高等代数(北大版)第4章习题参考答案
第四章 矩阵
1.设1）311212123A ?? ?= ? ???，111210101B -?? ?=- ? ???2）111a b c A c b a ?? ?= ? ???，111a c B b b c a ?? ?
= ? ???
计算AB ，AB BA -。
解 1）622610812AB -?? ?= ?
?
-?? ，400410434BA ?? ?= ? ???222200442AB BA -?? ?
-= ? ?--?? 2）222
22222223a b c a b c ac b AB a b c
ac b a b c a b c a b c ??
+++++
?=+++++ ? ?++++?
?222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ??+++++ ?
=+++++ ? ?+++++??
33()ij AB BA a ?-=， 其中
11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---， 221322a b ac a c =+-- 21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++--- 23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =-
2.计算
2
2111)310012?? ?
? ?
??
5322)42?? ?--??
113)01n
?? ??? cos sin 4)sin cos n
?
??
?-??
???
()15)2,3,111?? ?-- ? ?-??，()112,3,11?? ?
-- ? ?-?? ()11121321
223131
32
336),
,11a a a x x y a a a y a a a ???? ??? ??? ???????
2111111117)11111111---?? ?---
? ?--- ? ?---??，1111111111111111n
---??
?--- ? ?--- ? ?---??
1
08)0100
n
λλ
λ?? ? ? ??
?
解 2
2117441)310943012334???? ? ?= ? ? ? ?????
。
5
32322)4248-????= ? ?--????
。
3)采用数学归纳法，可证
1110101n
n ????= ? ?????。
事实上，当2n =时，有
2
11120101????= ? ?????，
结论成立。
当1n k =-时，归纳假设结论成立，即
11111010
1k k --????
= ? ???
??
于是当n k =时，有
1
111111111110101010
10101k
k k k --????
????????=== ? ? ? ??? ?????
????????g ，
即证1110101n
n ????
= ? ?????
成立。
4）采用数学归纳法，可证
cos sin cos sin sin cos sin cos n
n n n n ?
??
????
?--????
=
?
?????，
事实上，当2n =时，有
2
2222
cos sin cos sin cos sin sin cos 2cos sin cos sin ????
???
???
??-??
--??=
?
?-????
cos 2sin 2sin 2cos 2????-??
= ???
，
结论成立。
当1n k =-时，归纳假设结论成立，即
1
cos sin cos(1)sin(1)sin cos sin(1)cos(1)k k k k k ?????
??
?-----??
??
=
?
?--??
??，
于是当n k =时，有
1
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos k
k ???
??????
???----????
??
=
?
?
???????
g
cos(1)sin(1)cos sin sin(1)cos(1)sin cos k k k k ????????----????= ? ?--????
g 123
4x x x x ??= ???，
其中
1cos(1)cos sin(1)sin cos x k k k ?????
=---=，
同理可得
2sin x k ?=-， 3sin x k ?=， 4cos x k ?=，
因而有
cos sin cos sin sin cos sin cos n
n n n n ???
????
?--????
=
?
?????。
5）()12,3,1101?? ?--= ? ?
-??
，()123112,3,12311231-???? ? ?
--=-- ? ? ? ?---????。
6）()11
12112
2221
2
,
,1a a b x y a a b b b c ?? ? ? ???
111211222212(,,)1x a x a y b a x a y b b x b y c y ??
?
=++++++ ? ???
22
11122212222a x a xy a y b x b y c =+++++。
7）注意到
2
2111140001
0001111040001002
111100400010111100
040001---??????
? ? ?
--- ? ? ?
== ? ? ?--- ? ? ?
? ? ?---?????
?，
这意味着，若令
1111111111111111A ---?? ?---
?= ?--- ? ?---??，
则222A E =.下面对
1111111111111111n
n A ---?? ?---
?= ?--- ? ?---??
分两种情形讨论
①n 为偶数，即2n k =，于是
222()22n k k k n A A A E E ====，
②n 为奇数，即21n k =+，于是
2122()22n k k k n A A A A EA A +====，
故
1
2,22,
21n n
n E n k
A A n k -?==?=+?。
8）采用数学归纳法，可证
1
21
(1)102
0100000
n
n n n
n
n n
n n n n λλλλλλλλλ----??
??? ? ?= ? ? ? ???
??
?，
事实上，当1n =时，结论显然成立，现在归纳假设
12
31
12
1
(1)(2)(1)102
010(1)0000n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλ---------??
- ??? ? ?=- ? ? ? ???
??
?，
于是
12
3121(1)(2)(1)10102
010(1)01000000n n n n
n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ--------??
- ?
???? ? ? ?=- ? ? ?
? ? ???
?? ?
?
?，
1
21(1)2
000
n n n n
n n
n n n n λλλλλλ----??
? ?
= ? ? ??
?，
即证结论成立。
3.设1
011()m m m m f a a a a λλλ
λ--=++++L ，A 是一个n n ?矩阵，定义 1011()m m m m f A a A a A a A a E
--=++++L 。
1）2
()1f λλλ=--，211312110A ?? ?= ? ?-??
；
2）2
()53f λλλ=-+，2133A -??
= ?-??
，
试求()f A 。
解 1）2
211211100()312312010110110001f A ??????
? ? ?
=-- ? ? ? ? ? ?--??????
8242111001125312010101110001?????? ? ? ?=-- ? ? ? ? ? ?---??????513803212?? ?= ? ?--??。
2）212110()53333301f A --??????=-+
? ? ?--??????75105301512151503--??????=-+ ? ? ?--??????0000??
= ???。
4.如果AB BA =，矩阵B 就称为A 与可交换，设
1）1101A ??= ??? 2）100012312A ??
?
= ? ?
??
3）010001000A ??
?
= ? ???
求所有与A 可交换的矩阵。
解 1）若记0100A E ??=+
???，并设a b B c d ??
= ???
与A 可交换，即
01010000a b a b E E c d c d ????????????+=+ ? ? ? ? ? ??????????
???，
于是
01010000a b a b c d c d ????????= ??? ???????????，
所以
00000c d a ????
= ? ?????，
故0,,c a d b ==任意，从而所有与A 可交换的矩阵为0a b B a ??
=
???，
其中,a b 为任意常数。 2）同理，记000002321A E ?? ?=+ ? ???并设1
1122
2a
b c B a b c a b c ??
?
= ? ???
与A 可交换，即 1
111
112
2
22
2
2000000002002311311a b c a
b c E a b c a b c E a b c a b c ?
??
?
???????? ? ?
? ? ? ?+=+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????
??
?于是
1111
112
2
22
2
2000000002002311311a
b c a
b c a b c a b c a b c a b c ???????? ??? ???= ??? ??? ??? ???????????，
所以
2
22
1
1111212
122
2
22000322223233332c
c b c a b c c c b c a a a
b b b
c c c c c b c +?
???
? ?
=+
? ? ? ?+++++++?
???，
比较对应的(,)i j 元，可得
111
3a b a =-， 0b =， 0c =，
2123a c =，2112b c =，2111
2
c b c =+，
于是所有与A 可交换的矩阵为
111
111111100
33
112
2
2b a B a b c c c b c ?
?- ?
?= ? ?+ ?
??，
其中111,,a b c 为任意常数。
3）设1
112
2
2a b c B a b c a b c ??
?
= ? ???与A 可交换，即 1111
112
2
22
2
2010010001001000000a b c a
b c a b c a b c a b c a b c ????????
??? ???= ??? ??? ??? ???????????，
于是
1
111
112222
2200
00
0a b c a b c a b c a b c ????
? ?= ? ? ? ??
???，
故得
1220a a b ===,12a b c ==,1b c =。
所以所有与A 可交换的矩阵为
000a b c B a b a ?? ?= ? ???，
其中,,a b c 为任意常数。 5.设
12000000n a a A a ?? ?
?= ? ? ??
?
L L M M O M K
其中i j a a ≠（当i j ≠时）（,1,2,,i j n =L ），证明：与A 可交换的矩阵只能是对角矩阵。
证 设1112
12122
212n n n n nn x x x x x x B x
x x ??
?
?
= ? ? ???
L L M M O M K
与A 可交换，于是由 11111211111112
11221
222
22221
222
2212
12
n n n n n n n n n nn n n n n n nn a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x AB BA a x
a x a x a x a x a x ????
? ? ? ?
=== ? ? ? ? ? ?????L
L
L L M M O M M M
O M K
K
，
有
(,1,,)
i j j ij a x a x i j n ==L ，
即()0i j ij a a x -=（当i j a a ≠时）.有因为i j a a ≠，所以0()ij x i j =≠。于是，与A 可交换的矩阵B 只
能是对角矩阵
1122
nn a a a ??
? ? ? ? ??
?O 。 6.设
11
22
r r a E a E A a E ??
?
?= ? ? ??
?O ，
其中i j a a ≠（当i j ≠时）（,1,2,,i j r =L ），i E 是i n 阶单位矩阵，证明：与A 可交换的矩阵只能是准对角矩阵
1
2
r A A A ??
? ? ? ? ??
?O
，
其中i A 是i n 阶矩阵（,1,2,,i j r =L ）。
证 设
1112
12122212
r r r r rr B B B B B B B B
B B ??
? ?
=
? ? ???
L L M M O M L
与A 可交换（其中ij B 是i j n n ?阶矩阵），则由AB BA =，可得
(,1,)i i ij ij i i a E B B a E i j r ==L
当i j ≠时，由i ij ij i a B B a =及i j a a ≠，因而必有0ij B =。
于是，与A 可交换的矩阵B 只能是准对角矩阵
11
22
rr B B B ??
? ? ? ? ??
?O
，
其中ii B 是i n 阶矩阵（,1,2,,i j r =L ）。
7.用ij E 表示i 行j 列的元素（即(,)i j 元）为1，而其余元素全为零的n n ?矩阵，而
()ij n n A a ?=．证明：
1）如果1212AE E A =，那么当1k ≠时10k a =，当2k ≠时20k a =；
2）如果ij ij AE E A =，那么当k i ≠时0ki a =，当k j ≠时0jk a =，且ii jj a a =； 3）如果A 与所有的n 阶矩阵可交换，那么A 一定是数量矩阵，即A aE =。 证 1）因为
12212222112121000
000000000n n a a a a a AE E A a ???? ? ?
? ?
=== ? ? ? ? ? ????
?
L L L L M M O M M M O
M L
L
，
所以
212320n a a a ====L ，213110n a a a ====L 。
即当1k ≠时10k a =，当2k ≠时20k a =。
2）因为
j 列 12120
000
000
00000000i i ij ij j j jn ni a a AE E A i a a a a ???? ?
? ?
?
?=== ? ?
? ? ??
? ???L L
L M M M M L
L
L M M M M M M M M M M L L L 行 所以当k i ≠时0ki a =，当k j ≠时0jk a =且ii jj a a =。
3）A 与任何矩阵相乘可交换，必与ij E 相乘可交换，于是由ij ij AE E A =得
ii jj a a =（,1,2,,i j n =L ），0()ij a i j =≠
因此A 是数量矩阵。
8.如果,AB BA AC CA ==，证明：()(),A B C B C A +=+
()()A BC BC A =。
证 ()()A B C AB AC BA CA B C A +=+=+=+，
()()()()()()A BC AB C BA C B AC B CA BC A =====。
9.如果1
()2
A B E =
+，证明：2A A =当且仅当2B E =。 证 充分性.若2
B E =，因为
22211[()](2)24A B E B B E =+=++11
(22)()42
B E B E =+=+A =，所以2A A =。
必要性.若2A A =，则
11(22)()42B E B E +=+，即2111
4
42B E E +=，即证2B E =。 10.矩阵称A 为对称的，如果A A '=.证明：如果A 是实对称矩阵，且20A =，那么0A =。 证 设
1112
112
22
212
n n n n nn a a a a a a A a
a a ?? ? ?
= ? ? ???L
L M M O M L
， 则
2221112122221222222212****
**
n n
n n nn a a a a a a A a a a ??
+++
?+++ ?=
? ? ?+++?
?L L L L M M O M
L
L 。
由20A =有
22222
12,10(1
,2,,)i i ii i i in a a a a a i n +++++++==L L L ，
因而必有
12,10(1,2,,)i i ii i i in a a a a a i n +++++++==L L L ，
即证。
11.设,A B 都是n n ?对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当,A B 可交换。 证 当AB BA =时，有
()()AB A B BA AB ''''===，
所以AB 是对称矩阵。
反之，当()AB AB '=时，有
()AB AB B A BA '''===。
12.矩阵A 称为反对称的，如果A A '=-，证明：任一n n ?矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩
阵之和。
证 设A 是任一n n ?矩阵，因为111111
()()222222A A A A A A A A A ''''=
++-=++-，
且
1()2A A '+是对称矩阵，1
()2
A A '-是反对称矩阵，所以结论成立。 13.设12(0,1,2)k k k
k n s x x x k =+++=L L 2ij i j a s +-=(,1,2,)i j n =L .证明：
证 由题设知
011121
22
n n ij n n n s s s s s s a s s s ---=
L L M M O M L
11
1122
11111
222111n n n n
n n
n
n n
n n n n
n n n
n
n n
n x x x x x x x x x x x x x x x x ------++++++++++=
++++++L L
L L L L
L M
M
O M
L L L
L
1
1
1112
221
11112111111n n n n n n n n n
n
x x x x x x x x x x x x ------=
L L
L
L M M O M M M O M
L
L
2
()()()j i j i i j i j
i j
i j
x x x x x x <<<=
--=-∏∏∏。
14.设A 是n n ?矩阵，证明：存在一个n n ?非零矩阵B 使0AB =的充分必要条件是0A =。 证 充分性.若0A =，则齐次方程组0AX =有非零解
12(,,,)n X b b b '
=L ，
只要取
12
0000000n
b b B b ?? ? ?
=≠ ? ? ???
L L M M O M L
即可。
必要性.设12(,,,)0n B B B B =≠L ，使0AB =，这里12,,,n B B B L 是B 的列向量。不失一般性，设10B ≠，则由0AB =，得
12(,,,)0
n AB AB AB =L 。
因此，10AB =，即0AX =有非零解，从而
0A =。
15.设A 是n n ?矩阵，如果对任一n 维向量12(,,,)n X x x x '=L 都有0AX =，那么0A =。 证 证法1 由题设知，n 维向量空间中的所有向量都是齐次线性方程组0AX =的解，故方程组的基础解系含有n 个线性无关的解向量，所以()0rank A =，即证0A =。
16设B 为一r r ?矩阵，C 为r n ?矩阵，且()rank C r =.证明： 1） 如果0BC =，那么0B =； 2） 如果BC C =，那么B E =。
证 1）若0BC =，设()ij r r B b ?=，()ij r n C c ?=，因()rank C r =，不失一般性，可设
11110r r rr
c c c c ≠L M O M L
。
由0BC =，得
11122111122222112200(1,2,,)
i i ir r i i ir r i r i r ir rr b c b c b c b c b c b c i r b c b c b c +++=??+++=??
=??+++=?L L L L L L L L L L L L L L L
因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有惟一零解，即
120(1,2,)
i i ir b b b i r =====L L ，
因而0B =。
2） 若BC C =，则
()0BC EC B E C -=-=，
由1）知0B E -=，因此B E =。 17.证明：
()()()rank A B rank A rank B +≤+。
证 设12(,,,)n A A A A =L ，12(,,,)n B B B B =L ，则
1122()(,,,)
n n A B A B A B A B +=+++L 。
若121
,,,r i i i A A A L 与122
,,,r j j j B B B L 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有
11221
1
11222
2
r r
r r
t t i t i t i t t j t j t j A k A k A k A B l B l B l B =+++=+++L L (1,2,,)t n =L
于是
11111
1
2
2
r r r r t t t i t i t j t j A B k A k A l B l B +=+++++L L (,1,2,,)
i j n =L ，
即A B +的列向量组可由111
2
,,,,,r r i i j j A A B B L L 线性表出，故
()()()rank A B rank A rank B +≤+。
18.设,A B 为n n ?矩阵，证明：如果0AB =，那么
()()rank A rank B n +≤。
证 设B 的列向量组为12,,,n B B B L ，则
1212(,,,)(,,,)0
n n AB A B B B AB AB AB ===L L ，
故有
120
n AB AB AB ====L 。
即方程组0AX =有n 组解12,,,n B B B L 。
若()rank A r =，则12,,,n B B B L 可由n r -个线性无关的解向量线性表出，于是()rank B n r =-。因此
()()()rank A rank B r n r n +≤+-=。
19.证明：如果0k
A =，那么
121()k E A E A A A ---=++++L 。
证
21()()k E A A A E A -++++-L
212k k E A A A A A A -=++++----L L
2211()()()k k k E A A A A A A A --=+-+-++--L
E =。
即证
121()k E A E A A A ---=++++L 。
20.求1
A -，设
1)a b A c d ??= ???，1ad bc -= 1112)210110A -??
?= ? ?
-??
2233)110121A ?? ?
=- ? ?-?? 1
2
3
423124)11111026A ??
?
?
= ?- ?
?--?
?
111111115)11111111A ?? ?--
?= ?-- ? ?--?? 334306116)54212332A --??
?
?
= ?
?
???
13570
1237)001200
1A -?? ?-
?= ?
? ??? 2120032008)57181316A ??
?
?= ? ? ?----??
00110
3149)27611221A -?? ?
?
= ?- ? ?-?
? 2
10000210010)00210000210
0002A ??
?
? ?= ?
? ???
解 1）1
d b A c a --??
= ?-??
。
2）对(|)A E 作行初等变换，有
111100111100210010012210110001021101--???? ? ?→-- ? ? ? ?---????
111000
3310111011
0122100100
330033212100113
3?
? ?-?? ? ?
?→--→- ?
? ?-- ???
?-- ??
?，
所以
111033110
332113
3A -?? ? ? ?=- ? ? ?-- ??
?。
3）对(|)A E 作行初等变换，可得
223100043120110010110010121001011011-???? ? ?-→- ? ? ? ?-???? 101021100143011011010153001164001164--???? ? ?→→-- ? ? ? ?----????，
所以
1143153164A ---??
?=-- ? ?-??。
4）对(|)A E 作行初等变换，可得
1
234
1000231201001111001010260001?? ? ? ?- ? ?--??1111
001
0012510100114012001350011-??
?
- ?
→
?
-- ?
?----??
101610
2
0012510100031111000101021---?? ?- ?→ ?---- ? ?--??10
62
4
4
10
10535520001455300101021---??
?
-- ?
→ ?
--- ?
?--??
10002261617010017
52013001010210001
4
1
5
3--?? ?-- ?
→ ?-- ? ?--?
?，
所以
12261617175201310214153A ---??
?--
?= ?-- ? ?--??。
5）对(|)A E 作行初等变换，有
111110001111010011110010
11110001??
?-- ? ?-- ? ?--??11111
00000221
1000202101002201001??
?
--- ?
→ ?--- ?
?---??
1110100022110101002211001
1
002
2
11001100
22?? ? ? ?- ?→ ? ?- ? ? --???1110010
02211010
1
00221
10011
00221
11100022
2
2
2?
?- ?
? ? ?→
? ? ?
? --
-???
11111000
44441
1110100
44441
1110010
44441
1110001
44
4
4?? ? ? ?--
?→ ? ?-- ? ? --??
?，
所以
11111444411114444A 1111444411114
4
44-?? ? ? ?-- ?=
? ?-- ? ?--? ??。
6）对(|)A E 作行初等变换，有
344310001
0007512
19061101000
1003258542100100
010413069111233200010
001594399158----????
?
?
-- ? ?→
? ?
-- ? ?
? ?--????，
所以
17512193258413069111594399159A ---?? ?--
?= ?-- ? ?--??。
7）因为1A =，所以
1*13338012700120001A A ----?? ?-
?== ?- ? ???。
8）对(|)A E 作行初等变换，有
1
000210
02100
100001003200320001000
01057345718001011131600010
0012222-????
?
-
?
? ?→ ?
--- ?
? ? ?
?
----- ?
?
???
1
210032005734112222A --?? ?- ?= ?--- ?
?- ?
??。
9）因为
11213141122232421323334314243444137207351093363
3
3
6
A A A A A A A A A A A A A A A A ==-==-===-==-=-==-=-=-==-
且6A =-，所以
111710626371556263311122211112
2
2
A -??--
-
? ? ?---
?=
? ?- ? ? ?-??。
10）因为
2100010000021000100000210001000002100010000020000
1??
?
? ? ?
? ??
? 111111000024816321111010000248161110
010000248110001000024100001
2??-
-
? ? ?-- ? ? ?
→- ?
? ?- ? ? ??
?
， 所以
1
11111248163211110248161110
02481100024100
2A -??--
? ? ?-- ? ? ?
=- ? ? ?- ? ? ??
?。
21.设
00A X C
??=
???，
已知1
1
,A C --存在，求1
X -。
解 设11121
2122B B X B B -??= ???，则11
122122212211120
000
B B AB AB A E B B CB CB
C E ????????== ? ? ? ?????????。
因此
21AB E =， 220AB =
左乘1
A -，得
121B A -=， 220B =，
又由于
110CB =， 12CB E =，
左乘1
C -得
110B =， 112B C -=，
故
11
100C X
A ---??= ???。
22.设
1
210
000000000
0n n
a a X a a -?? ? ? ?= ? ? ???
L L M
M M O M L L
，
其中0(1,2,,)i a i n ≠=L ，求1A -。
解 记00n A X a ??
=
???
，其中 121000000n a a A a -?? ?
?
= ? ? ??
?
L L M M O M L
则
1
1
100n a X
A
---??= ???。
而
11112
110
00000n a a A a -----?? ?
?
= ? ? ??
?L
L M M O M L
，
故
1
11
1000100000001000n n a a X a --?? ? ? ? ?
?= ? ? ? ? ? ??
?L L M M O M M L L
。
23.求矩阵X ，设
25461)1321X -????= ? ?????，
1111112)022*********X --???? ? ?= ? ? ? ?-????，
210001111121000111012003)00110002100010
0012X ??
?? ? ? ? ?
?
?= ? ? ? ? ?
? ??
? ??
?L L L L L L M M M O M M M M M O M L L
L
，
1111114)022*********X --????
? ?= ? ? ? ?-????。
解 1）1
2546354613211221X ----????????== ? ? ???-????????22308-??= ?
??。
2）1
11111102
2110110211X ---???? ? ?
= ? ? ? ?-????
1
123631111111103632111113
3
3?? ?-?? ? ?
?=- ? ? ? ??? ?- ???111162
1110622103??
? ? ?=-- ? ?
? ???。
3）1
210001
111121000
111012000
01100021000100012X -??
??
? ? ? ? ?
?=
? ? ? ? ?
? ??
?
???L L L L L L M M M O M M M M M O M L L
L 210001
10001210001100012001100
100021000
12??
?-?? ? ? ?- ?= ? ?- ? ? ? ??
? ? ???
L L L L L M M M O M M M O M M L
L L 1
110001
1110
000001100
1
2--??
?--
? ?= ?- ? ???L L M
M M M O M M L L
。
高等代数北大版第章习题参考答案
第七章 线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）? 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）? 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。
高等代数北大版第章习题参考答案精修订
高等代数北大版第章习 题参考答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第 七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。
高等代数(北大版)第6章习题参考答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章 线性变换 1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令
高等代数(北大版第三版)习题答案III
高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
高等代数北大版第5章习题参考答案(供参考)(精品文档)
第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
??? ? ? ? ???=+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ??? ??=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ??? ? ? ??--=100210211T ，
高等代数(北大版)第章习题参考答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
最新高等代数(北大版)第5章习题参考答案
第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
??? ? ? ? ???=+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ??? ??=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ??? ? ? ??--=100210211T ，
高等代数(北大版)第4章习题测验参考答案
第四章 矩阵 1.设1）311212123A ?? ?= ? ???，111210101B -?? ?=- ? ???2）111a b c A c b a ?? ?= ? ???，111a c B b b c a ?? ? = ? ??? 计算AB ，AB BA -。 解 1）622610812AB -?? ?= ? ? -?? ，400410434BA ?? ?= ? ???222200442AB BA -?? ? -= ? ?--?? 2）222 22222223a b c a b c ac b AB a b c ac b a b c a b c a b c ?? +++++ ?=+++++ ? ?++++? ?222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ??+++++ ? =+++++ ? ?+++++?? 33()ij AB BA a ?-=， 其中 11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---， 221322a b ac a c =+-- 21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++--- 23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =- 2.计算 2 2111)310012?? ? ? ? ?? 5322)42?? ?--?? 113)01n ?? ??? cos sin 4)sin cos n ? ?? ?-?? ??? ()15)2,3,111?? ?-- ? ?-??，()112,3,11?? ? -- ? ?-?? ()11121321 223131 32 336), ,11a a a x x y a a a y a a a ???? ??? ??? ??????? 2111111117)11111111---?? ?--- ? ?--- ? ?---??，1111111111111111n ---?? ?--- ? ?--- ? ?---??
(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε 3 ) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε 2 ，ε 3 是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε 3 ，α2＝ε1＋ε 2－ε 3，α3＝ε 2＋ε 3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε 3 ）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ）1- ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
高等代数(北大版)第6章习题参考答案
第六章线性空间 1?设 MuN,证明：MRN = M、MUN = N。 证任取a eM，由MuN,得awN,所以awMDN,即证又因 MflNuM,故Mp|N = M。再证第二式，任取a^M或a已N,但MuN,因此无论哪一种情形，都有aeN,此即。但N uMU N,所以MUN = N ° 2.证明 Mp|(NUD = (MriN)U(MrU), MU(NfU) = (MUN)n(MUD。 证 VxwMCl(NUD，则在后一情形，于是 xeMflN佥 所以xe(MC\N)\J(MC\L),由此得 MCl(NUD = (MnN)U(Mri 厶)。反之，若 xw(MnN)U(MfU)，则XW MCIN或iwMCl L.在前一情形，x 已M、x已 N、因此X^N\JL.故得 xeMCl(NUE),在后一情形，因而 xeM,xeL, x^N\jL ,得 xwMCl(NU 厶)，故(MnN)U(MClDuMri(N U 厶)， 于是 Mn(NUD=(MriN)u(Mru)。 若xwMU（NDZJ ,贝ijxe M, xeNf）厶。 在前一情形 XxwMUN,且X wMU厶,因而xw（MUN）n（MUL）。 在后一情形，xwN,xwL,因而xiWUN,且XwMU厶，即Xw（MUN）n（MUL）所以（MUN）n（MUL）uMU（NUL） 故MU（Np|L） = （MUN）pl（MUL） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n>l）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A是一个nXn实数矩阵，A的实系数多项式f （A）的全体，对于矩阵的加法和数呈乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向疑的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： （?,勺2（。+ "（4+9,9+2+吧） ko （a ,勺）=（ka P込+ °： 6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： ￡。= 0 ； 7)集合与加法同6),数量乘法定义为： k。a = a ；
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结
高等代数北大版第四章矩阵知 识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第四章 矩阵（ * * * ） 一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。 二、考点精讲： （一） 基本概念及其运算 1.基本概念 矩阵—形如????? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。 （3）称??? ? ? ??=11 E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。 （5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 122221 11211 ，记?? ? ? ? ? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A 212221212111 ， 称T A 为矩阵A 的转置矩阵。 （6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型 矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。 （7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每
高等代数北大版第精选章习题参考答案
第 九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α,),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下,n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1)),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2)),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3)),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，
因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑ =j i j i ij y x a ,),(βα， α== β== 故柯西—布湿柯夫斯基不等式为 2.在4 R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1))2,3,1,2(=α,)1,2,2,1(-=β， 2))3,2,2,1(=α,)1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α,)0,1,2,3(-=β。 解1)由定义,得 012)1(32112),(=?+-+?+?=βα， 所以 2,π βα>= <。 2)因为 1813521231),(=?+?+?+?=βα， 1833222211),(=?+?+?+?=βα， 3633221133),(=?+?+?+?=βα， 22 36 1818,cos = >= <βα， 所以 4,π βα>= <。 3)同理可得 3),(=βα,17),(=αα,3),(=ββ,773,cos >= <βα， 所以 773cos ,1 ->=<βα。 3.β αβα-=) ,(d 通常为 βα,的距离，证明；
高等代数(北大版)第8章习题参考答案
第八章 λ—矩阵 1. 化下列矩阵成标准形 1）??? ? ??+-λλ λλλ λ3522 2 3 2）???? ? ? ?-+--22 2211λλλλλλλλλ 3）??? ?? ??++22)1(000 λλλ λ 4）????? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ 5）???? ? ??---+-+--+-+--+1244323534321232322 222λλλλλλλλλλλλλλ 6）??? ????? ??-----++002213300101 02602206341032λλλλλλλλλλλλλλ 解 1）对-λ矩阵作初等变换,有 A =)(λ ???? ??+-λλλλλλ352223→ ???? ? ?-+λλλ λλλ 322253→ ??? ? ??+λλλλλλ3-10-053232 → ? ?? ? ??--λλλλ3100023= B )(λ， B )(λ即为所求。 2）对-λ矩阵作初等变换,有 A =)(λ ????? ? ?-+--22 2211λλλλλλ λλλ→ ???? ? ??--22 2101λλλλ λλ→ ??? ?? ??+--)1(000001λλλλ
→ ??? ? ? ??+λλλ 2000000 1= B )(λ， B )(λ即为所求。 3）因为??? ?? ??++22)1(000 λλλλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(+λλ, D 3 = 3 2 )1(+λλ， 所以 d 1 = 1, d 2 = 12 D D = )1(+λλ, d 3 = 2 3D D = 2)1(+λλ， 从而 A =)(λ????? ? ?++22)1(000 00 λλλ λ→ ??? ?? ??+λλ+λλ2)1(000)1(0001= B )(λ， B )(λ即为所求。 4）因为???? ? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(-λλ, D 3 = 22)1(-λλ, D 4 = 44)1(-λλ， 所以 d 1 = 1,d 2 = 1 2 D D = )1(-λλ,d 3 = 2 3 D D = )1(-λλ,d 4 = 3 4 D D = 22)1(-λλ， 从而 A =)(λ????? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ
高等代数北大版第四章矩阵知识点总结
第四章 矩阵（ * * * ） 一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。 二、考点精讲： （一） 基本概念及其运算 1.基本概念 矩阵—形如???? ?? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。 （3）称??? ? ? ??=11 O E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij Λ==，称A 为对称矩阵。 （5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211，记?????? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A Λ ΛΛΛΛΛ Λ212221212111 ，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。 （6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。 （7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式， 这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记????? ? ? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A Λ ΛΛΛΛΛΛ2122212 12111 ，称为矩阵A 的伴随矩阵。 2.矩阵的三则运算
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于 A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A = 。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
最新高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，