三角函数解三角形专题
三角函数解三角形专题
一．解答题（共33小题）
1．设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围．
2．已知函数f（x）=4sinx?sin（x+）﹣1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
3．已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．
4．已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
5．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若x=x0（x0∈[0，]）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．
6．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若α是第一象限角，且f（α+）=，求tan（α﹣）的值．
7．已知函数．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．
8．已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．
9．已知函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x．
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（II）求函数f（x）在区间[0，]的最大值及所对应的x值．
10．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
11．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零点；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
12．已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．
13．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣2
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=（C）=﹣1，若2sinA=sinB，求△ABC的面积．
14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若sin（）cos（）﹣sin2（）=，求cosC的值．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c=1，cosA=，
△ABC的面积为2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．
16．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，
（1）若C=，△ABC的面积为，求a的值；
（2）求的值．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；
（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣b）?cosC=c?cosB．（1）求角C的大小；
（2）若c=2，△ABC的面积为，求该三角形的周长．
19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求C．
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b﹣a）sinB+（2a﹣b）sinA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．
21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角B的大小；
（2）若a+c=2，求b的数值范围．
22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC，角A为锐角．
（1）求sinA与a的值；
（2）求b的值及三角形面积．
23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=．
（Ⅰ）求tanC的值；
（Ⅱ）求tan（2C﹣）的值．
24．在△ABC 中，角A，B，C 为三个内角，已知A=45°，cos B=．
（Ⅰ）求sin C的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB 的中点，求CD的长及△ABC 的面积．
25．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求△ABC周长的最小值．
26．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知3a2=3b2+3c2．（1）求A；
（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．
27．已知圆O的半径为2，它的内接三角形ABC满足c2﹣a2=4（c﹣b）sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求三角形ABC面积S的最大值．
三角函数解三角形专题
参考答案与试题解析
一．解答题（共33小题）
1．设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围．
【解答】解：f（x）=cos2x+sin2（x+）．
?f（x）=cos2x+
?f（x）=cos2x+sin2x+
?f（x）=sin（2x+）+，
（1）最小正周期，
∵sinx单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）
∴2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）
解得：x∈[，]，（k∈Z）
∴f（x）的最小正周期为π；单调递增区间为[，]，（k∈Z）（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+）+
∵x∈[﹣，），
∴2x∈[，]，
由三角函数的图象和性质：
可知：当2x=时，f（x）取得最小值，即=0．
当2x=时，f（x）取得最大值，即．
∴x∈[﹣，）时，f（x）的取值范围在．
2．已知函数f（x）=4sinx?sin（x+）﹣1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵f（x）=4sinx?sin（x+）﹣1，
=4sinx（sinx+cosx）﹣1，
=2sin2x+sin2x﹣1
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣），
∴函数f（x）的最小正周期T=．
（2）∵x∈[﹣，]，
∴2x﹣∈[﹣，]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，
∴f（x）=2sin（2x﹣）在区间[﹣，]上的最大值为，最小值为﹣2．
3．已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），
化简可得：f（x）=sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1
=﹣cos2ax+sin2ax+1
=2sin（2ax﹣）+1
∵函数的最小正周期为．即T=
由T=，可得a=2．
∴a的值为2．
故f（x）=2sin（4x﹣）+1；
（Ⅱ）x∈[0，]时，4x﹣∈[，]．
当4x﹣=时，函数f（x）取得最小值为1﹣．
当4x﹣=时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3
∴f（x）在[0，]上的最大值为3，最小值为1．
4．已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+），
=，
由于函数的最小正周期为π，
故ω==1，
（Ⅱ）所以：f（x）=，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
由于x在区间[0，]上，
所以：函数的单调递增区间为：[]．
函数的单调递减区间为：[]．
5．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若x=x0（x0∈[0，]）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．
【解答】解：函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R
化简可得：f（x）=cos2x+sin2x+sin（x﹣）cos（x﹣），
=﹣cos2x+sin2x+sin﹣cos2x
=sin2x﹣cos2x+
=2sin（2x﹣）．
（Ⅰ）∴f（x）的最小正周期T=
值域为：[，]．
（Ⅱ）令f（x0）=0，可得sin（2x0﹣）=＜0
∵x0∈[0，]，
∴2x0﹣∈[﹣，0]，
cos（2x0﹣）=
那么：sin2x0=sin[（2x0﹣）﹣]=sin（2x0﹣）cos（）﹣cos（2x0﹣）
sin=．
6．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若α是第一象限角，且f（α+）=，求tan（α﹣）的值．
【解答】解：（1）f（x）=sin（x﹣）+cosx
=
=
=
所以：函数f（x）的最小正周期为：
（2）由于f（x）=
则：f（）=sin（）=cosα=
由于α是第一象限角
所以：sinα=
则：
则：tan（α﹣）=
7．已知函数．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．
【解答】解：（Ⅰ）==，∴f（x）的最小正周期是π；
（Ⅱ）∵，
∴0≤2x≤π，
∴，
当时，f（x）max=2．
当时，f（x）min=﹣1．
8．已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．
【解答】解：（Ⅰ），
=+1，
=2sin（2x+）+1，
所以函数的最小正周期T=．
（Ⅱ）由于，
则：，
所以，
即，
所以函数的值域为f（x）．
9．已知函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x．
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（II）求函数f（x）在区间[0，]的最大值及所对应的x值．
【解答】解：（I）由已知得=．
所以函数f（x）的最小正周期T=π．
由，
得，
所以函数f（x）的单调增区间为．
（II）当，则，
∴．
故函数f（x）的最大值为，
由2x﹣=﹣得x=0，故函数f（x）在区间[0，]的最大值及所对应的x值是0．
10．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．
化简可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∴函数f（x）的最小正周期T=，
（2）由（1）可知，f（x）=sin（2x+），
∵x∈[﹣，]上，
∴2x+∈[]，
∴sin（2x+）∈[﹣1，]．
故得函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为1，．
11．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零点；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：函数．
化简可得：f（x）=4sinx（cosx+sinx）﹣
=2sinxcosx+2sin2x﹣
=sin2x+
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣）
（Ⅰ）∴函数f（x）的最小正周期T==π，
令，
即
∴函数f（x）的零点是．
（Ⅱ）∵，
∴．
∴当，即时，函数f（x）的最小值为；
当，即时，函数f（x）的最大值为2．
∴f（x）在区间上的最大值为2，最小值．
12．已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，
f（x）=．
=，
=，
=，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：（k∈Z）．
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，
则：（0＜A＜π），
解得：A=，
利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．
解得：bc=1
所以△ABC的面积为：．
13．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣2
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=（C）=﹣1，若2sinA=sinB，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x+cos2x﹣1=sin2x+cos2x﹣1=sin （2x+）﹣1，
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
得﹣+kπ≤x≤+kπ，
∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
（2）由2f（C）=﹣1，得sin（2C+）=，
∵0＜C＜π，∴＜2C+＜，
∴2C+=，即C=．
又2sinA=sinB，即b=2a；
由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=3a2=3，
∴a=1，b=2．
==．
∴S
△ABC
14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若sin（）cos（）﹣sin2（）=，求cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA+sinC，
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinC=﹣sinC，
又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=﹣1，可得cosB=，
∵B是三角形的内角，B∈（0，π），
∴B=；
（Ⅱ）∵sin（）cos（）﹣sin2（）=，
∴，
∴，即，
∴．
∵B=，
∴cosC====．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c=1，cosA=，△ABC的面积为2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．
【解答】解：（Ⅰ）由cosA=，0＜A＜π，得sinA=，
∴S=，即bc=6．
又，
解得a=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos2A=，
sin2A=2sinAcosA=，
故cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin
=．
16．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，
（1）若C=，△ABC的面积为，求a的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，则：利用正弦定理得：a=2b．
∵，
所以：，
解得：．
（2），
=﹣4（1﹣cosC），
=．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；
（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，由，
由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，
可得：2acsinB=2abcosC．
由正弦定理：2sinCsinB=2sinBcosC
∵0＜B＜π，sinB≠0，
∴2sinC=2cosC，
即tanC=，
∵0＜C＜π，
∴C=．
（2）由bsin（π﹣A）=acosB，
∴sinBsinA=sinAcosB，
∵0＜A＜π，sinA≠0，
∴sinB=cosB，
∴，
根据正弦定理，可得，
解得c=1，
∴
．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣b）?cosC=c?cosB．（1）求角C的大小；
（2）若c=2，△ABC的面积为，求该三角形的周长．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理知===2R，
又因为（2a﹣b）?cosC=c?cosB，
所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，
即2sinAcosC=sinA；………………（4分）
∵0＜A＜π，∴sinA＞0；
∴cosC=；………………（6分）
又0＜C＜π，∴C=；………………（8分）
=absinC=ab=，
（2）∵S
△ABC
∴ab=4 ………………（10分）
又c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=4，
∴（a+b）2=16，
∴a+b=4；
∴周长为6．………………（14分）
19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求C．
【解答】解：（Ⅰ）因为（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，
所以a2+c2﹣b2=﹣ac．…..（2分）
由余弦定理得，，…．（4分）
因此，B=120°．…..（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A+C=60°，
所以：cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC …..（7分）
=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC …..（8分）
=cos（A+C）+2sinAsinC …..（9分）
==，…..（10分）
故A﹣C=30°或A﹣C=﹣300，
因此，C=15°或C=45°．…..（12分）
20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b﹣a）sinB+（2a﹣b）sinA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且2csinC=（2b﹣a）sinB+（2a﹣b）sinA．
整理得：2c2=（2b﹣a）b+（2a﹣b）a，
即：b2+a2﹣c2=ab，
则：，
由于：0＜C＜π，
则：C=．
（Ⅱ）由于：sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，
则：sinC+sin（B﹣A）=sin（A+B）+sin（B﹣A），
整理得：sinBcosA=2sinAcosA，
所以：cosA=0，或sinB=2sinA．
（1）当cosA=0时，A=，c=2
则：b=，
所以：．
（2）sinB=2sinA，
即：b=2a，
利用余弦定理得：，
解得：，
所以：．
所以：．
21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角B的大小；
（2）若a+c=2，求b的数值范围．
【解答】解：（1）在△ABC中，=，
由正弦定理可得=，
即为c2+a2﹣b2=﹣ac，
可得cosB==﹣，
0＜B＜π，可得B=；
（2）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accos
=（a+c）2﹣2ac+ac=4﹣ac=4﹣a（2﹣a）=（a﹣1）2+3，
由0＜a＜2，可得b2∈[3，4），
可得b的范围是[，2）．
22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2A=﹣，c=，
sinA=sinC，角A为锐角．
（1）求sinA与a的值；
（2）求b的值及三角形面积．
【解答】解：（1）∵sinA=sinC，
∴a=c=3．
∵cos2A=1﹣2sin2A=﹣，
∴sinA=．
（2）∵A是锐角，∴cosA=，
由余弦定理得：cosA=，即=，
解得b=5．
=bcsinA==．
∴S
△ABC
23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=．（Ⅰ）求tanC的值；
（Ⅱ）求tan（2C﹣）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵A=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccos，
∴b2﹣a2=bc﹣c2，
又b2﹣a2=c2．
∴bc﹣c2=c2．
∴b=c．可得b=c，
∴a2=b2﹣c2=c2，即a=c．
∴cosC==．
∵C∈（0，π），
∴sinC==．
∴tanC==2．
（Ⅱ）tan2C===﹣，
∴tan（2C﹣）===7．
24．在△ABC 中，角A，B，C 为三个内角，已知A=45°，cos B=．
（Ⅰ）求sin C的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB 的中点，求CD的长及△ABC 的面积．
【解答】解：（I）∵cosB=，B∈（0°，180°），
∴sinB==．
∴sinC=sin（B+45°）=sinBcos45°+cosBsin45°=．
（II）由正弦定理可得，可得b=6．
由（I）可得：cosB=，∴B＜45°，
∴B+A＜90°，
∴C＞90°，
∴cosC=﹣=﹣．
由由余弦定理可得：AB2=（6）2+102﹣2×6×10cosC=196，解得AB=14．在△ACD中，CD2=（6）2+72﹣2××7cos45°=37，
∴CD=．
△ABC 的面积S=
25．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求△ABC周长的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵=，
三角函数解三角形综合
1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0． （1）求函数f（x）的表达式； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 解：（Ⅰ）． 依题意：函数． 所以． ， 所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0． ． （Ⅱ）∵，∴ ．． 在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． （I）求y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，
∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为； （Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴， 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1， 此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π： （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值． 【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2． 则f（x）=2sin（2x）﹣1； （2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=． 而=ac?cosB=，∴ac=3．
三角函数与解三角形练习题
三角函数及解三角形练习题 一．解答题（共16小题） 1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小． 2．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π． （Ⅰ）求cosθ； （Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域． 3．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点． （Ⅰ）数a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间． 4．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域． 5．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值． 7．已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若∥，求x的值； （2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 8．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值围． 9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值． 10．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值； （Ⅱ）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值． 11．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．
三角函数与解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离 是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα== ， ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换
4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值
高中数学三角函数、解三角形知识点
三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．
三角函数-解三角形的综合应用
学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析
教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科 教 学 效 果 分 析
高考数学三角函数与解三角形练习题
三角函数与解三角形 一、选择题 （2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ =-∈ B ．()26k x k Z ππ =+∈ C ．()212 k x k Z ππ =-∈ D ．()212 k x k Z ππ =+∈ （2016·9）若3 cos( )45 π α-=，则sin 2α =（ ） A ． 725 B ．15 C ．1 5 - D ．7 25 - （2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB =1，BC ，则AC =（ ） A ．5 B C ．2 D ．1 （2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] （2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ） A ．45 - B ．35 - C ．35 D ．45 （2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且()()f x f x -=， 则（ ） A ．()f x 在(0,)2π 单调递减 B ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C ．()f x 在(0,)2π 单调递增 D ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 （2017·14）函数()23sin 4f x x x =- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4 5 A = ，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. （2013·15）设θ为第二象限角，若1 tan()42 πθ+=，则sin cos θθ+=_________. （2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题
三角函数与解三角形-专题复习
专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 第二定义：设 是任意角，它的终边上的任意一点 P(x,y)，则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 .
二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角，且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知α是三角函数的内角，且3 1 tan -=α，求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α（1）求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.
三角函数与解三角形
课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、
7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足
必修四三角函数与解三角形综合测试题(基础含答案)
必修四三角函数与解三角形综合测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）
2019年三角函数和解三角形大题
2018-2019学年高三一模理分类---三角函数和解三角形 海淀（理） (15)（本小题满分13分） 已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+ (Ⅱ)求a 的值； (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间． 文）已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+的图象经过点(O,l)，部分图象如图所示． (I)求a 的值； (Ⅱ)求图中0x 的值，并直接写出函数()f x 的单调递增区间． 朝阳 （理）15．（本小题满分13分） 在ABC △中，a ，120A ∠=?，ABC △b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos 2B 的值． （文）15.（本小题满分13分） 已知函数2 ()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求( )3 f π 的值及()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值． 石景山
（文 理）15. （本小题13分） 在ABC △中，角A B C ， ，的对边分别为a b c ，， ，b=3c =，1 cos 3 B=-． （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积． 丰台 （理）15．（本小题13分） 已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a π =--+∈R ，且()03 f π=. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值. 延庆 （理）15.（本小题满分13分） 如图，在ABC ?中，点D 在BC 边上，cos ADB ∠=，3cos =5 C ∠，7AC =． sin CA D ∠（求Ⅰ）的值； （Ⅱ）若10BD =， 求AD 的长及ABD ?的面积． 怀柔 15．（本小题满分13分） 在 中，角，，所的对边分别是a ，b ，c ， ， ． （Ⅰ）求边c 的值； （Ⅱ）若，求 的面积． 门头沟 A D B C
三角函数与解三角形(师)
三角函数与解三角形 一、 y=Asin （ωx+φ）函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ω?=+，由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换： sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ， 因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--， 因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-， 所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-， 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ． （Ⅰ）求2( )3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-， 1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin : 2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做例题一：在△ ABC中，内角A , B , C所对的边分别为a , b , c，已知m n cosC,cos A，且m n . (1)求角A的大小； (2 )若b c 5 , △ ABC的面积为3，求a . n,AB 4 , BC .17，点D 在AC 边上，且cos (1 )求BD的长； (2)求△ BCD的面积. 例题三：△ ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c，已知a 2c cosB bcosA 0 .a,c 2b , 例题二：如图，在厶ABC中, (1 )求B ; (2)若b 3 , △ ABC的周长为3 2 3，求△ ABC的面积. 例题四：已知函数f x cos2 x 2 3 sin xcosx sin2 x . (1)求函数y f x的最小正周期以及单调递增区间； (2)已知△ ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若fC 1，c 2，sinC sin B A 2sin 2A，求△ ABC 的面积. 例题一：【答案】(1) A -; (2) a .13 . 3 【解析】(1)由m n ，可得 m n 0 ,艮卩2b cos A acosC ccosA , 即 2sin B cos A sin AcosC sin C cosA ，即 2sin BcosA sin A C , ?/ sin A C sin n B sin B , / ? 2sin B cosA sin B ，即 sin B 2cos A 1 0 , ?/ 0 B n, ? sin B 0 , ? cosA 1 2 ?/ 0 A n, ? A n . 3 (2) 由S A ABC J /3，可得 S A ABC 1 - bcsin A 3 , ? bc 4 , 2 又b c 5 , 由余弦定理得 2 .2 a b 2 2 c 2bccosA b c 3bc 13 ? a 13 . 例题二：【答案】(1) 3; ( 2) 4 2 . 【解析】(1)在△ ABD 中, ■/ cos ADB 1 ,? sin ADB 3 22 3 ， BD AB ABsi n BAD 4 2 -Z 3 由正弦疋理一 ,? BD sin BAD sin ADB ' sin ADB 2 2 3 (2) ?/ ADB CDB n, 1 cos ADB -. 3 2 1 得 17 9 CD 2 2 3CD -,解得 CD 4或 CD 2 (舍). 3 2 例题三：【答案】(1) B 2 n; (2) S\ABC ??? △ BCD 的面积S -BD CD sin CDB 2 22 3 3.3 4 二 cos CDB cos n ADB 二 sin CDB sin n ADB sin ADB CDB 在厶BCD 中，由余弦定理 BC 2 3 2 BD 2 2 CD 2 2BD CD cos CDB ， 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+ 三角函数与解三角形 1.已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间??????0，2π3上的最小值. 2.(2019·济南调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值. 3.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝1 7，求△ABC 中线AD 的长. 4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长. 5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B 2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小； (2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 6.(2019·信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小； (2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值. 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形单元综合检测 （三）理 一、选择题(每小题5分,共45分) 1sin,则2sin2-1=() A.B.-C.D.± 1.B【解析】由已知得cos θ=,所以2sin2-1=-cos θ=-. 2.已知cos 31°=a,则sin 239°·tan 149°的值是() A.B.C.D.- 2.B【解析】sin 239° tan 149°=sin(270°-31°)tan(180°-31°)=(-c os 31°)(-tan 31°)=sin 31°=. 3y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图所示,则 φ=() A.B. C.D. 3.D【解析】由题可知=3-1?T=8,所以ω=.由函数图象过点(1,1),将其代入函数式,解得 φ=. 4a,b,c为三角形ABC三边,a≠1,b 5.D【解析】由f(x)=cos 2x向左平移个单位得到的是g(x)=cos 2,则g=cos 2=cos π=-1. 6.已知tan(π-α)=-2,则=() A.-3 B. C.3 D.- 6.D【解析】根据tan(π-α)=-2可得tan α=2,从而 =-. 7.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是() A.B.C.D. 7.B【解析】利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C得a2≤b2+c2-bc,变形得b2+c2-a2≥bc,∴cos A=,又∵A为三角形的内角,∴A的取值范围是. 8ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,△ABC的面积为,则C= () A.30° B.45° C.60° D.75° 8.C【解析】∵△ABC中,∠B=30°,AC=1,AB=,由正弦定理可得,∴sin ∠C=,∴∠C=60°或120°,当∠C=60°时,∠A=90°;当∠C=120°时,∠A=30°.当∠A=90°时,∴△ABC的面积为·AB·AC=;当∠A=30°时,∴△ABC的面积为·AB·AC·sin ∠A=,不满足题意,则∠ C=60°. 9.已知f(x)=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ(θ∈R)的图象关于y轴对称,则sin 2θ+cos 2θ的值为() A.B.2 C.D.1 9.D【解析】∵f(x)=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ(θ∈R)的图象关于y轴对称,∴y=f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),∴(-x)2+(sin θ-cos θ)(-x)+sin θ=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ,∴sin θ-cos θ=0,即sin θ=cos θ,∴sin 2θ+cos 2θ=2sin2θ+cos2θ-sin2θ=sin2θ+cos2θ=1. 二、填空题(每小题3分,共15分) 10ABC中,已知角C=,a2+b2=4(a+b)-8,则边c=. 10.2【解析】由a2+b2=4(a+b)-8得(a-2)2+(b-2)2=0,所以a=2,b=2,由余弦定理得 c2=a2+b2-2ab cos=4+4-2×2×2×=4,所以c=2. 11.已知tan α=2,tan(α+β)=,则tan β的值为.最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高考真题：三角函数及解三角形综合
三角函数及解三角形知识点总结
2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做
高考专题; 三角函数、解三角形综合问题
解三角形与三角函数专题
三角函数及解三角形知识点总结
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形单元综合检测(三)理