2010高考全国新课标卷数学(含解析)

2010年普通高等学校招生全国统一考试

全国新课标卷 理科数学

解析

一、

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{|

4,}B x x Z =≤∈,则A B ?=

(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} 解析：{22},{0,1,2,3,4}A B={0,1,2}A x x B =-≤≤=∴?，,选D 命题意图：考察集合的基本运算

(2)已知复数z =

z 是z 的共轭复数，则z z ?=

A. 14

B.

12

C.1

D.2

解析：

416

4

i

i z -=

==

=

1

4

4

4

i i z z =

=

，所以选A

命题意图：考察复数的四则运算 (3)曲线2

x y x =

+在点（-1，-1）处的切线方程为

（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 解析：''

12

2,|2(2)

x y k y x =-=

∴==+ ，所以点（-1，-1）处的切线方程为y=2x+1，

命题意图：考察导数的几何意义

(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，），角速

度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为

解析：法一：排除法 取点0,t d ==

时排除A 、

D ，又当点P 刚从t=0开始运动，d 是关于t 的减函数，所以排除B ，选C

法二：构建关系式 x 轴非负半轴到OP 的角4

t π

θ=-

，由三角函数的定义可知

2s i n (

)4

p y t π

=-，所以2sin()4

d t π

=-

，选C

命题意图：考察三角函数的定义及图像 （5）已知命题

1p ：函数22x

x

y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22

x x

y -=+在R 为减函数，

则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是 （A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q 解析：对于1p ：122x

x

y =-显然在R 为增函数，命题为真 对于2p ：1

22

x x

y =+

，'

12ln 22

ln 2(2)ln 22

x

x

x

x

y -=-=-

当'

'

00,00,x y y x y y <<>>时，单调递减，时，单调递增，命题为假

对于2p ，也可通过复合函数单调性法则，分解为简单函数12,x

t y t t

==+

处理

利用复合命题真值表，显然12p p ∨，()12p p ∧-为真命题，选C 命题意图：复合命题真假判断为背景考察函数的单调性

（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为

（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 解析：设发芽的粒数为,~(1000,0.9),900B E ξξξ∴=则

又(1000)222000,22000200X EX E ξξξ=-?=-+∴=-+=，选B

命题意图：考察二项分布期望公式及公式()E a b aE b ξξ+=+ （7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于 （A ）54 （B ）45 （C ）

65

（D ）

56

解析：

所以选D

命题意图：以算法为背景考察裂项相消求和

（8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->= (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或 解

析

：

3

0()x f x ≥=当时，由

得

()f x ∴>

又为偶函数，

时或 (2)02222,40f x x x x x ∴->?->-<-><或即或，选B

命题意图：利用函数性质解不等式

（9）若4cos 5

α=-，α是第三象限的角，则

1tan

21tan

2

αα+=-

(A) 12

-

(B) 12

(C) 2 (D) -2

解析：α 是第三象限的角，2

α

∴

是第二或四象限角

又2

2

2

22

2

2cos

sin 1tan

42

22cos ,tan 9,tan 3522cos

sin

1tan

2

2

2

ααα

αααααα

--=

==-=∴=-++化简得

故

1tan

122

1tan

2

α

α+=--，选

A 111

1112233445561111111115(1)()()(

)(

)223

3

4

45566

S =

+

+++?????=-+-+-

+-+-=

命题意图：考察三角函数的化简求值

（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π (B)

273

a π (C)

2

113

a π (D) 25a π

解析：2

2

2222

2

74

3

12

a

a

R OB OE BE a ==+=

+

=

2

2

743

S a a ππ∴==

命题意图：考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式

（11）已知函数|lg |,010,()16,10.2

x x f x x x <≤??

=?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则a b c

的取值范围是 (A) (1,10)

(B) (5,6)

(C) (10,12)

(D) (20,24)

解析： ,,a b c 互不相等，不妨设a b c << ()(),lg lg f a f b a b =-=由得，即ab=1

abc c ∴=，显然1012c <<

所以选C

命题意图：考察数形结合思想，利用图像处理函数与方程问题

（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为

(A)

2

2

13

6

x

y

-

= (B)

2

2

145x

y

-

= (C)

2

2

16

3

x

y

-

= (D)

2

2

15

4

x

y

-

=

解析：设双曲线方程为22222

222

2

2

1,x y b x a y a b a

b

-

=-=即，1122(,),(,)A x y B x y

由2222222222221122,b x a y a b b x a y a b -=-=得22

12121212()()()

0()

y y b x x a y y x x -+-+=-

AB PN N 又中点（-12，-15），k =k ，2222

-12+1504=5b a b a ∴=即，22

+9b a =

所以22

4,=5a b =，选

B

命题意图：利用点差法处理弦中点与斜率问题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1

0()f x dx ?，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和

12,,N y y y …，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足

11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分

1

()f x dx ?

的近似值

为 。

1N N

（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种） 解析：三棱锥、三棱柱、圆锥

（15）过点A(4,1)的圆C 与直线x-y=0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为22(3)2x y -+=

解析： 设圆心(,)O a b ，借助图形可知3a =，又11032

b O B b -∴=-=-与切线垂直，

即

2

2

C (2)2r O B x y ==

∴--=圆的方程为

(16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=12

DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为3-，

则∠BAC=_______

解析：ADC 1S AD D C C D 2

2

=

??

-∴

在△ADC ，

在△ADB ， 所以，在△ABC 中，由余弦定理的

cos ∠BAC=

2

2

2

AB +AC -BC 1=

2AB AC

2

?,∠BAC=60°

三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 （17）（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=

（1） 求数列{}n a 的通项公式；

（2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S

解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，

111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+

21

23

3(2

2

2)2n n --=++++

2(1)1

2

n +-=。

而 12,a =

所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。 （Ⅱ）由212n n n b na n -==?知

3

5

21

1222322

n n S n -=?+?+?++? ①

从而

23572121222322n n S n +?=?+?+?++? ② ①-②得

2352121(12)22222n n n S n -+-?=++++-? 。 即 21

1[(31)2

2]9

n n S n +=

-+

(18)（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ， PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点 （1） 证明：PE ⊥BC

（2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值

解：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段H A 的长为单位长， 建立空间直角

坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B

（Ⅰ）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n

则 1(0,,0),(,

,0).

22

m

D m

E 可得 1(

,,),(,1,0).

22m P E n B C m =-=- 因为0022

m m P E B C ?=-+=

所以 P E B C ⊥

（Ⅱ）由已知条件可得 1,33

m n C =-

=-

故 (

1(0,,0),

(,,0),

(0,0,1)

3

2

6

D E P -

-

设 (,,)n x y x =为平面P E H 的法向量

则 ,,n H E o n H P o ??=?

??=??

即10

20

x z =????=?

因此可以取n =，

由(1,0,1)PA =-

，

可得

c o s ,4

P A n =

所以直线P A 与平面P E H

4

(19)(本小题12分)

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

是否需要志愿 性别 男 女 需要 40 30 不需要

160

270

（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老

年人的比例？说明理由

附：

解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为

7014%500

=

（2）2

2

500(4027030160)

9.96720030070430

K ??-?=

=???。

由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方

法更好．

（20）（本小题满分12分）

设12,F F 分别是椭圆222

2

:

1(0)x y E a b a

b

+

=>>的左、

右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。

（1）求E 的离心率；

（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程

解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+， 得43A B a =

l 的方程为y x c =+

，其中c =

设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组

2

2221

y x c x y

a

b =+???+=?? 化简的()()222222220a b x a cx a

c b +++-=

则()

2

2

2

2

12122

22

2

2,a

c

b

a c x x x x a b

a b

--+==

++

因为直线AB 斜率为1，所以AB

=

21x -=

得22

2

44,3

ab

a a b

=

+故22

2a b =

所以

E

的离心率2

c e a

a

=

=

=

（II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知

2

12

02

222

3

x x a c x c a b

+-=

==-

+，003

c y x c =+=

。

由PA PB =，得1PN k =-，

即

00

11y x +=-

得3c =

，从而3a b ==

故椭圆E 的方程为

2

2

118

9

x

y

+

=。

（21）（本小题满分12分）

设函数2()1x f x e x ax =---。 （1） 若0a =，求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 解：（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.

当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，

在(0,)+∞单调增加

（II ）'()12x f x e ax =--

由（I ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故

'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，

从而当120a -≥，即12

a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，

于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x

e x x >+≠可得1(0)x

e x x ->-≠.从而当12

a >时，

'()12(1)(1)(2)x

x

x

x

x

f x e a e

e

e e a --<-+-=--，

故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.

综合得a 的取值范围为1

(,]2-∞.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧

，过C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点，证明：

（Ⅰ）∠ACE =∠BCD ； （Ⅱ）BC 2

=BF ×CD 。

解：（I ）因为 AC BC

=, 所以B C D A B C ∠=∠.

又因为E C 与圆相切于点C ，故A

C E A B C ∠=∠，

所以A C E B C D ∠=∠.

（II ）因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以B D C ?∽E C B ?，故B C C D B E

B C

=，

即2BC BE CD =?.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线C 1x 1t cos sin y t αα

=+??=?（t 为参数），C 2x cos sin y θθ

=??

=?（θ为参数），

（Ⅰ）当α=

3

π

时，求C 1与C 2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

解：（Ⅰ）当

3π

α=

时，1

C

的普通方程为1)y x =

-，2C 的普通方程为2

2

1x y +=。联立

方程组22

1)1

y x x y ?=-??+=?? ，解得1C 与2C 的交点为（1,0

）122?- ???，。 （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=。 A 点坐标为()2sin cos sin ααα-， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为： ()2

1sin 2

1sin cos 2

x y αααα?=???

?=-??为参数 P 点轨迹的普通方程为

2

2

11416x y ??-+= ?

??。

故P 点轨迹是圆心为1

04??

???

，，半径为14的圆。

（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项 设函数()241f x x l =-+ （Ⅰ）画出函数()y f x =的图像

（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围。 解：

（Ⅰ）由于

252

()23x x f x x -+

-≥?，，x 2则函数()y f x =的图像如图所示。

（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，

当且仅当

1

2a ≥

或2a <-时，函数()y f x =与函数

y a x

=的图像有交点。故不等式()f x ax ≤的解集非

空时，a 的取值范围为

()1

22??-∞-+∞???? ，

，。