第二讲导数的运算学案

第二讲 导数的运算

一、知识要点

2. 导数的四则运算法则

（1）=±')]()([x g x f ; （2）=?')]([x f c (C 为常数);

（3）=?')]()([x g x f ； （4）='

])

()([x g x f ; 特别地，='

])

(1[

x g 3. 复合函数的导数

函数)(u f y =与)(x u ?=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ?=，其中u 称为中间变量．设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )， 函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )， 则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且=x y ' . 二、典型例题

例1 求下列函数的导数.

（1）453223-+-=x x x y （2）2(23)(32)y x x =+- （3）x e x y 2=

（4）x x y ln = （5）x e y x ln = （6） y =3x 2+x cos x

（7）y =x x 21- （8）x

e y x

= （9）x x y ln =

（10）32)2(x y -= （11）)4

cos(

x y -=π

（12）12+-=x e y （13）)1ln(x y -=

例2 （1）已知a x x f +=3)(，则=)2('f _____;（2）已知)1('2)(3f x x f +=，则=)2('f _____.

（3）已知)1('2)(23f x x x f +=，则=)2('f __________.

例3 （1）设)(x f ，)(x g 是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且0)3(=-g ，则不等式()()0f x g x <的解集为( )

(A)(3,0)(3,)-+∞ (B)(3,0)(0,3)- (C)(,3)(3,)-∞-+∞ (D)(,3)(0,3)-∞- （2）设)(x f ,)(x g 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且0)()()()(''<-x g x f x g x f ，则当b x a <<时有( )

(A))()()()(b g b f x g x f > (B))()()()(x g a f a g x f > (C))()()()(x g b f b g x f > (D))()()()(a g a f x g x f >

例4 （1） （08全国）设曲线ax

y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．

（2）（2009安徽）已知函数()f x 在R 上满足2

()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()

y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ________________.

例5 求x

e x x x

f ）（）（132

+-=的导数，并在函数曲线上求出点，使得曲线在这些点处的切线与x 轴平行.

（4）(2008广东理)设R a ∈，若函数x e y ax 3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）

A ．3->a B. 3-

>a D. 3

1-

2009()f x =________

x x y cos )1(2+= x

y 2=

)1(ln 2+=x y

（5）2sin x y =；y =

x

x

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