江苏专用2018版高考数学专题复习专题7不等式第45练基本不等式练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题7 不等式 第45练 基

本不等式练习 理

1．(2016·泰州模拟)定义运算“?”：x ?y ＝x －y xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，

x ?y ＋(2y )?x 的最小值为________．

2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1

y

＝5，则x ＋y 的最大值是________．

3．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则 a ＋b

2

cd

的最

小值是________．

4．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y

＝1，且x ＋2y ＞m 2

＋2m 恒成立，则实数m

的取值范围是________．

5．函数y ＝1－2x －3

x

(x ＜0)的最小值为________．

6．(2016·盐城模拟)已知关于x 的一元二次不等式ax 2

＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1a

}，

则a 2＋b 2＋7a －b

(其中a ＞b )的最小值为________．

7．(2016·深圳模拟)已知正实数a ，b 满足1a ＋2

b

＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是

________________． 8．若a ＞b ＞0，则a 2

＋

1

b a －b

的最小值为________．

9．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4

n

的

最小值为________．

10．(2016·苏州模拟)若直线ax ＋by －1＝0(a ＞0，b ＞0)过曲线y ＝1＋sin πx (0＜x ＜2)

的对称中心，则1a ＋2

b

的最小值为__________．

11．(2016·苏州、无锡、常州三模)已知常数a ＞0，函数f (x )＝x ＋a

x －1

(x ＞1)的最小值为

3，则a 的值为______．

12．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，

y )，则PA ·PB 的最大值是________．

13．(2016·郑州第一次质量预测)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且a·c ＝b·c ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1

t

b |的最小值是________．

14．(2016·南京盐城联考)已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，

y ，不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______________．

答案精析

1. 2

2.4

3.4

4.(－4,2) 5．1＋2 6 解析 ∵x ＜0， ∴y ＝1－2x －3

x

＝1＋(－2x )＋(－3

x

)

≥1＋2

－2x ·3

－x

＝1＋26，当且仅当x ＝－6

2

时取等号， 故y 的最小值为1＋2 6. 6．6

解析 由不等式ax 2

＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1

a }可得?

??

??

a ＞0，Δ＝4－4a

b ＝0，

即ab ＝1，a ＞0，

所以a 2＋b 2＋7a －b ＝ a －b 2＋2ab ＋7

a －b

＝a －b ＋

9

a －b

≥6， 当且仅当a －b ＝3时等号成立． 7.509

解析 1a ＋2b ＝3?2a ＋b ＝3ab ?3ab ＝2a ＋b ≥22ab ?ab ≥89

，因此(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋

b ＋2＝4ab ＋2≥4×8

9＋2＝509，当且仅当2a ＝b ＝43

时，等号成立．

8．4

解析 原式＝[(a －b )＋b ]2

＋1

b a －b

≥[2 a －b b ]2

＋1

b a －b

＝4(a －b )b ＋

1

b a －b

≥24 a －b b ·

1

b a －b ＝4

(当且仅当a ＝2，b ＝2

2

时取等号)． 9.32

解析 ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2

＝a 5q ＋2a 5， 又∵{a n }是正项等比数列， ∴a 5≠0，且q ＞0， ∴q 2

－q －2＝0，

∴q ＝2或q ＝－1(舍去)． 又a m ·a n ＝4a 1， ∴a m ·a n ＝16a 2

1，a 21q

m ＋n －2

＝16a 2

1，

又a 2

1≠0，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6， 1m ＋4n ＝16(1m ＋4

n )(m ＋n ) ＝16(5＋4m n ＋n m ) ≥1

6

(5＋2 4m n ·n m )＝32

. 当且仅当4m n ＝n

m

，即m ＝2，n ＝4时取等号．

10．3＋2 2

解析 画出y ＝1＋sin πx (0＜x ＜2)的图象(图略)， 知此曲线的对称中心为(1,1)， 则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)， 所以a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0， 所以1a ＋2b ＝(1a ＋2

b

)(a ＋b )

＝1＋b a

＋2a

b

＋2≥3＋22，

当且仅当b a ＝

2a

b

时取等号． 即(1a ＋2

b

)min ＝3＋2 2.

11．1

解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0，又a ＞0， ∴f (x )＝x ＋

a x －1＝x －1＋a

x －1＋1≥2a ＋1，∴2a ＋1＝3，∴a ＝1， 此时，x －1＝1

x －1

，即x ＝2. 12．5

解析 ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．

当点P 与点A (或B )重合时，PA ·PB 为零；

当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，

∴△APB 为直角三角形， ∴AP 2

＋BP 2

＝AB 2

＝10， ∴PA ·PB ≤PA 2＋PB 22

＝10

2

＝5，当且仅当PA ＝PB 时，上式等号成立． 13．2 2

解析 ∵a，b 是互相垂直的单位向量， 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． 由a·c＝b·c＝1，得x ＝y ＝1， 即c ＝(1,1)，

∴c＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋(t,0)＋(0，1

t

)

＝(1＋t,1＋1

t

)，

∴|c＋t a ＋1

t

b|

＝ 1＋t 2

＋ 1＋1t

)2

＝

2＋2 t ＋1t ＋t 2

＋1t

2，

∵t ＞0，∴t ＋1t ≥2，t 2

＋1t

2≥2，

当且仅当t ＝1时取等号，

∴|c＋t a ＋1

t b|≥2＋4＋2＝22，

故|c ＋t a ＋1

t

b|的最小值为2 2.

14．(－∞，65

8

]

解析 因为x ＋y ＋8＝xy ≤(

x ＋y

2

)2

，

即4(x ＋y )＋32≤(x ＋y )2

， 解得x ＋y ≥8或x ＋y ≤－4(舍去)．

不等式(x ＋y )2

－a (x ＋y )＋1≥0恒成立可等价转化为a ≤ x ＋y 2

＋1

x ＋y

恒成立，

令x ＋y ＝t (t ≥8)，

且f (t )＝t 2＋1t ＝t ＋1

t

.

函数f (t )在[8，＋∞)上单调递增， 所以f (t )min ＝f (8)＝8＋18＝65

8.

所以实数a 的取值范围为(－∞，65

8]．