宁夏回族自治区银川一中2016届高三数学上学期第四次月考试题理

银川一中2016届高三年级第四次月考

数 学 试 卷（理）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．已知{}1,log |2>==x x y y U ，P =?

??

?

??

>=

2,1|x x y y ，则=P C U A ．??

????+∞,2

1 B ．??

? ?

?21,0 C ．()+∞,0 D ．(]??

????+∞?∞-,2

1

0,

2．命题“若x 2

+y 2

=0，x 、y ∈R ，则x =y =0”的逆否命题是

A ．若x ≠y ≠0，x 、y ∈R，则x 2+y 2

=0 B ．若x =y ≠0，x 、y ∈R，则x 2

+y 2

≠0

C ．若x ≠0且y ≠0，x 、y ∈R,则x 2

+y 2

≠0 D ．若x ≠0或y ≠0，x 、y ∈R,则x 2

+y 2

≠0 3．在△ABC 中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足学2=,则)(PC PB PA +? 等于 A ．94-

B ．34-

C ．34

D ． 9

4

4．设双曲线122

22=-b

y a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率

为 A ．

45 B ．5 C ．2

5 D ．5 5．将函数x y 2sin =的图像向左平移

4

π

个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 A ．x y 2cos = B ．x y 2cos 2= C ．??

?

?

?+

+=42sin 1πx y D ．x y 2sin 2=

6．函数?

??>+-≤-+=0,ln 20

,32)(2x x x x x x f 的零点个数为

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

7．若函数()x f y =的导函数为()x f y '=，且??

?

?

?+

=62cos 2)('πx x f ，则)(x f y =在[]π,0上

的单调增区间为

A ．??

???

?6,0π B ．??

???

?ππ,32 C ．??

???

?6,0π和??

???

?ππ,3 D ．??

???

?6,0π和??

???

?ππ,3

2

8．如果实数x 、y 满足关系??

???≥+-≤-≤-+0

4400

4y x y x y x ，则511

--+x y x 的取值范围是

A ．[3，4]

B ． [2，3]

C ．??

???

?47,57 D ．??

?

??

?3

7,57

9．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +?

?

==++

???

，则n a ＝ A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 10．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数

()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则

A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<

B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<

C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<

D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<

11．已知集合M ={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使

得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M ={1

(x,y )|y x

=

}； ②M ={1(x,y )|y sin x =+}； ③M ={2(x,y )|y log x =}； ④M ={2x

(x,y )|y e =-}． 其中是“垂直对点集”的序号是 A ．①② B．②③ C．①④ D．②④

12．已知1>a ，函数)1(log )(+=x x f a ，)2(log 2)(t x x g a +=，当()1,1-∈x ，[]6,4∈t 时，

存在x ,t 使得4)()(+≤x f x g 成立，则a 的最小值为 A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．点M 是圆x 2

+y 2

=4上的动点，点N 与点M 关于点A （1，1）对称，则点N 的轨迹方程

是 . 14．设函数f (x )=log 3(9x )·log 3(3x ),

1

9

≤x ≤9,则f (x )的最小值为 . 15．抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 的长为)2(p a a ≥，则弦AB 的中点M 到y 轴的最短距

离为_______________。

16．对于实数b a ,，定义运算“*”：???>-≤-=*b

a a

b b b

a a

b a b a ,,2

2，设)1()12()(-*-=x x x f ，

且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

已知函数m x x x x f ++?=2cos 2cos sin 32)(在区间]2,0[π

上的最大值为2．

（1）求常数m 的值；

（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边是a 、b 、c ，若C B A f sin 3sin ,1)(==， △ABC 面积为4

3

3．求边长a ．

18．（本小题满分12分）

等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1， 且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.

(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1

S n

.

19．(本小题满分12分).

已知过抛物线()y px p 2

=2>0的焦点，斜率为的直线交抛物线于(,)A x y 11，

(,)()B x y x x 2212<两点，且.18=AB

（1）求该抛物线的方程；

（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若,OB OA OC λ+=，求λ的值．

20．(本小题满分12分)

已知椭圆C ：22

2210x y (a b )a b

+=>>的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，

直线0l :x y -=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C 的方程；

(2)设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2=4，证明：直线AB 过定点(1

2

-，-l)． 21．（本小题满分12分） 设函数3

21()(4),()ln(1)3

f x mx m x

g x a x =

++=-，其中0a ≠． (1)若函数()y g x =图象恒过定点P ，且点P 关于直线3

2

x =的对称点在()y f x =的图象上，求m 的值；

(2)当8a =时，设()'()(1)F x f x g x =++，讨论()F x 的单调性； (3)在(1)的条件下，设(),2

()(),2f x x G x g x x ≤?=?

>?

，曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q ，

使△OPQ (O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，求a 的取值范围；如果不存在，说明理由．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

已知ABC △中，AB AC =，D 是ABC △外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E ． （1）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；

（2）若30BAC ∠=°，ABC △中BC 边上的高为

求ABC △外接圆的面积．

23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为πcos 13ρθ?

?

-

= ??

?

，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． （1）写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；

（2）如果x ?∈R ，()2f x ≥，求a 的取值范围．

A

D E

C B

银川一中2016届高三年级第四次月考数学（理）答案

一、选择题 题号 1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A

D

A D

B B D D A

C

D C

13.(ｘ－2)２

+(ｙ－2)２

＝4 14.-

14

15．22p

a - 16.)0,1631(

- 17．解：（1

）2()cos 2cos =?++f x x x x m

2(1cos 2)=+++x x m

1

2(sin 2cos 2)12

=+?++x x m 2sin(2)16π

=+++x m ∵ 0,2π??∈????x ∴72,666πππ??+∈????

x ∵ 函数sin =y t 在区间,62ππ???

??? 上是增函数，在区间7,26ππ??

???? 上是减函数 ∴当262

ππ

+=x 即6π=x 时，函数()f x 在区间0,2π??????上取到最大值．

此时，max

()()326

π

==+=f x f m 得1=-m （2）∵ ()1=f A ∴ 2sin(2)16

π

+=A

∴ 1sin(2)62π+=A ，解得0=A （舍去）或3

π

=A

∵ sin 3sin =B C ，sin sin sin ==

a b c

A B C

∴ 3=b c ①

∵ ?ABC

∴ 11sin sin 223π?===ABC S bc A bc 即3=bc …②

由①和②解得3,1==b c

∵222222cos 31231cos 3

π

=+-?=+-???a b c bc A

∴ =a 18.解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，

a n ＝3＋(n －1)d ，

b n ＝q n －1.

依题意有22

233(6)64,(93)960,S b d q S b d q =+=???=+=??解得6,25()840.3

d d q q ?=-?=????=??=??或舍去 故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1

.

(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1

S n

＝

11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2) ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).

19.解：（1）直线AB 的方程是)2p

y x =-，与22y px =联立， 从而有22450,x px p -+=所以1254

p

x x +=

由抛物线定义得,1821=++=p x x AB .8=∴p

从而抛物线方程为x y 162

=…

（2）由8=p ，可得016102=+-x x ，从而,8,221==x x 代入x y 162

=得

,28,2421=-=y y 从而)28,8(),24,2(B A -分

设)2428,28()28,8()24,2(),(33-+=+-=+==λλλλy x ，

又32

316x y =即2

(21)41λλ-=+.…

解得0, 2.λλ==或…………………

20、解（I ）A ，，，等轴双曲线离心率为2