旋转矩阵(Rotation matrix)
旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的。
旋转矩阵不包括，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了
的集合。
旋转矩阵是世界上著名的专家、数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填
入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当
然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。
旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以
达到某种特定的要求。其最古老的数学命题是寇克曼女生问题：
某教员打算这样安排她班上的十五名女生散步：散步时三女生为一组，共五组。问能否
在一周内每日安排一次散步，使得每两名女生在一周内一道散步恰好一次？寇克曼于1847年提出了该问题，过了100多年后，对于一般形式的寇克曼问题的存在性才彻底解决。用1~15
这15个数字分别代表15个女生，其中的一组符合要求的分组方法是：
星期日：（1，2，3），（4，8，12），（5，10，15），（6，11，13），（7，9，14）星期一：（1，4，5），（2，8，10），（3，13，14），（6，9，15），（7，11，12）星期二：（1，6，7），（2，9，11），（3，12，15），（4，10，14），（5，8，13）星期三：（1，8，9），（2，12，14），（3，5，6），（4，11，15），（7，10，13）星期四：（1，10，11），（2，13，15），（3，4，7），（5，9，12），（6，8，14）星期五：（1，12，13），（2，4，6），（3，9，10），（5，11，14），（7，8，15）星期六：（1，14，15），（2，5，7），（3，8，11），（4，9，13），（6，10，12）
Java实现旋转矩阵算法。
矩阵旋转算法在计算机图形学中，是一种应用非常广泛的变换，是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。 首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，我们看下面矩阵数组的旋转： 算法实现代码（可在线编辑运行实例，请点击最下方的阅读原文）： public class Main { public void rotate(int[][] matrix) { if (matrix == null) return; int N = matrix.length; for (int i = 0; i < N / 2; i++) // This is the laxxxxyer for (int j = i; j < N - i - 1; j++) { // This is the offset to start
// swap int t = matrix[i][j]; matrix[i][j] = matrix[N - j - 1][i]; matrix[N - j - 1][i] = matrix[N - i - 1][N - j - 1]; matrix[N - i - 1][N - j - 1] = matrix[j][N - i - 1]; matrix[j][N - i - 1] = t; } } public static void main(String[] args) { int[][] matrix = { { 1 2 3 4 5 } { 6 7 8 9 10 } { 11 12 13 14 15 } { 16 17 18 19 20 } { 21 22 23 24 25 } }; for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {/** from N o w J a v a . c o m **/ for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) System.out.print(matrix[i][j] + " "); System.out.print("\n");
个号码中保旋转矩阵
19个号码中6保5旋转矩阵 共计：783注(金额：￥1566元) 01,05,08,11,16,19 01,02,03,04,05,06 02,06,07,10,14,18 04,05,09,12,13,18 01,05,08,15,18,19 01,02,03,04,08,14 02,06,07,10,16,17 04,05,09,12,15,17 01,05,09,10,11,16 01,02,03,04,10,18 02,06,07,11,12,17 04,05,09,13,16,17 01,05,09,10,15,18 01,02,03,04,11,15 02,06,07,13,15,16 04,05,10,11,14,19 01,05,09,12,14,18 01,02,03,04,18,19 02,06,07,17,18,19 04,05,10,13,14,16 01,05,10,11,12,14 01,02,03,05,06,10 02,06,08,09,11,16 04,05,10,13,17,19 01,05,10,11,13,18 01,02,03,05,06,18 02,06,08,10,13,17 04,05,11,15,16,17 01,05,10,12,13,15 01,02,03,05,12,18 02,06,08,11,13,14 04,06,07,08,10,16 01,05,10,13,14,19 01,02,03,06,09,12 02,06,08,11,14,15 04,06,07,08,11,17 01,05,10,13,16,17 01,02,03,07,08,09 02,06,10,12,15,18 04,06,07,09,13,17 01,05,11,12,15,17 01,02,03,07,09,16 02,06,10,13,18,19 04,06,07,11,12,15 01,05,12,13,17,19 01,02,03,07,16,19 02,06,11,12,13,19 04,06,07,11,13,16 01,05,12,16,17,18 01,02,03,08,09,10 02,06,11,12,14,15 04,06,07,12,13,19 01,06,07,08,10,11 01,02,03,10,11,12 02,06,11,14,16,19 04,06,07,12,17,18 01,06,07,08,11,12 01,02,03,11,13,17 02,06,14,16,18,19 04,06,07,14,15,16 01,06,07,09,16,18 01,02,03,12,14,15 02,07,08,09,18,19 04,06,08,09,11,19 01,06,07,11,14,18 01,02,03,13,14,15 02,07,08,10,12,14 04,06,08,09,17,18 01,06,07,14,16,17 01,02,03,16,17,18 02,07,08,10,12,18 04,06,08,11,18,19 01,06,08,09,13,15 01,02,04,05,11,16 02,07,08,11,13,17 04,06,08,12,13,14 01,06,08,10,12,15 01,02,04,06,12,17 02,07,08,15,16,17 04,06,09,10,12,15 01,06,08,11,14,16 01,02,04,06,14,16 02,07,09,10,11,19 04,06,09,10,13,14 01,06,09,12,13,19 01,02,04,06,17,18 02,07,09,10,12,13 04,06,10,14,15,17 01,06,10,11,18,19 01,02,04,07,08,15 02,07,09,11,12,15 04,06,11,15,16,19 01,06,10,13,14,17 01,02,04,07,10,13 02,07,09,11,13,18 04,06,13,15,16,18 01,06,10,14,16,19 01,02,04,07,15,19 02,07,09,12,14,16 04,07,08,09,10,13 01,06,11,12,13,17 01,02,04,07,17,19 02,07,09,14,15,17 04,07,08,09,11,17 01,06,11,14,15,16 01,02,04,08,09,16 02,07,10,11,14,19 04,07,08,09,15,18 01,06,12,15,16,18 01,02,04,08,11,14 02,07,10,13,16,19 04,07,08,13,18,19 01,06,13,15,16,19 01,02,04,09,12,15 02,07,11,13,16,18 04,07,08,14,16,19 01,07,08,10,11,15 01,02,04,10,16,18 02,07,11,15,16,18 04,07,09,10,13,14 01,07,08,10,15,19 01,02,05,06,10,18 02,07,12,14,17,18 04,07,09,12,16,19 01,07,08,12,15,16 01,02,05,07,09,19 02,07,13,14,15,16 04,07,09,14,18,19 01,07,08,12,17,19 01,02,05,07,11,15 02,07,13,14,17,19 04,07,09,15,16,18 01,07,08,13,14,19 01,02,05,08,09,11 02,08,09,10,12,18 04,07,10,11,12,15 01,07,08,13,15,16 01,02,05,08,10,16 02,08,09,10,13,15 04,07,10,11,18,19 01,07,08,14,17,18 01,02,05,08,14,19 02,08,09,11,12,14 04,07,10,14,16,17 01,07,08,17,18,19 01,02,05,09,13,17 02,08,09,12,17,19 04,07,11,12,15,18 01,07,09,10,12,17 01,02,05,09,13,18 02,08,10,11,16,18 04,07,12,13,15,17 01,07,09,10,12,18 01,02,05,09,16,19 02,08,10,13,14,17 04,07,12,13,16,18 01,07,09,10,15,16 01,02,05,10,17,19 02,08,12,13,17,18 04,08,09,10,12,16 01,07,09,11,13,14 01,02,05,12,14,18 02,08,13,14,16,18 04,08,09,15,17,19 01,07,09,12,13,16 01,02,05,13,15,16 02,08,14,15,16,18 04,08,10,11,13,18 01,07,09,14,16,18 01,02,06,07,08,19 02,08,15,16,17,19 04,08,10,12,15,17 01,07,10,11,13,18 01,02,06,07,09,15 02,09,10,12,16,18 04,08,10,14,15,18 01,07,11,12,18,19 01,02,06,07,12,16 02,09,10,16,17,19 04,08,11,12,17,19 01,07,11,16,17,19 01,02,06,08,11,14 02,09,11,13,15,17 04,08,11,13,15,16 01,07,12,14,15,19 01,02,06,08,13,18 02,09,13,14,15,19 04,08,12,13,15,19 01,08,09,10,11,18 01,02,06,09,10,14 02,09,13,16,17,18 04,08,14,15,17,19 01,08,09,10,13,19 01,02,06,09,15,17 02,10,11,12,15,19 04,09,10,11,16,19 01,08,09,10,14,17 01,02,06,10,12,13 02,10,11,13,15,16 04,09,10,17,18,19 01,08,09,11,12,18 01,02,06,10,13,16 02,10,11,14,17,18 04,09,11,12,14,17 01,08,09,11,15,19 01,02,06,11,13,15 02,10,12,15,17,18 04,09,11,13,14,15 01,08,09,13,14,17 01,02,06,11,17,19 02,11,15,17,18,19 04,09,11,16,18,19 01,08,09,14,16,19 01,02,06,12,13,14 02,12,13,14,16,17
旋转矩阵公式法
旋转矩阵公式法！一，选11个号，中了5个号，100%能组合到4个号。假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下22注，需投入44元： （1）01、05、07、09、11 （2）01、05、06、08、10 （3）01、04、06、08、09 （4）01、04、05、07、10 （5）01、03、07、08、11 （6）01、03、04、09、10 （7）01、02、06、10、11 （8）01、02、04、08、11 （9）01、02、03、06、07 （10）01、02、03、05、09 （11）02、07、08、09、10 （12）02、05、06、07、08 （13）02、04、07、09、11 （14）02、04、05、06、09 （15）02、03、05、10、11 （16）02、03、04、08、10 （17）03、06、08、09、11 （18）03、06、07、09、10 （19）03、04、05、07、08 （20）03、04、05、06、11 （21）04、06、07、10、11 （22）05、08、09、10、11 二，选11个号，中了4个号，100%能组合到4个号。假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下66注，只要132元就能搞定： （1）01、07、08、09、10 （2）01、06、07、09、11 （3）01、05、08、09、11 （4）01、05、07、10、11 （5）01、05、06、08、10 （6）01、04、09、10、11 （7）01、04、06、08、11 （8）01、04、06、07、10 （9）01、04、05、07、08 （10）01、04、05、06、09 （11）01、03、08、10、11 （12）01、03、06、09、10 （13）01、03、06、07、08 （14）01、03、05、07、09 （15）01、03、05、06、11 （16）01、03、04、08、09 （17）01、03、04、07、11 （18）01、03、04、05、10
旋转变换(一)旋转矩阵
旋转变换（一）旋转矩阵 1. 简介 计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。 2. 绕原点二维旋转 首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示： 如图所示点v 绕原点旋转θ角，得到点v’，假设v点的坐标是(x, y) ，那么可以推导得到v’点的坐标（x’, y’)(设原点到v的距离是r，原点到v点的向量与x轴的夹角是? ) x=rcos?y=rsin? x′=rcos(θ+?)y′=rsin(θ+?) 通过三角函数展开得到 x′=rcosθcos??rsinθsin? y′=rsinθcos?+rcosθsin? 带入x和y表达式得到 x′=xcosθ?ysinθ y′=xsinθ+ycosθ 写成矩阵的形式是： 尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角θ的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v’点进入到第四象限）结论仍然是成立的。 3. 绕任意点的二维旋转 绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下： 1. 首先将旋转点移动到原点处 2. 执行如2所描述的绕原点的旋转 3. 再将旋转点移回到原来的位置
也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。假设平移的矩阵是T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标v’=T(x,y)*R*T(-x,-y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行T(-x,-y)） 在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。（假设使用2x2的矩阵，是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换）。 对于二维平移，如下图所示，P点经过x和y方向的平移到P’点，可以得到： x′=x+tx y′=y+ty 由于引入了齐次坐标，在描述二维坐标的时候，使用（x，y，w）的方式（一般w=1），于是可以写成下面矩阵的形式 按矩阵乘法展开，正好得到上面的表达式。也就是说平移矩阵是 如果平移值是（-tx，-ty）那么很明显平移矩阵式 我们可以把2中描述的旋转矩阵也扩展到3x3的方式，变为：
11选5中5保4 旋转矩阵
可购买五码复式任选四 选5型中5保4 旋转矩阵10个号 1 01 0 2 0 3 05 07 2 01 02 0 3 08 10 3 01 02 06 09 10 4 01 03 04 0 5 09 5 01 03 05 09 10 6 01 04 05 06 08 7 01 04 05 07 10 8 01 06 07 08 09 9 02 03 04 06 10 10 02 03 05 06 08 11 02 04 06 07 09 12 02 04 07 08 09 13 02 05 07 08 09 14 02 05 07 08 10 15 03 04 06 07 08 16 03 06 07 09 10 17 04 05 08 09 10 选5型中5保4 旋转矩阵9个号 1 01 0 2 0 3 05 07 2 01 02 04 06 08 3 01 02 0 4 07 09 4 01 03 0 5 0 6 09 5 01 03 05 08 09 6 02 03 04 05 09 7 02 05 06 07 08 8 02 06 07 08 09 9 03 04 06 07 08 10 04 05 06 07 08 选5型中5保4 旋转矩阵8个号 1 01 0 2 0 3 07 08 2 01 0 3 0 4 0 5 08 3 01 03 0 4 06 08 4 01 03 0 5 0 6 08 5 02 04 05 0 6 07
选5型中5保4 旋转矩阵11个号 1 1 2 3 4 11 2 1 3 5 6 8 3 1 4 7 8 9 4 2 3 6 10 11 5 3 4 6 9 10 6 4 6 8 9 10 7 1 2 4 6 7 8 1 3 5 7 10 9 1 6 8 10 11 10 2 4 5 8 10 11 3 4 7 8 10 12 5 6 7 9 10 13 1 2 5 6 9 14 1 3 7 9 11 15 2 3 4 5 9 16 2 5 7 8 11 17 3 5 8 9 11 18 1 2 8 9 10 19 1 4 5 10 11 20 2 3 6 7 8 21 2 7 9 10 11 22 4 5 6 7 11
三维旋转矩阵的计算
三维旋转矩阵的计算 旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。 在三维空间中，旋转变换是最基本的变换类型之一，有多种描述方式，如Euler 角、旋转矩阵、旋转轴/旋转角度、四元数等。本文将介绍各种描述方式以及它们之间的转换。 1. 旋转矩阵 用一个3阶正交矩阵来表示旋转变换，是一种最常用的表示方法。容易证明，3阶正交阵的自由度为3。注意，它的行列式必须等于1，当等于-1的时候相当于还做了一个镜像变换。 2. Euler角 根据Euler定理，在三维空间中，任意一种旋转变换都可以归结为若干个沿着坐标轴旋转的组合，组合的个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同的坐标轴。因此，可以用三个沿着坐标轴旋转的角度来表示一个变换，称为Euler角。旋转变换是不可交换的，根据旋转顺序的不同，有12种表示方式，分别为：XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ，可以自由选择其中的一种。对于同一个变换，旋转顺序不同，Euler角也不同，在指定Euler角时应当首先约定旋转顺序。 2.1 Euler角转化为旋转矩阵 不妨设先绕Z轴旋转γ，再绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转α，即旋转顺序为XYZ，旋转矩阵
3. 旋转轴/旋转角度 用旋转轴的方向向量n和旋转角度θ来表示一个旋转，其中 θ>0表示逆时针旋转。 3.1 旋转轴/旋转角度转化为旋转矩阵 设v是任意一个向量，定义
旋转矩阵
三维旋转矩阵 三维旋转特性 给定单位向量u和旋转角度φ，则R(φ,u)表示绕单位向量u旋转φ角度。 R(0,u)表示旋转零度。 R(φ,u)= R(?φ,?u)。 R(π+φ,u)= R(π?φ,?u)。 如果φ=0，则u为任意值。 如果0<φ<π,则u唯一确定。 如果φ= π，则符号不是很重要。因为- π和π是一致的，结果相同，动作不同。 由旋转矩阵求旋转角和旋转轴 每一个三维旋转都能有旋转轴和旋转角唯一确定，好多方法都可以从旋转矩阵求出旋转轴和旋转角，下面简单介绍用特征值和特征向量确定旋转轴和旋转角的方法。 将旋转矩阵作用在旋转轴上，则旋转轴还是原来的旋转轴，公式表示如下： Ru=u 转化得： Ru=Iu =>(R?I)u=0 可以确定的是u在R-I的零空间中，角度可有下面的公式求得，Tr表示矩阵的迹： Tr(R)=1+2cosθ 从旋转轴和旋转角求旋转矩阵 假设给定单位向量u=(u x，u y， u z) T ，并且u为单位向量即： u x2+u y2+u z2=1，给定绕u旋转的角度θ，可以得出旋转矩阵R： R=[cosθ+u x2(1?cosθ)u x u y(1?cosθ)?u z sinθu x u z(1?cosθ)+u y sinθ u y u x(1?cosθ)+u z sinθcosθ+u y2(1?cosθ)u y u z(1?cosθ)?u x sinθ u z u x(1?cosθ)?u y sinθu z u y(1?cosθ)+u x sinθcosθ+u z2(1?cosθ) ] 上面的公式等价于： R=cosθI+sinθ[u]×+(1?cosθ)u?u 其中[u]×是单位向量u的叉乘矩阵，?表示张量积，I是单位向量. 这是罗德里格斯旋转方程的矩阵表示。下面给出叉乘和张量积的公式：
20个号码中6保5旋转矩阵
20个号码中6保5旋转矩阵 共计：1073注(金额：￥2146元) 01,06,08,10,11,12 01,02,03,04,05,06 02,07,08,11,15,17 04,06,09,11,12,19 01,06,08,10,14,17 01,02,03,04,05,07 02,07,08,11,16,18 04,06,09,14,17,19 01,06,08,12,13,15 01,02,03,04,09,14 02,07,08,13,14,15 04,06,09,15,19,20 01,06,08,15,16,18 01,02,03,04,18,20 02,07,08,16,19,20 04,06,09,16,18,20 01,06,09,10,11,17 01,02,03,05,08,15 02,07,09,10,11,14 04,06,10,11,13,19 01,06,09,10,12,19 01,02,03,05,10,19 02,07,09,10,19,20 04,06,10,11,14,19 01,06,09,12,16,17 01,02,03,05,12,17 02,07,09,12,13,18 04,06,11,12,16,20 01,06,09,13,14,18 01,02,03,06,09,10 02,07,09,12,15,16 04,06,11,12,19,20 01,06,09,15,17,18 01,02,03,06,15,17 02,07,09,17,18,19 04,06,11,13,16,17 01,06,10,14,15,17 01,02,03,07,08,09 02,07,10,11,19,20 04,06,11,14,15,17 01,06,10,17,19,20 01,02,03,07,16,19 02,07,10,14,16,19 04,06,13,15,16,18 01,06,11,12,14,16 01,02,03,07,17,18 02,07,10,15,18,20 04,07,08,09,10,14 01,06,11,13,17,20 01,02,03,08,12,16 02,07,11,12,14,20 04,07,08,09,12,18 01,06,11,15,18,19 01,02,03,08,16,19 02,07,12,13,16,19 04,07,08,11,15,19 01,06,12,13,14,16 01,02,03,09,13,18 02,07,12,13,17,18 04,07,08,12,13,18 01,06,12,14,15,20 01,02,03,09,19,20 02,07,13,14,16,17 04,07,08,13,17,19 01,06,14,16,19,20 01,02,03,10,11,12 02,07,13,15,18,19 04,07,08,14,18,19 01,07,08,09,11,18 01,02,03,10,13,17 02,07,13,16,18,20 04,07,09,10,11,12 01,07,08,10,11,20 01,02,03,11,12,13 02,08,09,10,11,15 04,07,09,11,19,20 01,07,08,10,12,19 01,02,03,13,14,15 02,08,09,10,11,19 04,07,09,13,17,18 01,07,08,10,18,20 01,02,03,15,18,19 02,08,09,10,13,18 04,07,09,15,18,19 01,07,08,13,15,16 01,02,03,16,17,18 02,08,09,11,12,20 04,07,10,11,12,15 01,07,08,14,16,17 01,02,03,17,18,20 02,08,09,12,14,16 04,07,10,11,14,16 01,07,09,10,13,14 01,02,04,05,12,19 02,08,09,15,16,18 04,07,10,12,14,17 01,07,09,10,15,17 01,02,04,06,07,14 02,08,09,15,17,19 04,07,10,13,19,20 01,07,09,10,17,19 01,02,04,06,11,20 02,08,09,16,17,18 04,07,10,14,16,18 01,07,09,10,18,19 01,02,04,06,15,18 02,08,10,12,16,19 04,07,10,17,18,19 01,07,09,11,12,13 01,02,04,07,08,17 02,08,10,13,14,20 04,07,11,12,13,17 01,07,09,11,15,17 01,02,04,07,09,17 02,08,10,15,16,20 04,07,11,13,16,18 01,07,09,12,14,19 01,02,04,07,10,13 02,08,11,12,13,19 04,07,11,15,17,18 01,07,09,13,15,20 01,02,04,07,11,18 02,08,11,13,18,19 04,07,12,13,16,20 01,07,09,13,17,20 01,02,04,07,13,16 02,08,12,18,19,20 04,07,14,15,16,19 01,07,09,14,15,17 01,02,04,07,17,19 02,08,13,16,17,20 04,07,15,16,17,18 01,07,09,14,16,18 01,02,04,08,09,14 02,09,10,15,17,20 04,08,09,10,14,16 01,07,10,15,16,20 01,02,04,08,11,14 02,09,10,16,19,20 04,08,09,11,17,20 01,07,11,13,14,19 01,02,04,08,12,13 02,09,11,13,15,18 04,08,09,12,15,17 01,07,11,13,15,19 01,02,04,09,12,15 02,09,11,13,15,19 04,08,09,13,19,20 01,07,11,13,17,19 01,02,04,10,16,17 02,09,11,14,17,20 04,08,10,11,12,16 01,07,11,14,15,20 01,02,04,13,14,17 02,09,12,14,17,20 04,08,10,11,13,18 01,07,11,16,17,19 01,02,04,13,15,17 02,09,13,14,15,20 04,08,10,11,18,20 01,07,12,14,16,20 01,02,04,16,18,19 02,09,14,16,18,19 04,08,10,12,17,19 01,07,13,14,18,20 01,02,04,16,19,20 02,09,15,16,17,19 04,08,10,15,17,18 01,08,09,10,13,19 01,02,05,06,07,16 02,10,13,14,16,19 04,08,11,12,16,17 01,08,09,10,15,19 01,02,05,06,09,20 02,10,14,15,17,19 04,08,11,17,19,20 01,08,09,11,12,15 01,02,05,06,10,14 02,11,12,13,15,20 04,08,12,14,19,20 01,08,09,11,13,15 01,02,05,07,11,15 02,11,12,14,15,19 04,08,13,14,15,18 01,08,09,12,14,20 01,02,05,07,12,20 02,11,12,15,16,18 04,08,14,15,17,20 01,08,09,12,17,18 01,02,05,07,15,19 02,11,12,16,17,19 04,09,10,13,14,17 01,08,09,14,15,19 01,02,05,08,09,10 02,11,13,14,17,18 04,09,10,13,15,16 01,08,10,12,14,15 01,02,05,08,09,19 02,12,13,15,17,18 04,09,10,18,19,20
三维坐标变换
第二章三维观察 1.三维观察坐标系 1.1观察坐标系 为了在不同的距离和角度上观察物体，需要在用户坐标系下建立观察坐标系x v,y v,z v(通常是右手坐标系)也称(View Reference Coordinate)。如下图所示，其中，点p0(x o, y o, z0)为观察参考点（View Reference Point），它是观察坐标系的原点。 图1.1 用户坐标系与观察坐标系 依据该坐标系定义垂直于观察坐标系z v轴的观察平面(view palne)，有时也称投影平面(projection plane)。 图1.2 沿z v轴的观察平面 1.2观察坐标系的建立 观察坐标系的建立如下图所示：
图1.3 法矢量的定义 观察平面的方向及z v轴可以定义为观察平面(view plane)N 法矢量N: 在用户坐标系中指定一个点为观察参考点，然后在此点指定法矢量N，即z v轴的正向。 法矢量V：确定了矢量N后，再定义观察正向矢量V，该矢量用来建立y v轴的正向。通常的方法是先选择任一不平行于N的矢量V'，然后由图形系统使该矢量V'投影到垂直于法矢量N的平面上，定义投影后的矢量为矢量V。 法矢量U：利用矢量N和V，可以计算第三个矢量U，对应于x z轴的正向。 的指定视图投影到显示设备表面上的过程来处理对象的描述。2.世界坐标系 在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但是计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体和二维数据联系到一起的唯一纽带就是坐标。为了使被显示的物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。该坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合被显示物体的描述。该坐标系被称为世界坐标系，世界坐标系是固定不变的。
旋转矩阵原理
旋转矩阵原理 揭秘大乐透旋转矩阵原理及算法 (2014-08-07 13:16:36) 转载? 标分类: 艺眸原创教程 签: 股票 财经 彩票 旋转 矩阵 大乐 透 摘要:本研究针对乐透型彩票模型～采用的覆盖设计数学方法～并针对传统的“恰好全部至少有一次覆盖”的简单目标向“恰好全部覆盖一次的最少成本”的目标升级。此研究的理论依据并不是概率论～是纯粹的数据组合。算法可用于研究并不仅限于乐透型彩票的选号应用～可以拓展应用于医药测试、育种等等其他领域。算法的可靠度较强～算法的 测试结果接近最优解的100%~95%,算法仅供参考学习研究～请勿用于其他目的。 关键词:彩票,旋转矩阵,覆盖设计,算法。 一、绪论
改革开放30多年来～随着人们的精神生活日益丰富～公益彩票行业也激起了广大群众的参与热情～其中原由一是出于对公益事件的支持～二是受彩票巨额奖金的吸引。众所周知～彩票的开奖结果是随机性极强的～国家也大力支持开奖过程的透明化。然而毕竟受到诸多因素限制～即便结果接近“随机”～也呈现出一定规律。这种规律的研究方法很多～较于广大彩民接受的是统计法以及概率论。对于更高层的部分“技术彩民”而言～简单的统计与概率学分析已经无法满足对研究的准确性的要求～因为相对于开奖结果数量的千万种～现有的标本才几千个根本无法作出准确的判断～于是数据的组合运筹开始得到彩民的接受与青睐～因为这种方法可以“摆脱概率”。 在彩票数据的组合之中～有一种方法叫做“聪明组合”～其目标是提高中奖机会。这种所谓的“聪明组合”就是一种数学里面的覆盖设计～简单地讲就是把“可供用于选择的数据”最少地选择～要求是“牺牲最大的胃口能满足最佳的要求”。当然不同的覆盖设计具有不同的设计目标。网络上流 行的一些“中6保5”“中5保4”之类的就是“聪明组合”的应用。 为了更好地让读者理解后文所说的“恰好全部覆盖一次的最少成本”这一概念～先讲述一下所谓的“中M保N”到底是怎么回事。 举个实例:大乐透35选5,篮球12选2的研究此处略去,～如果选择8个数～这8个数里面如果有即将开奖的5个数～现在通过一个组合～要求不管怎样～这个组合都能保证至少有一组能满足中4个,也有可能中5个,。那么～我们称这个组合叫做“大乐透选8中5保4”的“聪明组合”。比如选择的是 {01,02,03,04,05,06,07,08}～开奖结果在这8个数内～下面的组合,5注,将保证能至少有一个中4个结果。 01,02,03,05,08 01,02,04,06,07
旋转矩阵和编程
旋转矩阵 一、数学推导 如何描述三维空间中刚体的旋转，是个有趣的问题。具体地说，就是刚体上的任意一个点P(x, y, z)围绕过原点的轴(i, j, k)旋转θ，求旋转后的点)',','(z y x P 。可以用下面的表达式表达： ???? ??????=??????????z y x R z y x ''' 那么绕x 、y 、z 轴旋转θ角的矩阵为： 那么绕x 轴旋转θ，绕y 轴旋转ω，绕z 轴旋转?的矩阵可以表示为： )()()(?ωθz y x R R R R ??= 二、代码实现 1、产生单个轴的旋转矩阵 Matrix3 RotateX(float angleX ) { Matrix3 mMatrix3; /* 将角度转换为弧度 */ angleX = angleX /(180/3.14159f); /* 绕x 轴的旋转矩阵 */ mMatrix3.m[0][0] = 1.0f;mMatrix3.m[0][1] = 0.0f;mMatrix3.m[0][2] = 0.0f; mMatrix3.m[1][0] = 0.0f;mMatrix3.m[1][1] = cos(angleX);mMatrix3.m[1][2] =-sin(angleX); mMatrix3.m[2][0] = 0.0f;mMatrix3.m[2][1] = sin(angleX );mMatrix3.m[2][2] = cos(angleX ); return mMatrix3; }
同理，按照以上原理可以很容易写出RotateX、RotateY、RotateZ。 2、旋转矩阵相乘 前面的步骤我们已经得到的三个旋转矩阵，为了得到旋转矩阵R，我们将Rx、Ry和Rz相乘，这里我按照矩阵相乘的法则写了两个3*3的矩阵相乘的函数。 /* 定义两个3*3的矩阵相乘 */ Matrix3 Matrix3Multiplication(Matrix3mMatrix1,Matrix3mMatrix2) { Matrix3 mResult; int i,j; /*按照矩阵相乘的法则进行计算*/ for(i=0;i<3;i++){ for(j=0;j<3;j++){ mResult.m[i][j] = mMatrix1.m[i][0]*mMatrix2.m[0][j] + mMatrix1.m[i][1]*mMatrix2.m[1][j] + mMatrix1.m[i][2]*mMatrix2.m[2][j]; }} return mResult; } 通过这个函数我们可以得到绕任意轴的旋转矩阵： /* 通过给定绕XYZ轴的量产生旋转矩阵 */ Matrix3 Rotate(float angleX,float angleY,float angleZ) { Matrix3 m; /*依次按照绕x轴 y轴 z轴进行旋转 */ /* 相应矩阵变换为Rz*Ry*Rx */ m = Matrix3Multiplication(Matrix3Multiplication(RotateZ(angleZ),RotateY(angleY)), RotateX(angleX)); return m; } 3、得到旋转后的坐标 得到旋转矩阵后，P’就非常容易求解了，其本质就是一个3*3的矩阵和一个3*1的向量相乘的问题。得到一下代码： /* 给定旋转矩阵以及向量，返回旋转后的向量*/ Vector3 ComputeRotate(Matrix3mMatrix,Vector3vec){ Vector3 mResult;int j; for(j=0;j<3;j++){ mResult.v[j] = mMatrix.m[j][0]*vec.v[0] + mMatrix.m[j][1]*vec.v[1] + mMatrix.m[j][2]*vec.v[2]; } return mResult; }
离散数学模拟题和答案
复习要点 1.加法原理与乘法原理 2.圆排列公式与应用 3.鸽巢原理及其应用 4.容斥原理及其应用（错位排列数D n） 5.S(n，k)的意义及计算。 6.B(n，k) 的意义及计算。 7.数值函数的性质及其计算。 8.利用生成函数求解。 9.建立递推关系式。 10.求解递推关系式。 11.Pólya定理的应用。
复习题一 1. 6个男孩和6个女孩围成一个圆圈，若男孩和女孩交替就坐，有多少种方法？ 2. 考试中有15个判断“对”或“错”的答题。允许学生对某些题不回答，有多少种回答方法？ 3. （1）在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为 2 1； （2）在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为 3 1； （3）确定m n ，使得在一边长为1的等边三角形中任取m n 个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为 n 1。 4. 一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，他知道至多只需要60个小时的复习时间，他决定每天至少复习1小时。证明：无论他的复习计划怎样，在此期间都存在连续的一些天，他正好复习了13个小时。 5. 有8个人寄存帽子，问各有多少种方法交还帽子使得 (1) 没有一个人得到自己的帽子。 (2) 至少有一个人得到自己的帽子。 (3) 至少有两个人得到自己的帽子。 6. 已知数值函数 a ：a i =???????≥≤≤==6 5251 200 30i i i i b ：b i =?? ? ??≥≤≤=12 01111 .000i i i 试求：a +b ，a ?b ，S 3a ，S -2b ，△a ，a *b 。 7. 一个质点在水平方向上运动，每秒中走过的距离等于前一秒中走过距离的两倍，已知起始位置为3，第3秒钟时的位置是10，试求第i 秒钟时质点的位置。 8. 已知常系数线性递推关系： c 0a i + c 1a i -1+ c 2a i -2=6的解为a ：a i =3i +4i +2 (i ≥0)，试求c 0，c 1和c 2。 9. 设a i 是如1，1，2，3，5，6，13，21，34，…的Fibonacci 数列，证明： （1）a 0+ a 2+…+a 2i = a 2i +1 （2）a 1+ a 3+…+a 2i -1= a 2i -1 （3）a 02+ a 12+…+ a i 2=a i a i +1 10. 将n 个不同的球放入r 个不同的盒子里，盒内的球是有序的，求其分配方案数。 11. 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组里的最小数大于第二组里的最大数，问有多少种方案？
关于三维坐标转换参数的讨论
关于三维坐标转换参数的讨论 摘要:首先对坐标转换的物理意义进行解释,又把传统3个旋转角参数用反对称矩阵的3个元素代替,推出用3个和4个公共点直接计算转换参数的严密公式,在此基础上推导出严密的线性化公式。由于不用进行三角函数计算,只用简单加减乘除,也不用迭代计算,所以该模型计算速度快。 关键词:三维坐标转换;转换参数;转换矩阵;反对称矩阵;罗德里格矩阵 一、引言 三维直角坐标转换中，采用7参数Bursa2Wolf 模型、Molodensky 模型和武测模型[1 ] ,当在两坐标系统下有3 个公共点,就可惟一解算出7个转换参数;多余3个公共点时,就要进行平差计算,转换参数的初值(特别是旋转角) 的大小,直接影响平差系统稳定性和计算速度,有时使得解算的参数均严重偏离其值[2 ] 。随着移动测图系统(Mobile Mapping System ,简称MMS) 技术的成熟和应用,对运动载体(飞机、轮船、汽车等) 姿态的测量( GPS + INS) 也越来越多[3～5 ] ,任意角度的3 维坐标转换计算也越来越多。在平台上安装3 台或4 台GPS 接收机,来确定运动载体的位置和空间姿态,这时的旋转角可以说是任意的,取值范围是- 180°至180°,就需要准确计算转换参数模型,适应于任意旋转角的坐标转换。 本文在解释坐标转换的物理意义的基础上,导出3 维坐标转换7
参数直接计算的模型,以旋转矩阵的确定为核心,导出了3 点法和4 点法(两坐标系统下公共点数) ,用反对称矩阵和罗德里格矩阵性质推出的公式严密,该模型计算速度快。 二、三维坐标转换的物理意义和数学模型 1. 物理意义 如图1 所示,在两坐标系统下有4个公共点,在不同坐标系统内, 看成四面的刚体, 如图1（a) , (b)坐标转换的物理意义就是通过平移、旋转和缩放,使两个刚体大小和形状完全相同。具体过程是,设公共点1 为参考点,将图1 (b) 坐标轴和刚体平移,与对应的图1 (a) 刚体的点1 重合,如图1 (c) , 平移量为[ u v w ]T;然后以点1 为顶点,绕3 轴旋转,使两坐标系统的坐标轴平行, 以参考点为顶点的边重合,其他各边平行,两刚体是相似体,只是大小不同,如图1 ( d) ; 最后进行缩放, 使两刚体大小也相同。这样两坐标系统和3 个轴重合,原点统一,从而形成坐标系统转换。