3.2.1 古典概型(1)
3.2.1 古典概型
练习一
一、 选择题
1、下列事件中，随机事件是( )
A 、连续两年的国庆节都是星期日
B 、国庆节恰为星期日
C 、相邻两年的国庆节，星期几不相同
D 、国庆节一定不在星期日
2、抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( )
A 、
41 B 、31 C 、83 D 、21
3、100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽到6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品、以上四个事件中，随机事件的个数是( )
A 、3
B 、4
C 、2
D 、1
4、下列正确的结论是( )
A 、事件A 的概率P(A)的值满足0＜P(A)＜1
B 、如P(A)＝0、999、则A 为必然事件
C 、灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为99%、
D 、如P(A)＝0、001、则A 为不可能事件
5、下列试验能构成事件的是( )
A 、掷一次硬币
B 、射击一次
C 、标准大气压下，水烧至100℃
D 、摸彩票中头奖
6、已知某人在某种条件下射击命中的概率是2
1，他连续射击两次，其中恰有一次射中的概率是( ) A 、
41 B 、31 C 、21 D 、4
3 7、掷一枚骰子三次，所得点数之和为10的概率是( )
A 、
61 B 、81 C 、12
1 D 、361
二、填空题
8、甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表,写出所有基本事件,并求甲被选上的概率
9、一箱内有十张标有0到9的卡片,从中任取一张,则取到卡片上的数字不小于6的概率是多少?
10、9支球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽2队进行比赛，则两洲各有一队的概率是 .
11、从1，2，3，……，9九个数字中任取两个数字.两个数字都是奇数的概率是；两个数字之和为偶数的概率是；两个数字之积为偶数的概率是 .
12、从0，1，2，3，4，5中任取3个组成没有重复数字的三位数，这个三位数是5的倍数的概率等于 .
三、解答题
13、在100000张奖券中设有10个一等奖，100个二等奖，300个三等奖、从中买一张奖券，那么此人中奖的概率是多少?
14、某城市的电话号码由五个数字组成，每个数字可以是从0到9这十个数字中的任一个，计算电放号码由五个不同数字组成的概率、
15、甲、乙二人参加知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题、
①甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?
②甲、乙二人中至少有一个抽到选择题的概率是多少?
答案：
一、选择题
1、B
2、C
3、C
4、C
5、D
6、C
7、 B
二、填空题
8、
43 9、5
2 10、9
2 11、
185，94，1813 12、0.3
三、解答题
13、答：P ＝1100000
1410C C ＝1000041 14、解：根据题意，由五个数字组成的电话号码中的每个数字可以是由0到9这十个数字中的任一个，因此所有不同的电话号码的种数为105
、另外，其中由五个不同数字组成的电话号码的个数，就是从这10个数字中任取5个出来进行排列的种数A 105，因此所求的概率
P ＝551010A ＝625189 15、解：①甲从选择题中抽到一题的可能结果有C 61个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有C 41
个，又甲、乙依次抽一题的结果共有C 101·C 91个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是：
191101416C C C C ＝15
4 ②甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C C C ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为
1-191101314C C C C ＝15
13、所求概率为1513 或：191101516C C C C +191101416C C C C +191101614C C C C ＝31+154+154＝15
13，所求概率为1513
最新古典概型练习题
古典概型练习题 2．有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．4 3 3．“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是（ ） A ． 1 B ． 2 C ．4 3 D ．54 个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取 ） 6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队则需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 （ ） A 7．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和不小于9的概率为 A ． 31 B ．185 C ．92 D ．3611 8．将一根绳子对折，然后用剪刀在对折过的绳子上任意一处剪断，则得到的三条绳子的长度可以作为三角形的三边形的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．12 9．把一枚硬币连续抛掷两次，事件A =“第一次出现正面”，事件B =“第二次出现正面”，则()|P B A =（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 10．4张卡片上分别有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．1 3 B ．12 C ．23 D ．34 11．已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ．1 B ．116 C ．14 D ．12 12．据人口普查统计，育龄妇女生男女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是（ ）
古典概型的应用
古典概型在现实生活中的应用 摘要：概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它的理论和方法几乎渗透到自然科学的各个领域。古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它的内容比较简单，应用却很广泛。本文深入理解古典概型中的一些基本概念和基本问题，概括了它的解析方法，最后列举了几种它在现实生活中的应用。掌握古典概型中的基本规律，有助于发展思维的灵活性和创造性，提高分析问题和解决问题的能力。 关键词：古典概型；概率；应用；生活 Abstract: The probability theory is a branch of mathematics which studies the law of random phenomenon from the aspect of quantity, whose theories and methods almost seep into each realm of natural science. The classical probability models play a very important role in the whole probability theory. Although its contents are not quite sophisticated, they are used extensively. In this paper, we probe the basic concepts and basic problems of classical probability models deeply, and summarize the analytical methods. Finally, we list some application examples in the real life. Mastering the basic laws is helpful to develop the flexibility and creativity of thinking and improve the capability of analyzing. Key words: classical probability models; probability; apply; life 1 引言 古典概型，也称等可能概型，是概率论发展初期的主要研究对象，这说明了它是概率论的重要组成部分，也体现了它在实际生活中的客观价值。古典概型概括了很多实际问题，有着广泛的应用。在日常生活中，我们会经常碰到一些事情不能决定，有些道理不好解释，这就需要专业知识来帮助我们。所以在平时我们要学会把一些问题归类，建立相关的模型去解决或解释它们，以起到事半功倍的效果。 2 古典概型的概念及特点
古典概型教案(绝对经典)
第5节 古典概型 【最新考纲】 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率. 【高考会这样考 】1.考查古典概型概率公式的应用；2.考查古典概型与事件关系及运算的综合 题；3.与统计知识相结合，考查解决综合问题的能力． 要 点 梳 理 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1 n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n . 4.古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. [友情提示] 1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法. 2.概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝?，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0. 基 础 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与
不发芽”.( ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”，这三个事件是等可能事件.( ) (3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( ) (4)利用古典概型可求：“从长度为1的线段AB 上任取一点C ，求满足|AC |≤1 3的概率”是古典概型.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( ) A.25 B.415 C.35 D.非以上答案 解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝615＝25. 答案 A 3.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.815 B.18 C.115 D.130 解析 ∵Ω＝{(M ，1)，(M ，2)，(M ，3)，(M ，4)，(M ，5)，(I ，1)，(I ，2)，(I ，3)，(I ，4)，(I ，5)，(N ，1)，(N ，2)，(N ，3)，(N ，4)，(N ，5)}， ∴事件总数有15种. ∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝1 15. 答案 C 4.在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大1 22，则口袋中原有小球的个数为( ) A.5 B.6 C.10 D.11 解析 设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n 个，依题意n ＋12n ＋1－n 2n ＝122，解得n ＝5. 所以原来口袋中小球共有2n ＝10个. 答案 C
古典概型(一)
3.2古典概型（一） 问题提出 两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算包括和事件、积事件，这些概念的含义分别如何？ 若事件A发生时事件B一定发生，则A B . 若事件A发生时事件B一定发生，反之亦然，则A=B. 若事件A与事件B不同时发生，则A与B互斥. 若事件A与事件B有且只有一个发生，则A与B相互对立. 2. 概率的加法公式是什么？对立事件的概率有什么关系？若事件A与事件B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B). 若事件A与事件B相互对立，则P(A)+P(B)=1. 3. 通过试验和观察的方法，可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，操作不方便，并且有些事件是难以组织试验的.因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算事件概率的通用方法. 知识探究（一）：基本事件 思考1：抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连
续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？ （正，正），（正，反）， （反，正），（反，反）； （正，正，正），（正，正，反）， （正，反，正），（反，正，正）， （正，反，反），（反，正，反）， （反，反，正），（反，反，反）. 思考2：上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件.在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？ 互斥关系 思考3：在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？ 例1：从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？ 解：所求的基本事件有6个， A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}， D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}；
(完整word版)高中数学必修三 古典概型与几何概型
古典概型与几何概型 1.1基本事件的特点 ①任何两个基本事件都是互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 1.2古典概型 1.2.1古典概型的概念 我们把具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型. 1.2.2古典概型的概率公式: 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 n 1 ，如果某个事件A 包含的结果有m 个基本事件，那么事件A 的概率()n m A P = . 1.3几何概型 1.3.1几何概型的概率公式： 在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ()积） 的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A = A P 1．从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A ． 2 1 B ． 10 3 C ． 5 1 D ． 5 2 2．甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为( ) A ． 12 B ．13 C ． 14 D ．16 3．袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A ． 11 1 B ． 33 2 C ． 33 4 D ． 33 5 4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子 朝上的面的点数分别为X ，Y ，则1log 2=Y X 的概率为( ) A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 121 D ．2 1
古典概型和几何概型练习题
1 古典概型和几何概型 一选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。） 1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是 Ａ．这100个铜板两面是一样的 Ｂ．这100个铜板两面是不同的 Ｃ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的 Ｄ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的 2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是 A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.7 3．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有一个红球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球 4．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是 A ．4030 B ．4012 C ．30 12 D ．以上都不对 5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是 A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 8 7 6．设,A B 为两个事件，且()3.0=A P ，则当（ ）时一定有()7.0=B P A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 Ｃ．B A ? Ｄ． A 不包含B 7．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于 A.21 B. 32 C.53 D.5 2 8. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 A.157 B.158 C.5 3 D.1 9. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为 A.2251 B.3001 C.450 1 D.以上全不对 10. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是. A.21 B.31 C.4 1 D.不确定 11. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是 A. 101 B.91 C.111 D.8 1 12. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A.251 1 B.2491 C.2501 D.2521
古典概型的特点及应用
古典概型的特点及应用 古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； 古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A ； 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是 n 1.若某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=n m . 例1.一栋楼房有六个单元，李明和王强住在此楼内，试求他们住在同一单元的概率． 解：李明住在这栋楼的情况也有6种，王强住在这栋楼的情况也有6种．所以他们同住在这栋楼的情况共6×6=36(种）．由于每种情况的出现的可能性相等．设事件A 表示“李明和王强住在此楼的同一单元内”，而事件A 所含的结果有6种．所以P(A)=61366=.所以李明和王强住在此楼的同一单元的概率为6 1． 点评：王强和李明住哪个单元的可能性是一样的，王强住一单元，李明可能住一至六单元的任何一单元，有6种情况；王强住二单元，李明可能住一至六单元任何一单元，依此类推，共有36种情况，即36个基本事件，并且每个基本事件的发生都是等可能的，属古典概型. 例2.甲，乙两人做出拳游戏（锤子，剪刀，布）． 求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率． 解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同的出拳方法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的．所以该游戏（试验）是古典概型，它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤．甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况．乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况．设平局为事件 A ，甲赢为事件 B ，乙赢为事件C.容易得到图. (1)平局含3个基本事件(图中的△），P(A)= 3193=．（2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙),P(B) = 3193=．(3)乙赢含3个基本事件（图中的※），P(C)=3 193=. 点评：用列举法把古典概型的基本事件一一列举出来，然后求出其中指定事件包含的基本事件数，再用公式求出指定事件的概率，注意列举时要不重不漏． 例3．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2）和，（a 1，b 2），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 2，a 2）。其中小括号内左
古典概型,几何概型深刻复习知识点和综合知识题
知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21 121 例题分析 例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 6 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ） （1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率 一、随机事件概率： 事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈
2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型
2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型 基础巩固强化 一、选择题 1．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ?α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析] ???? ?a ∥b a ⊥α?b ⊥α，故A 错； ? ??? ?a ∥b a ?α?b ∥α或b ?α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题． 2．(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.1 2 C.2 3 D.3 4 [答案] C [解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件． 其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件， ∴所求概率为P ＝46＝23 . (理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( ) A.112 B.1 18 C.136 D.7108 [答案] A [解析] 连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a 、b 、c ，则a ＋c ＝2b ，所以a ＋c 为偶数，则a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 允许重复，一旦a 、c 确定，b 也唯一确定，故a ，c 共有2×32＝18(种)，所以所求概率为18216＝1 12 ，故选A. 3．(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型 基础训练： 1．甲乙两人从{0，1，2，3，4，5}中各取一个数a,b,则“恰有a+b 3”的概率等于______________ 2.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____ 3.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 4.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 5.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲排在乙前面值班的 概率为_________ 6.一只口袋装有形状大小都相同的6只球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则2只球都是红色的概率为_______，2只球同色的概率为________，恰有一只球是白球的概率为_________ 典型例题： 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123， ，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 9．当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45?的概率是 ． 检测与反馈： 1.已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -??=-<<=>??-?? ，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈?”的概率是 ________ ． 2.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未被击毁的概率为_______ 3．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内，如果通过 大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在 附近，那么点和点到直线的距离之比约为 ． 4．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的 空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此 板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性 都一样，则他击中阴影部分的概率是__ ___． 5.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 ABCD 49A C BD D
古典概型解题技巧
古典概型解题技巧 摘要 概率论是数学学科中从数量的侧面来研究部分随机现象的规律性方面，其理论和方法渗透到了自然科学的各个领域，而古典概型是古典概率论的主要研究内容之一，也是概率论的研究中的一个经典的研究概型。古典概型的主要研究对象是等可能事件，深入研究古典概型有助于我们更好地理解概率论中一些基本的概念，掌握概率论中的基本规律，有助于我们提高分析问题和解决问题的能力。本文主要研究古典概型中的摸球问题，分球入盒问题，随机取数问题等几种模型，分析其解题思路，总结解题技巧以及思考其应用范围。 关键词：古典概型；分球入盒；摸球问题 Title Abstract Keywords：
1 古典概型简介 随机现象，是现实生活中非常常见，非常普遍的一种现象。事件的发生或者是其走向，都是由随机决定的。而这些随机性的事件都可以用概率模型来进行一定的分析，以求得相对准确的期望值。随机性虽然容易给人们生活带来一定的烦恼，但同时也是最公平的象征。在模拟计算，统计运筹中都有运用概率论的思想以及方法，所以，概率论有着明显的现实意义以及数学应用范畴。 在概率论的发展过程中，数学家们根据不同的问题，从各个不同的角度，给与了概率不同的定义和计算的方法。但是这些定义或者计算的方法往往针对的是非常具体类型的事件和情况，所以多数都有一定的缺点，常常只是经验公式。而经过长期的发展，概率论先后给出了古典概率，几何概率，统计概率，最后才给出了概率的数学定义。 在所有的随机事件中，有一类随机事件有两个明显的特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，每个结果发生的可能性相同。这类随机事件是概率论初期的研究对象，我们也把这类事件叫做古典概型。 2 古典概型的计算 我们可以根据古典概型的等可能性和有限性的特点，得出模型下的概率。古典概型的概率计算过程可以分解为三个步骤：第一，确定所研究的对象为古典概型；第二，计算样本点数；第三，利用公式计算概率。 如果本次随机事件只有有限个可能的结果，并且每一个可能的结果出现的可能性相同，则可以确定该事件为古典概型问题。假设Ω是一个古典概型的样本空间，则对事件A：P（A）=A中的样本点数/Ω中的样本点数=m/n。在计算m 和n时，经常使用排列与组合计算公式。在确定一个实验的每个基本事件发生的可能性相同的时候，往往依据问题本身所具有的某种对称性，即利用人们长期积累的关于对称性的实际经验，认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或者偏小。【1】曾宏伟古典概型的概率计算方法与应用 3．1 分球问题 分球问题一般为将n个球分别放到N个盒子中去，这需要考虑各种不同的情况，比如，这n个球是否可辨，每个盒子是否有储存球的上线。而根据这些情况的不同，解题的方法与技巧也有所不同，得到的结论更是相差巨大。所以计算时需要仔细理解该题目的各项条件。例题如下： 四个可分辨的球，随机的投入到三个不同的盒子中，试求三个盒子都不空的概率。【2】安永红古典概型问题的推广 这一类题目可以从2种不同的角度去思考： 第一种从多余球的角度，有四个不同的球，而有三个盒子，那么基本
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、 特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）， 骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去．求两人能会面的概率．
高考数学答题模板：第8讲统计和古典概型的综合问题(含解析)
第8讲统计和古典概型的综合问题 例10某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计，得到如下频率分布表： (1)求分布表中s，t的值； (2)王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这40名学生中抽取20名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？ (3)已知第一组学生中男、女生人数相同，在(2)的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？ 审题破题根据频率、频数关系求s，t→ 根据分层抽样特征求第一组抽取的学生数→ 列举第一组中所有抽样的方法→利用古典概型求解 解(1)s＝8 40 ＝0.2，t＝1－0.1－s－0.3－0.25＝0.15. (2)设应抽取x名第一组的学生，则x 4＝20 40 ，得x＝2.故应抽取2名第一组的学生． (3)在(2)的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为a1，a2,2名女生为b1，b2.按学习时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种结果，列举如下：a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2.其中既有男生又有女生被抽中的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2这4种结果，所以既 有男生又有女生被抽中的概率为P＝4 6＝2 3.
构建答题模板 第一步：定模型：根据统计知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型. 第二步：列事件：将所有基本事件列举出来(可用树状图). 第三步：算概率：计算基本事件总数n ，事件A 包含的基本事件数m ，代入公式P (A )＝m n . 第四步：规范答：要回到所求问题，规范作答. 对点训练10 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． ①用产品编号列出所有可能的结果； ②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表： 其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为6 10＝0.6，从而可估 计该批产品的一等品率为0.6.
古典概型学案(1)
3.2.1古典概型学案(1) 学习目标 1、理解基本事件、等可能事件等概念；正确理解古典概型的特点； 2、会用枚举法求解简单的古典概型问题；掌握古典概型的概率计算公式。 学习过程 一、课前准备 （预习教材P96~ P100，找出疑惑之处） 思考总结：用枚举法解决古典概型问题时要注意什么？ 二、新课导学 ※预习探究 探究任务一： 1、基本事件：． 2、等可能基本事件： 3、如果一个随机试验满足： （1）； （2）； 那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型． 探究任务二： 古典概型的概率： 如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是1 n ；如果某个事件A 包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为． ※典型例题 一、例1．枚举法 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球， (1)共有多少个基本事件？ (2)摸出的两个都是白球的概率是多少？ 例2. 一次抛掷两枚均匀硬币． （1）写出所有的等可能基本事件；
例3 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率． 三、总结提升 ※ 学习小结 利用古典概型的计算公式时应注意两点： （1）所有的基本事件必须是互斥的； （2）m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏． 1、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ ） A ．4030 B ．4012 C ．30 12 D ．以上都不对 2、盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ ） A ． 51 B ．41 C ．54 D ． 101 3．下列试验是古典概型的是（ ） Ａ．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 Ｂ．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 Ｃ．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 Ｄ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为，命中10环，命中9环，…，命中0环 4．若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本为外文书的概率为（ ） Ａ．15 Ｂ．310 Ｃ．25 Ｄ．12 5．有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为（ ） Ａ．750 Ｂ．7100 Ｃ．748 Ｄ．15100 6．从标有1、2、3、4、5、6的6张卡片中任取3张，积是偶数的概率为 ． 7.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 。 8.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这 2 张纸片数字之积为偶数的概率 为 。 9.同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为 ； 点数之和大于9的概率为 。 10.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是 。 11.先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为 。 12．同时掷两个骰子，计算： (I)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和中5的结果有多少种?概率是多少? (3)向上的点数之和小于5的概率是多少?
高考文科数学练习题古典概型与几何概型
时跟踪检测（五十九） 古典概型与几何概型 1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( ) A.25 B.35 C.13 D.23 解析：选B 从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率 为P ＝m n ＝610＝35 .故选B. 2．(2019·合肥质检)某小组有男生8人，女生3人，从中随机抽取男生1人，女生2人，则男生甲和女生乙都被抽到的概率为( ) A.16 B.18 C.112 D.124 解析：选C 某小组有男生8人，分别记为M 甲，M 2，M 3，M 4，M 5，M 6，M 7，M 8，女生3人，分别记为W 乙，W 2，W 3.从中随机抽取男生1人，女生2人的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙，W 3)，(M 甲，W 2，W 3)，…，(M 8，W 乙，W 2)，(M 8，W 乙，W 3)，(M 8，W 2，W 3)，共24个，男生甲和女生乙都被抽到的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙， W 3)，共2个，所以男生甲和女生乙都被抽到的概率为224＝112 .故选C. 3．(2019·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：选C 在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32,34,52,54,23,25,43,45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25,45，共2个，故所求概 率P ＝28＝14 ，选C. 4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.3π10 B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20 解析：选D 直角三角形的斜边长为82＋152＝17， 设内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3. ∴内切圆的面积为πr 2＝9π，
古典概型知识点总结
知识点：古典概型 目录知识点总结常见考法误区提醒 知识点难易度 (中) 知识点总结 本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。 1、古典概型 （1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。 （2）特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性 （3）古典概型的解题步骤； ①求出试验的总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数； 2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。 常见考法 本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。 误区提醒
在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。 【典型例题】 例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率． 解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44＝256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB与△COD不同色，它们共有4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率 例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品． 解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有62＝36(种)不同取法．
古典概型
古典概型教学设计 一、教材分析 1、教材地位、作用 本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.1节古典概型。它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前，学生还未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，能解释生活中的一些问题。因此本节课的教学重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。 2、学情分析 学生基础一般，但师生之间，学生之间情感融洽，上课互动氛围良好。他们具备一定的观察，类比，分析，归纳能力，但对知识的理解和方法的掌握在一些细节上不完备，反映在解题中就是思维不慎密，过程不完整。 二、教学目标 1、知识与技能目标 ⑴理解等可能事件的概念及概率计算公式；⑵能够准确计算等可能事件的概率。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到等可能性事件的概念及其概率公式，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。 3、情感态度与价值观 概率问题与实际生活联系紧密，学生通过概率知识的学习，可以更好的理解随机现象的本质，掌握随机现象的规律，科学地分析、解释生活中的一些现象，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。 三、重点、难点 重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 四、教学过程 采用如下流程： 1、创设情境提出问题 师：在考试中遇到不会做的选择题同学们会怎么办？在你不会做的前提下，蒙对单选题容易还是蒙对不定项选择题容易？这是为什么？ 【设计意图】通过这个同学们经常会遇到的问题，引导学生合作探索新知识，符合“学生为主体，老师为主导”的现代教育观点，也符合学生的认知规律。随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望，使课堂的有效思维增加。 2、抽象思维形成概念 师：考察试验一“抛掷一枚质地均匀的骰子”，有几种不同的结果，结果分别有哪些？ 生：在试验中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”。 师：我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。 师：考察试验二“抛掷一枚质地均匀的硬币”有哪些基本事件？ 生：在试验中基本事件有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”。 师：那基本事件有什么特点呢？ 问题：（1）在“抛掷一枚质地均匀的骰子”试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？ （2）事件“出现偶数点”包含了哪几个基本事件？ 由如上问题，分别得到基本事件如下的两个特点： （1）任何两个基本事件是互斥的；
古典概型与几何概型的区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别 在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。 一、古典概型和几何概型的意义 （一）.几何概型的定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 1.几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个 ．．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2.几何概型求事件A的概率公式： P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) （二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍
1. 古典概型的特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2. 古典概型求事件A的概率公式： P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别 几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。 三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模 题组一： 情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率 情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？ 情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？