湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期末考试(理)数学试题

高二数学（理）

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项 是符合题目要求的).

1.已知复数z 满足(34)25i z +=，则z =（ ） A ．34i -- B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +

2.在ABC ?中，“sin 2

A >

”是“3A π>”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4.双曲线

22

1124

y x -=的焦点到渐近线的距离为（ ）

A ．1

B ．2 D ．5.已知三向量(2,1,3),(1,4,2),(3,2,)a b c λ=-=--=

共面，则实数λ等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6.曲线32y x x =-在点(1,1)-处的切线倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°

7.6把椅子摆成一排，3人就座，三人全相邻的坐法种数为（ ） A ．18 B ．24 C ．48 D ．72 8.若函数(),()f x g x 满足

1

1

()()0f x g x dx -=?，则称(),()f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数，给出三组

函数：①()sin ,()cos f x x g x x ==；②()1,()1f x x g x x =+=-；③2

(),()f x x g x x ==其中为区间

[]1,1-的正交函数的组数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9.如图，四个完全相同的长方体排成一个直四棱柱：每个长方体底面为边长1的正方形，侧棱AB 长为2，

(1,2)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1,2)i AB AP i =

的不同值的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

10.椭圆

22

13627

x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ?的内切圆面积为π，设A B 、两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为（ ）

A ．103 C ．53 D ．4

11.可导函数()()f x x R ∈满足()()f x f x '>，则当0a <时，()f a 和(0)a e f 大小关系为（ ） A ．()(0)a f a e f < B ．()(0)a f a e f > C ．()(0)a f a e f = D ．()(0)a

f a e f ≥ 12.设0,0a b >>，下列命题一定正确的是（ ）

A ．若3233a b a b +=+，则a b <

B ．若3233a b

a b +=+，则a b > C ．若3233a b a b -=-，则a b < D ．若3233a b

a b -=-，则a b >

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ，若点M 到该抛物线焦点的距离为4，则OM =________．

14.类比平面几何中的定理：若直角三角形ABC 中的两边,AB AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足

222AB AC BC +=．若三棱锥P ABC -的三个侧面,,PBC PAC PAB 两两垂直，则三棱锥的侧面积与底

面积之间满足的关系为__________．

15.如果 定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有

11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”

，给出函数：①3

1y x =+；②1()2x

y =；③ln ,00,0x x y x ?≠=?=?；④224,0,0

x x x y x x x ?+≥=?-+

16.设函数2()()x f x ax e a R =+∈有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题 ：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题10分）已知n

二项展开式中，

第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8:3． （1）求n 的值；（2）求展开式中3

x 项的系数．

18.（本小题10分）已知0a ≠，函数2()(1)()f x ax x x R =-∈有极大值4．（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．

19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，

1//,,1,2AB DC AB AD AD CD AA AB ⊥====，E 为棱1AA 的中点．

（1）证明11B C CE ⊥；（2）求二面角11B CE C --的正弦值．

20.（本小题满分12分）衡阳市八中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知0

45ACB ∠=且30AC =米，AM x =米，[]10,20x ∈．

（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；

（2）若在矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪． 已知：矩形AMPN

（k 为正常数），设总造价T 关于S 的函数为()T f S =，试问：如何选 取AM 的长，才能使总造价T 最低．

21.（本小题满分13分）已知点(,)M x y 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4x =-的距离等于点M 到点(1,0)D -的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）斜率为

1

2

的直线l 与曲线C 交于A B 、两个不同点，若直线l 不过点3

(1,)2

P ，设直线PA PB 、的斜率分别为PA PB k k 、，求PA PB k k +的数值； （3）试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由． 22.（本小题满分13分）

设函数()ln(1),()()0f x x g x xf x x '=+=≥其中()f x '是()f x 的导函数．

（1）令*11()(),()(())n n g x g x g x g g x n N +==∈，求()n g x 的表达式并用数学归纳法证明； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）设*

n N ∈，比较(1)(2)()g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明．

参考答案

一选择题

二、填空题

13. ， 14. 2222ABC PBC PAC PAB

S S S S =++ 15. ① ④

16. ?

??

???-∞+2).0(e

三、解答题

17. （1）由32

:8:3n n C C =，解得：n=10；

（2）10511010((3)k k

k k k k

k T C C x --+==- ，当k=2时，3x 项的系数为405。 18. （1）a=27;

(2) 1(,)1+3-∞∞增（

，）增 ；113

（，）减 19. 【解析】(方法一)

如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1), B 1(0,2,2),C 1(1,2,1),E(0,1,0).

(1) 易得11(1,0,1),(1,1,1)BC CE =-=-- ，于是11

0B C CE ?=

，所以11B C CE ⊥. (2) 1(1,2,1),B C =-- 设平面B 1CE 的法向量m

(,,),x y

z =则1

0,0,m B C m CE ??=???=??

即20,0,x y z x y z --=??-+-=?消去x ,得20y z

+=，不妨设1z =，可得一个法向量为m

(3,2,1).=--

由(1)知11B C CE ⊥，又CC 1⊥B 1C 1，可得111B C CEC ⊥平面，故11(1,0,1)B C =-

平面1CEC 的一个法向量.

于是111111

cos ,m B C m B C m B C ?===?

所以11sin ,m B C =

因此二面角B 1－CE －C 1

20. 解：（1）在PMC Rt ?中，显然x MC -=30||，45PCM °?，

∴||||tan 30PM MC PCM x =仔

=-， …………2分 矩形AMPN 的面积

||||(30)S PM MC x x =?-，[10,20]x ∈ ………4分

于是200225S

＃为所求. ………………6分

由总造价21T T T +=，

∴25T k =，200225S ＃.…10分

?11分

=216S =时等号成立，………………………12分

此时(30)216x x -=，解得12=x 或18=x ，

所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.……………………14分

21. （

1)4x +=化简即得。(1)

22

143

x y +=； 方法是设直线l 方程为1

2y x m =

+（注意1m ≠，知道为什么吗？），与曲线方程联立方程组，并消去y 得． （2）∵直线l 的斜率为12，且不过3

(1,)2P 点，

∴可设直线1:2

l y x m =+（且1m ≠）．

联立方程组22

14312

x y y x m ?+=????=+??得

22

30x mx m ++-=． 又交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，

∴122123022x x m x x m m +=-??

=-?

??>?-<

． ∴12121212121233

(2)()2322011()1PA PB

y y x x m x x m k k x x x x x x -

-+-+-++=

+==---++ （3）答：一定存在满足题意的定圆N ， 理由 ：∵动圆M 与定圆N 相内切，

∴两圆的圆心之间距离MN 与其中一个圆的半径之和或差必为定值．

又(1,0)D 恰好的是曲线（椭圆）C 的右焦点，且M 是曲线C 上的动点， 记曲线C 的右焦点为(1,0)F ，联想椭圆轨迹定义，4MF MD +=．

∴若定圆的圆心N 与点F 重合，定圆的半径为4时，则定圆N 满足题意．

22N x-1)+y =16∴定圆的方程为（

22. 【解题指南】 (1)根据已知求得g 1(x),g 2(x),g 3(x),…,猜想g n (x)的表达式并用数学归纳法证明.(2)利用已知变形确立新函数,对新函数求导后,对参数分类确定函数单调性解决恒成立问题,从而求得实数a 的取值范围.(3)利用特值法确定g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,用数学归纳法证明. 【解析】由题设得,g(x)=(x ≥0).

(1)由已知,g 1 (x)=,g 2(x)=g(g 1(x))=

=

,

g 3(x)=

,…,可得g n (x)=

.

下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,g 1(x)=

,结论成立.

②假设n=k 时结论成立,即g k (x)=.

那么,当n=k+1时, g k+1(x)=g(g k (x))=

=

=

,

即结论成立.

由①②可知,结论对n ∈N +成立.

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.

设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),

则φ'(x)=-=,

当a≤1时,φ'(x)≥0)(当且仅当x=0,a=1时等号成立),

所以φ(x)在有φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,a-1]上单调递减, 所以φ(a-1)<φ(0)=0.

即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥不恒成立, 综上可知,a的取值范围是(-∞,1].

(3)由题设得g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,

n-f(n)=n-ln(n+1),

比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).

证明如下:

上述不等式等价于++…+

在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.

令x=,n∈N+,则

下面用数学归纳法证明:

①当n=1时,

②假设n=k时结论成立,

即++…+

那么,当n=k+1时,

++…++

即结论成立.

由①②可知,结论对n∈N+成立