量子力学第七章7.7

量子力学2008级量子力学期末试卷A

徐州工程学院试卷 2010 — 2011 学年第 一 学期 课程名称 量子力学 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 刘冬冬 2010 年12月30日 使用班级 08应物1、2班 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 本次考试可能用到的公式： 1. ax x a ax a axdx x cos 1 sin 1sin 2-=? 2. =?axdx x sin 2ax a x a ax a x cos )2(sin 22 22-+ 3. ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2 += ? 4. ax a a x ax a x axdx x sin )2 (cos 2cos 3222 -+=? 一、填空题（共4小题，每空3分，共计15分） 1.波函数的标准条件为 。 2.考虑电子的自旋，氢原子能级n E 的简并度为 。 3.利用?x L 和?y L 的对易关系，得()()22x y L L ???≥ 。 4.偶极跃迁中，角量子数与磁量子数的选择定则分别是 、 。 二、基本概念解释与证明题（共2小题，每题5分，共计10分） 1.简述泡利不相容原理并写出泡利矩阵。 2.证明在定态中，概率流密度与时间无关。 三、一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？（15分） 四、设氢原子处于状态

( )()( )()( )()()211031102111,0,,,r r Y r Y r Y ψθ?θ?θ?-= +， 求氢原子的E 、2?L 和?z L 的取值几率和平均值。（20分） 五、质量为m 的粒子在无限深势阱()0x a <<中运动，处于基态。写出能级和波函数，并计算平均值x ，x p 。（20分） 六、一维无限深势阱()0x a <<中的粒子受到微扰 ??? ????≤≤-≤≤=') 2( )1(2)2 0( 2)(a x a a x a x a x x H λλ 作用，试求基态能级的一级修正。（20分）

第七章-自旋和全同粒子

第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；

(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)

g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。

二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数

量子力学期末考试试卷及答案集复习过程

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；

量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 科学出版社第7章

第七章：粒子在电磁场中的运动 P367——7.1，7.2 证明在磁场B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： [] z y x c q i v v B ?,2μ = （1） [] x z y c q i v v B ?,2μ = （2） []y x z c q i v v B ? ,2 μ = （3） [证明]根据正则方程组： x x p H x v ??== ? ，Φ+?? ? ??-=q A c q p H 2 21? μ ? ? ? ?? -=x x x A c q p v ??1?μ 同理 ? ? ? ? ?-=y y y A c q p v ??1?μ ()z y x p p p p ?,?,?? 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： [] ? ? ????--=y y x x y x A c q p A c q p v v ??,??1,2μ ] [] y x A A c q ?,?2 2 μ+ （4） [] 0?,?=y x p p 又A ? [] z x y y x B c y x i c v v 22 ,μμ = ??? ??-?? = （因A B ??=??） 其余二式依轮换对称写出。 P368证明在规范变换下 ψψρ* = （1） [ ]ψψμψψψψμ * * *- -=A c q p p j ??21 （2）

??? ? ?-=A c q p v ?μ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式） ψψc iqf e → （4） 则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度： ρ ρψ ψψψψψ ρ='=?=??? ? ? ???? ? ? ?='* * -* c iqf c iqf c iqf c iqf e e e e 又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入 ()t r f A A , ?+→ ψψψψμc iqf c iqf c iqf c iqf e P e e p e j * - * -????? ?-='21 （5） 注意到算符的对易关系 推广到三维：() )(F )(F ,?r i r p ??=? 6） 令c iqf e r =)(F 则有： c iqf e p -=e p c iqf （7） =-e p c iqf (8) 将（7）（5）式成为： ()() j A c q p p f A c q f c q p e e f c q p e e j c iqf c iqf c iqf c iqf =--=?+-????????? ???--??? ???+=* ***-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9） 在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式：

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l

B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；

量子力学(周世勋)课后答案-第七章

7.1.证明：i z y x =σσσ ??? 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσ ?2????=- 及 反对易关系 0????=+x y y x σσσσ ， 得 z y x i σσσ ???= 上式两边乘z σ ?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ ??? 7.2 求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的测不准关系： ?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ ???? ??=01102? x S ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(?2 22 2 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?222 2 121 =??? ? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S

16 )()(4 2 2 =??y x S S ① 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求 4 )()(2 2 2 2z y x S S S ≥?? 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ?? 可见①式符合上式的要求。 7.3.求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的本征方程为01102a a b b λ??????= ??? ? ?????? 移项得: 20 2 a b λ λ? ? - ???= ? ? ???- ??? x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ 可得 20)2(22 ±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 ±。 设对应于本征值2 的本征函数为 ???? ??=112/1b a χ 由本征方程 2 /12/12 ?χχ =x S ，得

量子力学典型例题分析解答1

浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用

《量子力学》试卷二

一、判断题（共10分，每题2分） 1．对于定态而言，几率密度ω不随时间变化。 ( ) 2．若0]? ,?[=G F ，则在其共同本征态上，力学量F 和G 必同时具有确定值。 ( ) 3．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化： 1 |),(|2=ψ?∞ τd t r 。 ( ) 4．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。 ( ) ( ) 二、填充题（共10分，每题2分） 1．根据波函数的统计解释，波函数在空间中某一点的强度和 成比例。 2．厄密算符在其自身表象中是一个 矩阵，且 为相应的本征值。 3．第一玻尔轨道半径=0a 。 4．在非简并定态微扰的情况下，微扰的引入使能级发生 ，在简并定态微扰的情况下，微扰的引入使能级发生 。 5．能量为100电子伏特的自由电子的德布罗意波长为 0 A 。 试说明算符F ?和它所表示的力学量F 之间的关系。

四、证明题（共24分，每题8分） 1．若厄密算符F ?和G ?相互对易，且F ?、G ?的本征值是非简并的，试证这两个算符有组成完全系的共同本征函数。 2．已知体系的哈密顿算符)(2??2x u p H x +=μ，试证： μ2 ]],?[,[ =x H x 。 3．试证算符x dx d i F +-= ?的本征函数为)2 (2 )(x x i Ae x -=λψ ，其中A 为常数，λ为相应的 本征值。 五、计算题（共48分，每题 12分） 1．粒子在一维无限深势阱 中运动，求其定态能量和定态波函数。 2．一约束在平面上沿一定半径绕z 轴（垂直平面）转动的平面转子（转动惯量为I ）处于 ?2sin A =Φ态中，试确定在此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几率，并求平均 值。 3．设哈密顿量在能量表象中的矩阵形式为 ???? ??++=a E b b a E H 0 201， 其中a 、b 为小的实数，且0201 E E >，求 （1）用微扰公式求能量至二级修正； （2）直接求能量，并和（1）所得结果比较。 [提示：当c << 1时， 21122 c c + ≈+]

量子力学试卷

量子力学试卷

05级2学分A 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2 什么是束缚态？什么是定态？ 3 试述电子具有自旋的实验证据。 4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6一维空间两粒子体系的归一化波函数为),(2 1 x x ψ，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于x 和dx x +之间（不对粒子2进行观测） 二、本题满分10分 设单粒子定态波函数为 )(1)(ikr ikr k be e r r +=-ψ，试利用薛定谔方程确定其势场。 三、本题满分12分 利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ()()()0221 1 =+--+x nH x xH x H n n n ，()()x nH x H n n 1 2-=' 证明：一维谐振子波函数满足下列关系： )](21 )(2[1)(1 1x n x n x x n n n +-++=ψψα ψ η/)],(2 1 )(2[)(11ωαψψαψm x n x n dx x d n n n =+-=+- 已知一维谐振子的波函数为：()()2 121 2 !2, 2 2 ??? ? ??==- n N x H e N x n n n x n n πααψα 四、本题满分12分 一粒子在一维无限深势阱?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,, 0,0,0,)（ 中运动，求粒子的能 级和相应的归一化波函数。

五、本题满分12分 已知氢原 子的电子 波函数为 )(),()(4 1 ),,,(2/11131z z nlmm s Y r R s r s χ?θ?θψ= )(),()(4 3 2/12032z s Y r R -+χ?θ。 求在ψ态中测量氢原子能量E 、2L 、z L 、2s 、z s 的可能值和这些力学量的平均值。 六、本题满分14分 一维运动的粒子处于状态???? ?<≥=-0 , 00)(, x x Axe x x λψ 之中, 其中0>λ, A 为待求的归一化常数, 求： (1) 归一化常数; (2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。 七、本题满分10分 附：氢原子能量本征值：222024 132n e E n ηεπμ-= 定积分：0! 1 0>= +-∞ ?αα αn x n n dx e x ，n 为正整数 球坐标系中：? θθθθθ2 2 2 22222 sin 1)(sin sin 1)(1??+????+????=?r r r r r r 05级2学分B 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？ 2 （1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子， 还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ （2）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？ 3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？

量子力学2007级-量子力学试卷B

2009-2010学年第1学期考试试题 （B ）卷 课程名称 《 量子力学 》 任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷 适用专业 考试时间 （120 ）分钟 一、填空题（25分） 1、(4分)微粒的粒子性(E 、P )与波动性(λυ,或),k ω间的关系为E= 和=P 。 2、(3分)按照波函数的统计解释，描述单粒子量子体系的波函数()x ψ常称为概率波，()2x ψ表示概率密度，其意义是()z y x x ???2 ψ表示 在r 处的体积元z y x ???中找到粒子的 ，()12 =?+∞ ∞-τψd x 称 为波函数的 ，其物理意义是在全空间找到粒子的 。 3、(2分)设某一原子体系具有n 个定态，对应的能级为E n ，若电子处于 态n 的时间为t ?，则能级E n 的宽度为 。 4、(4分)哈密顿算符H 在某表象中的矩阵形式为????? ???? ? ?? ωωω25000 2300021 则该表象是 表象；它的本征值谱为 。 5、(2分)若????? ??-=i i A 5，??? ? ? ??=12i B ，则=A B ； 6、(4分)泡利算符与自旋算符之间的关系满足 ；泡利 算符z y x σσσ ???＝ ； 7、(3分)粒子的波函数为ikx e ，则其几率流密度为 ； 8、(3分)在一三维函数空间，在某一正交归一的基矢下，体系的哈密顿算符用矩阵?? ?? ? ?????=300021012H 表示。则当测量系统的能量时，能量的可能结果是 。 二、简答题(15分) 1、(7分)扫描隧道显微镜的工作原理是隧道效应，简述什么是隧道效应。 2、(8分) 量子力学如何构造一个力学量的算符？当体系处于波函数 ()x ψ所描写的状态时，测量力学量的数值与该力学量本征值有什么关系？

试卷试题 量子力学自学辅导与参考答案

题库(含答案) 2011级 尹如冰 (一) 单项选择题 1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是A A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C. 2.1A 0. D. 2.5A 0 . 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是B A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0 . 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是C A.1.4A 0 . B.1.9?1012 -A 0 . C.1.17?10 12 -A 0. D. 2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =3 2 (k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是D A.8A 0 . B. 5.6A 0 . C. 10A 0 . D. 12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω. C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是B A.5.2A 0 . B. 7.1A 0 . C. 8.4A 0 . D. 9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为A A. 0.25?1018-J. B. 1.25?1018-J. C. 0.25?1016-J. D. 1.25?1016-J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为B A. 2μc . B. 22 μc . C. 222μc . D. 22μc . https://www.360docs.net/doc/822715798.html,pton 效应证实了C A.电子具有波动性. B. 光具有波动性. C.光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了A A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥??? 000 中运动，设粒子的状态由

2007量子力学试题(A)卷

2006~2007郑州大学物理工程学院物理专业量子力 (说明: 考试时间120分钟,共5页,满分100分)计分人： 复查人： 一． 填空题（每题2分，共20分） 1. 微观粒子具有 二象性, 德布罗意公 式为E= , p= . 2. 一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述, 那么在区间b x a ≤≤，发现这个粒子的几率是 3．在0=t 时刻，一个一维谐振子处于基态和第一激发态的迭加态 )(2 1)(2 1)(10x x x ψψ+ = ψ，则能量的期待值是 3. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 . 5. 对易关系=],[2x p x 6.费米子组成的全同粒子体系的波函数是 ______________,玻色子所组成的全 同粒子体系的波函数是_________。 7．一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述，在动量表象相应的波函数为=),(t p c 8．电子自旋角动量满足的对易关系是=?S S 9．泡利不相容原理是指 10．线性谐振子占有数表象的产生与湮灭算符作用在谐振子能量本征函数上，有=+ ∧n a ψ ，=∧ n a ψ 。

二．选择题（每题只有一个答案是正确的，每题5分，共20分） 1．设粒子处于态2021103 12 1CY Y Y ++ = ψ，ψ为归一化波函数，lm Y 为归一化的球谐函数，则系数C 和∧ z L 的期待值为. （A ）6 1， 3 （B ）31，6 （C ）21，3 （D ）6 1 ， 2．如果∧ A 和∧ C 是厄米算符，并且0,≠?? ? ???∧∧C A 则下列是厄米算符为 (A) ∧ ∧C A (B) ∧ ∧A C (C) ∧ ∧∧ ∧+A C C A (D) ∧ ∧∧ ∧-A C C A 3. 假定角动量平方算符21?J 和22?J 的本征值分别为2 2 和24 3 ,如果J ? = 1?J +2?J , 则可能是2?J 本征值的选择为 （A ）22 43, 2 （B ）2243 ,415 （C ）2245,411 （D ）2 22 15,23 4．由5个无相互作用的玻色子组成的一维谐振子体系，其基态能量为 （A ）ω 5 （B ）ω 2 5 （C ）ω )215(+ （D ）ω )21 15(+

量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习

第七章自旋与全同粒子 本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系． 根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程． 真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统． 本章的主要知识点有 1．电子自旋 (1)泡利算符 泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为 由此可以推出 ζ i ζ j =iε ijk ζ k +δ ij (7-3)

(2)电子自旋角动量 借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为 (3)电子自旋状态 (4)有关力学量 (5)自旋状态的演化 在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s z ，t)：(ψ + (r，t)，ψ - (r，t))T，随 时间的演化仍然由薛定谔方程 决定，但是哈密顿算符要修正为

其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为 2．角动量耦合 (1)角动量的一般性质 其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值． (2)自旋轨道耦合

量子力学试卷

05级2学分A 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2什么是束缚态？什么是定态？ 3试述电子具有自旋的实验证据。 4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6一维空间两粒子体系的归一化波函数为),(21x x ψ，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于x 和dx x +之间（不对粒子2进行观测） 二、本题满分10分 设单粒子定态波函数为)(1)(ikr ikr k be e r r +=-ψ，试利用薛定谔方程确定其势场。 三、本题满分12分 利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ()()()02211=+--+x nH x xH x H n n n ，()()x nH x H n n 12-=' 证明：一维谐振子波函数满足下列关系： 已知一维谐振子的波函数为：()()2 121 2 !2, 2 2 ??? ? ??==- n N x H e N x n n n x n n πααψα 四、本题满分12分 一粒子在一维无限深势阱?? ???>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,0,0, 0,)（中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。 五、本题满分12分 已知 氢 原 子 的 电 子 波 函 数 为 )(),()(4 1 ),,,(2/11131z z nlmm s Y r R s r s χ?θ?θψ= )(),()(4 3 2/12032z s Y r R -+χ?θ。 求在ψ态中测量氢原子能量E 、2 L 、z L 、2s 、z s 的可能值和这些力学量的平均值。 六、本题满分14分 一维运动的粒子处于状态???? ?<≥=-0 , 00)(, x x Axe x x λψ之中,其中0>λ,A 为待求的归一化常数,求： (1)归一化常数; (2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3)粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。 七、本题满分10分 附：氢原子能量本征值：2220241 32n e E n επμ-= 定积分： 0! 1 >= +-∞ ?αα αn x n n dx e x ，n 为正整数

量子力学曾谨言第六章第七章习题详解

第六章：中心力场 ［1］质量分别为m, ,m 2的两个粒子组成的体系，质心座标R及相对座标r为: m" m zD “、 R = 一一⑴ m, m2 rr 二O -「1 ⑵ 试求总动量P = p,亠p2及总角动量L = h亠丨2在R，r表象中的 算符表示。 1.［解］(a)合动量算符p = P1 ? P2。根据假设可以解出r i，r2 - - m2 令 m 三m ,亠口2: 「=R_ ----- r (3) m 1 m1 r2= R ? r (4) m2 设各个矢量的分量是r1(x1, y1, z1) , r2 (x2, y 2, z2), r(x, y,z)和R(X,Y,Z)。为了计算动量的变换式先求对x , X2等的偏导数: L、L、# L、r L、L、L、 X x m1 ' ' ' '' 1(5) :x1；:x1；:X ；:x1；:x m ；:X ；：x jx2cX cx2 L、rx x ;X ；x2 a m2 e jx m ；X :x (6) 关于 L、L、 d d-可以写出与( 5) (6) 类似的式子，因而-71 -7 2 .z1.z2 A A A A A d e P - (P1 ■P2)x 二P 1x p2x -( - -) i ；x1；x2 L、L、*-?.L、

m1m2 =_(」2): i m ;X :x m ;:X ;:x i ;X --h d P 二i ' i _:X r d j i ；: Y -h k —

A " ■ ■ /t ■ ■ (b)总角动量 L = l i ?丨2 =— (「1 ：：甘 1 ?「2 ：：詁 2) i L x — (「i J j J)x i m 2 -(Z -z)(- m cY ^(yi--z) i Z -(y 2- i :z 利用(3), (4), ( 5), (6): L x {(丫一匹 i m m-:: y)(- m cZ m —-—) :-y m 1 (Y -y)( m m 2 m ；Z -) m i _(Z ? — z)( m m E -—)} ：-y -f Z i m ；Z c c )-(丫 一 -Z —) ；z .y m 1m 2 (y 「 z jz m 2 —(Y m -(Y - 'z -Z mm m 2 .L 、 ,l~. G C (y z ) :z :丫 (y — :z -z ：)} ：y h d =— c c -Z ) (y — Y 'z -z^)} -y h - = (—R I R i h _ ■ -r J)x i

量子力学试卷

量子力学试卷 1、考虑单粒子的薛定谔方程， ()()()()()2 212,,,2i r t r t V r iV r r t t m ψψψ?=-?++????? 1V 与2V 为实函数。 证明粒子的概率（粒子数）不守恒。 证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为 ()()3322****2s d d r dS d rV r dt im ττψψψψψψψψ=-?-??+???????? 2、证明：量子力学的基本对易式 ,.x p i αβαβδ??=?? 其中,,,x y z αβ= 3、证明厄米算符的本征值必为实数，并属于不同本征值的本征函数彼此正交。 4、如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态。 5、在z s 本征态 110χ??= ???下，求n σ? 的可能测值及相应的几率，其中()sin cos ,sin sin ,cos n θ?θ?θ= 。 6．（共25分）在坐标表象中本征态矢量x 完备正交归一化条件为 1=?dx x x 与()''x x x x -=δ 波函数为ψψx x =)(。在动量表象中完备正交归一化条件

为 1=?dp p p 与()''p p p p -=δ 波函数为ψ ?p p =)( （1）. 证明 dp e p x ipx /21)()2(1 )(?=?πψ dx e x p ipx /21)()2(1 )(-?=ψπ? （2）. 在坐标表象中，能量本征方程为ψψE x V m p =??????+)(22，试 建立动量表象中的能量本征方程。 7．Pauli 算符为 ???? ??=0110x σ，???? ??-=00i i y σ，??? ? ??-=1001z σ， 给定()?θ方向单位矢量 ()()θ?θ?θcos sin sin cos sin ==z y x n n n n 求n n ?=σσ的本征值和本征函数 (1).证明 λσλλσsin cos n i i e n += (2).在0=θ时， λσλσλs i n c o s z i i e z +=。利用该式证明λσλσσλσλσ2sin 2sin y x i x i z z e e -=- λσλσσλσλσ2cos 2sin y x i y i z z e e +=-

量子力学习题集汇集

第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场 ???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并？

２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-= 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。 ２． 对于一转动惯量为I 的平面转子，其能量算符为I L H z 2 =，求体系的能量本 征态。如??ψsin )0,(A =，求),(t ?ψ。 ３．量子化对称陀螺的哈密顿量可写成

量子力学试卷B(2007级)

2,2- （C ）2,,,2-- （D ）,,0,,2-- 、在光的照射下，原子从低能级跃迁到高能级，这种现象称为 （ ） ）自发和受激吸收 （C ）光的吸收 （D ）自发辐射 ）线性厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此

、变分原理在于：根据具体问题在物理上的特点，先提出 ? i L z 题各15分，第 、在一维无限深势阱〔0,a〕中，粒子处于第一激发态，即 S，S 是二个自旋， 1z

武汉理工大学教务处 试题标准答案及评分标准用纸 | 课程名称—量子力学—— （ B 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分） 装 1.C 2.B 3. D 4.C 5.D | 二、填空题 (每空2分，共20分） 1. i -?，p i ? 2. 实数 正交 3. 费米－狄拉克 费米子 4. q p P A c =- 正则动量 5. 试探 极值 三、 证明题（共15分） （1）证明：令1a n n λ+ =+ 则 其共轭式为* 1n a n λ=+，与上式两边分别作用得 （2分） * 11n aa n n n λ λ+ =++ 利用a a n n n + = ,1a a +??=??和mn m n δ= （5分） 等式左边=111n a a n n n n n + +=+=+ 等式右边=()2 2 2 1111n n n n λλ λ++=++= 故λ= 1a n +=+ （3分） （2）证明：???x z y L yp zp =- ???y x z L z p x p =- ???z y x L xp yp =- （2分）

[][][][][]()??????????????,,,,,,???????,00,x y z y x z z x z z y x z z z x y z y x z L L y p z p z p x p y p z p y p x p z p z p y p x p y p z p p z p x i x p y p i L ??????=--=--+??????=--+=-= 利用动量分量彼此对易和[]?,z z p i = （3分） 四 计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤） 1、解：一维无限深势阱中，粒子处于第一激发态的波函数为 ( )22x x a πψ??= ??? （2分） （1）粒子坐标的平均值：()()* 22 20022sin 2a x a x x x x dx x dx a a πψψ∞ ??=== ??? ?? ()()2 * 22222220 02211sin 38a x x x x x dx x dx a a a πψψπ∞ ????= = =- ? ????? ? ? x ?= = （5分） （2）动量的平均值：()()()()** 22220 ?0d p x p x dx x i x dx dx ψψψψ∞ ∞ ? ? = =-= ??? ? ? ()()()()22 2 2 *2 *2 2 22 222 00 4?d p x p x dx x x dx dx a πψ ψψψ∞ ∞ ? ?==-= ? ? ??? 2p a π ?= （5分） （3）粒子动能为22p E m =，则有222 2 422p E m ma π== （3分） 2、解：（1）Hamilton 量满足的本征方程为 21021 01201 200003003a a a b b b c c c λ λλλ-?????????? ??? ? ??? =?-= ??? ? ??? ??? ? ???-??????? ??? 非零解的条件为 ()()2 210 1 203100 03λ λλλλ --=--=- （6分）