2018北京各区九年级第一学期期末数学新定义问题汇总

(东城)28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．

（1）当⊙O 的半径为3时， 在点P 1（1,0），P 21），P 3（

7

2

,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________； （2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；

（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，

D 两点都在AB 右侧．已知点

E ，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．

（西城）28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段

AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），

则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．

①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；

②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；

（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线

DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．

（海淀）27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA

QA

≤

≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”

． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．

（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________； （2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2

BAO ∠=

，求点B 的纵坐标t 的取值范围；

（3

）直线y b +与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长

点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．

（朝阳）28. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x 轴的正半轴上. 若点P ,Q 在线段AB 上，

且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P ,Q 的“X 矩形”. 下图为点P ,Q 的“X 矩形”的示意图. （1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为 . （2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，

① 当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过

点N 的反比例函数的表达式；

② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r 的⊙O 与它没有交点，直接写出

r 的取值范围 .

（丰台）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点

P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，

①在点P 1（12

），P 2（0，－2），P 3

0）中，⊙O 的“离心点”是 ； ②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范

围；

（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线12

1

+-

=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.

（石景山）28．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，

21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为

点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．

．

（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为

_________°；

（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角

形，求直线CD 的表达式；

（3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线x

y 3

-

=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．

（门头沟）28．以点为端点竖直向下的一条射线，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线，，我们规定：

为点 的“摇摆角”， 射线

摇摆扫过的区域叫作点 的“摇摆区域”（含

，

）.

在平面直角坐标系xOy 中，点.

（1）当点

的摇摆角为

时，请判断

、

、、属于点的摇摆区域内的

点是______________________（填写字母即可）； （2）如果过点，点

的线段完全在点的摇摆区域内，那么点的摇摆角至少为_______°； （3）⊙

的圆心坐标为

，半径为，如果⊙

上的所有点都在点的摇摆角为

时的摇摆区域

内，求的取值范围．

（怀柔）28.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点”. (1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (

21，1)、N (1，2

1

)中，

是“关系点”的 ；

(2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ， 求点P 坐标；

(3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有．．．． 一个．．

“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足 -2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．

（昌平）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为

1d ，到y 轴的

距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12

d d <，则称2d 为点P 的最大距离.

例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P 的最大距离为4. （1）①点A （2，5-）的最大距离为 ；

②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为 ； （2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；

（3）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.

（通州）25.点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0. 当⊙O 的半径为2时： （1）若点??

?

??-

0,21C ，()4,3D ，则=C d _________，=D d _________； （2）若在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标； （3）直线()03

3

>+-

=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.

备用图 备用图

（平谷）28．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．

（1）以O 为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点” ； （2）点M ,N 是一对“互换点”，点M 的坐标为(m ,n )，且(m ＞n )，⊙P 经过点M ,N ．

①点M 的坐标为(4,0)，求圆心P 所在直线的表达式；

②⊙P 的半径为5，求m －n 的取值范围．

（大兴）28. 一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点O 重合，则单位圆与x 轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与y 轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.

在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的顶点与坐标原点O 重合，α的一边与x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P 11(,)x y ,且点P 在第一象限. （1） 1x =_ __ (用含α的式子表示);

1y =____ _ (用含α的式子表示) ;

（2）将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向 旋转90?后与单位圆交于点22(,)Q x y . ①判断1y 2与的数量关系,并证明；x ②12y y +的取值范围是:_ ___.

（密云）28. 已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,

使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点. （1）当O 的半径为1时，

①点11(,0)2

P

,2(1

P ,3(0,3)P 中，O 的关联点有_____________________. ②直线l 经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线l 上.若P 是O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.

（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.

(房山) 28. 定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P （x ，y ）的纵坐标y 与其横坐标x 的差y －x 称为P 点的“坐标差”，而图形G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”. （1）① 点A （1，3） 的“坐标差”为 ；

② 抛物线233y x x =-++的“特征值”为 ；

（2）某二次函数()20y -x bx c c =++≠的“特征值”为1，点B （m ，0）与点C 分别是此二次函数的

图象与x 轴和y 轴的交点，且点B 与点C 的“坐标差”相等. ① 直接写出m = ;（用含c 的式子表示）

② 求此二次函数的表达式.

（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M （2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y x =相交于点D 、 E . 请直接写出⊙M 的“特征值”为 .