特征根法求数列通项

特征根法在求递推数列通项中的运用

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：

（08年广东高考）设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）……………

2）求数列{x n }的通项公式。 3）若1=p ，4

1

=

q ，求数列{x n }的前n 项的和s n (09年江西高考)各项均为正数的数列{}n a 中

都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，=+++)1)(1(m n m

n a a a a )

1)(1(q p q p a a a a +++，

1）当时，求通项5

4

,21==

b a n a 。 像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。 类型一、递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）。 先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足

??

?-==+q

x x p

x x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。

1） 如果0112=-a x a ，则0112=-++n n a x a ，n a 成等比，很容易求通项公式。 2）

如果0112≠-a x a ，则{112++-n n a x a }成等比。公比为2x ，

所以1

211211)(-+-=-n n n x a x a a x a ，转化成：

)(1122

2

211

2

1a x a x a x x x a n n

n n -=-

--+， ( I )又如果21x x =，则{

1

2

1-+n n x a }等差，公差为)(112a x a -，

所以))(1(1

11221

2

1a x a n a x a n n --+=

-+，即：1

211221)])(1([-+--+=n n x a x a n a a 122

11222])()2([

---+=n n x x a x a n x a a 可以整理成通式：1

2)(-+=n n x Bn A a Ii)如果21x x ≠，则令11

2

1+-+=n n n b x a ，

A x x =2

1

，B a x a =-)(112,就有 B Ab b n n =-+1，利用待定系数法可以求出n b 的通项公式

2

12

11212121221)()()1(x x x a x a x x x x x x a b n n -----=

-

所以2

22

1211212121221])()()1([

-------=n n n x x x x a x a x x x x x x a a ，化简整理得：

1

22

1211112121)1(----+--=

n n n x x x a x a x x x x a a ，

小结特征根法：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方

程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由

βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

2

11--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1

2)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得

到关于A 、B 的方程组）。

简例应用（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，

b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 3

2

,121=

=x x , ∴1

2

11--+=n n n Bx Ax a 1)32(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是???-=-=???

?

?

?+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 下面再看特征根法在08年广东高考题中的应用：

设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）……………

2）求数列{x n }的通项公式。 3）若1=p ，4

1

=

q ，求数列{x n }的前n 项的和s n 解：2）显然x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x 2-px+q=0，而α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设： ⑴ 当α=β时，设1)(-+=n n Bn A x α，因为x 1=p,x 2=p 2-q ，所以

???-=+=+q p B A p B A 2

)2(α 解得???

????--=+-=ααααp q P B q P P A 222 ∴=n x 222})(2{---++-n n p q p q p p ααα

⑵ 当βα≠时，设11--+=n n n B A x βα，因为x 1=p,x 2=p 2-q ，所以

???-=+=+q

p B A p B A 2

βα 解得αββ----=q

p p A 2，αβα---=q p p B 2 ∴=n x 12-----

n q p p ααββ+1

2----n q p p βα

βα 3）1=p ，41=

q 时，21

==βα，由第2）小题的⑴项可以直接得到 21==B A n n n x 2

1

)1(+=，可以用错位相减法求和顺利拿下第3）小题。

本题是08年广东高考真题，开始前两问均以字母的形式出现，给考生设置了接题障碍，如果在考前曾经学过特征根法，记住公式，那本题对这同学来说无疑是几分种的事情，或对特征根法有一定的了解，也许是多花点时间的问题，至少是接题思路和方向明确，绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力拓展的一种表现。特征根法还能应用于下面一种数列题型的解答： 类型二、 h

ra q

pa a n n n ++=

+1

解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有

h ra q pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r

h

a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，

可作特征方程h

rx q

px x ++=

,当特征方程有且仅有一根0x 时,如果01x a =则0x a n =；如果01x a ≠则01n a x ??

??-??是等差数列。当特征方程有两个相异的根1x 、

2x 时，则12n n a x a x ??

-??-??

是等比数列。

（证明方法如同类型一，从略）

例：已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24

,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项

公式.

解: 数列}{n a 的特征方程为,3

24

++=

x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有

.N ,)221211(2313)(11212111∈?-?-?+-=--?--=

--n r p r p a a c n n n λλλλ∴.N ,)5

1

(521∈-=-n c n n

∴.N ,1)5

1(521

)51

(5221

1112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=

n a n n n 例：已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3

25

131+-=

+n n n a a a （1）若,51=a 求;n a （2）

若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？

解：作特征方程.3

25

13+-=

x x x 变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根.5=λ

(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p r n a b n --+-=

)1(115

1131

)1(531?-?-+-=n ,8

1

21-+-=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在，

当n ≤4，N ∈n 时，5

17

51--=+=

n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8

1

1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ 令

,

0=n b 则.7n n ?-=∴

对于

.

0b N,n ≠∈n ∴

.N ,743

558

1111

∈++=+-+

=+=

n n n n b a n

n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有

.N ,8

1

51)1(111∈-+-=--+-=

n n a r p r n a b n λλ令

,

0=n b 则得

N ,1

13

51∈--=

n n n a 且n ≥2. ∴当1

13

51--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在。

于是知：当1a 在集合3{-或,:113

5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，

无穷数列}{n a 都不存在。

变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列

).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(2

11≥-

=

n a b n n

（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S

解：由已知,得n n n a a a 816521-+=

+,其特征方程为x x x 81652-+=解之得,211=x 或4

5

2=x

∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,n

n n a a a 816)45

(12451--=-+ ∴

452121452111--?=--

++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(4521

4521111-=?-

-

=---∴42521++=-n n n a

)1(3

4

231≥+?=

n b n n ,12

1

2

1

1+=

-

=

n n n n n

b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故

121()2

n b b b n

=++++ 1

(12)

53123n n -=+-1(251)3n n =+- 下面再欣赏用特征根法解决09年江西高考真题 各项均为正数的数列{}n a 中

都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，=+++)1)(1(m n m

n a a a a )

1)(1(q p q p a a a a +++，

1）当时，求通项5

4

,21==

b a n a 解：由=+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++得=+++)1)(1(11a a a a n n )

1)(1(212

1a a a a n n +++--

化间得21211++=

--n n n a a a ，作特征方程2

1

2++=x x x ，11=x ，12-=x 。

所以11311111+-=+---n n n n a a a a n n n a a 3111-=+- 1

313+-=n n n a 从上面的解答不难看出特征根法在某些特殊的数列递推题型中有比较轻巧灵活简便的运用，而离开特征根法，这些题目不仅难度较大，运算较烦，许多同学只能是望题兴叹！其实从网络上搜索便知特征根法在许多的数学分支领域、科学应用领域都有着广泛的应用。