2015年秋季新版冀教版八年级数学上学期12.5、分式方程的应用导学案3

分式方程的实际应用

学习目标：会用分式方程知识解决实际问题

环节预设：解读2min 读学16min 研学7min 展示20min

前言：还记得学习整式方程的应用时如何根据文字信息列出符合题意的方程么？

其实在使用分式方程解应用题时，与列整式方程时是一样的，我们都需要找出准确

的等量关系，设未知数，列方程计算结果。

例题：一艘轮船在静水中的最大速度20千米／时，它沿江以最大航速顺水航行100千米所用的时间与最大航速逆流航行60千米所用的时间相同，则江水的流速为多少？

（注：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度）

分析：设江水的流速为x千米／时，则轮船顺水航行速度为千米／时，

轮船逆水航行速度为千米／时。顺水航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用的时间为小时。

相等关系：

解：设江水的流速为x千米／时，根据题意列方程为：

练习：

1.轮船在顺水中航行80千米所用的时间和逆水中航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米／时，求轮船在静水中的速度。

2.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学速度

3.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，，出发后第一小时内按原计划的速度均匀行使，一小时后以原来速度的1.5倍均匀行使，并比原计划提前40分钟到达目的地。求前一小时的

冀教版数学八年级上册第十二章专题练习分式1

. 专题一与分式有关的规律探究题 1.一组按规律排列的式子：25811 234,,,b b b b a a a a --，…(ab ≠0)，其中第7个式子是______，第n 个式子是______（n 是正整数）. 2.已知a ≠0，12S a =，212S S =，32 2S S =，…，201020092S S =，则2010S = (用含a 的代数式表示)． 3.给定下面一列分式：3579 234,,,,x x x x y y y y --…,（其中x ≠0）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式. 专题二分式的求值 4. 已知a +b =3，a -b =5，求22 22 1684a ab b a b ab -+-的值. 5. 已知11x x -=，则2421x x x ++的值为_______. 6．已知y =123x x --，x 取哪些值时：

. （1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．参考答案

. 1. 20 7 b a - 31 (1) n n n b a - -解析：观察已知式子可以发现，“－”号是间隔的，即奇数项为负，偶数项为正，再观察分式的分子上字母都是b，其指数分别是2=3×1－1，,5 =3×2－1，8=3×3－1，11=3×4－1，…，3n－1；各个分式的分母上字母都是a，而其指数与项数相同，分别是1，2，3，4，…，n，由此可求解. 2.1 a 解析：根据题意可得 1 2 S a =， 2 1 S a =， 3 2 S a =， 4 1 S a =，…，2a与1 a 交替出现，奇数项为2a，偶数项为1 a ，所以 2010 1 S a =. 3.解：（1）任意一个分式除以前面一个分式，都等于 2 x y -；（2）第7个分式是 15 7 x y . 4.解：解 3, 5. a b a b += ? ? -= ? 得 4, -1. a b = ? ? = ? 222 22 1684)4 = 4(4) a a b b a b a b a b ab ab a b ab -+-- = -- （ . 当a=4,b=-1时，原式= 17 4 -. 5.解： 2 42 22 2 111 = 11 14 1()3 x x x x x x x == ++++-+ . 6.解：（1）由题意得： 1 23 x x - - ＞0，∴ 1, 23. x x ->0 ? ? ->0 ? 或 1, 23. x x -<0 ? ? -<0 ? ∴2 3 0 ? ? -<0 ? 或 1, 23. x x -<0 ? ? ->0 ? ∴x＞1或x＜2 3 ；（3）由题意得： 1, 23. x x -=0 ? ? -≠0 ? ∴x=1；（4）由题意得：2-3x=0 ，∴x=2 3 .

(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx

15 ． 1分式第 1 课时从分数到分式教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件．教学重点分式的意义．教学难点准确理解分式的意义，明确分母不得为零．教学设计一师一优课一课一名师( 设计者：) 教学过程设计一、创设情景，明确目标一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h，它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ● 自主学习指向目标 1．自学教材第 127 至 128 页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一分式的概念 S V10060 活动一：阅读教材思考问题：式子a ，S以及式子20＋ v 和 20－ v 有什么共同特点？它们与分数有什么相同点和不同点？展示点评：如果 A，B 表示两个 ________( 整式 ) ，并且 B 中含有 ________( 字母 ) ，那么式A 子B叫做分式．

小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？

反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二分式有意义的条件活动二： (1) 当 x ≠0时，分式 2 有意义； 3x (2) 当 x ≠1时，分式 x 有意义；x － 1 5 1 (3) 当 b ≠3时，分式 5－ 3b 有意义； x ＋ y (4)x ， y 满足 __x ≠y __时，分式 x － y 有意义．展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零．小组讨论：归纳分式有意义的条件．反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标 1．知识小结—— (1) 学习了分式，知道了分式与分数的区别． (2) 知道了分式有意义和值为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想．五、达标检测，反思目标 2 x ＋ y 1 x 1．下列各式① x ，② 5 ，③ 2－ a ，④ π－ 1中，是分式的有 ( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当 x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) x － 1 x ＋ 1 x － 1 x － 1 A. x 2 B. x 2－ 1 C. x 2＋1 D. x ＋ 2 3．某食堂有煤 m t ，原计划每天烧煤 a t ，现每天节约用煤 b(b

冀教版八年级上册数学知识点总结

第十二章分式 1.分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母对于任意一个分式，分母不能为零，分式有意义对于任意一个分式，分母为零，分式无意义 4.分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。 5.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 6.完全平方公式a2+2ab+b2 = （a+b）2a2-2ab+b2=﹙a-b﹚2两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方 7.常见的恒等变形如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2， (x-y)3= -(y-x)3. 8.约分：把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分 9.最简分式：如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式 10.通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 11.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变. 12分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变。通分的关键:确定几个分式的最简公分母。通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求最简公分母时，首先要因式分解，将所有的表达式都化成积的形式，然后，再定最简公分母. 解分式方程的一般步骤：(1)去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程； (2)解整式方程；(3)验根：可把整式方程的根分别代入最简公分母，如果使最简公分母为0，那么这个根叫分式方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，那么这个根是原分式方程的根；(4)写出方程的解． 15、用分式方程解应用题常见的等量关系一.工程问题 1．工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率设工作总量为“1”的公式：1÷单独完成的工作时间=工作效率；1÷工作效率=单独完成的工作时间。 2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 二．营销问题 1．商品总利润＝商品总售价一商品总成本价= 商品单件利润×销售量 2.商品单件利润＝商品单件售价一商品单件成本价 3．商品利润率＝商品总利润/商品总成本价×100%=商品单件利润/商品单件成本价×100% 4．商品销售额＝商品单价×商品销售量 5、折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 三．行程问题 1．路程＝速度×时间，速度＝路程/ 时间 2．在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空）：顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度－水流速度增长率问题原来量×（1 增长率）=现在量第十三章全等三角形 1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2、全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应角相等,对应边相等. (2)全等三角形中的对应线段相等.即对应的角平分线，对应的中线，对应的高线相等。

八年级上册数学-分式的概念

1.1 分式 1.1.1分式的概念（第1课时）教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。教学重点、难点：重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。教学过程一创设情境，导入新课探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论）（1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的6 8 。想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48 ，即： 3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什么？分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3 n ， 3 3n n ÷、相等吗？（ 3 3= n n ÷）这里的n

可以是实数吗？（n不能为0） (2) 33 4n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题）二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空：（1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母）一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分式。说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。你认为分式和分数具有相同的性质吗？分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ?

分式方程导学案

归纳：15.3 分式方程 15.3.1 分式方程及其解法学习目标： 1.知道分式方程的概念； 2.会解分式方程。重点：分式方程及其解法. 难点：分式方程产生增根的原因. 学习过程：一、复习回顾： 1.什么是一元一次方程？ 2.怎么解一元一次方程？二、新课导入：问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设：江水流速为v 千米/时，可得方程：总结：分式方程：______中含有___________的方程叫做分式方程. 练一练：下列方程哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ⑴1=+y x ； ⑵3252z y x -=+； ⑶21-x ； ⑷053=+-x y ； ⑸11=+x x ； ⑹5 23x x +=-π 探究：怎样解上面问题中的方程呢？例1 解方程： ⑴ 233x x =- ⑵11 4112=---+x x x 解分式方程的基本思路：把分式方程“转化”为___________，再利用________和解法求解。解分式方程的方法：在方程的两边同乘___________，就可约去___________，化成__________________。总结：解分式方程的基本步骤： 1._____________________________________ 2._____________________________________ 3._____________________________________

三、课堂达标检测：解下列方程： ⑴x x 132=- ⑵x x 527=- ⑶31 2=-x x 四、课堂小结：解分式方程的一般步骤是： 1.“化”在方程两边同乘以最简公分母，化成____________方程。 2.“解”即这个____________方程。 3.“验”即把方程的根代入____________，如果值____________，就是原方程的根；如果值____________，就是增根，应当____________。五、课后检测： 1.下列方程是分式方程的是（） A. 2513x x =+- B.315226y y -+=- C.212302x x +-= D.81257x x +-= 2.若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（） A.x =3 B.x =0 C.x =﹣3 D.x =﹣4 3.把分式方程x x 142=+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（） A.x B.2x C.x +4 D.x （x +4） 4.解下列方程： ⑴1 2511+=-x x ⑵112x =- ⑶x x 325=- ⑷ 3121 x x =- 15.3.2 解分式方程教学目标： 1.了解分式方程的基本思路和解法. 2.理解分式方程可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法. 重点：解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.

八年级数学上册分式解答题(篇)(Word版含解析)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难） 1．已知分式 A =2344(1)11 a a a a a -++-÷-- （1）化简这个分式；（2）当 a ＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．【答案】（1） 22a a +-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；（2）根据题意列出算式2622 a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得；（3）由24122 a A a a += =+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得．【详解】解：（1）A=2344(1)11 a a a a a -++-÷-- =22 1311(2)a a a a ---?-- =2 (2)(2)11(2)a a a a a +--?-- =22 a a +-；（2）变小了，理由如下： ∵22 a A a += -， ∴62 a B a +=+， ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+； ∵2a >， ∴20a ->，24a +>， ∴0A B ->， ∴分式的值变小了；

（3）∵A 是整数，a 是整数，则24122 a A a a += =+--， ∴21a -=±、2±、4±， ∵1a ≠， ∴a 的值可能为：3、0、4、6、-2； ∴3046(2)11++++-=； ∴符合条件的所有a 值的和为11．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x +的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x ++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25 【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x ＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算；（2）将2316x x y x ++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】

可化为一元一次方程的分式方程导学案

《可化为一元一次方程的分式方程》导学案学习目标： 1、理解分式方程的定义。 2、能正确而熟练地判断哪些方程是分式方程。 3、学会解较为简单的分式方程。学习重点：分式方程的定义应用以及解法。学习难点：把分式方程转化为整式方程。导学流程：一、知识回顾 1、053)1(=-x ， 5 1532)2(-=+x x ，都是________方程。只含有_________，并且未知数项的最高次数是___的整式方程叫做一元一次方程。 2、（1）解方程5 1532-=+x x 的步骤： ○ 1去_________； ○2去________； ○3移项； ○4合并__________； ○5系数化为1。（2）怎样检验求出的x 的值是不是方程的解？ 3、) 1(21,)1(2+-x x x 的最简公分母是______________ 二、创设情境，导入新课问题：王师傅承担了310个工件的焊接任务，加工了100个工件后开始采用焊接新工艺，功效提高到原来的1.5倍，共用8天完成了任务，采用新工艺前，王师傅每天焊接多少个工件？第一部分形成分析：如果设采用新工艺前王师傅每天焊接x 个工件，那么加工100个工件需要______天，采用新工艺后王师傅每天加工_____个工件，加工剩余的工件用了_____天，根据题中的等量关系，可得出方程 _________________。交流与发现：（1）你所列的方程的分母有什么特点？（2）像这样，分母中含有_____________的方程式叫做分式方程。对比：分母里不含有未知数的方程叫做整式方程.如：3x+1=0等。

判断下列方程哪些是整式方程？哪些是分式方程？ 21)1(-=x (2) 121411)3(2-=+--x x x 05432)4(=---x x n m x mx m x -=-+2)5( (6) 第二部分深入试着解方程（1）怎样把 85.1210100=+x x 与 3 6660+=x x 中的分母去掉？（2）去掉分母后，原方程变成了什么样的方程，写出得到的两个式子 ____________________ _____________________ 解方程： 85.1210100=+x x 第三部分升华思路方法与步骤解分式方程的基本思路和方法：解分式方程的思路是先将方程的两边同乘一个适当的整式（一般是方程两边同乘），化去方程中的______,从而把解分式方程转化成解整式方程。注意：解分式方程必须解分式方程的一般步骤： 1、去_________，化成______________;（在方程的两边都乘以____________） 2、解这个_________________; 3、检验； 4、结论. 437x y +=252=x x ）（

鲁教版初三数学分式方程导学案(自己做的很实用)剖析

1.2分式的乘除法 1.会进行分式的乘除法的运算；类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则培养学生的创新意识和应用数学的意识. 会进行分式的乘除运算灵活运用所学的知识解题小组合作交流，精讲多练一.创设情境，引入新课上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？下面我们观察下列算式：——探索、交流 32×54=5342??,75×92=9 72 5??, 32÷54=32×45=4352??,75÷92=75×29=2 795??. 猜一猜a b ×c d = a b ÷c d = 与同伴交流. 观察上面运算，可知：两个分数相乘，把作为积的分子，把作为积的分母；两个分数相除，。即 a b ×c d =ac bd ; a b ÷c d =a b ×d c =ad bc . 这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零. 如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. 二．探究新知 1.分式的乘除法法则分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似：两个分式相乘，两个分式相除， 2.例题讲解［例1］计算：（1）y a 86·2232a y ;（2）c ab 42·(-b a c 2 32). 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式. ［例2］计算：（1）3xy 2÷x y 2 6;（2）(b a 2-)÷(2 )b a 分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路. 巩固练习 (1)2 2 543()512y x y x xy ? ?- (2)322 26()y x x y x x y ÷-?÷ (3) 222522223111212()()()6189a b a y ay cx c x b x -÷-?- 想一想（1）你会计算 22-+a a ·a a 21 2+吗？（2）两个分式相乘时，如果分子或分母是多项式，应当先怎样进行？ 3.做一做

冀教版八年级数学分式测试题

一、选择填空题 1．在下列各式中，分式的个数是个 22a ，1a b +，1a x -，2x x ，2 m -， x y x +，3x ,x x , ab xy , 1 1x - 2．x 为实数，下列式子一定有意义的是（）．（A （B （C ） 211x - （D ） 2 1 x 3． 2 232x x y -中的 ,x y 同时扩大 2倍，则分式的值（）．（A ）不变（B ）是原来的2倍（C ）是原来的4倍（D ）是原来的 2 1 4．已知分式21 33 x x -+的值等于零，x 的值为 5.在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为 a ※ b = 11 a b +，根据这个规则方程x ※（1x +）=0的解为（）．（A ）1 （B ）0 （C ）无解（D ）1 2 - 6 .若分式 1 1 x x -+的值为零，则x 的值为 7. 当a 时，分式2521 a a -+的值不小于0． 8．如果分式 1 3 x x +-有意义，那么x 的取值范围是 9．下列式子正确的是（） A ． 2 2 b b a a = B ． 0a b a b +=+ C ．1a b a b -+=-- D ． 0.10.330.22a b a b a b a b --= ++ 10．已知 113x y -=，则55x xy y x xy y +---的值为（）．（A ）72- （B ）72 （C ）27 （D ）― 2 7 11．汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v 千米，t 小时后可以到达，如果每小时多行驶2v 千米，那么可以提前到达的小时数是（） A ． 212 v t v v + B ． 112 v t v v + C ． 1212 v v v v + D ． 1221 v t v t v v - 12．若分式 ab a b +中的a 和b 都扩大到10a 和10b ，则分式的值扩大__________倍. 13．分式 1 x ， 224x x -，32y x -的最简公分母___________. 14. 当a =_____时，关于x 方程 235 4 ax a x +=-的根为1. 15. 若方程 56 x x a x x -= --有增根，则a 的值可能是． 16 若1 2 a b b -=，则222 2352235a ab b a ab b -++-= ． 17．计算11r r s r s ??+= ?+?? __________. 18．如果 11322x x x -+=--有增根，增根是_________. 19．如果 21 3 x y x -=，那么x y =_________. 20. 若分式方程 221 1x m x x x x x +-=++有增根，则m 的值是 21．若分式x 2-1 2(x+1) 的值等于0，则x 的值为 . 22．(08年宁夏回族自治区)某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多

分式方程的解法及应用(提高)导学案+习题【含标准答案】

分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的．要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程；（5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.

人教版八年级数学上册导学案-15.3 第2课时分式方程的应用

第十五章分式 15.3 分式方程第2课时分式方程的应用学习目标：1.理解实际问题中的数量关系. 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 重点：能通过列分式方程解决实际问题. 难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程. 一、知识链接 1.解方程： 2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？（1）；（2）；（3）解所列方程；（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案. 3.列方程（组）解应用题的关键是什么？二、新知预习 4.完成下面解题过程：小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？（1）请找出上述问题中的等量关系；答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解；解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得 _________________________. 解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________. 答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________；第五步，作答．三、自学自测 1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( ) A.300x －2060＝3001.2x B.300x －3001.2x ＝20 C.300x －300x ＋1.2x ＝2060 D.300x ＝3001.2x －2060 四、我的疑惑自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分 241122x x x x += --

八年级上册数学分式的运算练习及答案

第15章《分式》同步练习（§ 分式的运算）班级学号姓名得分一、选择题 1．(河南)一种花瓣的花粉颗粒直径约为 006 5米， 006 5用科学记数法表示为( )． A ．×10－5 B ．×10－6 C ．×10－7 D ．65×10－6 2．(山东淄博)化简2221121 a a a a a a +-÷--+的结果是( )． A ．1a B ．a C ． 1 1 a a +- D ． 1 1 a a -+ 3．化简：2 3 32x y xz yz z y x ?? ???? ?? ? ? ??? ????等于( )． A ．23 2y z x B ．xy 4z 2 C ．xy 4z 4 D ．y 5z 4．计算 37444x x y y x y y x x y ++----得( )．

A ．264x y x y +- - B ． 264x y x y +- C ．－2 D ．2 5．化简111a ??+ ?-? ?÷2 21 a a a -+的结果是( )． A ．a ＋1 B ．11 a - C ． 1 a a - D ．a －1 6．下列运算中，计算正确的是( )． (A) ) (212121b a b a +=+ (B)ac b c b a b 2= + (C)a a c a c 1 1=+- (D) 01 1=-+-a b b α 7．a b a b a -++2 的结果是( )． (A)a 2- (B)a 4 (C)b a b --2 (D) a b - 8．化简2 2)11(y x xy y x -? -的结果是( )． (A) y x +1 (B)y x +- 1 (C)x －y (D)y －x 二、填空题

分式方程(一)导学案

分式方程（一）导学案学习目标 1.理解分式方程的意义. 2.了解解分式方程的基本思路和解法. 3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法。 4.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。学习重点解分式方程的基本思路和解法。学习难点理解解分式方程时可能无解的原因。学具使用多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等学习内容学习活动设计意图一、创设情境独立思考（课前20分钟） 1、阅读课本P150 ～151页，思考下列问题：（1）什么是分式方程？解分式方程的基本思想是什么？（2）解分式方程为什么必须检验？ 2、独立思考后我还有以下疑惑：二、答疑解惑我最棒（约8分钟）甲：乙：丙：丁：同伴互助答疑解惑＄15.3分式方程（一）导学案学习活动设计意图三、合作学习探索新知（约15分钟） 1、小组合作分析问题 2、小组合作答疑解惑 3、师生合作解决问题【1】解一元一次方程的步骤是什么？【2】解方程：【3】问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设水流的速度是v千米/时． ◆填空：（1）轮船顺流航行速度为20+v 千米/时，逆流航行速度为20--v千米/时．（2）顺流航行100千米所用时间为小时；（3）逆流航行60千米所用时间为小时；（4）根据题意可列方程为．【4】议一议方程特征： ◆分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【5】想一想方程x+ （x+1）= 是不是分式方程?

冀教版八年级数学教学计划

冀教版八年级数学教学计划一、教材分析：（一）教材特点分析 1、在内容选取上，突出现实性、趣味性和挑战性。 2、在内容的组织上，突出了对知识的重新组合。 3、在教科书的基本着眼点上，把“以学生的发展为本”放在本位。（二）本学期教学内容分析本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下：第十三章一元一次不等式和一元一次不等式组本章内容包括：不等式的有关概念和性质；解一元一次不等式和一元一次不等式组；一元一次不等式组的简单应用。第十四章分式本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。第十五章轴对称立足于生活经验和数学活动经历，从观察生活中的轴对称现象开始，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征；通过逐步分析角、线段、等腰三角形等简单的轴对称图形，引入等腰

三角形的性质和判定的概念。第十六章勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半，本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理。第十七章实数本节主要内容是平方根、立方根的概念及其求法，实数的概念及其性质，简单的二次根式的应用。第十八章平面直角坐标系本章主要有几方面：确定平面上物体的位置的方法；平面直角坐标系的建立及如何在坐标系中确定点的位置；图形变换与坐标的变化；初步感受利用指教坐标系解二元二次方程组。这四方面内容在结构上是连续的，层次上是递进的。第十九章确定事件和随机事件本章内容包括认识确定时间和随机事件，定性和定量描述事件的可能性大小，初步认识频率的稳定性以及频率和概率de关系。本章内容是在落实第二学段课程目标基础上的延伸，也是进一步学习统计与概率的基础。二、学情分析八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影

八年级数学上册《分式的概念》教案

八年级数学上册《分式的概念》教案（第1课时）教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。教学重点、难点：重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。教学过程一创设情境，导入新课探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论）（1）每位小朋友分 34 （2）分法： ① 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的34 ② 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的68 。想想这两种分法分得的是否一样多？（ 36=48，即：3326==4428??）由此表明了什么？分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？用除法表示：3n ÷，用分数表示为： 3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 3 34n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？

这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题）二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空：（1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母）一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分式。说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。你认为分式和分数具有相同的性质吗？分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ? 3 分式的值为零的条件和分式有意义的条件例1 求分式 5 6 x x - + 的值，（1）x=3, (2)x= 2 5 - 思考：（1）要是分式 5 6 x x - + 的值为零，x应等于多少？要使分式 (5) (6)(-5) x x x - + 的值为零，x 应等于多少？分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零）