第1章 4 数学归纳法 活页作业4 专项训练同步练习(北师大版选修2-2)

活页作业(四) 数学归纳法

1．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

解析：当n 取1,2,3,4时2n ＞n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5.

答案：C

2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1

2n －1＜n (n ∈N ＋，n ＞1)时，第一步应验证不等式

( )

A ．1＋1

2＜2

B ．1＋12＋1

3＜2

C ．1＋12＋1

3

＜3

D ．1＋12＋13＋1

4

＜3

解析：∵n ＞1且n ∈N ＋，∴n 取的第一个值n 0＝2. ∴第一步应验证：1＋12＋1

3＜2.

答案：B

3．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1

2k ，则S k ＋1为( )

A ．S k ＋1

2k ＋2

B ．S k ＋12k ＋1＋1

2k ＋2

C ．S k ＋12k ＋1－1

2k ＋2

D ．S k ＋12k ＋2－1

2k ＋1

解析：S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1

＝S k ＋

12k ＋1－12k ＋2

. 答案：C

4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋1

2n ＋1(n ∈N ＋)，则n ＝1时f (n )是( )

A ．1

B ．13

C ．1＋12＋1

3

D ．以上答案均不正确 解析：∵f (n )共有2n ＋1项，

∴当n ＝1时有2＋1＝3项，即f (1)＝1＋12＋1

3.

答案：C

5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

n 2，则( )

A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

解析：观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1，∴项数为n 2－n ＋1. 答案：D

6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)

2(n ∈N ＋)时，第一步验证

当n ＝1时，左边应取的项为________．

解析：当n ＝1时，左边要从1加到n ＋3，即1＋2＋3＋4. 答案：1＋2＋3＋4

7．已知每项都大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1，前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ≥2)，则a 81＝________.

解析：∵S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1， S 1＝a 1＝1，

∴S 2＝9，S 3＝25，…，S n ＝(2n －1)2. 利用数学归纳法可证明S n ＝(2n －1)2. ∴a 81＝S 81－S 80＝640. 答案：640

8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N ＋，用数学归纳法证明f (2n )＞n 2时，f (2n ＋

1)－f (2n )

＝_____________.

解析：f (n )有n 项，最后一项为1

n ，

f (2n )有2n 项，最后一项为1

2n ，

f (2n ＋

1)有2n

＋1

项，最后一项为1

2

n ＋1，

∴f (2n ＋

1)比f (2n )多出的项为12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12

n ＋1.

答案：

12n

＋1＋12n ＋2＋…＋12

n 1 9．设a ＞0，f (x )＝ax a ＋x ，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋.

(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． (1)解：因为a 1＝1，所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a

， a 3＝f (a 2)＝a

2＋a ，

a 4＝f (a 3)＝a

3＋a

.

猜想a n ＝a

(n －1)＋a

(n ∈N ＋)．

(2)证明：①易知，当n ＝1时，由猜想知正确． ②假设当n ＝k 时正确，即a k ＝a

(k －1)＋a ，

则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k

a ＋a k

＝a ·

a (k －1)＋a a ＋

a (k －1)＋a

＝

a (k －1)＋a ＋1＝a

[(k ＋1)－1]＋a

.

这说明，当n ＝k ＋1时也正确．

由①②，可知对于任何n ∈N ＋，都有a n ＝a

(n －1)＋a

.

10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论． 解：当n ＝1时，21＋2＝4＞12， 当n ＝2时，22＋2＝6＞22， 当n ＝3时，23＋2＝10＞32， 当n ＝4时，24＋2＝18＞42，

由此可以猜想，2n ＋2＞n 2(n ∈N ＋)成立． 用数学归纳法证明如下：

(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， ∴左边＞右边，不等式成立．

当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， ∴左边＞右边，不等式成立．

当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，

∴左边＞右边，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，

即2k＋2＞k2，

那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2.

要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k2－2≥(k＋1)2，

即证k2－2k－3≥0，

即证(k＋1)(k－3)≥0.

又∵k＋1＞0，k－3≥0，

∴(k＋1)(k－3)≥0.

∴当n＝k＋1时，结论成立．

由(1)和(2)，可知n∈N＋时，2n＋2＞n2.

11．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()

A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)

B．34·34k＋1＋52·52k

C．34k＋1＋52k＋1

D．25(34k＋1＋52k＋1)

解析：当n＝k时，34k＋1＋52k＋1可被8整除；

当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋1·34＋52k＋1·52＝56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．答案：A

12．平面几何中，有边长为a的正三角形内任意一点到三边距离之和为定值

3

2a，类比

上述命题棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为()

A．

4

3a B．

6

3a

C．

5

4a D．

6

4a

解析：利用等体积法，四面体内一点和四个顶点连线将四面体分成四个四面体，这四个四面体体积之和等于大的四面体体积．

答案：B

13．用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n n时，第二步中n＝k＋1时，要证明的式子应为____________.

解析：当n＝k＋1时，

左边＝－1＋3－5＋…＋(－1)k＋1[2(k＋1)－1]＝

－1＋3－5＋…＋(－1)k ＋

1(2k ＋1)．

答案：－1＋3－5＋…＋(－1)k ＋

1(2k ＋1)＝(－1)k ＋

1(k ＋1)

14．设f (n )＝n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)，则用数学归纳法证明f (n )能被9整除的过程中，f (k ＋1)＝f (k )＋_______________.

解析：f (k ＋1)＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋k 3＋9k 2＋27k ＋27＝f (k )＋9k 2＋27k ＋27.

答案：9k 2＋27k ＋27

15．由下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋1

15＞2，…，

你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

解：猜想第n 个不等式，即一般不等式为： 1＋12＋13＋…＋12n －1＞n

2(n ∈N ＋)． 用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，1＞1

2

，猜想成立．

(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1＞k

2，

则当n ＝k ＋1时，

1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋2k

2k ＋

1

＝k ＋1

2

.

即当n ＝k ＋1时，猜想也正确，所以对任意的n ∈N ＋，不等式成立．

16．一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口输入自然数1时，从B 口得到13，记为f (1)＝1

3；②当从A 口输入自然数n (n ≥2)时，在B

口得到的结果f (n )是前一个结果f (n －1)的2(n －1)－1

2(n －1)＋3

倍．

(1)当从A 口分别输入自然数2,3,4时，从B 口分别得到什么数？试猜想f (n )的关系式，并证明你的结论；

(2)记S n 为数列{f (n )}的前n 项和，当从B 口得到16 192 575的倒数时，求此时对应的S n 的值．

解：(1)由已知得f (n )＝2n －3

2n ＋1f (n －1)(n ≥2，n ∈N ＋)，

当n ＝2时，f (2)＝4－34＋1

×f (1)＝15×13＝1

15，

同理可得f (3)＝135，f (4)＝1

63，

猜想f (n )＝1

(2n －1)(2n ＋1).(*)

用数学归纳法证明如下：

①当n ＝1,2,3,4时，由上面的计算结果知(*)成立． ②假设n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，(*)成立， 即f (k )＝1

(2k －1)(2k ＋1)，

那么当n ＝k ＋1时，

f (k ＋1)＝2k －12k ＋3f (k )＝2k －12k ＋3·1

(2k －1)(2k ＋1)，

即f (k ＋1)＝1

[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1]，

∴当n ＝k ＋1时，(*)也成立． 综合①②所述，对所有的n ∈N ＋， f (n )＝1

(2n －1)(2n ＋1)恒成立．

(2)由(1)可得

1

(2n －1)(2n ＋1)

＝

116 192 575＝1

(2×2 012－1)×(2×2 012＋1)，

∴n ＝2 012.

∵f (n )＝12???

?1

2n －1－12n ＋1，

∴S 2 012

＝12????

??????1－13＋???

?13－15＋????15－17＋…＋????14 023－14 025＝ 12??

??1－14 025＝2 0124 025.

活页作业(五) 变化的快慢与变化率

1．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )

A ．4

B ．13

C ．15

D ．28

解析：Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15. ∴

Δs Δt ＝153－2

＝15. 答案：C

2．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝1

8

t 2，则当t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )

A ．2

B ．1

C ．12

D ．14

解析：因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋1

8Δt .当Δt 无限趋近于0

时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此当t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为1

2

.

答案：C

3．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 等于( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)－Δx

D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)

解析：由定义可以得出． 答案：D

4．在求平均变化率时，关于自变量的改变量Δx 的说法正确的是( ) A ．Δx ＞0 B ．Δx ＜0 C ．Δx ＝0

D ．Δx ≠0 解析：平均变化率为Δy

Δx ，分母是Δx ，不为零．

答案：D

5．关于函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是在x ＝x 0处的平均变化率 B ．函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是在x ＝x 0处平均变化率的近似值 C ．当Δx 趋于0时，函数f (x )在x ＝x 0处的平均变化率趋于瞬时变化率 D ．当Δx ＝0时，函数f (x )在x ＝x 0处的平均变化率等于瞬时变化率 解析：由瞬时变化率的定义可以得出． 答案：C

6．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为_____________．

解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为

Δy Δx

＝

(－2＋Δx )2－2(－2＋Δx )＋1－(4＋4＋1)

Δx

＝Δx －6.

答案：Δx －6

7．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的体积的平均变化率为______________．

解析：ΔV ＝4π3(R ＋ΔR )3－4π3R 3，体积的平均变化率＝ΔV ΔR ＝4π

3(ΔR 2＋3R ·ΔR ＋3R 2)．

答案：4π

3

(ΔR 2＋3R ·ΔR ＋3R 2)

8．设函数y ＝x 2＋2x ，x 从1变到2时，函数的平均变化率为________． 解析：Δx ＝2－1＝1，

Δy ＝(22＋2×2)－(12＋2×1)＝5. 答案：5

9．已知质点M 按规律s ＝2t 2＋2t (s 的单位：m ，t 的单位：s)做直线运动．求： (1)前3 s 内的平均速度； (2)从2 s 到3 s 内的平均速度； (3)从2.8 s 到3 s 内的平均速度； (4)从2.9 s 到3 s 内的平均速度； (5)估计质点在3 s 时的瞬时速度．

解：(1)Δt ＝3(s)，Δs ＝(2×9＋2×3)－0＝24(m)，故前3 s 内的平均速度为Δs Δt ＝24

3＝8(m/s)．

(2)Δt ＝3－2＝1(s)，Δs ＝ (2×32＋2×3)－(2×22＋2×2)＝12(m)，故从2 s 到3 s 内的平均速度为Δs Δt ＝12

1

＝12(m/s)．

(3)Δt ＝3－2.8＝0.2(s)，Δs ＝(2×32＋2×3)－(2×2.82＋2×2.8)＝2.72(m)，故从2.8 s 到3 s 内的平均速度为Δs Δt ＝2.720.2

＝13.6(m/s)．

(4)Δt ＝3－2.9＝0.1(s)，Δs ＝(2×32＋2×3)－(2×2.92＋2×2.9)＝1.38(m)，故从2.9 s 到3 s 内的平均速度为Δs Δt ＝1.380.1

＝13.8(m/s)．

(5)Δs Δt ＝2(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )－(2t 2

＋2t )Δt

＝4t ＋2＋Δt ，当Δt 趋于0时，平均速度趋于14，故可估计质点在3 s 时的瞬时速度为14 m/s.

10．若一物体运动函数如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：

s ＝?????

3t 2＋2(t ≥3)，29＋3(t －3)2

(0≤t ＜3).

求： (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；

(2)物体的初速度v 0；

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．

解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，

物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为

Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝48

2＝24(m/s)．

(2)求物体的初速度v 0，

即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为

Δs Δt ＝29＋3×(0＋Δt －3)2－29－3×(0－3)2

Δt

＝3Δt －18， 当Δt 趋于0时，Δs

Δt

趋于－18，

∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为

Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2

Δt

＝3Δt －12， 当Δt 趋于0时，Δs

Δt

趋于－12，

∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.

11．国家环保总局对某企业的排污量w 分别于某月5日、10日、15日、20日和25日连续进行检测，检测结果如右图所示．从图中观察，在哪两次检测日期之间，治理效率最高？( )

A ．5日到10日

B ． 10日到15日

C ．15日到20日

D ．20日到25日

解析：相邻检测日期之间都相差5日，而从15日到20日之间曲线下降最多，即排污量下降最多，所以治理效率最高．

答案：C

12．某物体走过的路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系为s ＝2t 2，通过平均变化率

估计该物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为________m/s.

解析：Δs Δt ＝2(2＋Δt )2－2×22Δt ＝8＋8Δt ＋2Δt 2

－8Δt

＝8＋2Δt ，

当Δt 趋于0时，Δs

Δt 趋于8.

答案：8

13．设f (x )＝－3x ＋2，则f (x )在x ＝2附近的平均变化率为____________，在x ＝3附近的平均变化率为______________．

解析：在x ＝2附近的平均变化率为

Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝[－3(2＋Δx )＋2]－(－3×2＋2)Δx ＝－3Δx Δx ＝－3； 在x ＝3附近的平均变化率为

Δy Δx ＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝[－3(3＋Δx )＋2]－(－3×3＋2)Δx ＝－3Δx Δx ＝－3. 答案：－3 －3

14．某市一天12 h 内的气温变化情况如下图所示，则气温(单位：℃)在[0,4]h 内的平均变化率为__________________．

解析：(－2)－(－1)4－0＝－14＝－14.

答案：－1

4

15．设函数y ＝f (x )＝x 2＋1

x

.

(1)求x 从1变到2时，f (x )的平均变化率；

(2)当x 从1变化到1.1,1.01,1.001时的平均变化率，并由此估计f (x )在x ＝1处的瞬时变化率．

解：(1)所求平均变化率为Δy Δx ＝f (2)－f (1)

2－1＝22＋12－12－

112－1＝52.

(2)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)

Δx

＝(1＋Δx )2＋11＋Δx

－12－

1

1Δx

＝2＋Δx －1

1＋Δx

.

当x 从1变化到1.1时，Δx ＝0.1，则平均变化率为Δy Δx ＝2＋0.1－1

1＋0.1≈1.191；

当x 从1变化到1.01时，Δx ＝0.01，则平均变化率为

Δy Δx ＝2＋0.01－1

1＋0.01≈1.020； 当x 从1变化到1.001时，Δx ＝0.001，则平均变化率为Δy Δx ＝2＋0.001－1

1＋0.001

≈1.002. 由此估计当Δx 趋于0时，平均变化率趋于1， 即f (x )在x ＝1处的瞬时变化率为1.

16．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如下图所示，试分别计算从出生到第3个月以及从第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率，并比较哪段时间体重增长较快，此结论可说明什么？

解：利用Δy

Δx 计算体重平均变化率．

0～3个月体重平均变化率为

6.5－3.5

3－0

＝1， 6～12个月体重平均变化率为12－8.6

12－6≈0.6，

由1＞0.6，可知从出生到第3个月体重增长较快， 这说明体重变化越来越慢．