千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第88炼 含有条件概率的随机变量问题

第88炼 含有条件概率的随机变量问题

一、基础知识：

1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A

2、条件概率的计算方法：

（1）按照条件概率的计算公式：()()()

|P AB P B A P A =

（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率 例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：

按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()2

541

5

P AB A =

=，()45P A =，所以()()

()1

|4

P AB P B A P A =

=

按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为

1

4

3、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =? ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算

4、处理此类问题要注意以下几点：

（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）

（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别

（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。 二、典型例题：

例1：袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到的球

的编号为2，则把该球编号记下再把编号数改为1后放回袋中继续取球；若取到的球的编号为奇数，则取球停止，取球停止后用X 表示“所有被取球的编号之和” （1）求X 的分布列 （2）求X 的数学期望及方差

思路：（1）依题意可知如果取球取出的是1,3，则取球停止，此时X 的值为1或3；当取球取出的是2号球时，按照规则要改为1号球放进去重取，再取时只能取到1或3，所有编号之和X 的值为3,5，所以可知X 可取的值为1,3,5，当1X =时，意味着直接取到了1号球

（概率为

13）；当3X =时，分为两种情况，一种为直接取到3（概率为1

3），另一种为取到了2（概率为13），改完数字后再取到1（概率为23）；当5X =时，为取到了2（概率为1

3

），

改完数字后再取到3（概率为1

3

），从而可计算出概率。进而得到分布列与期望方差

解：（1）X 可取的值为1,3,5

()113P X ∴==

()1125

33339P X ==+?= ()111

5339

P X ==?=

X ∴的分布列为：

（2）1353999

EX =?

+?+?= 2

2

2

123523123176

135********

DX ??????=-+-+-=

? ? ??????? 例2：深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

（1）思路：第一次训练时所取得球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可判断出ξ服从超几何分布，即可利用其公式计算概率与分布列，并求得期望

解：ξ可取的值为0,1,2

()2326105C P C ξ=== ()11

332

63

15

C C P C ξ?=== ()23261

25

C P C ξ===

ξ∴的分布列为：

0121555

E ξ∴=?+?+?=

（2）思路：本题要注意一个常识，即新球训练过后就变成了旧球，所以要计算第二次恰好取到一个新球的概率，需要了解经过第一次训练后，所剩的球有几个新球，几个旧球。所以要对第一次取球的情况进行分类讨论：若第一次取2个新球，则第二次训练时有5旧1新；若第一次取到1个新球，则第二次训练时有4旧2新；若第一次取到2个旧球，则第二次训练依然为3旧3新，分别计算概率再相加即可

解：设事件i A 为“第一次训练取出了i 个新球”，则()233

2

6

i i i C C P A C -= 设事件B 为“从六个球取出两个球，其中恰好有一个新球” 事件C 为“第二次恰好取出一个新球”

()()()()012P C P A B P AB P A B ∴=++

()()()211

33300022

663

|25C C C P A B P A P B A C C ?=?=?= ()()()1111334211122

668

|25C C C C P A B P A P B A C C ?=?=?= ()()()213522222661

|15

C C P A B P A P B A C C =?=?=

()()()()0123875

P C P A B P A B P A B ∴=++=

例3：若盒中装有同一型号的灯泡共10个，其中有8个合格品，2个次品

（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率

（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望

（1）思路：每次有放回的取灯泡，相当于做了3次独立重复试验，每次试验中取到合格品的概率为

45，取到次品的概率为1

5

，在3次试验中2次取到次品，1次取得合格品，所以考虑利用公式求解取到次品的概率 解：设事件A 为“2次取到次品”

()2

231412

55125P A C ??

??∴=?=

?

???

??

（2）思路：因为只有2个次品，所以最多用掉3个灯泡，X 可取的值为1,2,3，1X =时，

意味着取到的是合格品，概率为45，2X =是取到一个次品（概率为1

5）之后在9个灯泡中取到一个合格品（概率为89），3X =是连续取到2个次品（概率为11

59

?），之后一定拿

到合格品，分别计算概率即可 解：X 可取的值为1,2,3

()415P X ∴==

()18825945P X ==?= ()111

35945

P X ==?= X ∴的分布列为：

123545459

EX ∴=?

+?+?= 例4：一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．

（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；

（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．

（1）思路：本题可用古典概型解决，事件Ω为“8张卡片中取出2张卡片”，所以()2

8n C Ω= 事件A 为“所得新数为奇数”，可知需要一奇一偶相加即可，则()1135

n A C C =?，从而可计算出()P A

解：设A 为“所得新数为奇数”

()11

352815

28

C C P A C ?∴==

（2）思路：依题意可知ξ可取的值为1,2,3,4，题目中的要求为“取出偶数即停止”所以若要保证第n 次能继续抽卡片，则在前()1n -次需均抽出奇数。所以1,2,3ξ=时，意味着抽卡片中途停止，则必在最后一次取到了偶数，以3ξ=为例，中途停止说明在第三次抽到偶

数，前两次抽到奇数。所以()325

3876

P ξ==??（第二次受第一次结果的影响，只剩7张卡片，含有2张奇数卡片，所以是前两次是奇数的概率为32

87

?）。当4ξ=时，只要在前三次

将奇数卡片抽完即可。 解：ξ可取的值为1,2,3,4

()518P ξ∴==

()351528756P ξ==?= ()3255387656P ξ==??= ()3211

487656

P ξ==??=

ξ∴的分布列为：

123485656562

E ξ∴=?+?+?+?=

例5：某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1个小时走出迷宫；若是2

号，3号通道，则分别需要2小时，3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止，令ξ表示走出迷宫所需的时间，求ξ的分布列和数学期望

思路：迷宫的规则为只有进入1号通道才能走出迷宫，如果是其他通道（以2号为例），则可能打开1通道然后走出迷宫，或者打开另一个通道，通过第三轮进入1通道走出迷宫，所以ξ可取的值为1（1号），3（2号+1号），4（3号+1号），6（3号+2号+1号或2号+3号+1号）。根据ξ的取值便可判断出走迷宫的情况，从而列出式子计算概率，得到分布列 解：ξ可取的值为1,3,4,6

()113P ξ== ()1113326P ξ==?=

()1114326P ξ==?= ()11111

632323

P ξ==?+?=

ξ∴的分布列为：

134636632

E ξ∴=?+?+?+?=

例6：某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行9选3考核（即共9项测试，随机选取3项），若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的9选3考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为

12，第二次参加考试合格的概率为23，第三次参加考试合格的概率为4

5

，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过 （1）求小李第一次考试即通过的概率P （2）求小李参加考核的次数ξ分布列

（1）思路：由题意可知，小李能够通过考试的概率取决于是否能够抽到“引体向上”这个项目，如果没有抽到，则必能通过；若抽到“引体向上”则通过的概率为1

2

。后面通过测试的概率受到前面抽签的影响，要利用条件概率进行解决

解：（1）若没有抽到“引体向上”，则3813

92

3

C P C == 若抽到“引体向上”，则2823

911

26

C P C =?= 12215

366

P P P ∴=+=

+= （2）思路：依题目要求可知ξ可取的值为1,2,3,4，在参加下一次考核时，意味着前几次考核失败，所以当ξ取2,3,4时，要考虑前面考核失败的情况与该次考核成功两个方面同时成立。

解：ξ可取的值为1,2,3,4

()516P ξ== ()32883399124

26327

C C P C C ξ??==?+?= ???

()2328883339991147

3635405C C C P C C C ξ????==???+?=

? ????? ()228833991111

4635810

C C P C C ξ????==????=

? ????? ξ∴的分布列为：

例7：袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3

，从

B 中摸出一个红球的概率是2

3

，现从两个袋子中有放回的摸球

（1）从A 中摸球，每次摸出一个，共摸5次，求 ① 恰好有3次摸到红球的概率

② 设摸得红球的次数为随机变量X ，求X 的期望

（2）从A 中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A 中摸球，若是红球则在袋子B 中摸球；若从袋子B 中摸出的是白球则继续在袋子B 中摸球，若是红球则在袋子A 中摸球，如此反复摸球3次，计摸出红球的次数为Y ，求Y 的分布列和期望

（1）思路：①题目中说“有放回的摸球”，所以本题为独立重复试验模型，在A 中摸出红球的概率为

1

3

，代入独立重复试验模型公式即可计算出概率；② 随机变量X 指摸出红球发生的次数，所以符合二项分布15,3X B ?? ???

，直接可计算期望 解：① 设事件M 为“恰好有3次摸到红球”

()3

2

35124033243P M C ????

∴=?=

? ???

??

② X 的取值为0,1,2,3,4,5，依题意可知15,3X B ??

???

15

533

EX ∴=?=

（2）思路：有放回的摸球三次，所以Y 可取的值为0,1,2,3，因为下一次在哪个袋子里摸球取决于上一次的结果：若是白球则在本袋继续摸，若是红球则要换袋子摸，所以在计算概率的过程中要监控每一次摸球的结果，并按红球个数进行安排。例如1Y =时，要按“红白白”，“白红白”，“白白红”三种情况进行讨论，并汇总在一起。 解：Y 可取的值为0,1,2,3

()3280327

P Y ??

===

??? ()22

112112171333333327P Y ????==?+??+?= ? ????? ()12211221210

233333333327P Y ==??+??+??=

()1212

333327P Y ==??=

Y ∴的分布列为：

0123272727279

EY ∴=?+?+?+?=

例8：为了参加中央电视台，国家语言文字工作委员会联合主办的《中国汉字听写大会》节目，某老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习3个汉字及正确注释，每周五对一周内所学汉字随机抽取若干个进行检测（一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同） （1）老师随机抽了4个汉字进行检测，求至少有3个是后两天学习过的汉字的概率

（2）某学生对后两天所学过的汉字每个能默写对的概率为4

5

，对前两天所学过的汉字每个能默写对的概率为

35

，若老师从后三天所学汉字中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的汉字的个数ξ的分布列和期望

解：（1）设事件A 为“至少有3个是后两天学习过的汉字”

()1346664

121353

49511

C C C P A C +∴=== （2）思路：依题意可知ξ可取的值为0,1,2,3，本问的关键在于后三天中包括“后两天”与“第二天”两类，这两类中学生默写对的概率是不同的，所以在求概率时要讨论默对的属于哪个类别，再考虑其概率即可

解：()2122055125P ξ??∴==?= ??? ()2

1

24121319155555125P C ξ??==???+?=

??? ()2

12

4134256

255555125

P C ξ??==???+?=

??? ()2

4348

355125P ξ??==?=

???

ξ∴的分布列为：

01231251251251255

E ξ∴=?+?+?+?=

例9：QQ 先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出一条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉，若黑鱼未被抓出，则它每晚要吃掉一条青鱼（规定青鱼不吃鱼）

（1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率

（2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ （1）思路：依题意可知，如果QQ 先生没有抓到黑鱼，则黑鱼会一次次的吃掉青鱼，从而使得QQ 先生吃掉鱼的总数减少。所以QQ 先生吃鱼的总数决定于第几次将青鱼拿出，“QQ 先生

至少吃掉6条”包含6条和7条，若吃掉6条，则表示第一次拿出的是青鱼，在第二次拿黑鱼时，因为黑鱼已经吃掉一条青鱼，所以只能从剩下5条中拿出，故概率为61

75

?；若吃掉7条，则表示第一次就拿出黑鱼，即概率为

17

。 解：设事件i A 为“第i 次拿到青鱼” 事件A 为“QQ 先生至少吃掉6条鱼”

()()()121611177535

P A P A P A ∴=+=

+?= （2）思路：依题意可知只要晚一天拿出黑鱼，则这一天就会少两条青鱼（一条QQ 吃掉，一条黑鱼吃掉），所以ξ可取的值为4,5,6,7。7ξ=代表第一天就拿到黑鱼；6ξ=代表第二天拿到黑鱼；5ξ=代表第三天拿到黑鱼；4ξ=代表第四天拿到黑鱼，此时QQ 先生吃了3条青鱼，黑鱼吃了3条青鱼。分别求出概率即可 解：ξ可取的值为4,5,6,7

()177P ξ∴==

()616

67535P ξ==?= ()6418575335P ξ==??= ()64216

475335

P ξ==??=

ξ∴的分布列为：

45675353535735

E ξ∴=?+?+?+?==

例10：有,,A B C 三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别

（1）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球“，事件T 为”取得颜色互不相同的三个球“，求()(),P S P T

（2）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望

（1）思路一：可利用古典概型求出()(),P S P T ，基本事件空间Ω为“三个盒子的取球情况”，则()1

1

1

33327n C C C Ω=??=，则()1n S =，()3

36n T A ==（三种颜色全排列确定出

自哪个盒），从而求得()(),P S P T

解：（1）()1113331127P S C C C ==?? ()3

31113332

9

A P T C C C ==??

思路二：本题也可用概率的乘法进行计算。S 表示每个盒均取出红球（取出红球的概率为

13），因为每盒之间互不影响，所以()111

333

P S =??；T 要求每盒颜色不同，所以前一个盒取出球的颜色会影响到下一个盒取球的选择。第一个盒取出一个颜色，则第二个盒只能取另外两个颜色的球（概率为23），而第三个盒只能取出剩下颜色的那个球（概率为1

3

），所以()21

133

P T =?

? 解：（1）()1111

33327P S =??=

()212

1339

P T =??=

（2）思路：分析可知整个过程对于A 而言是取出一个球，再进入一个球，所以ξ可取的值为0,1,2，情况较为简单的为0ξ=和2ξ=的情况，当0ξ=时，意味着从A 盒中取出了红

球到B （概率为

13

），此时B 盒中为2红2非红，C 盒中的情况取决于B 盒中取出球的颜色，可进行分类讨论：若取出的是红球（概率为1

2

），则C 盒中为2红2非红，然后从C 中取出

非红球即可（概率为12）；若取出的不是红球（概率为1

2

），则C 盒中为1红3非红，再从C

中取出非红球即可（概率为

34），综上可得：()111135

03222424

P ξ??==??+?=????；当2ξ=时，意味着从A 盒中取出了非红球到B （概率为

2

3

），此时B 盒中为1红3非红，C 盒中的情况取决于B 盒中取出球的颜色，可进行分类讨论：若取出的是红球（概率为1

4

），则C 盒

中为2红2非红，然后从C 中取出红球即可（概率为12）；若取出的不是红球（概率为3

4

），

则C 盒中为1红3非红，再从C 中取出红球即可（概率为1

4

），综上可得：

()211315

23424424P ξ??==

??+?=

????

，进而可利用()()0,2P P ξξ==求出()1P ξ=

解：依题意，ξ可取的值为0,1,2

()111135

03222424P ξ??==??+?=

???? ()211315

23424424P ξ??==

??+?=

????

()()()7

110212

P P P ξξξ==-=-==

ξ∴的分布列为：

0121241224

E ξ∴=?

+?+?=