圆中

有0x -≤≤，因此可得最小值；

（2）由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长AB ，求出P 点坐标，再求得P 到直线AB 的距离

即三角形的高，从而得PAB ?面积

PAB S ?=

试题解析：

（

1）有题意可知()

1F

， )

2

F ，设点00(,)P x y

则()1

,PF x y =-u u u

r ， )

2

00,PF x y =-u u u u r ， ………2分

∴2212006PF PF x y ?=+-u u u r u u u u r ，

∵点()00,P x y 在椭圆C 上，∴2200182x y +=，即22

0024x y =-， ………3分 ∴222

00120326444

x x PF PF x ?=+--=-+u u u r u u u u

r

（0x -≤≤， ………4分 ∴当00x =时， 12PF PF ?u u u r u u u u r

的最小值为4-． ………6分

（注：此问也可用椭圆的参数方程表达点P 求解） （2）设l 的方程1

2

y x b =

+，点()11,A x y ， ()22,B x y ， 由22

1,2 18

2y x b x y =++=???????得22

2240x bx b ++-=， ………7分

令2248160b b ?=-+>，解得22m -<<．

由韦达定理得122x x b +=-， 2

1224x x b =-，

由弦长公式得

AB == ………8分

且121PF PF ?=-u u u r u u u u r ，得()2,1P ．

又点P 到直线l

的距离d =

=

， ………9分

∴1122PAB S AB d ?=

=

= 22422

b b +-≤=， ………11分

当且仅当b = ∴ PAB ?面积最大值为2. ……12分

21.（本小题满分12分）

解析：（1）依题意得()3

31f x x x =-+-， ()()()2

33311f x x x x =-+=-+-' ………2分

知()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上是减函数，在()1,1-上是增函数 ………4分 ∴()()13f x f =-=-极小值， ()()11

f x f ==极大值

………5分

（2）法1：易得0x >时， ()1f x =最大值， 依题意知，只要()()1(0)1ln 1(0)m

g x x x x m x x

≤>?≤+

≥> 由1a ≥知，只要22ln 1(0)ln 10(0)x x x x x x x x ≤+>?+-≥> ………7分 令()2ln 1(0)h x x x x x =+->，则()2ln 1

h x x x x =+-'

………8分

注意到()10h '=，当1x >时， ()0h x '>；当01x <<时， ()0h x '<，

………9分

即()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞是增函数， ()()10h x h ==最小值

………10分 即()0h x ≥，综上知对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()

12f x g x ≤

………12分

法2：易得0x >时， ()1f x =最大值， ………7分 由1a ≥知, ()1ln (0)g x x x x x ≥+

>,令()1

ln (0)h x x x x x

=+>………8分 则()22211

ln 1ln x h x x x x x

-=+-=+'………9分

注意到()10h '=，当1x >时， ()0h x '>；当01x <<时， ()0h x '<，………10分 即()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞是增函数， ()()11h x h ==最小值，所以()1h x =最小值, 即()1g x =最小值.

综上知对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤.

………12分

法3: 易得0x >时， ()1f x =最大值， ………7分

由1a ≥知, ()1

ln (0)g x x x x x

≥+

>, ………8分 令()1ln (0)h x x x x x =+>,则()21

ln 1(0)h x x x x =+->'………9分

令()21ln 1(0)x x x x ?=+->,则()311

0x x x ?=+>',………10分

知()x ?在()0,+∞递增,注意到()10?=,

所以, ()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞是增函数,有()1h x =最小值,即()1g x =最小值

综上知对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤. ……12分

22. （本小题满分10分）

解：(1)∵曲线C

的参数方程为2(2x y α

αα

?=+??=+??为参数）

∴曲线的普通方程为2

2

(2)(2)8x y -+-= 即2

2

440x y x y +--= ……2分 将cos ,sin x y ρθρθ==代入并化简得：4cos 4sin ρθθ=+ 即曲线C 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+. …………5分

（2）由3

4cos 4sin πθρθθ

?

=

???=+?

得到12OA ρ==+ …………7分

同理22OB ρ==+ ………… 9分 又∵3

6

6

AOB π

π

π

∠=-

=

∴1

sin 42

AOB S OA OB AOB ?=

∠=+

即AOB ?的面积为4+ …………10分